지지집합

3. 성질

가장 흔하게 사용되는 정의는 위상 공간 $X$에서 실수 값을 갖는 연속 함수 $f\; :\; X\; \backslash to\; \backslash R$의 경우이다. 이때 함수 $f$의 '''지지집합''' $\backslash operatorname\{supp\}(f)$는 $f(x)\; \backslash ne\; 0$인 점 $x\; \backslash in\; X$들의 집합의 폐포로 정의된다.

:$\backslash operatorname\{supp\}(f)\; :=\; \backslash overline\{\backslash \{\; x\; \backslash in\; X\; \backslash mid\; f(x)\; \backslash ne\; 0\; \backslash \}\}$

폐포의 정의에 따라 지지집합은 항상 닫힌 집합이다.

위상 공간 $X$에서 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 닫힌 지지집합이 $X$의 콤팩트 부분 집합인 함수이다. $X$가 실수선 또는 $n$차원 유클리드 공간 $\backslash R^n$인 경우, 부분 집합이 콤팩트일 필요충분조건은 닫혀있고 유계인 것이므로, 함수가 유계 지지집합을 갖는 것과 같다.

예를 들어, 함수 $f\; :\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R$가 $f(x)\; =\; \backslash max(1\; -\; |x|,\; 0)$으로 정의될 때, 이 함수는 콤팩트 지지집합 $[-1,\; 1]$을 갖는 연속 함수이다. 만약 $f\; :\; \backslash R^n\; \backslash to\; \backslash R$이 매끄러운 함수라면, $f$는 열린 부분 집합 $\backslash R^n\; \backslash setminus\; \backslash operatorname\{supp\}(f)$에서 항등적으로 $0$이므로, 모든 차수의 $f$의 편미분 역시 $\backslash R^n\; \backslash setminus\; \backslash operatorname\{supp\}(f)$에서 항등적으로 $0$이다.

콤팩트 지지집합 조건은 함수가 무한대에서 사라지는 조건보다 더 강하다. 예를 들어, $f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$로 정의된 함수 $f\; :\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R$은 $|x|\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 $f(x)\; \backslash to\; 0$이므로 무한대에서 사라지지만, 지지집합 $\backslash R$은 콤팩트하지 않다.

유클리드 공간에서 실수 값을 갖는 콤팩트 지지집합 매끄러운 함수는 범프 함수(융기 함수)라고 불린다. 몰리파이어(완화자)는 분포 이론(초함수론)에서 매끄럽지 않은 (일반화된) 함수를 근사하는 매끄러운 함수의 수열을 컨볼루션(합성곱)을 통해 생성하는 데 사용되므로 범프 함수의 중요한 특수한 경우이다.

좋은 경우, 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 무한대에서 사라지는 함수 공간에서 조밀하게 존재한다. 극한의 언어로 표현하면, 모든 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해, 무한대에서 사라지는 실수선 $\backslash R$ 위의 함수 $f$는 적절한 $\backslash R$의 콤팩트 부분 집합 $C$를 선택하여 근사할 수 있다. 즉, 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해 다음을 만족하는 $C$가 존재한다.

:

여기서 $I\_C$는 $C$의 지시 함수이다.

콤팩트 위상 공간의 모든 연속 함수는 콤팩트 지지집합을 갖는다. 이는 콤팩트 공간의 모든 닫힌 부분 집합은 실제로 콤팩트하기 때문이다.

만약 $X$가 보렐 측도 $\backslash mu$를 갖는 위상 측도 공간 (예: $\backslash R^n$ 또는 르베그 측도를 갖춘 $\backslash R^n$의 르베그 가측 부분 집합)이라면, 일반적으로 $\backslash mu$ 거의 어디에서나 같은 함수를 동일시한다. 이 경우, 가측 함수 $f\; :\; X\; \backslash to\; \backslash R$의 본질적 지지집합 $\backslash operatorname\{ess\backslash ,supp\}(f)$는 $f\; =\; 0$이 $F$ 외부에서 $\backslash mu$ 거의 어디에서나 성립하도록 하는 $X$의 가장 작은 닫힌 부분 집합 $F$로 정의된다. 동등하게, $\backslash operatorname\{ess\backslash ,supp\}(f)$는 $f\; =\; 0$이 $\backslash mu$ 거의 어디에서나 성립하는 가장 큰 열린 집합의 여집합이다.^[5]

:$\backslash operatorname\{ess\backslash ,supp\}(f)\; :=\; X\; \backslash setminus\; \backslash bigcup\; \backslash left\backslash \{\backslash Omega\; \backslash subseteq\; X\; :\; \backslash Omega\backslash text\{\; is\; open\; and\; \}\; f\; =\; 0\backslash ,\; \backslash mu\backslash text\{-almost\; everywhere\; in\; \}\; \backslash Omega\; \backslash right\backslash \}.$

함수 $f$의 본질적 지지집합은 $f$뿐만 아니라 측도 $\backslash mu$에도 의존하며, 닫힌 지지집합보다 엄격하게 작을 수 있다. 예를 들어, $f\; :\; [0,\; 1]\; \backslash to\; \backslash R$이 무리수에서는 $0$, 유리수에서는 $1$인 디리클레 함수이고, $[0,\; 1]$이 르베그 측도를 갖는다면, $f$의 (닫힌) 지지집합은 전체 구간 $[0,\; 1]$이지만, $f$가 0 함수와 거의 어디에서나 같으므로 $f$의 본질적 지지집합은 공집합이다.

해석학에서는 두 집합이 다를 때 닫힌 지지집합 대신 함수의 본질적 지지집합을 사용하는 경우가 거의 항상 있으므로, $\backslash operatorname\{ess\backslash ,supp\}(f)$는 종종 간단히 $\backslash operatorname\{supp\}(f)$로 표기하며 지지집합이라고 부르기도 한다.^[4][6]

집합 $X$를 정의역으로 하는 함수 $f$가 유한 지지집합을 가진다는 것은, $\backslash operatorname\{supp\}(f)$가 유한 집합이 되는 것, 즉 유한 개의 예외를 제외한 모든 $x\; \backslash in\; X$에 대해 $f(x)\; =\; 0$을 만족하는 것을 말한다. 예를 들어, 자연수 집합 $\backslash mathbf\{N\}$에서 정수 집합 $\backslash mathbf\{Z\}$로의 함수 중 유한 지지집합을 갖는 함수들은 0이 아닌 항이 유한 개뿐인 수열(실질적인 유한 수열)에 해당하며, 이는 가산 집합을 이룬다.

슈바르츠 분포(초함수)에도 지지집합 개념을 적용할 수 있다. 분포 $f$와 유클리드 공간의 열린 집합 $U$에 대해, 지지집합이 $U$에 포함되는 임의의 시험 함수 $\backslash phi$에 대해 $f(\backslash phi)\; =\; 0$이 만족될 때, 분포 $f$는 $U$ 위에서 사라진다고 한다. 분포 $f$의 지지집합 $\backslash operatorname\{supp\}(f)$는 $f$가 사라지는 가장 큰 열린 집합의 여집합으로 정의할 수 있다. 예를 들어, 디랙 델타 함수 $\backslash delta(x)$의 지지집합은 한 점 집합 $\backslash \{0\backslash \}$이다. 실수 직선 상의 측도(확률 측도 포함)는 슈바르츠 분포의 특별한 경우이므로, 측도의 지지집합도 같은 방식으로 정의할 수 있다.

4. 예시

• 실수선 $\backslash R$에서 정의된 함수 $f\; :\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R$를 다음과 같이 정의하자.

• 실수선 $\backslash R$에서 정의된 함수 $g\; :\; \backslash R\; \backslash to\; \backslash R$를 다음과 같이 정의하자.

• 디리클레 함수 $f\; :\; [0,\; 1]\; \backslash to\; \backslash R$는 유리수에서는 1, 무리수에서는 0의 값을 갖는 함수이다. 이 함수의 (닫힌) 지지집합은 함수값이 0이 아닌 점들의 집합(여기서는 유리수 집합 $\backslash mathbb\{Q\}\; \backslash cap\; [0,\; 1]$)의 폐포이므로, 전체 구간 $[0,\; 1]$이 된다. 하지만 르베그 측도를 부여하면, 유리수 집합은 측도가 0이므로 함수 $f$는 거의 모든 점에서 0이다. 따라서 $f$의 '''본질적 지지집합''' $\backslash operatorname\{ess\backslash ,supp\}(f)$는 공집합 $\backslash emptyset$이다.^[5]

• 유클리드 공간 $\backslash R^n$에서 정의된, 콤팩트 지지집합을 갖는 매끄러운 함수를 '''융기 함수'''(bump function)라고 부른다. 융기 함수는 해석학의 여러 분야, 특히 분포 이론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어 몰리파이어는 융기 함수의 중요한 예시이다.

• 어떤 집합 $C$의 '''지시 함수''' $I\_C$는 $x\; \backslash in\; C$이면 $I\_C(x)\; =\; 1$, $x\; \backslash notin\; C$이면 $I\_C(x)\; =\; 0$인 함수이다. 지시 함수 $I\_C$의 지지집합은 일반적으로 집합 $C$의 폐포 $\backslash overline\{C\}$이다. 만약 $C$가 닫힌 집합이라면, 지지집합은 $C$ 자체가 된다.

• 자연수의 집합 $\backslash mathbb\{N\}$에서 정수의 집합 $\backslash mathbb\{Z\}$로 가는 함수, 즉 정수열 $(a\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$을 생각할 수 있다. 이때 '''유한 지지집합'''을 갖는 수열은 0이 아닌 항이 유한 개인 수열을 의미한다. 예를 들어, $(1,\; 2,\; 3,\; 0,\; 0,\; 0,\; \backslash dots)$은 유한 지지집합 $\backslash \{1,\; 2,\; 3\backslash \}$을 갖는 수열이다.

• 분포(distribution) 또는 초함수(generalized function)에 대해서도 지지집합을 정의할 수 있다. 예를 들어, 디랙 델타 함수 $\backslash delta$는 $x=0$을 제외한 모든 점에서 0으로 간주될 수 있으므로, 그 지지집합은 한 점 집합 $\backslash \{0\backslash \}$이다. 즉, $\backslash operatorname\{supp\}(\backslash delta)\; =\; \backslash \{0\backslash \}$이다.

5. 응용

지지집합 개념은 다양한 수학 및 관련 분야에서 활용된다.

• '''몰리파이어''': 유클리드 공간에서 정의된, 콤팩트 지지집합을 갖는 매끄러운 실수값 함수를 '''범프 함수'''(융기 함수)라고 한다. 몰리파이어는 이러한 범프 함수의 중요한 예시로, 분포 이론에서 매끄럽지 않은 함수(일반화된 함수 또는 초함수)를 컨볼루션을 통해 매끄러운 함수열로 근사하는 데 사용된다.

• '''확률론''': 확률론에서 확률 분포의 지지집합은 해당 분포를 따르는 확률 변수가 가질 수 있는 값들의 집합의 폐포로 이해할 수 있다. 형식적으로 확률 변수 $X$의 지지집합은 $P\backslash left(X\; \backslash in\; R\_X\backslash right)\; =\; 1$을 만족하는 가장 작은 닫힌 집합 $R\_X\; \backslash subseteq\; \backslash R$이다. 실제 적용에서는 이산 확률 변수의 경우 $P(X\; =\; x)\; >\; 0$인 $x$ 값들의 집합 $R\_X\; =\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash R\; :\; P(X\; =\; x)\; >\; 0\; \backslash \}$으로, 연속 확률 변수의 경우 확률 밀도 함수 $f\_X(x)$가 0보다 큰 값들의 집합 $R\_X\; =\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash R\; :\; f\_X(x)\; >\; 0\; \backslash \}$으로 정의하기도 한다.^[8] 또한, 확률 밀도 함수의 가능도의 로그를 지칭하는 데 '지지 집합'이라는 용어가 사용되기도 한다.^[9]

• '''분포(초함수) 이론''': 디랙 델타 함수 $\backslash delta(x)$와 같은 분포(초함수)에 대해서도 지지집합을 정의할 수 있다. 분포 $f$의 지지집합은 $f$가 사라지는(즉, 해당 영역에 지지집합을 갖는 모든 시험 함수 $\backslash phi$에 대해 $f(\backslash phi)=0$이 되는) 가장 큰 열린 집합의 여집합이다. 예를 들어, 디랙 델타 함수 $\backslash delta(x)$의 지지집합은 $\backslash \{0\backslash \}$이다. 실수선 상의 측도(확률 측도 포함)는 분포의 특별한 경우이므로, 같은 방식으로 측도의 지지집합도 정의할 수 있다.

• '''푸리에 해석 및 편미분 방정식''': 푸리에 해석에서는 분포의 '''특이 지지'''(singular support)를 연구하는 것이 중요하다. 이는 분포가 매끄러운 함수가 아닌 점들의 집합으로 직관적으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 헤비사이드 계단 함수의 푸리에 변환은 $x=0$을 제외하면 $1/x$에 비례하는데, 이 변환된 분포의 특이 지지는 $\backslash \{0\backslash \}$이다. 다변수 분포의 경우, 특이 지지 개념은 '''파면 집합'''(wave front set)을 정의하고 파동 방정식과 관련된 호이겐스 원리를 해석학적으로 이해하는 데 사용된다. 또한, 분포끼리의 곱셈 가능 조건(예: 각 분포의 특이 지지가 서로소여야 함)과 같은 분포 이론의 고유한 현상을 이해하는 데에도 활용된다.

6. 한국 수학계의 연구 동향

지지집합 개념, 특히 콤팩트 지지집합은 현대 수학의 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 어떤 함수가 콤팩트 지지집합을 갖는다는 것은 그 함수의 지지집합(support)이 위상 공간 ''X''의 콤팩트 부분 집합이라는 의미이다.^[1][2] 실수선(R)이나 유클리드 공간 Rⁿ과 같이 익숙한 공간에서는, 부분 집합이 콤팩트하다는 것이 닫혀 있고 유계라는 것과 동일하므로, 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 유계 지지집합을 갖는 함수와 같다.^[1] 예를 들어, 함수 $f(x)\; =\; \backslash max(0,\; 1\; -\; |x|)$는 닫힌 구간 [-1, 1]을 콤팩트 지지집합으로 갖는 연속 함수이다.^[1]

콤팩트 지지집합 조건은 함수가 무한대에서 사라지는 조건보다 더 강력하다. 예를 들어, 함수 $f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$는 $|x|\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 $f(x)\; \backslash to\; 0$이므로 무한대에서 사라지지만, 그 지지집합은 실수 전체 R이므로 콤팩트하지 않다.^[1]

콤팩트 지지집합을 갖는 매끄러운 함수(미분 가능한 함수)는 특별히 '''융기 함수'''라고 불리며, 해석학에서 중요한 역할을 한다.^[1][2] 특히 몰리파이어(완화자)는 융기 함수의 한 예시로, 분포 이론(초함수론)에서 매끄럽지 않은 함수나 일반화된 함수(초함수)를 합성곱을 통해 매끄러운 함수열로 근사하는 데 사용된다.^[1][2]

이러한 콤팩트 지지집합의 개념은 한국 수학계의 여러 연구 분야에서도 기초적인 도구로 활용될 수 있다.

• 위상수학: 일반적인 위상 공간에서의 집합의 성질을 다루므로, 다양한 공간에서 정의된 함수의 지지집합과 그 콤팩트성 연구는 기본적인 주제이다. 콤팩트 공간 위에서는 모든 연속 함수가 콤팩트 지지집합을 갖는다는 성질 등이 연구될 수 있다.^[1][2]
• 해석학: 함수 공간의 성질을 연구하는 해석학에서 콤팩트 지지집합을 갖는 함수들의 공간은 중요한 대상이다. 예를 들어, 양호한 조건 하에서 콤팩트 지지집합을 갖는 함수들은 무한대에서 사라지는 함수들의 공간에서 조밀하다는 성질은 함수 근사 이론의 기초가 된다.^[1][2] 이는 임의의 함수를 다루기 좋은 콤팩트 지지집합 함수로 근사할 수 있음을 의미하며(을 만족하는 콤팩트 집합 ''C'' 상의 지시 함수 ''I_C''를 이용), 다양한 함수 공간의 구조를 이해하는 데 도움을 준다.
• 편미분방정식론: 완화자를 이용한 근사 방법은 편미분방정식의 해의 존재성이나 정칙성을 연구하는 데 활용될 수 있다. 매끄럽지 않은 해를 매끄러운 함수로 근사하여 분석하는 기법에서 콤팩트 지지집합 개념이 중요하게 사용된다.^[1][2]

참조

_[1] 서적 Real Analysis, 2nd ed. John Wiley
_[2] 서적 Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed. Springer-Verlag
_[3] 서적 PDE and Martingale Methods in Option Pricing Springer-Verlag
_[4] 서적 Real and Complex Analysis, 3rd ed. McGraw-Hill
_[5] 서적 Analysis American Mathematical Society
_[6] 문서 Essential supremum and essential infimum
_[7] 서적 Computational homology Springer 2004
_[8] 웹사이트 Support of a random variable https://www.statlect[...] 2017-11-29
_[9] 서적 Likelihood https://books.google[...] Johns Hopkins University Press