로우패스 필터

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1. 개요

로우패스 필터는 특정 주파수 이하의 신호는 통과시키고 그 이상의 신호는 감쇠시키는 필터이다. 이상적인 로우패스 필터는 구현이 불가능하지만, 실제 필터는 이를 근사하여 사용한다. 로우패스 필터는 RC 회로, RL 회로, RLC 회로, 능동 필터 등 다양한 형태로 구현되며, 차단 주파수와 필터 차수에 따라 특성이 달라진다. 음향, 광학, 전자 공학, 통신, 신호 처리, 영상 처리 등 다양한 분야에서 앨리어싱 제거, 신호 분리, 음질 조절 등의 목적으로 활용된다.

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로우패스 필터

2. 이상적인 필터와 현실적인 필터

이상적인 저주파 통과 필터는 차단 주파수 이상의 주파수 대역 신호는 완전히 차단하고 그 이하의 주파수 대역 신호는 완전히 통과시키는 필터이다. 이 필터의 주파수 응답은 구형함수 모양의 "벽돌담 필터"에 해당하며, 실제 필터에 존재하는 전이 대역은 이상적인 필터에서는 존재하지 않는다. 이상적인 저대역 통과 필터는 수학적으로 주파수 영역에서 구형함수에 신호를 곱하거나 시간 영역에서 임펄스 응답과 싱크함수를 합성곱(컨볼루션) 하는 방법으로 만들 수 있다.^[18]

하지만 싱크함수 자체의 정의역이 음의 무한대 시간부터 양의 무한대 시간까지 존재하기 때문에 이상적인 필터는 무한한 시간 범위의 신호를 가져야만 만들 수 있어 구현하는 것이 물리적으로 불가능하다. 현실적인 필터는 무한 임펄스 응답을 잘라내고 윈도우 함수를 사용해 유한 임펄스 응답을 만들어 이상적인 필터와 비슷하게 구현한다.

음향학, 광학, 전자 공학 등 다양한 분야에서 로우패스 필터가 사용된다.

음향 로우패스 필터: 단단한 물리적 장벽은 높은 음향 주파수를 반사하여 소리를 전달하는 로우패스 필터 역할을 한다. 다른 방에서 음악이 재생될 때 낮은 음은 쉽게 들리지만 높은 음은 감쇠되는 현상이 그 예시이다.
광학 필터: 같은 기능을 하는 광학 필터는 로우패스 필터라고 할 수 있지만, 혼동을 피하기 위해 ''롱패스'' 필터(저주파는 긴 파장)라고 한다.^[1]
전자 로우패스 RC 필터: 전압 신호용 전자 로우패스 필터에서 입력 신호의 고주파수는 감쇠되지만, 필터는 RC 시정수에 의해 결정되는 차단 주파수 이하에서는 감쇠가 거의 없다.
전자 로우패스 필터는 서브우퍼 및 기타 유형의 스피커 입력에 사용되어 효율적으로 재생할 수 없는 높은 음높이를 차단한다.
전기 기타의 톤 노브는 사운드의 고음을 줄이는 데 사용되는 로우패스 필터이다.
DSL 분배기가 장착된 전화선은 로우패스 필터를 사용하여 동일한 쌍의 전선을 공유하는 DSL을 POTS 신호에서 분리한다.^[3]^[4]
로우패스 필터는 아날로그 및 가상 아날로그 신시사이저에 의해 생성된 사운드의 조형에도 중요한 역할을 한다.
로우패스 필터는 샘플링 전에 안티앨리어싱 필터로 사용되며 디지털-아날로그 변환에서 재구성 필터로 사용된다.

2. 1. 이상적인 필터

이상적인 로우패스 필터는 차단 주파수 이상의 모든 주파수를 완전히 제거하고, 그 이하의 주파수는 변경 없이 통과시키는 필터이다. 이 필터의 주파수 응답은 구형파 함수이며, 브릭월 필터라고도 불린다.^[18] 실제 필터에 존재하는 전이 대역은 이상적인 필터에는 존재하지 않는다.

이상적인 로우패스 필터는 주파수 영역에서 신호에 구형파 함수를 곱하거나, 시간 영역에서 해당 임펄스 응답인 싱크 함수와의 컨볼루션을 수행하여 수학적으로 구현할 수 있다.^[18]

하지만 싱크함수 자체의 정의역이 음의 무한대 시간부터 양의 무한대 시간까지 존재하기 때문에 이상적인 필터는 무한한 시간 범위의 신호를 가져야만 만들 수 있어 구현하는 것이 물리적으로 불가능하다. 따라서 필터가 완벽한 컨볼루션을 하기 위해서는 무한한 지연 시간을 가지거나 무한한 과거와 미래에 대한 신호가 무엇인지 알고 있어야 한다. 일반적으로는 머나먼 과거와 미래의 신호를 0이라고 가정하여 사전에 만들어진 디지털 신호를 만들거나 신호를 반복해 만들어 푸리에 해석을 사용하는 방식으로 해결한다.^[18]

현실 세계에서 사용하는 현실적인 필터는 무한 임펄스 응답을 잘라내고 윈도우 함수를 사용해 유한 임펄스 응답을 만들어 이상적인 필터와 비슷하게 구현한다. 이 필터를 실제로 적용하려면 약간의 시간이 흐른 후의 "미래를 봐야만" 구현되므로 필터의 출력 신호는 약간 지연되어 나온다. 이때 응답 신호의 지연은 위상 지연으로 나타난다. 근사치의 정확도를 높이기 위해서는 지연도 더 길어져야 한다.^[19]

이상적인 저주파 통과 필터는 깁스 효과로 인해 링잉 아티팩트가 나타난다. 윈도우 함수를 어떻게 선택하느냐에 따라 이런 아티팩트가 줄어드거나 더 늘어나며 실제 필터의 설계와 선택에서는 이러한 아티팩트를 이해하고 줄이는 과정도 존재한다.^[20] 예를 들어 신호 재구성에서 "싱크 함수 양단을 단순히 잘라내면 심각한 링잉 아티팩트가 발생"하며, 이런 아티팩트를 줄이기 위해 "양단이 더 부드럽게 감쇠되는 윈도우 함수"를 이용한다.^[21]

2. 2. 현실적인 필터

이상적인 저주파 통과 필터(싱크 필터)는 차단 주파수 이상의 신호는 완전히 차단하고, 그 이하의 주파수는 그대로 통과시키는 필터이다. 이 필터의 주파수 응답은 구형함수 모양이며, "벽돌담 필터"라고도 불린다.^[18] 하지만 싱크함수의 정의역이 음의 무한대부터 양의 무한대까지이므로, 이상적인 필터는 무한한 시간 범위의 신호를 필요로 하여 물리적으로 구현이 불가능하다. 따라서 실제로는 진행 중인 신호에 대해 근사적으로만 구현할 수 있다.^[18]

현실적인 필터는 무한 임펄스 응답을 잘라내고 윈도우 함수를 사용하여 유한 임펄스 응답을 만들어 이상적인 필터에 가깝게 구현한다. 이 과정에서 필터의 출력 신호는 약간 지연되며, 이는 위상 지연으로 나타난다. 더 정확하게 근사하려면 지연 시간이 더 길어져야 한다.^[19]

이상적인 저주파 통과 필터를 자르면 깁스 현상으로 인해 링잉 아티팩트가 발생한다.^[20] 윈도우 함수를 어떻게 선택하느냐에 따라 이러한 아티팩트가 줄어들거나 늘어날 수 있다. 예를 들어, 싱크 함수 양단을 단순히 잘라내면 심각한 링잉 아티팩트가 발생하지만, 양단이 부드럽게 감쇠되는 윈도우 함수를 사용하면 이를 줄일 수 있다.^[21]

3. 시간 응답과 주파수 응답

로우패스 필터의 시간 응답과 주파수 응답은 필터의 특성을 분석하는 데 중요한 요소이다.

가장 간단한 1차 로우패스 필터인 RC 회로의 시간 응답은 키르히호프의 전기회로 법칙을 통해 분석하고, 라플라스 변환을 이용하여 주파수 응답을 구할 수 있다.^[22]

이상적인 로우패스 필터는 차단 주파수 이상의 모든 주파수를 완전히 제거하고, 그 이하의 주파수는 변경 없이 통과시킨다. 이 필터의 주파수 응답은 구형파 함수이며, 브릭월 필터이다. 실제 필터에는 전이 영역이 존재하지만, 이상적인 필터에는 존재하지 않는다. 이상적인 로우패스 필터는 주파수 영역에서 신호에 구형파 함수를 곱하거나, 시간 영역에서 해당 임펄스 응답인 싱크 함수와의 컨볼루션을 통해 구현할 수 있다.

하지만 이상적인 필터는 시간적으로 무한한 신호 없이는 구현이 불가능하므로, 실제 신호에는 근사가 필요하다. 실시간 애플리케이션을 위한 실제 필터는 무한 임펄스 응답을 잘라내고 윈도우 처리하여 유한 임펄스 응답을 만든다.

이상적인 로우패스 필터를 잘라내면 깁스 현상으로 인해 링잉 아티팩트가 발생할 수 있다. 실제 필터 설계 및 선택에서는 이러한 아티팩트를 최소화하는 것이 중요하다.^[5]

휘태커-섀넌 보간 공식은 완벽한 로우패스 필터를 사용하여 샘플링된 디지털 신호에서 연속 신호를 재구성하는 방법을 설명한다. 실제 디지털-아날로그 변환기는 실제 필터 근사를 사용한다.

3. 1. 시간 응답

저주파 통과 필터의 시간 응답은 가장 간단한 1차 저주파 통과 필터인 RC 필터의 응답을 해석하여 풀 수 있다. 키르히호프의 전기회로 법칙으로 미분방정식을 세워 풀어낸 시간 응답은 다음과 같다.^[22]

:

v_{\text{out}}(t) = v_{\text{in}}(t) - RC \frac{\operatorname{d}v_{\text{out}}}{\operatorname{d}t}

예를 들어, 단위 계단 함수 응답의 경우 계단 함수

v_{\text{in}}(t)

의 크기가

V_i

인 경우 미분방정식의 해는 아래와 같이 나온다.^[23]

:

v_{\text{out}}(t) = V_i (1 - e^{-\omega_0 t})

여기서

\omega_0 = {1 \over RC}

는 필터의 차단 주파수이다.

3. 2. 주파수 응답

주파수 응답을 구하는 가장 빠른 방법은 라플라스 변환^[22] 전달 함수

H(s) = {V_{\rm out}(s) \over V_{\rm in}(s)}

를 구하는 것이다. 미분방정식에 라플라스 변환을 하면

H(s)

는 다음과 같다.

:

H(s) = {V_{\rm out}(s) \over V_{\rm in}(s)} = {\omega_0 \over (s + \omega_0)}

연속 시간 필터는 임펄스 응답의 라플라스 변환으로 설명할 수 있으며, 복소 평면에서 라플라스 변환의 극점과 영점 패턴을 고려하여 필터의 모든 특성을 쉽게 분석할 수 있다.

예를 들어, 1차 로우패스 필터는 라플라스 영역에서 연속 시간 전달 함수로 다음과 같이 설명할 수 있다.

:

H(s) = \frac{\text{출력}}{\text{입력}} = K \frac{1}{\tau s + 1} = K \frac{\alpha}{s + \alpha}

여기서 ''H''는 전달 함수, ''s''는 라플라스 변환 변수(복소 각 주파수), ''τ''는 필터의 시정수,

\alpha

는 차단 주파수, ''K''는 이득이며, 통과 대역에서의 필터 이득이다. 차단 주파수는 시정수와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\alpha = { 1 \over \tau }

연속 시간 필터는 입출력의 이득과 위상 특성을 라플라스 변환을 사용하여 전달 함수로 나타낼 수 있다. 전달 함수는 일반적으로 유리 함수이며, 분모의 차수가 분자의 차수보다 크다. 분모가 n차일 때, n차 로우패스 필터라고 한다.

1차 로우패스 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

:

H(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = K \frac{1}{1 + s \tau}

여기서,

s = j \omega

는 라플라스 변환의 변수이며, ''τ''는 필터의 시정수, ''K''는 통과 대역에서의 이득이다. 이때, 차단 각 주파수 ωc (rad/s)는

\omega_{\text{c}} = \frac{1}{\tau}

가 된다.

4. 이산 시간 필터

연속 시간 필터를 이산 시간 영역에서 구현하기 위해, 미분 방정식을 차분 방정식으로 변환하여 디지털 필터를 설계할 수 있다. 많은 디지털 필터는 로우패스 특성을 갖도록 설계되었으며, 무한 임펄스 응답 및 유한 임펄스 응답 로우패스 필터, 푸리에 변환을 사용하는 필터 등이 널리 사용된다.

4. 1. 이산 시간 샘플링의 미분방정식

연속 시간 필터의 미분방정식을 이산 시간 간격으로 샘플링하여 차분 방정식을 유도할 수 있다.

이산 선형 미분 방정식은

n = 0, 1, ...

의 이산 간격으로

T

마다, 즉

nT

시간 만큼 샘플링하여 만들 수 있다. 샘플링된 두 신호의 차이는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

v_{\rm out}(nT) - v_{\rm out}((n-1)T) = V_i (1 - e^{-\omega_0 nT}) - V_i (1 - e^{-\omega_0 ((n-1)T)})

여기서

v_{\rm out}(nT)

를 구하면 다음과 같다.

:

v_{\rm out}(nT) = \beta v_{\rm out}((n-1)T) + (1-\beta)V_i

여기서

\beta = e^{-\omega_0 T}

이다.

위 식에서

V_n = v_{\rm out}(nT)

,

v_n = v_{\rm in}(nT)

으로 대입하고 샘플링한 값인

v_n = V_i

를 대입하면 아래와 같은 차분 방정식을 얻을 수 있다.

:

V_n = \beta V_{n-1} + (1-\beta)v_n

RC 필터의 시간 영역에서의 동작을 분석하여 이산화하면 다음과 같은 재귀 관계식을 얻을 수 있다.

:

y_i = \overbrace{x_i \left( \frac{\Delta_T}{RC + \Delta_T} \right)}^{\text{입력 기여}} + \overbrace{y_{i-1} \left( \frac{RC}{RC + \Delta_T} \right)}^{\text{이전 출력으로부터의 관성}}.

즉, 이산 시간으로 구현된 단순한 ''RC'' 로우패스 필터는 지수 가중 이동 평균이다.

:

y_i = \alpha x_i + (1 - \alpha) y_{i-1} \qquad \text{여기서} \qquad \alpha := \frac{\Delta_T}{RC + \Delta_T} .

4. 2. 무한 임펄스 응답(IIR) 필터

디지털 필터는 로우패스 특성을 갖도록 설계된 경우가 많다. 무한 임펄스 응답 로우패스 필터는 RC 필터의 시간 영역에서의 동작을 분석한 다음 모델을 이산화하여 컴퓨터에서 시뮬레이션할 수 있다.

이산 시간으로 구현된 단순한 ''RC'' 로우패스 필터는 지수 가중 이동 평균이며, 다음 식으로 표현된다.

:

y_i = \alpha x_i + (1 - \alpha) y_{i-1} \qquad \text{여기서} \qquad \alpha := \frac{\Delta_T}{RC + \Delta_T} .

여기서 ''평활 계수''

\alpha

는

0 \;\leq\; \alpha \;\leq\; 1

범위 내에 있다.

필터 재귀 관계식은 입력 샘플과 이전 출력을 기준으로 출력 샘플을 결정하는 방법을 제공한다. 다음 의사 코드 알고리즘은 일련의 디지털 샘플에 대한 로우패스 필터의 효과를 시뮬레이션한다.

```

// 입력 샘플, 시간 간격 ''dt'', 시정수 ''RC''를 지정하면 RC 로우패스 필터 출력 샘플을 반환합니다.

function lowpass(실수[1..n] x, 실수 dt, 실수 RC)

var 실수[1..n] y

var 실수 α := dt / (RC + dt)

y[1] := α * x[1]

for i from 2 to n

y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1]

return y

```

즉, 하나의 필터 출력에서 다음 출력으로의 변화는 이전 출력과 다음 입력 간의 차이에 비례한다. 이 지수 평활 속성은 연속 시간 시스템에서 보이는 지수 감쇠와 일치한다. 시정수 ''RC''가 증가하면, 이산 시간 평활 매개변수

\alpha

가 감소하고, 출력 샘플

(y_1,\, y_2,\, \ldots,\, y_n)

은 입력 샘플

(x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_n)

의 변화에 더 느리게 반응한다. 즉, 시스템은 더 많은 관성을 갖는다. 이 필터는 무한 임펄스 응답 (IIR) 단일 극 로우패스 필터이다.

4. 3. 유한 임펄스 응답(FIR) 필터

디지털 필터는 로우패스 특성을 갖도록 설계된 경우가 많다. 유한 임펄스 응답(FIR) 필터는 이상적인 급격한 차단 특성을 가진 싱크 함수의 시간 영역 응답을 근사하도록 구성될 수 있다. 최소한의 왜곡을 위해서는 유한 임펄스 응답 필터가 무한한 신호에 대해 무한한 수의 계수를 가져야 한다. 실제로는 시간 영역 응답은 시간적으로 잘려야 하며, 종종 단순화된 형태를 갖는다. 가장 간단한 경우, 이동 평균을 사용하여 사각형 시간 응답을 얻을 수 있다.^[8]

5. 필터의 종류 및 구현

저주파 통과 필터(로우패스 필터)는 다양한 방식으로 구현될 수 있으며, 구현 방식에 따라 특성이 달라진다.

전기 회로로 구현되는 대표적인 1차 저주파 통과 필터는 저항기와 축전기를 직렬로 연결하고 부하를 병렬로 연결하여 만드는 RC 회로이다. 인덕터를 사용하는 RL 회로로도 1차 필터를 구현할 수 있다.

디지털 필터 역시 로우패스 특성을 갖도록 설계될 수 있다. 무한 임펄스 응답 및 유한 임펄스 응답 로우패스 필터, 푸리에 변환을 사용하는 필터 등이 널리 사용된다.

필터 회로는 종류에 따라 주파수 변화에 다른 응답을 보인다. 필터의 주파수 응답은 보드 플롯으로 나타낼 수 있으며, 차단 주파수와 주파수 롤오프 속도로 특징지어진다. 차단 주파수에서는 입력 전력이 절반, 즉 3dB 감쇠된다. 필터의 차수는 차단 주파수보다 높은 주파수에서 추가 감쇠량을 결정한다.

1차 필터: 주파수가 두 배가 될 때마다 신호 진폭이 절반으로 줄어든다(전력은 4분의 1, 즉 6dB 감소).
2차 필터: 고주파를 더 가파르게 감쇠시킨다. 예를 들어, 2차 버터워스 필터는 주파수가 두 배가 될 때마다 신호 진폭을 4분의 1로 줄인다(옥타브당 12dB, decade당 40dB 감소).
3차 이상 필터: 일반적으로 차수-n 모든 극점 필터의 전력 롤오프 최종 속도는 옥타브당 6n dB (decade당 20n dB)이다.

버터워스 필터의 경우, 수평선과 대각선을 연장하면 정확히 차단 주파수에서 만나며, 수평선보다 3dB 낮다. 체비셰프 필터, 베셀 필터 등 다른 유형의 필터들은 모양이 다른 '무릎 곡선'을 가진다.

'낮음'과 '높음'의 의미, 즉 차단 주파수는 필터의 특성에 따라 달라진다. "저역 통과 필터"라는 용어는 필터 응답의 모양만을 나타낸다. 전자 회로는 1GHz 이상의 마이크로파 주파수 및 그 이상에 이르기까지 원하는 주파수 범위를 위해 고안될 수 있다.

5. 1. 1차 필터

1차 필터는 RC 회로, RL 회로 등을 이용하여 구현할 수 있다.

RC 회로는 저항과 커패시터를, RL 회로는 저항과 인덕터를 조합하여 만든다. 1차 RC 필터와 1차 RL 필터는 가장 간단한 아날로그 무한 임펄스 응답 전자 필터 중 하나이다.

1차 필터는 주파수가 두 배가 될 때마다 신호 진폭을 절반으로 줄인다(전력은 4분의 1, 즉 6dB 감소). 1차 필터의 보드 플롯은 차단 주파수 아래에서는 수평선, 위에서는 대각선과 같은 모양이며, 두 영역 사이에는 부드러운 "무릎 곡선"이 나타난다.

필터의 차수는 차단 주파수보다 높은 주파수에서의 추가 감쇠량을 결정한다. 예를 들어, 2차 필터는 주파수가 두 배가 될 때마다 신호 진폭을 4분의 1로 줄인다(옥타브당 12dB, decade당 40dB 감소).

5. 1. 1. RC 필터

전기 회로로 만든 대표적인 1차 저주파 통과 필터는 부하와 저항기를 직렬로 연결하고 축전기를 병렬로 연결하여 만든다. 이를 RC 필터라고 한다. 축전기는 리액턴스를 가져 저주파 신호를 차단하여 부하로 저주파가 가도록 한다. 높은 주파수에서는 리액턴스가 감소하므로 캐피시터가 사실상 단락시킨다. 저항기와 축전기가 합쳐져서 필터에는 시간 상수

\scriptstyle \tau \;=\; RC

가 존재한다. 차단 주파수는 바로 이 시간 상수에 따라 결정된다.

:

f_\mathrm{c} = {1 \over 2 \pi \tau } = {1 \over 2 \pi R C}

단위를 rad/s로 바꿀 경우 다음과 같다.

:

\omega_\mathrm{c} = {1 \over \tau} = {1 \over R C}

이 회로는 커패시터가 저항을 통해 충전 또는 방전하는 데 필요한 시간을 고려하여 이해할 수 있다.

낮은 주파수에서는 커패시터가 입력 전압과 거의 같은 전압까지 충전될 충분한 시간이 있다.
높은 주파수에서는 입력이 방향을 바꾸기 전에 커패시터가 약간만 충전할 시간이 있다. 출력은 입력이 오르내리는 양의 작은 부분만 오르내린다. 주파수가 두 배가 되면, 절반만 충전할 시간이 있다.

이 회로를 이해하는 또 다른 방법은 특정 주파수에서의 리액턴스 개념을 통하는 것이다.

직류 (DC)는 커패시터를 통과할 수 없으므로 DC 입력은 $V_\mathrm{out}$ 로 표시된 경로로 흘러나가야 한다 (커패시터를 제거하는 것과 유사).
교류 (AC)는 커패시터를 통해 매우 잘 흐르며, 고체 와이어를 통과하는 것만큼 잘 흐르기 때문에, AC 입력은 커패시터를 통해 흘러나가 효과적으로 단락 회로가 되어 접지로 흐른다 (커패시터를 와이어로 대체하는 것과 유사).

커패시터는 (위의 블록 또는 유체 설명과 같은) "온/오프" 객체가 아니다. 커패시터는 이 두 가지 극단 사이에서 가변적으로 작동한다. 이러한 가변성을 보여주는 것은 보드 플롯과 주파수 응답이다.

가장 간단한 로우패스 필터는 입력 신호에 병렬로 연결된 콘덴서와 입력 신호와 직렬로 연결된 저항으로 구성된 1차 로우패스 필터이다. 저항값과 용량값의 곱(R × C)은 시정수(τ)라고 하며, 차단 주파수에 반비례하며, 이 때의 출력 전압은 입력 전압의

\frac{ 1 } { \sqrt{ 2 } }

가 된다(−3dB).

:

f_c ={1 \over 2 \pi \tau} = {1 \over 2 \pi R C}

여기서, ''f_c''는 차단 주파수(Hz), ''τ''는 시정수(s), ''R''은 저항 값(Ω), ''C''는 용량 값(F)이다.

입력 전압과 출력 전압의 이득과 위상 관계에 대해, 입력 전압 값을 |''V_in''|(V), 출력 전압 값을 |''V_out''|(V), 각 주파수를 ω(rad)(=2π''f''), 병렬 캐패시터 용량 값을 ''C''(F), 직렬 저항 값을 ''R''(Ω)로 했을 경우, 전압 이득의 주파수 특성은

:

\frac

= \frac{ 1 } { \sqrt{ 1 + \left( \omega R C \right)^2} }

가 된다. 다만,

20 \log \frac

(dB)로 나타내는 것이 일반적이다. 또한, 위상차의 주파수 특성은

:

\theta = - \tan^{-1}\left(\omega R C \right)

가 된다. 이 경우, θ의 단위는 (rad)(라디안)이다.

5. 1. 2. RL 필터

RL 필터는 저항과 인덕터로 구성된 전기 회로의 일종으로, 전압원 또는 전류원에 의해 구동된다. 1차 RL 회로는 하나의 저항과 하나의 인덕터로 구성되며, 가장 단순한 형태의 RL 회로이다. 1차 RL 회로는 가장 단순한 아날로그 필터 중 하나이며, 무한 임펄스 응답 전자 필터이다. 이 회로는 저항과 인덕터를 직렬로 연결하고, 인덕터 양단의 전압을 출력으로 하여 만든다.

5. 2. 2차 필터

2차 필터는 고주파를 더 가파르게 감쇠시키는 특성을 지닌다. 2차 필터의 보드 플롯은 1차 필터와 유사하지만, 더 빠르게 감소한다. 예를 들어, 2차 버터워스 필터는 주파수가 두 배가 될 때마다 신호 진폭을 원래 레벨의 4분의 1로 줄인다. 이는 옥타브당 12dB, 또는 decade당 40dB 감소하는 것에 해당한다. 다른 모든 극점 2차 필터는 Q 팩터에 따라 초기에 다른 속도로 감소할 수 있지만, 결국 옥타브당 12dB의 동일한 최종 속도에 도달한다. 1차 필터와 마찬가지로, 전달 함수의 영점은 고주파 점근선을 변경할 수 있다.

2차 저역 통과 필터의 전달 함수

H_{LP}(f)

는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[9]

:

H_{LP}(f) = -\frac{K}{f_{FSF} \cdot f_c^2 + \frac{1}{Q} \cdot jf_{FSF} \cdot f_c + 1}

여기서

f

는 주파수 변수,

f_c

는 차단 주파수,

f_{FSF}

는 주파수 스케일링 팩터,

Q

는 품질 계수이다. 이 식은 차단 주파수 아래, 차단 주파수 영역, 차단 주파수 위의 세 가지 작동 영역을 나타낸다.

f_c

이상의 주파수에서 감쇠가 두 배로 증가하는 특성이 2차 저역 통과 필터를 설명한다.

가장 간단한 로우패스 필터는 1차 로우패스 필터로, 입력 신호에 병렬로 연결된 콘덴서와 입력 신호와 직렬로 연결된 저항으로 구성된다. 저항값과 용량값의 곱(R × C)은 시정수(τ)라고 하며, 차단 주파수에 반비례한다. 이때 출력 전압은 입력 전압의

\frac{ 1 } { \sqrt{ 2 } }

가 된다(−3dB). 차단 주파수 ''f_c''는 차단 주파수[Hz], ''τ''는 시정수[s], ''R''은 저항 값[Ω], ''C''는 용량 값[F]일 때, 다음과 같다.

:

f_c ={1 \over 2 \pi \tau} = {1 \over 2 \pi R C}

입력 전압 값을 |''V_in''|[V], 출력 전압 값을 |''V_out''|[V], 각 주파수를 ω[rad](=2π''f''), 병렬 캐패시터 용량 값을 ''C''[F], 직렬 저항 값을 ''R''[Ω]로 했을 경우, 전압 이득의 주파수 특성은

20 \log \frac

[dB]로 나타내는 것이 일반적이며 다음과 같다.

:

\frac

= \frac{ 1 } { \sqrt{ 1 + \left( \omega R C \right)^2} }

위상차의 주파수 특성은 다음과 같으며, θ의 단위는 [rad](라디안)이다.

:

\theta = - \tan^{-1}\left(\omega R C \right)

연산 증폭기를 사용한 ''액티브'' 로우패스 필터(1차)의 차단 주파수(Hz)는 다음과 같으며, 차단 각 주파수(rad/s)는

\omega_{\text{c}} = \frac{1}{R_2 C}

이다.

:

f_{\text{c}} = \frac{1}{2 \pi R_2 C}

통과 대역에서의 이득은

\frac{-R_2}{R_1}

이며, 감쇠 대역에서의 감쇠 기울기는 1차 필터 회로에서 −6dB/oct=-20dB/dec 가 된다.

5. 2. 1. RLC 필터

RLC 회로는 저항기, 인덕터, 커패시터를 직렬 또는 병렬로 연결한 전기 회로이다. RLC는 각각 저항(R), 인덕턴스(L), 커패시턴스(C)의 일반적인 전기 기호를 나타낸다. 이 회로는 전류에 대한 조화 진동자를 형성하며 LC 회로와 유사하게 공진한다. 저항은 회로에서 유도된 진동이 시간이 지남에 따라 감소하는 감쇠 효과를 일으키고, 피크 공진 주파수도 약간 낮춘다.

RLC 회로는 다양한 발진 회로에 사용되며, 튜닝 회로로도 활용되어 라디오 수신기나 텔레비전에서 특정 주파수 범위를 선택하는 데 쓰인다.^[1] RLC 필터는 2차 회로로, 회로 내 전압이나 전류는 2차 미분 방정식으로 표현할 수 있다.^[1]

코일(L)과 콘덴서(C)를 사용하여 2차 이상의 로우패스 필터를 구성할 수 있으며, 수동 소자만으로 구성하면 전력 소비가 없다.^[2] 따라서 신호 필터링 외에도 전원 회로, 전력 증폭, 특히 스위칭 전원 및 디지털 앰프 출력에서 고조파 성분을 제거하는 데도 사용된다.^[2]

연산 증폭기를 추가한 액티브 LC (또는 RLC) 로우패스 필터도 만들 수 있지만, 이 경우 전력 소비가 발생하고 입출력 범위가 제한된다.^[3] 특별한 이유가 없다면 코일을 사용하지 않는 회로 설계를 하는 것이 일반적이다.^[3]

복조, 고주파 및 잡음 제거, 아날로그-디지털 변환 시 안티앨리어싱 필터 등으로 활용된다.^[4]

5. 3. 고차 필터

3차 이상의 고차 필터는 더 가파른 차단 특성을 가지며, 여러 개의 1차 또는 2차 필터를 직렬로 연결하여 구현할 수 있다.

코일(L)과 콘덴서(C)를 사용하여 2차 이상의 로우패스 필터를 구성할 수 있다. 수동 소자만으로 구성되며, 이상적인 코일과 콘덴서만 사용한다면 전력 소비가 없다. 따라서 신호 필터링 외에도, 전원 회로나 전력 증폭, 특히 스위칭 전원 및 디지털 앰프의 출력에서 고조파 성분을 제거하는 목적으로도 사용된다.

연산 증폭기를 추가한 액티브 LC (또는 RLC) 로우패스 필터도 만들 수 있다. 그러나 LC만 사용하는 경우의 장점인 "전력 소비 없음"이 사라지고, 입출력 (특히 출력 전류)은 연산 증폭기의 동작 범위로 제한된다. 또한, RC와 연산 증폭기의 조합만으로도 고차 필터를 구성할 수 있다 (버터워스 필터#필터 설계 등 참조). 특별한 이유가 없다면 코일이 없는 회로 설계를 수행한다.

5. 4. 능동 필터

연산 증폭기를 사용하여 ''액티브'' 로우패스 필터를 구성할 수 있다. 오른쪽 그림의 회로는 1차 액티브 로우패스 필터이며, 차단 주파수(Hz)는 다음과 같다.

:

f_{\text{c}} = \frac{1}{2 \pi R_2 C}

차단 각 주파수(rad/s)는 다음과 같다.

:

\omega_{\text{c}} = \frac{1}{R_2 C}

통과 대역에서의 이득은

\frac{-R_2}{R_1}

이며, 감쇠 대역에서의 감쇠 기울기는 1차 필터 회로에서 −6dB/oct=-20dB/dec 가 된다.

연산 증폭기와 같은 능동 소자를 사용하여 필터를 구현하면, 수동 필터에 비해 더 다양한 특성을 구현할 수 있다.

6. 응용 분야

로우패스 필터는 음향학, 광학, 전자 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

단단한 물리적 장벽은 높은 음향 주파수를 반사하여 소리를 전달하는 음향 로우패스 필터 역할을 한다. 다른 방에서 음악이 재생될 때 낮은 음은 쉽게 들리지만 높은 음은 감쇠되는 현상이 그 예시이다.

로우패스 필터는 아날로그 및 가상 아날로그 신시사이저에 의해 생성된 사운드의 조형에도 중요한 역할을 한다.^[2]

6. 1. 음향

로우패스 필터는 서브우퍼를 비롯한 여러 종류의 스피커 입력에 사용되어 효율적으로 재생할 수 없는 높은 음높이를 차단한다.^[2] 라디오 송신기는 다른 통신을 방해할 수 있는 고조파 방출을 차단하기 위해 로우패스 필터를 사용하며,^[2] 많은 전기 기타의 톤 노브는 소리의 고음을 줄이는 데 사용되는 로우패스 필터이다.^[2]

6. 2. 광학

같은 기능을 가진 광학 필터는 올바르게 로우패스 필터라고 할 수 있지만 혼동을 피하기 위해 일반적으로 ''롱패스'' 필터(저주파는 긴 파장)라고 한다.^[1] 광학 필터에서 로우패스 필터에 해당하는 장파장 측을 투과하는 것을 롱패스 필터라고 부르며, 하이패스 필터에 해당하는 단파장 측을 투과하는 것을 쇼트패스 필터라고 부른다. 디지털 카메라에서 전절의 안티 에일리어싱 필터와 별도로, 부자연스러운 화질이 되는 것을 방지하기 위해 적외선 영역을 차단하는 필터를 넣는데, 이는 쇼트패스(즉, 하이패스) 필터이다. 인체에 유해하다는 등의 이유로 자외선 영역을 차단하는 필터는 마찬가지로 롱패스(즉, 로우패스) 필터이며, 가시 영역만을 통과시키는 필터는 밴드패스 필터이다.

6. 3. 전자 공학

전자 로우패스 RC 필터에서 입력 신호의 고주파수는 감쇠되지만, 필터는 RC 시정수에 의해 결정되는 차단 주파수 이하에서는 감쇠가 거의 없다. 전류 신호의 경우 병렬로 저항과 커패시터를 사용하는 유사한 회로가 유사한 방식으로 작동한다.

전자 로우패스 필터는 서브우퍼 및 기타 유형의 스피커 입력에 사용되어 효율적으로 재생할 수 없는 높은 음높이를 차단한다. 라디오 송신기는 다른 통신을 방해할 수 있는 고조파 방출을 차단하기 위해 로우패스 필터를 사용한다. 많은 전기 기타의 톤 노브는 사운드의 고음을 줄이는 데 사용되는 로우패스 필터이다. 적분기는 또 다른 시간 상수 로우패스 필터이다.^[2]

DSL 분배기가 장착된 전화선은 로우패스 필터를 사용하여 동일한 쌍의 전선(''전송 채널'')을 공유하는 DSL을 POTS 신호에서 분리한다.^[3]^[4]

로우패스 필터는 아날로그 및 가상 아날로그 신시사이저에 의해 생성된 사운드의 조형에도 중요한 역할을 하며, 샘플링 전에 안티앨리어싱 필터로 사용되고 디지털-아날로그 변환에서 재구성 필터로 사용된다.

코일(L)과 콘덴서(C)를 사용하여 2차 이상의 로우패스 필터를 구성할 수 있다. 수동 소자만으로 구성되며, 이상적인 코일과 콘덴서만 사용한다면 전력 소비가 없다. 따라서 신호 필터링 외에도, 전원 회로나 전력 증폭, 특히 스위칭 전원 및 디지털 앰프의 출력에서 고조파 성분을 제거하는 목적으로도 사용된다.

연산 증폭기를 추가한 액티브 LC (또는 RLC) 로우패스 필터도 만들 수 있지만, LC만 사용하는 경우의 장점인 "전력 소비 없음"이 사라지고, 입출력은 연산 증폭기의 동작 범위로 제한된다. RC와 연산 증폭기의 조합만으로도 고차 필터를 구성할 수 있으므로, 특별한 이유가 없다면 코일이 없는 회로 설계를 수행한다.

복조, 고주파수 및 잡음 제거, 아날로그-디지털 변환 시의 안티앨리어싱 필터 등에 활용된다.

6. 4. 통신

DSL 분배기가 장착된 전화선은 로우패스 필터를 사용하여 동일한 쌍의 전선(''전송 채널'')을 공유하는 DSL을 POTS 신호에서 분리한다.(그리고 반대의 하이패스를 사용한다.)^[3]^[4]

6. 5. 신호 처리

로우패스 필터는 아날로그-디지털 변환(ADC) 과정에서 앨리어싱을 막기 위해 안티앨리어싱 필터로 사용되거나, 디지털-아날로그 변환(DAC) 과정에서 신호를 재구성 필터로 사용된다.^[1]

6. 6. 영상 처리

영상 처리에서 공간 주파수, 즉 이미지 내 패턴의 거칠고 세밀함에 따라 필터링을 하는 것을 의미한다. 즉, "세밀한 패턴을 흐리게 한다"는 것이다. 또한, 디지털 카메라나 비디오 카메라에서는 이미지의 표본 추출 시 발생하는 앨리어싱(모아레 현상)을 방지하기 위해, 촬영 소자 앞, 즉 표본 추출 전에 광학적으로 "로우패스 필터"를 안티 앨리어싱을 위해 사용한다.

6. 7. 변조

펄스 부호 변조(PCM)에서 복합화 회로에서 복합된 출력으로부터 아날로그 신호를 복조하기 위한 보간 필터로 사용된다.^[11] 또한, 동기 검파에 의한 위상 편이 변조(PSK)의 복조기에도 사용된다.^[12]

참조

_[1] 웹사이트 Long Pass Filters and Short Pass Filters Information http://www.globalspe[...] 2017-10-04
_[2] 서적 Microelectronic Circuits, 3 ed. https://archive.org/[...] Saunders College Publishing
_[3] 웹사이트 ADSL filters explained http://www.epanorama[...] Epanorama.net 2013-09-24
_[4] 웹사이트 Home Networking – Local Area Network https://web.archive.[...] Pcweenie.com 2009-04-12
_[5] 문서 Mastering Windows: Improving Reconstruction http://www.cg.tuwien[...]
_[6] 서적 Engineering Circuit Analysis McGRAW-HILL BOOK COMPANY
_[7] 서적 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems JOHN WILEY & SONS
_[8] 간행물 Signal recovery from noise in electronic instrumentation.
_[9] 문서 Active Low-Pass Filter Design" (Texas Instruments, 2023) https://www.ti.com/l[...]
_[10] 문서 トランジスタ技術2005年2月号p.159
_[11] 문서 第一級陸上特殊無線技士無線工学試験　JZ16B
_[12] 문서 第一級陸上特殊無線技士無線工学試験　JZ12B
_[13] 웹인용 RF 회로개념 잡기 - PART 6 ▶ Filter (여파기) http://www.rfdh.com/[...] RF designhouse 2021-03-31
_[14] 웹인용 L10 - Microwave Filter http://ael.cbnu.ac.k[...] Applied Electromagnetics Laboratory 2021-03-31
_[15] 웹인용 Long Pass Filters and Short Pass Filters Information http://www.globalspe[...] 2017-10-04
_[16] 웹인용 Active Low Pass Filter https://www.electron[...] Electronics Tutorials 2021-04-01
_[17] 서적 칼만 필터는 어렵지 않아 한빛아카데미 2010-05-20
_[18] 웹인용 The Ideal Lowpass Filter https://ccrma.stanfo[...] Center for Computer Research in Music and Acoustics 2021-04-01
_[19] 웹인용 Passive Low Pass Filter https://www.electron[...] Electronics Tutorials 2021-04-01
_[20] 서적 Handbook of medical imaging https://books.google[...] Academic Press
_[21] 문서 Mastering Windows: Improving Reconstruction http://www.cg.tuwien[...]
_[22] 서적 Engineering Circuit Analysis McGRAW-HILL BOOK COMPANY
_[23] 서적 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems JOHN WILEY & SONS

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