이원수 (수학)

3. 정의

이원수는 실수 a, b에 대해 a + bε (ε² = 0) 형태로 표현되는 수이다. 이원수의 집합은 가환환을 이룬다. 현대 대수학에서 이원수의 대수는 실수체 위의 다항식환을 X²로 생성되는 주 아이디얼로 나눈 몫환으로 정의된다. 즉, R[X]/(X²)이다. ε를 기저 원소로 하는 1차원 벡터 공간의 외대수로 정의될 수도 있다.

3. 1. 가환환

4. 성질

이원수의 집합은 멱영원 $\backslash epsilon$이 존재하므로 정역을 이루지 않는다. 이원수환은 국소환을 이루며, 유일한 극대 아이디얼은 주 아이디얼 $(\backslash epsilon)$이다.

이원수환에서 가역원은 $a\backslash ne0$인 $a+b\backslash epsilon$이며, 그 역은 다음과 같다.

:$(a+b\backslash epsilon)^\{-1\}=1/a-(b/a^2)\backslash epsilon$

이원수는 2차원 가환 결합 $\backslash mathbb\; R$-대수를 이룬다.

5. 선형대수학적 표현

이원수 \''a+bε\''는 2×2 행렬환 \''Mat(2;R)\''의 부분환으로 나타낼 수 있다. 이원수 a + bε는 정사각 행렬로 표현할 수 있다.^[1] 여기서 는 ε에 해당하는 영행렬이 된다.^[1]

이원수를 정사각 행렬로 표현하는 다른 방법도 있는데, 이원수 1을 단위 행렬로, ε를 제곱하면 영행렬이 되는 임의의 행렬로 표현하는 것이다. 2×2 행렬의 경우 형태의 영이 아닌 모든 행렬을 사용할 수 있으며, 이때 \''a² + bc = 0\''이다.^[1]

행렬을 사용하면 이원수를 와 같이 표현할 수 있다. 이때 이원수의 합과 곱은 행렬의 합과 행렬의 곱으로 계산할 수 있으며, 두 연산은 가환적이고 결합적이다.

이는 복소수의 행렬 표현과 유사하며, 이차정사각행렬의 분류에 이원수의 개념이 필요하다.

6. 나눗셈

이원수의 나눗셈은 분모의 실수부가 0이 아닐 때 정의된다. 나눗셈 과정은 복소수 나눗셈과 유사하게, 분모의 켤레를 분자, 분모에 곱하여 계산한다.

:$\backslash frac\{a\; +\; b\backslash varepsilon\}\{c\; +\; d\backslash varepsilon\}\; =\; \backslash frac\{(a\; +\; b\backslash varepsilon)(c\; -\; d\backslash varepsilon)\}\{(c\; +\; d\backslash varepsilon)(c\; -\; d\backslash varepsilon)\}\; =\; \backslash frac\{ac\; +\; \backslash varepsilon(bc\; -\; ad)\}\{c^2\}\; =\; \backslash frac\{a\}\{c\}\; +\; \backslash frac\{bc\; -\; ad\}\{c^2\}\backslash varepsilon$

이는 c가 0이 아닐 때 정의된다.

c = 0이고 d ≠ 0일 때, a ≠ 0이면 해가 없고, a = 0이면 b/d + yε (y는 임의의 실수) 꼴의 이원수가 해가 된다. 이는 몫의 허수부가 임의적이며, 따라서 순수 허수 이원수에 대해 나눗셈이 정의되지 않음을 의미한다. 순수 허수 이원수는 영인자이며, 이원수의 환의 아이디얼을 형성한다.

7. 기하학적 표현

이중수의 "단위 원"은 을 갖는 이중수로 구성된다.^[6] 지수 함수 e^(bε) = 1 + bε^영어이므로, ε-축에 대한 지수 함수는 "단위 원"의 절반만 덮는다.

z = a + bε^영어 (a ≠ 0)의 극 분해는 v/z = a(1 + mε)}} (m = b/a, 기울기)로 표현된다.^[6] 이중수 평면에서 회전은 수직 전단 사상과 동일하다.^[6]

절대 공간과 시간에서 갈릴레이 변환

:

즉

:$t\text{'}\; =\; t,\backslash quad\; x\text{'}\; =\; vt\; +\; x,$

는 정지 좌표계와 속도 를 사용하여 하나의 공간 차원과 시간을 따라 사건을 나타내는 경우, 동일한 변환은 로 곱하여 수행된다.

두 이중수 와 가 주어지면, 에서 와 로 이어지는 선들의 기울기 차이("갈릴레이 각")가 일정한 집합이 결정된다. 이 집합은 이중수 평면에서 '''사이클'''이다. 선의 기울기 차이를 상수로 설정하는 방정식은 의 실수 부분에 대한 이차 방정식이므로, 사이클은 포물선이다. 이중수 평면의 "사이클 회전"은 그것의 사영 직선의 움직임으로 발생한다. 이사악 야글롬에 따르면,^[6] 사이클 {''z'' : ''y'' ''αx''²}}}는 전단 변환

:$x\_1\; =\; x\; ,\backslash quad\; y\_1\; =\; vx\; +\; y$

와 평행 이동

:$x\text{'}\; =\; x\_1\; =\; \backslash frac\{v\}\{2a\}\; ,\backslash quad\; y\text{'}\; =\; y\_1\; +\; \backslash frac\{v^2\}\{4a\}.$

의 합성에 대해 불변이다.

7. 1. 사영 직선

8. 응용

이원수는 물리학에서 초대칭을 다룰 때 사용된다. 이원수의 공간은 초공간의 가장 간단한 예이며, $\backslash epsilon$은 반가환수가 된다.

==== 자동 미분 ====

이원수를 이용하여 함수의 미분을 자동으로 계산할 수 있다. 다항식 P(x)에 대해, P(a + bε) = P(a) + bP'(a)ε (P'(a)는 P(x)의 도함수)가 성립한다. 이 성질을 이용하여 도함수를 계산할 수 있다.

실수 계수를 갖는 모든 다항식은 이중수 값을 갖는 인수의 함수로 확장될 수 있다. 다항식

P(a + bε)를 전개하면 P(a + bε) = P(a) + bP'(a)ε 와 같이 표현 가능하다. 여기서 P'(a)는 P(x)의 도함수이다.

더 일반적으로, 모든 (해석적) 실수 함수는 테일러 급수를 통해 이중수로 확장될 수 있다. 확장된 함수는 f(a + bε) = f(a) + bf'(a)ε 와 같이 표현 가능하다.

이러한 함수들의 이중수에 대한 합성을 계산하고 그 결과에서 ε의 계수를 검토함으로써 우리는 합성 함수의 도함수를 자동으로 계산했음을 알 수 있다.

==== 초대칭 ====

이원수는 물리학에서 활용되며, 초공간의 가장 간단한 비자명한 예시 중 하나를 구성한다. 이와 동등하게, 이들은 단 하나의 생성자만을 가진 초수이다. 초수는 개념을 여러 개의 서로 다른 생성자로 일반화하며, 각각은 반가환하고, 무한대로 갈 수도 있다. 초공간은 여러 개의 가환 차원을 허용함으로써 초수를 약간 일반화한다.

이원수를 물리학에 도입하려는 동기는 파울리 배타 원리에서 비롯된다. ε 방향은 "페르미온" 방향이라고 하며, 실수 성분은 "보존" 방향이라고 한다. 페르미온 방향은 페르미온이 파울리 배타 원리를 따르기 때문에 이러한 이름을 얻었다. 좌표 교환 시 양자역학적 파동 함수는 부호를 바꾸며, 따라서 두 좌표가 함께 가져와지면 사라진다. 이 물리적 아이디어는 대수적 관계 ² = 0에 의해 포착된다.

==== 역학 ====

이원수는 역학, 특히 운동 합성에 적용된다. 예를 들어 이원수를 사용하면 회전 조인트만 포함하는 4절 구면 링크의 입력/출력 방정식을 4절 공간 메커니즘(회전, 회전, 회전, 원통형)으로 변환할 수 있다.^[2] 이중화된 각도는 각도로 구성된 기본 부분과 길이 단위를 갖는 이중 부분으로 구성된다.^[2] 스크류 이론에서 이중 각을 표현하는 데 사용된다.

==== 대수기하학 ====

현대 대수기하학에서, 체 ''k'' 위의 이중수(''k''[ε]/(ε²) 링을 의미)는 ''k''-scheme의 점에 대한 접선 벡터를 정의하는 데 사용될 수 있다.^[3] 체 ''k''는 고유하게 선택될 수 있으므로, scheme의 접선 벡터에 대해 간단히 말할 수 있다. 이를 통해 미분기하학의 개념을 대수기하학에 도입할 수 있다.

이중수 링은 "점의 1차 근방"에 대한 함수의 링으로 생각할 수 있다. 즉, ''k''-scheme Spec (''k''[ε]/(ε²))이다.^[3] 그러면, ''k''-scheme ''X''가 주어지면, scheme의 ''k''-점은 사상 Spec ''k'' → ''X''와 1대1 대응을 이루고, 접선 벡터는 사상 Spec (''k''[ε]/(ε²)) → ''X'' 와 1대1 대응을 이룬다.

위의 체 ''k''는 잉여류체가 되도록 고유하게 선택될 수 있다. 즉, scheme ''S''의 점 ''x''가 주어지면, stalk ''S''_''x''를 고려한다. ''S''_''x''는 고유한 극대 아이디얼을 갖는 국소환이며, 이를 m_''x''로 표시한다. 그런 다음 단순히 ''k'' = ''S''_''x'' / m_''x''로 둔다.

8. 1. 자동 미분

8. 2. 초대칭

8. 3. 역학

8. 4. 대수기하학

9. 일반화

가환환 R에 대해, R 위의 이중수는 다항식환 R[X]를 아이디얼 (X²)로 나눈 몫환으로 정의할 수 있다. X의 이미지는 제곱이 0이고 위의 원소 ε에 해당한다.

이 구성은 임의의 가환환 R과 모듈 M에 대해 R[M] = R ⊕ M 형태로 일반화될 수 있다. 곱셈은 r, r' ∈ R 및 i, i' ∈ I에 대해 (r, i) ⋅ (r', i') = (rr', ri' + r'i)로 정의된다.

이러한 환 및 그 일반화는 도분 및 Kähler 미분 (순수 대수적인 미분 형식)의 대수적 이론에서 중요한 역할을 한다.

임의의 환 R 위에서 이중수 a + bε가 단원을 가질 (즉, 곱셈적 가역원이다) 필요충분 조건은 실수부 a가 R에서의 단원이 되는 것이다.

참조

_[1] Wikibooks Abstract Algebra/2x2 real matrices
_[2] 간행물 The Application of Dual Algebra to Kinematic Analysis Springer Berlin Heidelberg 1998
_[3] 간행물 Schemes http://dx.doi.org/10[...] Springer Berlin Heidelberg 2013
_[4] 논문 Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie 1906
_[5] 서적 Opere 1912
_[6] 서적 A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis https://archive.org/[...] Springer 1979
_[7] 서적 A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis : An Elementary Account of Galilean Geometry and the Galilean Principle of Relativity https://link.springe[...] Springer