넓이

3. 단위

넓이는 길이의 제곱과 같은 단위를 가진다. SI 단위계의 기본 단위는 제곱미터(m²)이며, 이로부터 파생된 제곱센티미터(cm²), 제곱킬로미터(km²) 등이 있다.

• 1 제곱킬로미터 = 1,000,000 제곱미터
• 1 제곱미터 = 10,000 제곱센티미터 = 1,000,000 제곱 밀리미터
• 1 제곱센티미터 = 100 제곱 밀리미터

• 1 에이커 = 4046.8564224m²
• 1 제곱마일(mi²) = 640 에이커 = 2.5899881103km²
• 1 아르 = 100m²

3. 1. 한국의 전통 단위

3. 2. 기타 단위

• 아르(a): 100m²로, 국제단위계에서 함께 사용 가능한 단위이다.
• 헥타르(ha): 10000m²로, 주로 토지 면적을 나타내는 데 널리 사용된다.^[12]
• 에이커: 영미권에서 사용되는 단위로, 약 4046.8564224m²이다. 1에이커는 대략 1헥타르의 40%이다.
• 제곱피트(ft²), 제곱야드(yd²), 제곱마일(mi²) 등도 영미권에서 사용된다.
• 반(b): 100fm2로, 핵물리학에서 상호작용의 단면적을 설명하는 데 사용된다.^[12]

4. 공식

여러 가지 도형 및 입체의 넓이 공식

도형	공식	변수	그림
정사각형	$A=s^2$	$s$는 정사각형의 한 변
직사각형	$A=ab$	$a$와 $b$는 각각 직사각형의 가로와 세로
삼각형	$A=\backslash frac12bh$	$b$와 $h$는 각각 삼각형의 밑변과 높이
삼각형 (헤론의 공식)	$A=\backslash sqrt\{s(s-a)(s-b)(s-c)\}$	$s\; =\backslash tfrac\; 1\; 2\; (a+b+c)$
이등변삼각형	$A=\backslash frac\{c\}\{4\}\backslash sqrt\{4a^2-c^2\}$
정삼각형	$A=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}a^2$
마름모/연	$A=\backslash frac12de$
평행사변형	$A=ah\_a$
사다리꼴	$A=\backslash frac\{(a+c)h\}\{2\}$
정육각형	$A=\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash sqrt\{3\}a^2$
정팔각형	$A=2(1+\backslash sqrt\{2\})a^2$
정다각형 ($n$ 변)	$A=n\backslash frac\{ar\}\{2\}=\backslash frac\{pr\}\{2\}$
원	$A=\backslash pi\; r^2=\backslash frac\{\backslash pi\; d^2\}\{4\}$ ($d=2r:$ 지름)		100px
부채꼴	$A=\backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}r^2=\backslash frac\{L\; \backslash cdot\; r\}\{2\}$
타원	$A=\backslash pi\; ab$
적분	$A=\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash mathrm\{d\}x\; ,\backslash \; f(x)\backslash ge\; 0$
겉넓이
구	$A\; =\; 4\backslash pi\; r^2\; =\; \backslash pi\; d^2$
직육면체	$A\; =\; 2(ab+ac+bc)$
원기둥 (밑면과 윗면 포함)	$A\; =\; 2\; \backslash pi\; r\; (r\; +\; h)$
원뿔 (밑면 포함)	$A\; =\; \backslash pi\; r\; (r\; +\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\})$
토러스	$A\; =\; 4\backslash pi^2\; \backslash cdot\; R\; \backslash cdot\; r$
회전면 (x축을 중심으로 회전)	$A\; =\; 2\backslash pi\backslash int\_a^b\backslash !\; f(x)\backslash sqrt\{1+\backslash left[f\text{'}(x)\backslash right]^2\}\backslash mathrm\{d\}x$

위 표는 여러 가지 도형 및 입체의 넓이를 구하는 공식을 보여준다.

불규칙한 다각형의 넓이는 측량사 공식(신발끈 공식)을 사용하여 계산할 수 있다.^[27]

4. 1. 평면 도형

• 삼각형: $\backslash tfrac12Bh$ (여기서 ''B''는 어떤 변이든 가능하며, ''h''는 ''B''가 놓인 선에서 삼각형의 다른 꼭짓점까지의 거리이다).

4. 2. 입체 도형

4. 3. 일반적인 도형

불규칙한 모양의 도형이나 곡면의 넓이는 적분을 이용하여 계산할 수 있다. 적분법이 개발되면서 타원, 곡면의 겉넓이 등 복잡한 넓이를 계산하는데 사용되었다.

• 양의 값을 갖는 곡선과 수평축 사이의 면적은 수평축의 두 값 ''a''와 ''b'' (b는 두 값 중 더 큰 값으로 정의됨) 사이에서 측정되며, 곡선을 나타내는 함수의 ''a''에서 ''b''까지의 적분으로 주어진다.^[1]

• 두 함수의 그래프 사이의 면적은 한 함수 ''f''(''x'')의 적분에서 다른 함수 ''g''(''x'')의 적분을 뺄셈한 것과 동등하다.

• 극좌표로 표현된 함수 $r\; =\; r(\backslash theta)$에 의해 둘러싸인 면적은 다음과 같다.^[1]

• 끝점이 $\backslash vec\; u(t\_0)\; =\; \backslash vec\; u(t\_1)$인 매개변수 곡선 $\backslash vec\; u(t)\; =\; (x(t),\; y(t))$로 둘러싸인 면적은 선적분으로 주어진다.

5. 역사

기원전 5세기에 히포크라테스는 구적법인 히포크라테스의 월형을 통해 원의 넓이가 지름의 제곱에 비례한다는 것을 처음으로 증명했지만, 비례 상수를 밝히지는 못했다.^[17] 같은 시기 크니도스의 에우독소스 또한 원의 넓이가 반지름의 제곱에 비례한다는 것을 발견했다.^[18]

이후, 유클리드의 원론 제1권에서는 2차원 도형 간의 넓이의 동일성에 대해 다루었다. 아르키메데스는 유클리드 기하학의 도구를 사용하여 저서 ''원 측량''에서 원 내부의 넓이가 밑변의 길이가 원의 둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각 삼각형의 넓이와 같다는 것을 증명했다. 아르키메데스는 그의 이중 방법으로 π의 값을 근사했다.

6. 최적화

등주 부등식에 따르면, 길이 ''L''의 닫힌 곡선(둘레의 길이가 ''L'')과 그 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이 ''A''에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

:$4\backslash pi\; A\; \backslash le\; L^2,$

위 부등식에서 등호는 곡선이 원일 때만 성립한다. 따라서 원은 주어진 둘레를 가진 모든 닫힌 도형 중에서 가장 큰 넓이를 갖는다.^[29]

원의 경우, 넓이와 둘레(원의 둘레)의 비율은 반지름 ''r''의 절반과 같다. 이는 넓이 공식 ''πr''² 및 둘레 공식 2''πr''에서 확인할 수 있다.

주어진 와이어 윤곽을 따라 가장 작은 면적을 갖는 표면("채우는" 표면)은 극소 곡면이다. 비눗방울이 그 예시이다.

원은 동일한 둘레를 가진 모든 2차원 물체 중에서 가장 큰 면적을 갖는다.^[29]

원 내접 다각형(원 안에 내접하는 다각형)은 동일한 길이의 변을 가진 주어진 수의 변을 가진 모든 다각형 중에서 가장 큰 면적을 갖는다.

삼각형에 대한 등주 부등식에 따르면, 주어진 둘레를 가진 모든 삼각형 중에서 가장 큰 면적을 갖는 삼각형은 정삼각형이다.^[32]

주어진 원에 내접하는 모든 삼각형 중에서 가장 큰 면적을 갖는 삼각형은 정삼각형이고, 주어진 원을 외접하는 모든 삼각형 중에서 가장 작은 면적을 갖는 삼각형은 정삼각형이다.^[30]

7. 면적 이등분선

삼각형의 면적을 이등분하는 선은 무수히 많다. 그 중 셋은 삼각형의 중선(변의 중점과 반대쪽 꼭짓점을 연결)이며, 이는 삼각형의 무게중심에서 만난다. 이는 무게 중심을 통과하는 유일한 면적 이등분선이다.^[1] 삼각형의 면적과 둘레를 모두 반으로 나누는 선은 삼각형의 내심(내접원의 중심)을 통과하며, 주어진 삼각형에 대해 이러한 선은 하나, 둘 또는 세 개가 있다.^[1]

평행사변형의 중점을 통과하는 모든 선은 면적을 이등분한다.^[1]

원 또는 다른 타원의 모든 면적 이등분선은 중심을 통과하며, 중심을 통과하는 모든 현은 면적을 이등분한다. 원의 경우, 이는 원의 지름이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Area http://mathworld.wol[...] Wolfram MathWorld 2012-07-03
_[2] 웹사이트 Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960) http://www.bipm.org/[...] Bureau International des Poids et Mesures 2012-07-15
_[3] 서적 Computational Geometry Springer-Verlag
_[4] 서적 A History of the Calculus and Its Conceptual Development https://archive.org/[...] Dover
_[5] 웹사이트 Surface Area http://mathworld.wol[...] Wolfram MathWorld 2012-07-03
_[6] 웹사이트 Surface Area https://www.ck12.org[...] 2018-10-09
_[7] 서적 Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice-Hall
_[8] 서적 Real and Complex Analysis McGraw-Hill
_[9] 서적 Real Analysis: modern techniques and their applications John Wiley & Sons, Inc.
_[10] 서적 Calculus
_[11] 서적 Elementary Geometry from an Advanced Standpoint https://archive.org/[...] Addison-Wesley Pub. Co. 2012-07-15
_[12] 간행물 The International System of Units (SI) http://www.bipm.org/[...] 2008-02-13
_[13] 웹사이트 Land Measurement Units in India: Standard Measurement Units, Land Conversion Table https://www.magicbri[...] 2023-09-20
_[14] 웹사이트 Land is measured in what units in India: All Types In 2023 https://housing.com/[...] 2023-09-20
_[15] 웹사이트 Standard Land Measurement Units in India - Times Property https://timespropert[...] 2023-09-20
_[16] 웹사이트 9 Land Measurement Units in India You Must Know - 2022 https://www.clicbric[...] 2023-09-20
_[17] 서적 A Manual of Greek Mathematics https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[18] 서적 Single variable calculus early transcendentals. https://archive.org/[...] Brook/Cole
_[19] 웹사이트 Calculating The Area And Centroid Of A Polygon http://www.seas.upen[...] 2013-02-06
_[20] 웹사이트 Area Formulas http://www.math.com/[...] Math.com 2012-07-02
_[21] 간행물 Problem Solving Through Recreational Mathematics Dover
_[22] 간행물 Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach https://books.google[...] CRC Press
_[23] 논문 An elementary proof of Pick's theorem 2007-11
_[24] 서적 Matematika https://books.google[...] PT Grafindo Media Pratama
_[25] 서적 Get Success UN +SPMB Matematika https://books.google[...] PT Grafindo Media Pratama
_[26] 웹사이트 Cone http://mathworld.wol[...] Wolfram MathWorld 2012-07-06
_[27] 논문 The Surveyor's Area Formula http://www.maa.org/p[...] 2012-07-15
_[28] 서적 The fractal geometry of nature https://books.google[...] Macmillan 2012-02-01
_[29] 논문 Filling Riemannian manifolds http://projecteuclid[...]
_[30] 문서 100 Great Problems of Elementary Mathematics Dover Publ.
_[31] 논문 Triangles, ellipses, and cubic polynomials https://www.research[...] 2008-10
_[32] 문서 A Distorted View of Geometry. Mathematical Association of America
_[33] 문서 口頭では平米（へいべい）とも呼ぶ。ただし計量法では認められていない。
_[34] 문서 体積の単位とは別
_[35] 문서 넓이