스펙트럼 (함수해석학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유계 작용소의 스펙트럼
- 2.2. 비유계 작용소의 스펙트럼
3. 스펙트럼의 분류
4. 스펙트럼의 성질
5. 특수한 작용소의 스펙트럼
6. 예시
7. 역사
8. 응용
9. 수반 연산자의 스펙트럼
10. 실수 연산자의 스펙트럼
참조

1. 개요

스펙트럼 (함수해석학)은 복소수 스칼라체 위의 바나흐 공간에서 작용하는 유계 선형 연산자 T에 대해 연산자 T-λI가 역연산자를 갖지 않는 모든 복소수 λ의 집합을 의미한다. 스펙트럼은 점 스펙트럼, 잔여 스펙트럼, 연속 스펙트럼 등으로 분류되며, 유계 연산자의 스펙트럼은 닫힌 유계 집합이다. 스펙트럼의 개념은 양자역학의 해밀토니안 연산자, 콤팩트 연산자, 자기 수반 연산자 등 다양한 분야에서 활용되며, 스펙트럼 반경 공식과 같은 중요한 성질을 갖는다.

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스펙트럼 (함수해석학)

2. 정의

가환환 $R$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 $A$ 의 원소 $a\in A$ 의 '''분해 집합'''(分解集合, resolvent set^영어)은 다음과 같은 집합이다.^[7]

: $\rho(a)=\left\{\lambda\in R\colon\lambda-a\in\operatorname{Unit}(A)\right\}$

여기서 $\operatorname{Unit}(A)$ 는 $A$ 의 가역원군이다. 즉, $\lambda-a$ 가 가역원이 되는 스칼라 $\lambda$ 들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 $a$ 의 '''스펙트럼''' $\sigma(a)$ 라고 한다.^[7]

: $\sigma(a)=R\setminus\rho(a)=\left\{\lambda\in R\colon\lambda-a\not\in\operatorname{Unit}(A)\right\}\subseteq R\qquad(a\in A)$

이 경우, 원소 $(\lambda-a)^{-1}\in A$ 를 $a$ 의 $\lambda$ 에서의 '''분해식'''(分解式, resolvent^영어)이라고 한다.

$\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ 가 실수체 또는 복소수체이며, $A$ 가 $\mathbb K$ -결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 $a\in A$ 의 '''스펙트럼 반지름'''(spectrum半지름, spectral radius^영어)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.^[7]

: $\operatorname{spec\,rad}(a)=\sup_{\lambda\in\sigma(a)}|\lambda|$

만약 $A$ 가 $\mathbb K$ -바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.

바나흐 공간 위의 유계 선형 작용소 $T$ 의 스펙트럼 $\sigma(T)$ 는 $\lambda I - T$ 가 유계 선형 역작용소를 갖지 않는 복소수 $\lambda$ 전체의 집합이다. (여기서 $I$ 는 항등 작용소이다.) 유계 역사상 정리에 의해 $\lambda I - T$ 의 역작용소는 유계이므로, 스펙트럼은 $\lambda I - T$ 가 전단사가 아닌 복소수 $\lambda$ 전체와 일치한다.

비유계 작용소의 경우에도 스펙트럼을 정의할 수 있다. 복소수 $\lambda$ 가 $T - \lambda I$ 가 전역적으로 정의된 유계 역연산자를 가질 경우, $\lambda$ 는 T의 레졸벤트 집합에 속한다. 그렇지 않은 경우 $\lambda$ 는 스펙트럼에 속한다. 닫힌 그래프 정리에 의해, $(T-\lambda I)^{-1}$ 의 유계성은 ''T''가 닫힌 연산자일 때 그 존재로부터 직접적으로 따라온다.

2. 1. 유계 작용소의 스펙트럼

복소수체

\mathbb{C}

위의 바나흐 공간

X

에서 작용하는 유계 선형 연산자

T

에 대해,

I

를

X

위의 항등 연산자라고 하자.

T

의 스펙트럼은 연산자

T-\lambda I

가 유계 선형 연산자인 역연산자를 갖지 않는 모든

\lambda \in \mathbb{C}

의 집합이다.

T-\lambda I

는 선형 연산자이므로 역연산자가 존재하면 선형이고, 유계 역 정리에 의해 유계이다. 따라서 스펙트럼은

T-\lambda I

가 전단사 함수가 아닌 스칼라

\lambda

로 정확히 구성된다.^[7]

2. 2. 비유계 작용소의 스펙트럼

바나흐 공간 ''X'' 상의 비유계 작용소에 대해서도 스펙트럼의 정의를 확장할 수 있다. 이 경우, 연산자는 더 이상 바나흐 대수 ''B''(''X'')의 원소가 아니다. 복소수 λ가 T - λI가 전역적으로 정의된 유계 역연산자를 가질 경우, 즉, 유계 연산자 S: X → D(T)가 존재하여 S(T - λI) = I_{D(T)}, (T - λI)S = I_X 를 만족할 경우, λ는 T의 레졸벤트 집합에 속한다. 복소수 λ가 레졸벤트 집합에 속하지 않으면 스펙트럼에 속한다.

λ가 레졸벤트에 속하려면(즉, 스펙트럼에 속하지 않으려면), 유계 연산자의 경우와 마찬가지로,

T-\lambda I

가 전단사 함수여야 한다. 즉, 양쪽 역연산자가 존재해야 한다. 역연산자가 존재한다면 선형성은 즉시 나타나지만, 일반적으로 유계가 아닐 수 있으므로 이 조건을 별도로 확인해야 한다.

닫힌 그래프 정리에 의해,

(T-\lambda I)^{-1}

의 유계성은 ''T''가 닫힌 연산자일 때 그 존재로부터 직접적으로 따라온다. 따라서, 유계 연산자의 경우와 마찬가지로, 복소수 ''λ''가 닫힌 연산자 ''T''의 스펙트럼에 속하는 것은

T-\lambda I

가 전단사가 아닌 경우에만 해당한다. 닫힌 연산자 클래스에는 모든 유계 연산자가 포함된다.

3. 스펙트럼의 분류

바나흐 공간 위의 유계 작용소 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석할 수 있다. $\mathbb K$ -바나흐 공간 $V$ 위의 유계 작용소 $T\colon V\to V$ 의 스펙트럼 $\sigma(T)$ 는 다음과 같이 분리된다.

: $\sigma(T)=\sigma_\text{p}(T)\sqcup\sigma_\text{r}(T)\sqcup\sigma_\text{c}(T)$

여기서 각 성분들은 다음과 같다.

'''점 스펙트럼'''(點spectrum, point spectrum^영어) $\sigma_\text{p}(T)$ : $T-\lambda$ 가 단사 함수가 아닌 경우의 $\lambda$ 집합.
'''잔여 스펙트럼'''(殘餘spectrum, residual spectrum^영어) $\sigma_\text{r}(T)$ : $T-\lambda$ 는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아닌 경우의 $\lambda$ 집합.
'''연속 스펙트럼'''(連續spectrum, continuous spectrum^영어) $\sigma_\text{c}(T)$ : $T-\lambda$ 는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아닌 경우의 $\lambda$ 집합.

어떤 수

\lambda\in\mathbb K

에 대하여

\lambda\in\sigma(T)

이려면

T-\lambda

가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉,

T-\lambda

가 단사 함수가 아니거나, 전사 함수가 아니어야 한다.

이 외에도, 스펙트럼은 다음과 같이 분류할 수 있다.

'''압축 스펙트럼'''( $\sigma_{\mathrm{cp}}(T)$ ): $T - \lambda I$ 가 조밀한 치역을 갖지 않을 때의 $\lambda$ 집합.
'''근사 점 스펙트럼'''( $\sigma_{\mathrm{ap}}(T)$ ): $T - \lambda I$ 가 아래로 유계가 아닐 때의 $\lambda$ 집합. 점 스펙트럼을 포함한다.
'''이산 스펙트럼'''( $\sigma_d(T)$ ): 리즈 사영자가 유한 계수를 갖는 스펙트럼의 고립점 집합. 점 스펙트럼의 진부분집합이다.
'''본질 스펙트럼'''( $\sigma_{\mathrm{ess}}(T)$ ): 닫힌 조밀하게 정의된 선형 연산자에 대해 다섯 가지 정의가 존재하며, 자기 수반 연산자의 경우 모두 일치한다.
'''주변 스펙트럼''': 스펙트럼 내에서 절댓값이 스펙트럼 반경과 같은 점들의 집합.

3. 1. 점 스펙트럼 (Point Spectrum)

\mathbb{K}

의 스칼라

\lambda

에 대해

T - \lambda I

가 단사 함수가 아니라면,

\lambda

는

T

의 '''점 스펙트럼'''

\sigma_p(T)

에 속한다.^[3] 이 경우

\lambda

는

T

의 고윳값이며,

Tv = \lambda v

를 만족하는 고유 벡터

v \in V

가 존재한다.

일부 저자는 점 스펙트럼의 폐포를 '''순수 점 스펙트럼'''으로 지칭하기도 한다.

3. 2. 근사 점 스펙트럼 (Approximate Point Spectrum)

\lambda\in\sigma(T)

일 때,

T - \lambda I

가 아래로 유계가 아니면

\lambda

는 T의 근사 점 스펙트럼에 속한다. 즉, 크기가 1인 벡터의 수열 x_1, x_2, ... 가 존재하여 다음을 만족한다.

:

\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0

고윳값의 집합은 ''T''의 '''점 스펙트럼'''이라고 하며, ''σ''_p(''T'')로 표기한다. 고유값은 근사 점 스펙트럼에 속한다. 근사 고유값의 집합 (점 스펙트럼을 포함)은 ''T''의 '''근사 점 스펙트럼'''이라고 하며, ''σ''_ap(''T'')로 표기한다.

예를 들어,

l^2(\Z)

에서 다음과 같이 정의된 오른쪽 시프트 ''R''을 생각해 보자.

:

R:\,e_j\mapsto e_{j+1},\quad j\in\Z,

여기서

\big(e_j\big)_{j\in\N}

는

l^2(\Z)

의 표준 정규 직교 기저이다. 직접 계산하면 ''R''은 고유값이 없지만,

|\lambda|=1

인 모든 ''λ''는 근사 고유값이다. ''x''_''n''을 다음과 같은 벡터라고 하자.

:

\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda^{-1}, \lambda^{-2}, \dots, \lambda^{1 - n}, 0, \dots)

그러면 모든 ''n''에 대해 ||''x''_''n''|| = 1이고,

:

\|Rx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0.

임을 알 수 있다.

''R''은 유니타리 연산자이므로, 스펙트럼은 단위 원 위에 있다. 따라서, ''R''의 근사 점 스펙트럼은 전체 스펙트럼과 같다.

이 결론은 더 일반적인 연산자 클래스에도 적용된다. 유니타리 연산자는 정규 연산자이다. 스펙트럼 정리에 의해, 힐베르트 공간 H 위의 유계 작용소는 H를

L^2

공간과 동일시한 후에 곱셈 연산자와 동치인 경우에만 정규 연산자이다. 유계 곱셈 연산자의 근사 점 스펙트럼이 스펙트럼과 같다는 것을 보일 수 있다.

3. 3. 연속 스펙트럼 (Continuous Spectrum)

T - \lambda I

가 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아닐 때,

\lambda

는 '''연속 스펙트럼'''

\sigma_\text{c}(T)

에 속한다. 이 경우,

(T-\lambda)^{-1}\colon (T-\lambda)(V)\to V

는

V

의 조밀 집합

(T-\lambda)(V)

위에 정의되는 비유계 작용소이다.^[3]

연속 스펙트럼은 고유값이 아니고 잔여 스펙트럼에 속하지 않는 근사 고유값으로 구성된다. 즉,

:

\sigma_{\mathrm{c}}(T) = \sigma_{\mathrm{ap}}(T) \setminus (\sigma_{\mathrm{r}}(T) \cup  \sigma_{\mathrm{p}}(T))

.

예를 들어,

A:\,l^2(\N)\to l^2(\N)

,

e_j\mapsto e_j/j

, (

j\in\N

)는 단사이고 조밀한 치역을 가지지만,

\mathrm{Ran}(A)\subsetneq l^2(\N)

이다. 구체적으로,

x = \sum_{j\in\N} c_j e_j\in l^2(\N)

이고

c_j \in \Complex

이며

\sum_{j\in\N} |c_j|^2 < \infty

인 경우,

\sum_{j\in\N} \left|j c_j\right|^2 < \infty

를 반드시 만족하는 것은 아니며, 그러면

\sum_{j\in\N} j c_j e_j \notin l^2(\N)

가 된다.

3. 4. 압축 스펙트럼 (Compression Spectrum)

Compression Spectrum^영어

T - \lambda I

가 조밀한 치역을 갖지 않을 때,

\lambda

는

T

의 압축 스펙트럼에 속한다.^[3] 이러한

\lambda

의 집합을

T

의 '''압축 스펙트럼'''이라고 하며,

\sigma_{\mathrm{cp}}(T)

로 표기한다.

만약

T-\lambda I

가 조밀한 치역을 갖지 않지만 단사 함수이면,

\lambda

는

T

의 '''잔여 스펙트럼'''에 속한다고 하며,

\sigma_{\mathrm{res}}(T)

로 표기한다.

실수 양방향 무한 수열로 구성된 힐베르트 공간

\ell^2(\Z)

를 예로 들어보자.

:

v = (\ldots, v_{-2},v_{-1},v_0,v_1,v_2,\ldots)

이 수열은 제곱의 유한한 합

\sum_{i=-\infty}^{+\infty} v_i^2

을 가진다. 양방향 시프트 연산자

T

는 수열의 모든 요소를 한 자리씩 이동시킨다. 즉,

u = T(v)

이면 모든 정수

i

에 대해

u_i = v_{i-1}

이다. 고윳값 방정식

T(v) = \lambda v

는 이 공간에서 0이 아닌 해를 갖지 않는다. 왜냐하면 모든 값

v_i

가 같은 절댓값을 가지거나 (만약

\vert \lambda \vert = 1

일 때) 기하 급수를 이루어야 하기 때문이다 (만약

\vert \lambda \vert \neq 1

일 때). 어느 경우든, 제곱의 합은 유한하지 않을 것이다. 그러나 연산자

T-\lambda I

는

|\lambda| = 1

인 경우 가역적이지 않다. 예를 들어,

u_i = 1/(|i|+1)

인 수열

u

는

\ell^2(\Z)

에 속한다. 그러나

(T-I)v = u

(즉, 모든

i

에 대해

v_{i-1} = u_i + v_i

)를 만족하는

\ell^2(\Z)

의 수열

v

는 없다.

3. 5. 잔여 스펙트럼 (Residual Spectrum)

residual spectrum^영어라고도 불리는 잔여 스펙트럼은

T - \lambda I

가 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아닌

\lambda

들의 집합이다. 즉,

T-\lambda I

는 단사이지만 조밀한 치역을 갖지 않는 경우,

\lambda

는 T의 잔여 스펙트럼에 속한다.

잔여 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{r}}(T)

는 압축 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{cp}}(T)

에서 점 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{p}}(T)

(고윳값)를 제외한 부분으로 정의된다. 즉, 다음 식이 성립한다.

:

\sigma_{\mathrm{r}}(T) = \sigma_{\mathrm{cp}}(T) \setminus \sigma_{\mathrm{p}}(T)

예를 들어,

l^2(\mathbb{N})

에서 정의된 오른쪽 시프트 연산자

R:\,l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N})

,

R:\,e_j\mapsto e_{j+1},\,j\in\N

는 등거리 변환이므로 1로 아래로 유계이다. 그러나 전사가 아니며(

e_1\not\in\mathrm{Ran}(R)

),

\mathrm{Ran}(R)

는

l^2(\mathbb{N})

에서 조밀하지 않다(

e_1\notin\overline{\mathrm{Ran}(R)

). 따라서 가역적이지 않다.

3. 6. 이산 스펙트럼 (Discrete Spectrum)

리즈 사영자가 유한 계수를 갖는 스펙트럼의 고립점 집합을 이산 스펙트럼이라고 정의한다. 이산 스펙트럼은 점 스펙트럼의 진부분집합이다. 즉,

\sigma_d(T) \subset \sigma_p(T)

이다.

3. 7. 본질 스펙트럼 (Essential Spectrum)

Essential Spectrum^영어인 본질 스펙트럼은 닫힌 조밀하게 정의된 선형 연산자

A : \,X \to X

에 대해 다섯 가지의 정의가 존재한다. 이 정의들은 다음을 만족한다.

:

\sigma_{\mathrm{ess},1}(A) \subset\sigma_{\mathrm{ess},2}(A) \subset\sigma_{\mathrm{ess},3}(A) \subset\sigma_{\mathrm{ess},4}(A) \subset\sigma_{\mathrm{ess},5}(A) \subset\sigma(A).

\sigma_{\mathrm{ess},k}(A),\ 1\le k\le 5

와 같은 스펙트럼은 자기 수반 연산자의 경우 모두 일치한다.

각 정의에 따른 설명과 예시는 다음과 같다.

{| class="wikitable"

|-

! 정의 !! 설명 !! 예시

|-

|

\sigma_{\mathrm{ess},1}(A)

|

A-\lambda I

가 준-프레드홀름이 아닌 스펙트럼의 점

\lambda

의 집합.
(연산자의 치역이 닫혀 있고, 그 핵 또는 여핵(또는 둘 다)이 유한 차원인 경우, 연산자는 ''준-프레드홀름''이다.)

| 연산자

A:\,l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N})

,

A:\,e_j\mapsto e_j/j,~ j\in\mathbb{N}

에 대해

\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},1}(A)

(이 연산자의 치역이 닫히지 않기 때문: 치역은

l^2(\mathbb{N})

의 모든 것을 포함하지 않지만, 그 폐포는 포함한다).

N:\,l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N})

, 모든

v\in l^2(\mathbb{N})

에 대해

N:\,v\mapsto 0

인 연산자

\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},1}(N)

(이 연산자의 핵과 여핵 모두 무한 차원이기 때문).

|-

|

\sigma_{\mathrm{ess},2}(A)

| 연산자

A-\lambda I

가 무한 차원 핵을 갖거나 닫히지 않은 치역을 갖는 스펙트럼의 점

\lambda

의 집합.
''바일의 기준''으로 특징지을 수도 있다. 즉, 공간 ''X''에

\Vert x_j\Vert=1

,

\lim_{j\to\infty} \left\|(A-\lambda I)x_j \right\| = 0,

이고,

(x_j)_{j\in\mathbb{N}}

에 수렴하는 부분 수열이 없는 수열

(x_j)_{j\in\mathbb{N}}

이 존재한다. 이러한 수열을 ''특이 수열''(또는 ''특이 바일 수열'')이라고 한다.

| 연산자

B:\,l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N})

, ''j''가 짝수일 경우

B:\,e_j\mapsto e_{j/2}

이고, ''j''가 홀수일 경우

e_j\mapsto 0

인

\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},2}(B)

(핵은 무한 차원이고, 여핵은 0 차원).

\lambda=0\not\in\sigma_{\mathrm{ess},1}(B)

에 주목.

|-

|

\sigma_{\mathrm{ess},3}(A)

|

A-\lambda I

가 프레드홀름이 아닌 스펙트럼의 점

\lambda

의 집합.
(연산자의 치역이 닫혀 있고 핵과 여핵이 모두 유한 차원인 경우, 연산자는 ''프레드홀름''이다.)

| 연산자

J:\,l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N})

,

J:\,e_j\mapsto e_{2j}

에 대해

\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},3}(J)

(핵은 0 차원이고, 여핵은 무한 차원).

\lambda=0\not\in\sigma_{\mathrm{ess},2}(J)

에 주목.

|-

|

\sigma_{\mathrm{ess},4}(A)

|

A-\lambda I

가 지수 0의 프레드홀름이 아닌 스펙트럼의 점

\lambda

의 집합.
''A''의 스펙트럼 중 콤팩트 섭동에 의해 보존되는 가장 큰 부분으로 특징지을 수 있다. 즉,

\sigma_{\mathrm{ess},4}(A) = \bigcap_{K \in B_0(X)} \sigma(A+K)

이며, 여기서

B_0(X)

는 ''X''에 대한 모든 콤팩트 연산자의 집합을 나타낸다.

|

R:\,l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N})

,

j\in\mathbb{N}

에 대해

R:\,e_j\mapsto e_{j+1}

인 오른쪽 시프트 연산자

R

에 대해

\lambda=0\in\sigma_{\mathrm{ess},4}(R)

(핵은 0이고, 여핵은 1차원).

\lambda=0\not\in\sigma_{\mathrm{ess},3}(R)

에 주목.

|-

|

\sigma_{\mathrm{ess},5}(A)

|

\sigma_{\mathrm{ess},1}(A)

와, 가용 집합

\mathbb{C} \setminus \sigma(A)

과 교차하지 않는

\mathbb{C} \setminus \sigma_{\mathrm{ess},1}(A)

의 모든 성분의 합집합.

\sigma(A)\setminus\sigma_{\mathrm{d}}(A)

로 특징지을 수도 있다.

| 연산자

T:\,l^2(\mathbb{Z})\to l^2(\mathbb{Z})

,

j\ne 0

에 대해

T:\,e_j\mapsto e_{j-1}

이고,

T:\,e_0\mapsto 0

인 연산자

T

를 고려해 보자.

\Vert T\Vert=1

이므로,

\sigma(T)\subset\overline{\mathbb{D}_1}

을 갖는다.

|z|=1

인 모든

z\in\mathbb{C}

에 대해,

T-z I

의 치역은 조밀하지만 닫히지 않으므로, 단위 원의 경계는 첫 번째 유형의 본질 스펙트럼에 속한다:

\partial\mathbb{D}_1\subset\sigma_{\mathrm{ess},1}(T)

.

|z|<1

인 모든

z\in\mathbb{C}

에 대해,

T-z I

는 닫힌 치역, 1차원 핵 및 1차원 여핵을 가지므로,

1\le k\le 4

인 경우

z\not\in\sigma_{\mathrm{ess},k}(T)

이지만,

z\in\sigma(T)

이다. 따라서,

1\le k\le 4

인 경우

\sigma_{\mathrm{ess},k}(T)=\partial\mathbb{D}_1

이다.

\mathbb{C}\setminus\sigma_{\mathrm{ess},1}(T)

에는 두 개의 성분이 있다:

\{z\in\mathbb{C}:\,|z|>1\}

과

\{z\in\mathbb{C}:\,|z|<1\}

. 성분

\

3. 8. 주변 스펙트럼 (Peripheral Spectrum)

유계 작용소의 주변 스펙트럼은 스펙트럼 내에서 절댓값이 스펙트럼 반경과 같은 점들의 집합으로 정의된다.^[4]

4. 스펙트럼의 성질

복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니며,^[7]^[5] 유계 작용소의 스펙트럼은 닫힌, 유계 복소 평면의 부분 집합이다. 복소수 바나흐 대수

A

의 원소

a\in A

의 스펙트럼 반지름은 겔판트 공식에 의해 주어지는데, 공식은 다음과 같다.^[6]

:

\operatorname{spec\,rad}(a)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a^n\|}

\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}

에 대하여,

\mathbb K

-바나흐 공간 위의 유계 작용소

T

의 스펙트럼은 항상

\mathbb K

속의 콤팩트 집합이다.^[7] 특히

:

|\lambda|\le\|T\|\qquad(\forall\lambda\in\sigma(T))

이다. 여기서

\|T\|

는 작용소 노름이다.

스펙트럼 반경 공식은^[2] 바나흐 대수의 임의의 원소

T

에 대해 다음과 같다.

:

r(T) = \lim_{n \to \infty} \left\|T^n\right\|^{1/n}.

T

의 스펙트럼 반경

r(T)

은 원점을 중심으로 하고, 내부에 스펙트럼

\sigma(T)

를 포함하는 복소 평면상의 최소한의 원의 반지름이다. 즉,

:

r(T) = \sup \

5. 특수한 작용소의 스펙트럼

콤팩트 작용소, 준영 작용소, 자기 수반 연산자, 정규 작용소와 같은 특수한 작용소들은 특별한 스펙트럼 성질을 갖는다.콤팩트 작용소는 복소수 바나흐 공간 위에서 연속 스펙트럼과 잔여 스펙트럼이 항상 공집합이거나

\{0\}

이다. 즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다. 0이 아닌 모든 스펙트럼 값은 고윳값이며, 스펙트럼은 가산 집합이고 0이 유일한 집적점일 수 있다.

준영 작용소는 스펙트럼 반경이 0인 작용소로,

\sigma(A)=\{0\}.

이라는 동치 조건으로 특징지어진다. 예를 들어

A:\,l^2(\N)\to l^2(\N)

,

e_j\mapsto e_{j+1}/2^j

(

j\in\N

)는 준영 작용소이다.

자기 수반 연산자는 힐베르트 공간에서 스펙트럼 정리를 통해 정규 유한 차원 연산자의 대각화 정리와 유사하게 나타낼 수 있다.^[2] 스펙트럼 측도를 사용하여 스펙트럼 분해를 할 수 있다.

정규 작용소는 복소수 힐베르트 공간 위에서 잔여 스펙트럼이 공집합이다. 정규 작용소의 스펙트럼 반지름은 수치 반지름과 일치하며, 이러한 작용소를 스펙트럼형 작용소라고 한다.

5. 1. 콤팩트 작용소 (Compact Operator)

복소수 바나흐 공간

V

위의 콤팩트 작용소

T\colon V\to V

의 경우, 다음이 성립한다.

연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 $\{0\}$ 이다.
잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 $\{0\}$ 이다.

즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.

만약 ''T''가 콤팩트 작용소라면, 스펙트럼은 가산이며, 0이 유일한 가능한 집적점이고, 스펙트럼 내의 0이 아닌 모든 ''λ''는 고윳값이다. '''T'''가 콤팩트 작용소라면 임의의 스펙트럼에서 0이 아닌 요소 ''λ''는 고윳값임을 보일 수 있다. 다시 말해, 그러한 작용소의 스펙트럼은 고윳값 개념의 일반화로 정의되며, 통상의 고윳값과 0으로 구성된다.

5. 2. 준영 작용소 (Quasinilpotent Operator)

\lVert A^n\rVert^{1/n} \to 0

(

n\to\infty

일 때, 즉, 스펙트럼 반경이 0)이면, 유계 작용소

A:\,X\to X

는 '''준영(準零) 작용소'''이다. 준영 작용소는 다음과 같은 동치 조건으로 특징지을 수 있다.

:

\sigma(A)=\{0\}.

준영 작용소의 예시는

A:\,l^2(\N)\to l^2(\N)

,

e_j\mapsto e_{j+1}/2^j

(

j\in\N

)이다.

5. 3. 자기 수반 연산자 (Self-adjoint Operator)

힐베르트 공간에서 자기 수반 연산자(또는 더 일반적인 정규 연산자) ''T''에 대한 스펙트럼 정리는 정규 유한 차원 연산자(예: 에르미트 행렬)의 대각화 정리와 유사하다.^[2] 자기 수반 연산자는 스펙트럼 측도를 사용하여 스펙트럼 분해를 절대 연속, 순수 점, 특이 부분으로 정의할 수 있다.

5. 4. 정규 작용소 (Normal Operator)

복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.

복소수 힐베르트 공간

V

위의 정규 작용소

T\colon V\to V

의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.

:

\operatorname{spec\,rad}(T)=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac

{\langle v,v\rangle}

보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 '''수치 반지름'''(numerical radius^영어)이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 '''스펙트럼형 작용소'''(spectraloid operator^영어)라고 한다.

6. 예시

다음은 스펙트럼의 몇 가지 예시이다.

=== 유한 차원 ===

유한 차원 벡터 공간 $V=\mathbb K^n$ 가 유한 차원 $\mathbb K$ -바나흐 공간이라고 하자. $\mathbb K$ -선형 변환 $V\to V$ 가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 유한 차원 $\mathbb K$ -바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

선형 변환 $T\colon V\to V$ (즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

실수 행렬

: $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$

는 $\mathbb R^2$ 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 $\mathbb C^2$ 위의 작용소로서 점 스펙트럼 $\{\pm\mathrm i\}$ 를 갖는다.

=== 시프트 작용소 (Shift Operator) ===

복소 힐베르트 공간 $l^2(\mathbb{Z})$ 에서 정의된 양방향 시프트 연산자 $T$ 는 수열의 모든 요소를 한 자리씩 이동시킨다. 즉, $v = (\ldots, v_{-2}, v_{-1}, v_0, v_1, v_2, \ldots)$ 일 때, $u = T(v)$ 이면 모든 정수 $i$ 에 대해 $u_i = v_{i-1}$ 이다.

이 연산자는 고윳값을 갖지 않는다. 고유값 방정식 $T(v) = \lambda v$ 를 만족하는 0이 아닌 해가 존재하지 않기 때문이다. 만약 해가 존재한다면, 모든 $v_i$ 는 같은 절댓값을 갖거나 ( $|\lambda| = 1$ 인 경우) 기하급수를 이루어야 하는데 ( $|\lambda| \neq 1$ 인 경우), 어느 경우든 제곱의 합이 유한하지 않아 $l^2(\mathbb{Z})$ 공간에 속할 수 없다.

하지만 $|\lambda| = 1$ 인 $\lambda$ 에 대해 연산자 $T - \lambda I$ 는 가역적이지 않다. 즉, 단위 원 위의 모든 점은 근사 고윳값이 된다. 예를 들어, $u_i = 1 / (|i| + 1)$ 인 수열 $u$ 는 $l^2(\mathbb{Z})$ 에 속하지만, $(T - I)v = u$ 를 만족하는 $l^2(\mathbb{Z})$ 의 수열 $v$ 는 존재하지 않는다.^[1]

$l^2(\Z)$ 에서 정의된 오른쪽 시프트 연산자 ''R''을 예로 들면, $R:\,e_j\mapsto e_{j+1},\quad j\in\Z,$ (여기서 $\big(e_j\big)_{j\in\N}$ 는 $l^2(\Z)$ 의 표준 정규 직교 기저)와 같이 정의된다. 이 연산자는 고윳값이 없지만, $|\lambda|=1$ 인 모든 ''λ''는 근사 고윳값이다. ''x''_''n''을 $\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda^{-1}, \lambda^{-2}, \dots, \lambda^{1 - n}, 0, \dots)$ 와 같은 벡터라고 하면, 모든 ''n''에 대해 ||''x''_''n''|| = 1 이고, $\|Rx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0.$ 이 된다.^[1]

''R''은 유니타리 연산자이므로 스펙트럼은 단위 원 위에 있으며, 따라서 ''R''의 근사 점 스펙트럼은 전체 스펙트럼과 같다.

=== 곱셈 작용소 (Multiplication Operator) ===

임의의 $1\le p\le\infty$ 에 대하여, 측도 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ 위의 르베그 공간 $V=\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)$ 는 $\mathbb K$ - 바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수 $f\colon (X,\Sigma)\to (\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))$ 의 상이 유계 집합이라고 하자. (어떤 영집합 $N\subseteq X$ 에 대하여 $f\restriction(X\setminus N)$ 의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 $\mathcal B(\mathbb K)$ 는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소

: $T_f\colon V\to V$

: $T_f\colon g\mapsto fg$

는 $\mathbb K$ -유계 작용소이다.

이제, 집합 $\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\mathbb K$ 를 다음과 같이 정의하자.

: $\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f\overset{\text{def}}\iff\forall\epsilon\in\mathbb R^+\colon \mu\left(f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,\epsilon))\right)>0$

그렇다면, $\operatorname{ess\,ran}f=\sigma(T_f)$ 이다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.

:임의의 $\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f$ 에 대하여, 만약 $\mu(f^{-1}(\{\lambda\}))>0$ 이라면, $\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T_f)$ 이며, 만약 그렇지 않다면 $\lambda\in\sigma_{\text{c}}(T_f)$ 이다. 특히, $T_f$ 는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

=== 수소 원자 (Hydrogen Atom) ===

수소 원자는 다양한 스펙트럼 유형의 예시를 제공한다. 수소 원자 해밀토니안 연산자 $H=-\Delta-\frac{Z}$

,

Z > 0

, 정의역

D(H) = H^1(\R^3)

은 리드베리 공식으로 계산할 수 있는 고유값의 이산 집합(이산 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{d}}(H)

, 이 경우 연속 스펙트럼에 포함된 고유값이 없으므로 점 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{p}}(H)

과 일치)을 갖는다. 해당 고유함수는 '''고유 상태''', 또는 결합 상태라고 불린다. 이온화 과정의 결과는 스펙트럼의 연속 부분(충돌/이온화 에너지는 "양자화"되지 않음)으로 설명되며,

\sigma_{\mathrm{cont}}(H)=[0,+\infty)

로 표현된다(또한 본질적 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{ess}}(H)=[0,+\infty)

와 일치).

6. 1. 유한 차원

유한 차원 벡터 공간

V=\mathbb K^n

가 유한 차원

\mathbb K

-바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면,

\mathbb K

-선형 변환

V\to V

가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원

\mathbb K

-바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환

T\colon V\to V

(즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

실수 행렬

:

\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

는

\mathbb R^2

위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는

\mathbb C^2

위의 작용소로서 점 스펙트럼

\{\pm\mathrm i\}

를 갖는다.

6. 2. 시프트 작용소 (Shift Operator)

복소 힐베르트 공간

l^2(\mathbb{Z})

에서 정의된 양방향 시프트 연산자

T

는 수열의 모든 요소를 한 자리씩 이동시킨다. 즉,

v = (\ldots, v_{-2}, v_{-1}, v_0, v_1, v_2, \ldots)

일 때,

u = T(v)

이면 모든 정수

i

에 대해

u_i = v_{i-1}

이다.

이 연산자는 고윳값을 갖지 않는다. 고유값 방정식

T(v) = \lambda v

를 만족하는 0이 아닌 해가 존재하지 않기 때문이다. 만약 해가 존재한다면, 모든

v_i

는 같은 절댓값을 갖거나 (

|\lambda| = 1

인 경우) 기하급수를 이루어야 하는데 (

|\lambda| \neq 1

인 경우), 어느 경우든 제곱의 합이 유한하지 않아

l^2(\mathbb{Z})

공간에 속할 수 없다.

하지만

|\lambda| = 1

인

\lambda

에 대해 연산자

T - \lambda I

는 가역적이지 않다. 즉, 단위 원 위의 모든 점은 근사 고윳값이 된다. 예를 들어,

u_i = 1 / (|i| + 1)

인 수열

u

는

l^2(\mathbb{Z})

에 속하지만,

(T - I)v = u

를 만족하는

l^2(\mathbb{Z})

의 수열

v

는 존재하지 않는다.^[1]

l^2(\Z)

에서 정의된 오른쪽 시프트 연산자 ''R''을 예로 들면,

R:\,e_j\mapsto e_{j+1},\quad j\in\Z,

(여기서

\big(e_j\big)_{j\in\N}

는

l^2(\Z)

의 표준 정규 직교 기저)와 같이 정의된다. 이 연산자는 고윳값이 없지만,

|\lambda|=1

인 모든 ''λ''는 근사 고윳값이다. ''x''_''n''을

\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda^{-1}, \lambda^{-2}, \dots, \lambda^{1 - n}, 0, \dots)

와 같은 벡터라고 하면, 모든 ''n''에 대해 ||''x''_''n''|| = 1 이고,

\|Rx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0.

이 된다.^[1]

''R''은 유니타리 연산자이므로 스펙트럼은 단위 원 위에 있으며, 따라서 ''R''의 근사 점 스펙트럼은 전체 스펙트럼과 같다.

6. 3. 곱셈 작용소 (Multiplication Operator)

임의의

1\le p\le\infty

에 대하여, 측도 공간

(X,\Sigma,\mu)

위의 르베그 공간

V=\operatorname L^p(X,\Sigma,\mu;\mathbb K)

는

\mathbb K

- 바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수

f\colon (X,\Sigma)\to (\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))

의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합

N\subseteq X

에 대하여

f\restriction(X\setminus N)

의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서

\mathcal B(\mathbb K)

는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소

:

T_f\colon V\to V

:

T_f\colon g\mapsto fg

는

\mathbb K

-유계 작용소이다.

이제, 집합

\operatorname{ess\,ran}f\subseteq\mathbb K

를 다음과 같이 정의하자.

:

\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f\overset{\text{def}}\iff\forall\epsilon\in\mathbb R^+\colon \mu\left(f^{-1}(\operatorname{ball}_{\mathbb K}(\lambda,\epsilon))\right)>0

그렇다면,

\operatorname{ess\,ran}f=\sigma(T_f)

이다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.

:임의의

\lambda\in\operatorname{ess\,ran}f

에 대하여, 만약

\mu(f^{-1}(\{\lambda\}))>0

이라면,

\lambda\in\sigma_{\text{p}}(T_f)

이며, 만약 그렇지 않다면

\lambda\in\sigma_{\text{c}}(T_f)

이다. 특히,

T_f

는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

6. 4. 수소 원자 (Hydrogen Atom)

수소 원자는 다양한 스펙트럼 유형의 예시를 제공한다. 수소 원자 해밀토니안 연산자

H=-\Delta-\frac{Z}

,

Z > 0

, 정의역

D(H) = H^1(\R^3)

은 리드베리 공식으로 계산할 수 있는 고유값의 이산 집합(이산 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{d}}(H)

, 이 경우 연속 스펙트럼에 포함된 고유값이 없으므로 점 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{p}}(H)

과 일치)을 갖는다. 해당 고유함수는 '''고유 상태''', 또는 결합 상태라고 불린다. 이온화 과정의 결과는 스펙트럼의 연속 부분(충돌/이온화 에너지는 "양자화"되지 않음)으로 설명되며,

\sigma_{\mathrm{cont}}(H)=[0,+\infty)

로 표현된다(또한 본질적 스펙트럼

\sigma_{\mathrm{ess}}(H)=[0,+\infty)

와 일치).

7. 역사

에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 유계 작용소 분해식의 노이만 급수를 최초로 사용하였다.^[8]

"스펙트럼"(Spektrum|슈펙트룸^de)과 "분해식"(Resolvente|레졸벤테^de)이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.

8. 응용

양자역학에서, 해밀토니언 연산자의 스펙트럼은 그 계가 가질 수 있는 에너지 값(에너지 준위)들을 나타낸다. 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H = \mathcal L^2(\mathbb R;\mathbb C)$ 위에 정의된 해밀토니언 연산자

: $H = -\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + V(x)$

를 생각해 보자. 여기서 $V(x)$ 는 매끄러운 함수인 퍼텐셜이며, $\inf_{x\in\mathbb R}V(x) > \infty$ 를 만족한다.

임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수 $\alpha \in \mathbb C, \Re(\alpha) \le 0$ 에 대하여, 유계 작용소 $\exp(\alpha H) \colon \mathcal H \to \mathcal H$ 를 정의할 수 있다. 이 작용소는 정규 작용소이므로 잔여 스펙트럼을 갖지 않으며, 그 스펙트럼은 항상

: $\sigma(\exp(\alpha H)) = \{\exp(\alpha E) \colon E \in \mathbb R\}$

의 꼴이다. 따라서 $E$ 를 $H$ 의 스펙트럼으로 생각할 수 있다.

$\Re(\alpha) < 0$ 인 경우, $\exp(\alpha H)$ 의 점 스펙트럼은 퍼텐셜에 속박된 상태를, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

9. 수반 연산자의 스펙트럼

''X''를 바나흐 공간으로 하고, $T:\,X\to X$ 를 조밀한 정의역 $D(T)\subset X$ 를 갖는 닫힌 선형 연산자라고 하자. 만약 ''X*''가 ''X''의 쌍대 공간이고, $T^*:\, X^* \to X^*$ 가 ''T''의 에르미트 수반이면, 다음이 성립한다.

: $\sigma(T^*) = \overline{\sigma(T)} := \{z\in\Complex : \bar{z}\in\sigma(T)\}.$

유계(또는, 더 일반적으로, 닫히고 조밀하게 정의된) 연산자 ''T''에 대해, 다음이 성립한다.

: $\sigma_{\mathrm{cp}}(T) = \overline{\sigma_{\mathrm{p}}(T^*)}$ .

특히, $\sigma_{\mathrm{r}}(T) \subset \overline{\sigma_{\mathrm{p}}(T^*)} \subset \sigma_{\mathrm{r}}(T)\cup\sigma_{\mathrm{p}}(T)$ 이다.

$\mathrm{Ran}(T - \lambda I)$ 가 ''X''에서 조밀하지 않다고 가정하자. 한-바나흐 정리에 의해, $\mathrm{Ran}(T - \lambda I)$ 에서 사라지는 영이 아닌 $\varphi \in X^*$ 가 존재한다. 모든 ''x'' ∈ ''X''에 대해, 다음이 성립한다.

: $\langle\varphi, (T - \lambda I) x \rangle = \langle (T^* - \bar\lambda I) \varphi,x \rangle = 0.$

따라서, $(T^*-\bar\lambda I)\varphi= 0 \in X^*$ 이고 $\bar\lambda$ 는 ''T*''의 고유값이다.

반대로, $\bar\lambda$ 가 ''T*''의 고유값이라고 가정하자. 그러면 $(T^* - \bar{\lambda} I) \varphi = 0$ 인 영이 아닌 $\varphi \in X^*$ 가 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\forall x \in X,\; \langle (T^* - \bar{\lambda} I) \varphi, x \rangle = \langle \varphi,(T - \lambda I) x\rangle = 0.$

만약 $\mathrm{Ran}(T-\lambda I)$ 가 ''X''에서 조밀하다면, ''φ''는 0 함수여야 하고, 이는 모순이다. 따라서 주장이 증명되었다.

또한, 다음 논증에 의해 $\sigma_{\mathrm{p}}(T)\subset\overline{\sigma_{\mathrm{r}}(T^*)\cup \sigma_{\mathrm{p}}(T^*)}$ 를 얻는다. ''X''는 ''X''로 등거리적으로 임베딩된다. 따라서, $T-\lambda I$ 의 커널에 있는 모든 영이 아닌 원소에 대해, $\mathrm{Ran}(T^* - \bar{\lambda}I)$ 에서 사라지는 ''X''에 있는 영이 아닌 원소가 존재한다. 따라서 $\mathrm{Ran}(T^* -\bar{\lambda} I)$ 는 조밀할 수 없다.

더 나아가, ''X''가 반사적이면, $\overline{\sigma_{\mathrm{r}}(T^*)}\subset\sigma_{\mathrm{p}}(T)$ 가 성립한다.

10. 실수 연산자의 스펙트럼

실수체 ℝ 위의 바나흐 공간에서 작용하는 임의의 연속 선형 연산자 T에 대해, 해석적 함수의 정의와 스펙트럼은 그 복소화 T_ℂ를 통해 확장될 수 있다. 이 경우, 해소 집합 ρ(T)는 T_ℂ - λI 가 복소화된 공간 X_ℂ에서 작용하는 연산자로서 가역적인 모든 λ∈ℂ의 집합으로 정의하고, σ(T) = ℂ \ ρ(T)로 정의한다.

실 스펙트럼은 실수 바나흐 공간 X에서 작용하는 연속 선형 연산자 T에 대해 σ_ℝ(T)로 표기하며, T - λI가 X에서 작용하는 유계 선형 연산자의 실수 대수에서 가역적이지 않은 모든 λ∈ℝ의 집합으로 정의된다. 이 경우 σ(T) ∩ ℝ = σ_ℝ(T)를 가진다. 실수 스펙트럼은 복소 스펙트럼과 일치할 수도 있고 일치하지 않을 수도 있다. 특히 실수 스펙트럼은 비어 있을 수도 있다.

참조

_[1] 서적 Introductory Functional Analysis with Applications
_[2] 논문 Theorem 3.3.3 of Kadison & Ringrose, 1983, ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I: Elementary Theory'' Academic Press, Inc. 1983
_[3] 웹사이트 Nonempty intersection between approximate point spectrum and residual spectrum https://math.stackex[...]
_[4] 서적 Introduction to Operator Theory in Riesz Spaces https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2017-09-08
_[5] 간행물 The spectrum in a Banach algebra 2006-10
_[6] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] Wiley-Interscience 2002
_[7] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1991
_[8] 간행물 Sur une classe d’equations fonctionnelles 1903

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