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표현 가능 함자

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목차

1. 개요

표현 가능 함자는 국소적으로 작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자이며, 함자 F가 표현 가능하려면 적어도 하나의 표현이 존재해야 한다. 표현 가능 함자는 보편 원소와 일대일 대응하며, 표현은 자연 동형인 쌍(A, Φ)로 정의된다. 반변 함자 G도 표현 가능하며, 이는 프리층으로 불린다. 표현 가능 함자는 자연스럽게 hom 함자와 동형이므로, 모든 극한을 보존하며, 왼쪽 수반을 가질 경우 표현 가능하다. 또한 주어진 함자의 표현은 모두 서로 동형이며, 보편 사상과 수반 함자의 개념을 표현하는 데 사용될 수 있다.

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표현 가능 함자

2. 정의

국소적으로 작은 범주 \mathcal C에서 집합의 범주 \mathbf{Set}으로 가는 함자 F: \mathcal C \to \mathbf{Set}가 주어졌을 때, 이 함자 F가 '''표현 가능'''하다는 것은 \mathcal C의 어떤 대상 X가 존재하여 F가 hom 펀터 \hom(X, -)와 자연 동형이라는 의미이다. 여기서 \hom(X, -)는 각 대상 Y \in \mathcal C를 사상 집합 \hom(X, Y)로 보내는 함자이다.

함자 F의 '''표현'''은 순서쌍 (X, \Phi)로 주어진다.


  • X는 \mathcal C의 대상이다.
  • \Phi: \hom(X, -) \implies F는 자연 동형이다.


이와 밀접하게 관련된 개념으로 '''보편 원소'''가 있다. 함자 F의 '''보편 원소'''는 순서쌍 (X, u)로 주어진다.

  • X는 \mathcal C의 대상이다.
  • u \in F(X)는 F(X)의 원소이다.
  • 이 쌍 (X, u)는 다음의 보편 성질을 만족한다: 임의의 대상 Y \in \mathcal C와 임의의 원소 v \in F(Y)에 대해, (Ff)(u) = v를 만족하는 유일한 사상 f: X \to Y가 존재한다.


함자 F의 표현과 보편 원소는 서로 일대일 대응 관계에 있으며, 이 관계는 요네다의 보조정리와 밀접한 관련이 있다.

반변 펀터 G: \mathcal C^{\text{op}} \to \mathbf{Set} (즉, \mathcal C에서 \mathbf{Set}으로 가는 반변 함자, 종종 프리층이라고도 불림)의 경우에도 유사하게 표현 가능성을 정의할 수 있다. 이 경우, G가 표현 가능하다는 것은 어떤 대상 A \in \mathcal C에 대해 G가 반변 hom-펀터 \hom(-, A)와 자연 동형이라는 의미이다.

2. 1. 표현

국소적으로 작은 범주 \mathcal C에서 집합의 범주 '''Set'''로 가는 함자 F: \mathcal C \to \mathbf{Set}의 '''표현''' (X,\Phi)는 다음과 같은 데이터로 구성된 순서쌍이다.

  • X는 \mathcal C의 대상이다.
  • \Phi\colon\hom(X,-)\implies F는 자연 동형이다. 여기서 \hom(X,-)는 X에서 나가는 사상들의 집합을 값으로 가지는 hom 펀터를 나타낸다. 즉, 각 대상 Y \in \mathcal C에 대해 집합 \hom(X,Y)를 대응시키는 함자이다.


만약 함자 F에 대해 적어도 하나의 표현 (X, \Phi)가 존재한다면, 그 함자 F를 '''표현 가능 함자'''라고 부른다. 즉, 어떤 '''C'''의 대상 X가 존재하여 함자 F가 hom-함자 \hom(X,-)와 자연적으로 동형일 때, F는 표현 가능하다고 한다. F의 '''표현'''은 자연 동형 \Phi : \hom(X,-) \implies F인 쌍 (X, \Phi)이다.

표현의 개념은 '''보편 원소'''라는 개념과 밀접하게 연관되어 있다. 함자 F의 '''보편 원소''' (X,u)는 다음 조건을 만족하는 순서쌍이다.

  • X는 \mathcal C의 대상이다.
  • u \in F(X)는 F(X)의 원소이다.
  • 이 쌍 (X,u)는 다음의 보편 성질을 만족시킨다: 임의의 대상 Y \in \mathcal C와 임의의 원소 v \in F(Y)에 대해, Ff(u) = v를 만족하는 유일한 사상 f\colon X\to Y가 존재한다.


함자 F의 표현 (X,\Phi)들과 보편 원소 (X,u)들 사이에는 자연스러운 일대일 대응 관계가 성립한다.

  • 표현 (X,\Phi)가 주어졌을 때, 이에 대응하는 보편 원소는 (X, u)로 정의되며, 여기서 u = \Phi_X(\operatorname{id}_X)이다. (\operatorname{id}_X는 대상 X의 항등 사상을 의미한다.)
  • 반대로, 보편 원소 (X,u)가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표현은 (X, \Phi)로 정의된다. 여기서 자연 동형 \Phi는 각 대상 Y \in \mathcal C와 사상 f \in \hom(X,Y)에 대해 \Phi_Y(f) = (Ff)(u)로 주어진다.


반변 펀터 G: \mathcal C^{\text{op}} \to \mathbf{Set} (즉, \mathcal C에서 '''Set'''로 가는 반변 함자)의 경우에도 유사하게 표현 가능성을 정의할 수 있다. 이러한 종류의 반변 함자는 종종 프리층이라고도 불린다. 프리층은 어떤 '''C'''의 대상 A에 대해 반변 hom-펀터 \hom(-, A)와 자연 동형일 때 표현 가능하다. 여기서 \hom(-, A)는 각 대상 Y \in \mathcal C를 집합 \hom(Y, A)에 대응시키는 반변 함자이다.

2. 2. 보편 원소

국소적으로 작은 범주 \mathcal C에서 집합의 범주 \mathbf{Set}로 가는 함자 F의 '''보편 원소''' (X, u)는 다음과 같은 순서쌍이다.

  • X \in \mathcal C는 \mathcal C의 대상이다.
  • u \in F(X)는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
  • * 임의의 대상 Y \in \mathcal C 및 원소 v \in F(Y)에 대하여, (Ff)(u) = v를 만족하는 유일한 사상 f \colon X \to Y가 존재한다.


함자의 표현과 보편 원소는 일대일 대응 관계에 있다. 표현 (X, \Phi)이 주어졌을 때, 이에 대응하는 보편 원소 (X, u)는 다음과 같이 정의된다.

:u = \Phi_X(\mathrm{id}_X)

여기서 \mathrm{id}_X는 대상 X의 항등 사상이다.

반대로, 보편 원소 (X, u)가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표현 (X, \Phi)는 다음과 같이 정의된다.

:\Phi_Y(f) = (Ff)(u) \qquad \forall f \in \hom(X, Y)

여기서 \hom(X, Y)는 X에서 Y로 가는 사상들의 집합이다.

요네다의 보조정리에 따르면, hom 함자 \hom(A, -)에서 함자 F로 가는 자연 변환 \Phi는 F(A)의 원소 u와 일대일 대응하며, 이 관계는 u = \Phi_A(\mathrm{id}_A)로 주어진다. 원소 u \in F(A)에 의해 유도된 자연 변환 \Phi가 자연 동형이 되는 것은, 정확히 순서쌍 (A, u)가 함자 F의 보편 원소일 때이다. 이러한 이유로 함자 F의 표현과 보편 원소는 사실상 동일한 개념으로 취급되며, 보편 원소 (A, u) 자체를 F의 표현이라고 부르기도 한다.

보편 원소는 다른 방식으로도 이해할 수 있다. 이는 하나의 원소만을 가진 집합 {•}에서 함자 F로 가는 보편 사상으로 해석될 수 있으며, 또는 함자 F의 원소 범주(category of elements)에서 시작 대상으로 간주될 수도 있다.

2. 3. 표현과 보편 원소의 관계

국소적으로 작은 범주 \mathcal C에서 집합의 범주 '''Set'''으로 가는 함자 F의 표현 (X, \Phi)는 \mathcal C의 대상 X와 hom 펀터 \hom(X, -)에서 F로 가는 자연 동형 \Phi의 순서쌍이다. 반면, 함자 F의 보편 원소 (A, u)는 \mathcal C의 대상 A와 원소 u \in F(A)의 순서쌍으로, 임의의 대상 Y와 원소 v \in F(Y)에 대해 (Ff)(u) = v를 만족하는 유일한 사상 f: A \to Y가 존재하는 성질을 만족한다.

함자의 표현과 보편 원소 사이에는 자연스러운 일대일 대응 관계가 존재한다. 이 관계는 요네다의 보조정리를 통해 이해할 수 있다. 요네다 보조정리에 따르면, \hom(A, -)에서 F로 가는 자연 변환 \Phi는 F(A)의 원소 u와 일대일로 대응된다.

1. 표현 (A, \Phi)에서 보편 원소 (A, u)로: 표현, 즉 자연 동형 \Phi: \hom(A, -) \implies F가 주어지면, 이에 대응하는 보편 원소의 두 번째 성분 u \in F(A)는 다음과 같이 정의된다.

:u = \Phi_A(\mathrm{id}_A)

여기서 \mathrm{id}_A는 A에서의 항등 사상이다. 이렇게 얻어진 순서쌍 (A, u)는 F의 보편 원소가 된다.

2. 보편 원소 (A, u)에서 표현 (A, \Phi)로: 보편 원소 (A, u)가 주어지면, 이에 대응하는 자연 동형 \Phi: \hom(A, -) \implies F는 각 대상 X와 사상 f \in \hom(A, X)에 대해 다음과 같이 정의된다.

:\Phi_X(f) = (Ff)(u)

이렇게 정의된 \Phi는 자연 동형이며, 순서쌍 (A, \Phi)는 F의 표현이 된다.

결론적으로, 원소 u \in F(A)에 의해 \Phi_X(f) = (Ff)(u)와 같이 유도된 자연 변환 \Phi가 동형 사상이 되는 필요충분조건은 (A, u)가 F의 보편 원소라는 것이다. 따라서 함자 F의 표현과 보편 원소는 본질적으로 같은 개념을 다른 방식으로 나타낸 것이며, 서로 간에 명확한 일대일 대응 관계를 가진다. 이러한 이유로 종종 보편 원소 (A, u) 자체를 함자 F의 표현이라고 부르기도 한다.

보편 원소는 다른 관점에서 볼 수도 있는데, 이는 한 점 집합 \{ \bullet \}에서 함자 F로 가는 보편 사상으로 이해하거나, F의 원소 범주에서 시작 대상으로 볼 수도 있다.

3. 성질

표현 가능 함자는 범주론에서 여러 중요한 성질을 가진다. 이러한 성질들은 표현 가능 함자를 이해하고 활용하는 데 핵심적인 역할을 한다.

주요 성질 중 하나는 표현의 유일성이다. 어떤 함자를 표현하는 대상과 자연 동형은 만약 존재한다면, 동형 사상을 제외하고는 본질적으로 유일하다. 이는 요네다의 보조정리를 통해 증명될 수 있으며, 표현 가능 함자의 표현이 얼마나 잘 정의되는지를 보여준다.

또한, 표현 가능 함자는 극한 보존 성질을 가진다. Hom 함자와 자연 동형이기 때문에, (공변) 표현 가능 함자는 범주론의 중요한 연산인 극한을 보존한다. 이는 극한을 보존하지 않는 함자는 표현 가능하지 않다는 것을 의미하기도 한다. 반대로, 반변 표현 가능 함자는 쌍대극한을 극한으로 변환하는 성질을 가진다.

마지막으로, 표현 가능 함자는 수반 함자와의 깊은 관계를 맺고 있다. 특정 조건, 예를 들어 범주가 모든 작은 공력을 가지는 경우, 함자가 표현 가능하다는 것은 그 함자가 왼쪽 수반 함자를 가지는 것과 동치인 조건이다. 이는 표현 가능성과 수반 함자라는 두 중요한 개념 사이의 강력한 연결고리를 보여준다.

이러한 성질들에 대한 더 자세한 내용은 아래 하위 섹션들에서 다룬다.

3. 1. 유일성

주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 동형이다. 즉, F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}의 두 개의 표현 (X_1,\Phi_1), (X_2,\Phi_2)에 대하여,

:\Phi_1^{-1}\circ\Phi_2=\hom(\phi,-)

인 유일한 사상 \phi\in\hom(X_1,X_2)가 존재한다.

다시 말해, 함자의 표현은 고유한 동형 사상까지 고유하다. 만약 (A_1, \Phi_1)과 (A_2, \Phi_2)가 동일한 함자 F를 표현한다면, 자연 동형 \Phi_1^{-1}\circ\Phi_2는 \mathrm{Hom}(A_2,-)에서 \mathrm{Hom}(A_1,-)로 가는 사상이며, 이는 다음과 같은 형태를 가진다.

:\Phi_1^{-1}\circ\Phi_2 = \mathrm{Hom}(\varphi,-)

여기서 \varphi : A_1 \to A_2는 유일하게 존재하는 동형 사상이다. 이 사실은 요네다의 보조정리로부터 쉽게 유도될 수 있다.

이를 보편 원소의 관점에서 설명하면 다음과 같다. 만약 (A_1, u_1)과 (A_2, u_2)가 동일한 함자 F를 표현하는 두 개의 보편 원소 쌍이라면, 다음 조건을 만족하는 유일한 동형 사상 \varphi : A_1 \to A_2가 존재한다.

:(F\varphi)u_1 = u_2.

3. 2. 극한 보존

표현 가능 함자는 자연스럽게 Hom 함자와 동형이므로 그 속성을 공유한다. 특히 (공변) 표현 가능 함자는 모든 극한을 보존한다. 따라서 어떤 극한을 보존하지 못하는 함자는 표현 가능하지 않다.

반변 표현 가능 함자는 쌍대극한을 극한으로 변환한다.

3. 3. 수반 함자와의 관계

함자 ''K'' : ''C'' → '''Set'''가 왼쪽 수반 함자 ''F'' : '''Set''' → ''C''를 가지면, ''K''는 쌍 (''FX'', η''X''(•))로 표현 가능하다. 여기서 ''X'' = {•}는 단일 집합이고 η는 수반의 단위 변환이다.

반대로, 함자 ''K''가 쌍 (''A'', ''u'')로 표현 가능하고, 범주 ''C''가 대상 ''A''의 모든 작은 공력을 가진다고 가정하자. 그러면 ''K''는 왼쪽 수반 함자 ''F''를 가진다. 이 왼쪽 수반 함자 ''F''는 각 집합 ''I''를 ''A''의 ''I''번째 공력 대상으로 보내는 함자이다.

따라서, 범주 ''C''가 모든 작은 공력을 가지는 경우, 함자 ''K'' : ''C'' → '''Set'''가 표현 가능하다는 것과 왼쪽 수반 함자를 가진다는 것은 서로 동치인 조건이다.

4. 예시

표현 가능 함자의 개념은 다양한 수학 분야에서 나타난다. 주요 예시는 다음과 같다.


  • '''멱집합 함자''': Set에서 자기 자신으로 가는 반변 함자로, 각 집합을 그 멱집합으로 보내고 함수를 역상 함수로 보낸다. 이 함자는 집합 A = \{0, 1\}와 그 부분집합 u = \{1\}의 쌍 (A, u)으로 표현되며, 이는 부분 대상 분류자의 예시이다.
  • '''대수 구조 다양체의 망각 함자''': 군, 환, 벡터 공간 등 대수 구조의 범주 \mathcal V에서 Set으로 가는 망각 함자는 해당 구조의 자유 대상으로 표현되는 경우가 많다. 예를 들어, 군의 범주 '''Grp'''에서 '''Set'''으로 가는 망각 함자는 (정수의 덧셈군 \mathbb{Z}, 1)로 표현되고, 환의 범주 '''Ring'''에서 '''Set'''으로 가는 망각 함자는 다항식 환 \mathbb{Z}[x]와 그 변수 x의 쌍 (\mathbb{Z}[x], x)로 표현된다.
  • '''위상 공간의 망각 함자''': 위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서 Set으로 가는 망각 함자는 한원소 공간 \{\bullet\}과 그 유일한 원소 \bullet의 쌍 (\{\bullet\},\bullet)으로 표현된다.
  • '''점을 가진 공간의 호모토피 함자''': 점을 가진 공간의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합의 반대 범주로 가는 특정 함자들은 브라운 표현 정리에 따라 표현 가능하다. 예를 들어, ''n''차 코호몰로지 군 함자 H^n은 아일렌베르크-맥레인 공간 K(\mathbf{Z}, n)으로 표현된다.
  • '''스키마로 표현되는 함자''': 대수기하학에서 특정 기하학적 대상들의 모임을 나타내는 함자는 스키마로 표현될 수 있다. 예를 들어, 주어진 스키마 ''X'' 위의 특정 랭크의 벡터 다발을 분류하는 함자는 그라스만 다양체로 표현되고, 부분 스키마들을 분류하는 함자는 힐베르트 스키마로 표현된다.
  • '''군 G에서 Set으로 가는 함자''': 군 ''G''를 하나의 대상만 갖는 범주로 볼 때, ''G''에서 '''Set'''으로 가는 함자는 G-집합에 해당한다. 이러한 함자가 표현 가능할 필요충분조건은 해당 G-집합이 추이적(G-torsor 또는 heap)인 것이다.
  • '''텐서곱 함자''': 가환환 ''R'' 위의 가군 ''M'', ''N''이 주어졌을 때, 각 ''R''-가군 ''P''에 대해 ''R''-쌍선형 사상 ''M'' × ''N'' → ''P''의 집합을 대응시키는 함자는 텐서곱 ''M'' ⊗R ''N''으로 표현된다.
  • '''리스 표현 정리''': 힐베르트 공간 ''H'' 위의 연속 선형 범함수 ''F''는 ''H'' 안의 어떤 고유한 원소 a와의 내적 F(v) = \langle a,v\rangle 형태로 표현될 수 있다. 이는 함수해석학에서 중요한 표현 가능성의 예시이다. 그러나 분포와 같은 일반화된 함수는 항상 이러한 형태로 표현되지 않는, 즉 표현 불가능한 범함수의 예가 될 수 있다.


이처럼 어떤 대상 ''A''는 그 자체의 내부 구조뿐만 아니라, 다른 대상들과의 관계(사상)를 통해, 즉 점 함자를 통해 특징지어질 수 있다. 표현 불가능한 함자는 스택과 같은 더 복잡한 수학적 대상으로 설명되기도 한다.

4. 1. 멱집합 함자

집합의 범주 '''Set'''에서 자기 자신으로 가는 반변 함자 \mathcal P: '''Set'''op → '''Set'''를 생각해 보자. 이 함자는 각 집합 X를 그 멱집합 \mathcal P(X)로 보내고, 각 함수 f: X \to Y를 그 역상 함수 f^{-1}: \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)로 보낸다. 여기서 f^{-1}(S)는 X의 원소 x 중 f(x)가 S에 속하는 것들의 집합이다. (즉, f^{-1}(S) = \{x \in X \mid f(x) \in S\}).

이 멱집합 함자 \mathcal P는 표현 가능하다. 즉, 어떤 집합 A와 A의 특정 원소 u \in \mathcal P(A) (즉, A의 부분집합 u \subseteq A)가 존재하여, 모든 집합 X에 대해 자연 동형 \Phi_X: Hom(X, A) ≅ \mathcal P(X)가 존재한다. 이 동형은 함수 f: X \to A를 \mathcal P(f)(u) = f^{-1}(u)로 보낸다.

구체적으로, 집합 A = \{0, 1\}와 그 부분집합 u = \{1\}을 선택하면 이 함자를 표현할 수 있다. 즉, (\Omega, \top) = (\{0, 1\}, \{1\})은 멱집합 함자의 표현 (Hom(-, \Omega) ≅ \mathcal P(-))을 제공하며, 이를 부분 대상 분류자라고 부른다.

임의의 집합 X와 그 부분집합 S \subseteq X가 주어졌을 때, S에 해당하는 Hom(X, {0, 1})의 원소는 바로 S의 지시 함수 \chi_S: X \to \{0, 1\}이다. 이 함수는 x \in S이면 \chi_S(x) = 1, x \notin S이면 \chi_S(x) = 0으로 정의된다. 그러면 \chi_S^{-1}(\{1\}) = S가 성립하여, 함수 \chi_S와 부분집합 S 사이에 일대일 대응 관계가 있음을 확인할 수 있다.

4. 2. 대수 구조 다양체

대수 구조 다양체의 범주 \mathcal V가 주어졌을 때, 이 범주에서 집합의 범주 \operatorname{Set}로 가는 망각 함자 F\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}가 항상 존재한다. 또한, 이 망각 함자는 수반 함자 관계에 있는 자유 함자 G\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V를 가진다.

이러한 대수 구조 다양체의 망각 함자 F는 표현 가능 함자이다. 이 함자를 표현하는 보편 원소는 쌍 (G(\{\bullet\}),\bullet)으로 주어진다. 여기서 \{\bullet\}은 원소가 하나인 임의의 집합을 나타내며, G(\{\bullet\})은 이 한원소 집합으로부터 생성된 자유 대상 (해당 대수 구조 다양체 내에서의 자유 대수 구조)이다. 즉, 망각 함자는 크기가 1인 집합에 대응하는 자유 대수 구조와 그 생성원에 의해 표현된다.

일반적으로, '''Set'''으로 가는 망각 함자는 표현 가능한 경우가 많다. 특히, 어떤 대상 ''A''가 생성원 ''u''를 갖는 자유 대상일 때, 망각 함자는 쌍 (''A'', ''u'')로 표현된다. 구체적인 예시는 다음과 같다.

  • 군의 범주 '''Grp'''에서 '''Set'''으로 가는 망각 함자는 (정수의 덧셈군 \mathbb{Z}, 1) 즉, (\mathbb{Z}, 1)로 표현된다.
  • 환의 범주 '''Ring'''에서 '''Set'''으로 가는 망각 함자는 정수 계수를 갖는 하나의 변수에 대한 다항식 환 \mathbb{Z}[x]와 그 변수 ''x'' 즉, (\mathbb{Z}[x], x)로 표현된다.
  • 실수 벡터 공간의 범주 '''Vect'''\mathbb{R}에서 '''Set'''으로 가는 망각 함자는 (실수 필드 \mathbb{R}, 1) 즉, (\mathbb{R}, 1)로 표현된다.

4. 3. 위상 공간

위상 공간의 범주 \operatorname{Top}에서 Set으로 가는 망각 함자 F: \operatorname{Top} \to \operatorname{Set}는 표현 가능하다. 이 망각 함자는 임의의 한원소 공간 A = \{\bullet\}과 그 유일한 원소 u = \bullet의 순서쌍 (A, u)으로 표현된다. 즉, 한원소 공간이 이 망각 함자의 표현 대상(representing object)이다.

4. 4. 점을 가진 공간

점을 가진 공간의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합의 반대 범주로 가는 함자들의 표현 가능성은 브라운 표현 정리에 의해 설명된다.

브라운 표현 정리의 한 예로, CW-복합체의 호모토피 범주 ''C''를 생각해 볼 수 있다. 여기서 사상은 연속 함수의 호모토피 클래스로 주어진다. 각 자연수 ''n''에 대해, 각 CW-복합체에 그 ''n''차 코호몰로지 군 (정수 계수)을 대응시키는 공변 반함자 H^n \colon C \to \mathbf{Ab}가 존재한다. 이를 망각 함자와 합성하면 ''C''에서 '''Set'''으로 가는 반변 함자가 된다. 브라운 표현 정리는 대수적 위상수학에서 이 함자가 아일렌베르크-맥레인 공간이라 불리는 CW-복합체 K(\mathbf{Z}, n)으로 표현된다는 것을 보여준다.

4. 5. 군 작용

군 ''G''는 하나의 객체만을 가지는 범주로 생각할 수 있다. 이 객체를 •라고 표시하자. 이 범주 ''G''에서 집합의 범주 '''Set'''으로 가는 함자는 G-집합과 자연스럽게 대응된다. 특히, ''G''에서 '''Set'''으로 가는 hom-함자 Hom(•,–)는 군 ''G'' 자신에 왼쪽 곱셈 작용을 준 G-집합에 해당한다. 이는 정규 ''G''-집합으로 볼 수 있다.

군론의 기본적인 결과에 따르면, ''G''에서 '''Set'''으로 가는 함자가 표현 가능할 필요충분조건은 그 함자에 대응하는 ''G''-집합이 추이적이라는 것이다. 이러한 추이적 ''G''-집합을 ''G''-토서(G-torsor) 또는 힙(heap)이라고도 부른다. 함자를 표현하는 객체(즉, ''G''-집합의 원소)를 선택하는 것은 해당 힙(heap) 구조에서 항등원을 고르는 것과 같다.

4. 6. 텐서곱

''R''을 항등원을 가진 가환환이라고 하고, '''R'''-'''Mod'''를 ''R''-가군의 범주라고 하자. 만약 ''M''과 ''N''이 ''R'' 위의 단위원을 가진 가군(unitary module)이라면, 각 ''R''-가군 ''P''에 대해 ''R''-쌍선형 사상 ''M'' × ''N'' → ''P''들의 집합을 대응시키는 함자 ''B'' : '''R'''-'''Mod''' → '''Set'''를 생각할 수 있다. 이 함자는 ''R''-가군 준동형사상 ''f'' : ''P'' → ''Q''가 주어졌을 때, 쌍선형 사상 ''g'' : ''M'' × ''N'' → ''P''를 합성 사상 ''f''∘''g'' : ''M'' × ''N''→''Q''로 보낸다. 이 함자 ''B''는 ''R''-가군인 텐서곱 ''M'' ⊗R ''N''으로 표현된다.

4. 7. 리스 표현 정리

복소 힐베르트 공간 ''H''에서 정의된 선형 범함수, 즉 선형 함수 F: H\to\mathbb C를 생각해 보자. 리스 표현 정리는 만약 ''F''가 연속적이라면, ''H'' 안의 어떤 고유한 원소 a가 존재하여 모든 v\in H에 대해 ''F''를 내적 \langle a, -\rangle 을 이용해 F(v) = \langle a,v\rangle 와 같이 표현할 수 있다는 것을 말한다. 즉, 연속 선형 범함수 ''F''는 힐베르트 공간 내의 특정 원소 a와의 내적으로 표현 가능하다는 것이다.

예를 들어, 제곱 적분 가능 함수들의 공간 H = L^2(\mathbb R)을 생각해 보자. 이 공간 위의 모든 연속 선형 범함수 ''F''는, 공간 ''H''에 속하는 어떤 고유한 함수 a(x)를 이용하여 \textstyle F(v) = \langle a,v\rangle = \int_{\mathbb R} a(x)v(x)\,dx 형태로 나타낼 수 있다.

분포 이론은 이 개념을 확장하여, 테스트 함수 공간 C=C^\infty_c(\mathbb R) (매끄럽고 콤팩트 지지를 갖는 함수들의 공간) 위에서 정의된 더 일반적인 연속 선형 범함수를 다룬다. 이러한 분포들은 반드시 위에서처럼 일반적인 함수 a(x)로 표현될 수 있는 것은 아니지만, 일종의 일반화된 함수로 생각할 수 있다. 대표적인 예로 디랙 델타 함수 \delta가 있다. 이는 각 테스트 함수 v(x)\in C에 대해 \delta(v) = v(0)으로 정의되는 분포인데, 이는 일반적인 함수는 아니지만 x=0에서 무한히 높고 좁은 '뾰족한 함수'로 비유적으로 이해될 수 있다. 디랙 델타 함수와 같은 분포는 리스 표현 정리의 형태로 표현되지 않는, 즉 표현 불가능한 범함수의 예시이다.

결국 리스 표현 정리는 특정 조건(힐베르트 공간 위의 연속 선형 범함수) 하에서 범함수가 공간 내의 원소(벡터 또는 함수)와의 내적으로 유일하게 표현될 수 있음을 보여준다. 이는 함수 a(x) 자체의 값보다는, 그것이 내적을 통해 다른 함수들에 어떻게 작용하는가로 그 특징이 결정될 수 있음을 시사한다.

5. 보편 사상 및 수반 함자와의 관계

범주론의 중요한 개념인 보편 사상과 수반 함자는 모두 표현 가능 함자를 사용하여 설명할 수 있다.

함자 ''G'' : ''D'' → ''C''가 주어졌다고 하자. 이때 ''C''의 대상 ''X''에 대해, 쌍 (''A'', φ)가 함자 Hom''C''(''X'', ''G''–) : ''D'' → '''Set'''의 표현이라는 것은, (''A'', φ)가 ''X''에서 ''G''로 가는 보편 사상이라는 것과 같은 의미이다. 따라서 만약 모든 ''C''의 대상 ''X''에 대해 Hom''C''(''X'', ''G''–)가 표현 가능하다면, 이는 함자 ''G''가 왼쪽 수반 함자 ''F''를 가진다는 것을 의미한다. 이 관계는 자연 동형 사상 Φ''X'' : Hom''D''(''FX'', –) → Hom''C''(''X'', ''G''–)를 통해 구체화되며, 이는 수반 함자의 정의를 만족시킨다. 즉, 다음 사상이 모든 ''X''와 ''Y''에 대해 전단사 함수가 된다.

:\Phi_{X,Y}\colon \mathrm{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)

반대로, 함자 ''F'' : ''C'' → ''D''가 주어졌다고 하자. 이때 ''D''의 대상 ''Y''에 대해, 쌍 (''A'', φ)가 함자 Hom''D''(''F''–, ''Y'') : ''C'' → '''Set'''의 표현이라는 것은, (''A'', φ)가 ''F''에서 ''Y''로 가는 보편 사상이라는 것과 같은 의미이다. 따라서 만약 모든 ''D''의 대상 ''Y''에 대해 Hom''D''(''F''–, ''Y'')가 표현 가능하다면, 이는 함자 ''F''가 오른쪽 수반 함자 ''G''를 가진다는 것을 의미한다.[2]

참조

[1] 서적 Algebra Springer-Verlag
[2] 서적 A Functorial Model Theory: Newer Applications to Algebraic Topology, Descriptive Sets, and Computing Categories Topos CRC Press 2016-04-19


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