코언-매콜리 환

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1. 개요

코언-매콜리 환은 가환대수학의 개념으로, 뇌터 환의 일종이다. 유한 생성 가군 M에 대해 깊이와 차원의 관계가 depth(M) = dim(M)을 만족할 때 M을 코언-매콜리 가군이라고 하며, R-가군으로서 R 자체가 코언-매콜리 가군이면 R을 코언-매콜리 환이라고 정의한다. 코언-매콜리 환은 정칙환, 고렌스타인 환 등을 포함하며, 기하학적으로는 매끄러운 다양체를 일반화하는 개념으로 사용된다. 코언-매콜리 환은 교차 이론, 쌍대성 이론 등과 밀접한 관련이 있으며, 다양한 연산에 대해 닫혀 있고, 히로나카 기적적 평탄성, 순수성 정리 등과 같은 중요한 성질을 갖는다.

코언-매콜리 환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 코언-매콜리 가군과 코언-매콜리 국소환
- 2.2. 코언-매콜리 환과 코언-매콜리 스킴
3. 성질
4. 예
5. 코언-매콜리 곡선
6. 교차 이론과의 관계
7. 역사

2. 정의

가환 뇌터 환 $R$ 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

* $R$ 이 국소환일 경우, 유한 생성 $R$ -가군 $M \ne 0$ 에 대하여, 항상 깊이와 차원 사이에 $\operatorname{depth}(M) \leq \operatorname{dim}(M)$ 관계가 성립하며, 이와 관련된 자세한 사항은 아우슬랜더-부흐스바움 공식을 참조한다. $\operatorname{depth}(M) = \operatorname{dim}(M)$ 이면 $M$ 을 코언-매콜리 가군이라고 한다. $\operatorname{dim}(M)=\operatorname{dim}(R)$ 인 코언-매콜리 가군 $M$ 은 극대 코언-매콜리 가군이라고 한다. $R$ 이 $R$ -가군으로서 코언-매콜리 가군이면 $R$ 을 코언-매콜리 환이라고 한다.

* $R$ 이 일반적인 가환 뇌터 환일 경우, $R$ -가군 $M$ 은 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak{m} \in \operatorname{Supp}(M)$ 에 대해 국소화 $M_\mathfrak{m}$ 이 코언-매콜리 가군일 때 코언-매콜리 가군이라고 한다. 또한, 극대 아이디얼 $\mathfrak{m} \in \operatorname{Supp}(M)$ 에 대해 $M_\mathfrak{m}$ 이 극대 코언-매콜리 가군일 때 $M$ 을 극대 코언-매콜리 가군이라고 한다. $R$ 이 $R$ -가군으로서 코언-매콜리 가군이면 코언-매콜리 환이라고 한다.

2.1. 코언-매콜리 가군과 코언-매콜리 국소환

뇌터 국소 가환환 $(R,\mathfrak m)$ 위의 유한 생성 가군 $M$ 에 대하여, 항상 다음 부등식이 성립한다.

: $\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M\le\dim M$

여기서 $\operatorname{depth}_{\mathfrak m}$ 는 깊이이며, $\dim$ 은 크룰 차원이다. 만약 이 부등식이 등식으로 성립하면, 즉 $\operatorname{depth}(M) = \operatorname{dim}(M)$ 이면 $M$ 을 코언-매콜리 가군(Cohen–Macaulay module^영어)이라고 한다. 일반적으로 $\operatorname{depth}(M) \leq \operatorname{dim}(M)$ 이며, 특정 종류의 모듈의 깊이와 차원 사이의 관계는 아우슬랜더-부흐스바움 공식을 참조한다.

임의의 뇌터 국소 가환환 $(R,\mathfrak m)$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환(Cohen–Macaulay local ring^영어)이라고 한다.

* 스스로 위의 가군으로서 코언-매콜리 가군인 뇌터 국소 가환환이다. 즉, $\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R\le\operatorname{ht}\mathfrak m=\dim R$ 이다.
* 모든 매개계가 정칙열이다.
* 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.

여기서 $\operatorname{depth}_{\mathfrak m}$ 는 깊이이며, $\operatorname{ht}$ 는 아이디얼의 높이이며, $\dim$ 은 크룰 차원이다. $R$ 은 자신 위의 가군이므로, $R$ 이 $R$ -가군으로서 코언-매콜리 가군이면 코언-매콜리 환이라고 한다. $\mathrm{dim}(M)=\mathrm{dim}(R)$ 인 코언-매콜리 가군 M은 극대 코언-매콜리 가군이다.

위의 정의는 뇌터 국소환에 대한 것이지만, 더 일반적인 뇌터 환에 대해서도 정의를 확장할 수 있다. $R$ 이 가환 뇌터 환이면, R-가군 M은 모든 극대 아이디얼 $\mathrm{m}\in \mathrm{Supp}(M)$ 에 대해 $M_\mathrm{m}$ 이 코언-매콜리 가군일 경우 코언-매콜리 가군이라고 한다. 각 극대 아이디얼 $\mathrm{m}$ 에 대해 $M_\mathrm{m}$ 이 $R_\mathrm{m}$ -가군이 되도록 요구하여, 극대 코언-매콜리 가군을 정의한다. 국소적인 경우와 마찬가지로, R은 코언-매콜리 가군(자신 위의 $R$ -가군)이면 코언-매콜리 환이다.

2.2. 코언-매콜리 환과 코언-매콜리 스킴

뇌터 가환환 $R$ 이 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 에 대한 국소화 $R_{\mathfrak m}$ 이 코언-매콜리 국소환일 때, 또는 모든 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대한 국소화 $R_{\mathfrak p}$ 가 코언-매콜리 국소환일 때 코언-매콜리 환이라고 한다. 이 조건은 임의의 아이디얼 $\mathfrak i$ 및 $R/\mathfrak i$ 의 연관 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(R/\mathfrak i)$ 에 대하여, $\mathfrak i$ 의 여차원(높이)과 $\mathfrak p$ 의 여차원이 같은( $\operatorname{ht}_R\mathfrak i = \operatorname{ht}_{R/\mathfrak i}\mathfrak p$ ) 매우 강한 조건이다. 이는 닫힌 부분 스킴의 기약 성분들의 차원이 모두 같음을 의미한다.

마찬가지로, 국소 뇌터 스킴 $X$ 의 임의의 점 $x\in X$ 에 대한 구조층의 줄기 $\mathcal O_{X,x}$ 가 코언-매콜리 국소환일 때, $X$ 를 코언-매콜리 스킴이라고 한다.

가환 네, 되요! 국소환 R에 대해, 유한(즉, 유한 생성) R-모듈 $M\neq 0$ 은 $\mathrm{depth}(M) = \mathrm{dim}(M)$ 일 경우 코언-매콜리 모듈이다. $R$ 은 자신 위의 모듈이므로, $R$ 이 $R$ -모듈로서 코언-매콜리 모듈이면 코언-매콜리 환이다. 극대 코언-매콜리 모듈은 $\mathrm{dim}(M)=\mathrm{dim}(R)$ 인 코언-매콜리 모듈 M이다.

일반적인 네, 되요! 환의 경우, R-모듈 M은 모든 극대 아이디얼 $\mathrm{m}\in \mathrm{Supp}(M)$ 에 대해 $M_\mathrm{m}$ 이 코언-매콜리 모듈일 경우 코언-매콜리 모듈이라고 한다. 각 극대 아이디얼 $\mathrm{m}$ 에 대해 $M_\mathrm{m}$ 이 극대 코언-매콜리 모듈이 되도록 요구하여 극대 코언-매콜리 모듈을 정의한다. R은 코언-매콜리 모듈(자신 위의 $R$ -모듈)이면 코언-매콜리 환이다. 국소 뇌터 스킴 $X$ 가 코언-매콜리라는 것은 각 점 $x\in X$ 에서 국소환 $\mathcal{O}_{X,x}$ 가 코언-매콜리일 때를 말한다.

;국소환의 경우
이 더욱이 국소환이라고 하자. 유한 생성 -가군 이 을 만족할 때, 는 코언-매콜리 가군이라고 한다. 또한 이 성립할 때, 는 극대 코언-매콜리 가군이라고 한다. 또한 정칙 가군 이 코언-매콜리 가군일 때, 은 코언-매콜리 환이라고 한다.

;일반적인 경우
-가군 은 모든 극대 아이디얼 에 대해 국소화 이 코언-매콜리 가군일 때, 는 코언-매콜리 가군이라고 한다. 또한 극대 아이디얼 에 대해 이 극대 코언-매콜리 가군일 때, 는 극대 코언-매콜리 가군이라고 한다. 또한 정칙 가군 이 코언-매콜리 가군일 때, 은 코언-매콜리 환이라고 한다.

3. 성질

뇌터 국소환은 완비화가 코언-매콜리 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다. 만약 R이 코언-매콜리 환이면, 다항식환 R[x]와 멱급수 환 Rx도 코언-매콜리 환이다. 뇌터 국소환 R의 극대 아이디얼에 속하는 영인자가 아닌 u에 대해, R은 R/(u)가 코언-매콜리 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다. 코언-매콜리 환을 아이디얼로 나눈 몫은 전체 사슬 조건을 만족한다. 만약 R이 코언-매콜리 환의 몫이면, 집합 { p ∈ Spec R | R_p가 코언-매콜리 환 }은 Spec R의 열린 부분 집합이다.

(R, m, k)를 임베딩 코차원 c인 뇌터 국소환이라고 하자. 여기서 c = dim_k(m/m²) − dim(R)이다. 기하학적으로, 이는 정규 스킴에서 코차원 c인 부분 스킴의 국소환에 대해 성립한다. c=1인 경우, R은 초곡면 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다. 또한 코차원 2인 코언-매콜리 환에 대한 구조 정리가 있는데, 이는 힐베르트-벌치 정리이다. 즉, 이들은 모두 어떤 r에 대한 (r+1) × r 행렬의 r × r 소행렬식에 의해 정의되는 행렬식 환이다.

뇌터 국소환 (R, m)에 대해, 다음은 동치이다:
* R은 코언-매콜리 환이다.
* 모든 매개변수 아이디얼 Q (매개변수 시스템에 의해 생성된 아이디얼)에 대해, : $\operatorname{length}(R/Q) = e(Q)$ := Q의 힐베르트-사무엘 중복도.
* 어떤 매개변수 아이디얼 Q에 대해, $\operatorname{length}(R/Q) = e(Q)$ .
:(이 특성을 일반화한 환에 대해서는 일반화된 코언-매콜리 환 및 벅스바움 환을 참조하십시오.)

코언-매콜리 조건의 한 가지 의미는 코히어런트 쌍대성 이론에서 볼 수 있다. 다양체 또는 스킴 X가 코언-매콜리라는 것은, 사전적으로 X 위의 코히어런트 묶음의 유도 범주에 속하는 "쌍대 복합체"가 단일 묶음으로 표현된다는 것을 의미한다. 더 강력한 성질인 고렌스타인은 이 묶음이 선형 묶음임을 의미한다. 특히, 모든 정칙 국소환 스킴은 고렌스타인이다. 따라서 세르 쌍대성 또는 그로텐디크 국소 쌍대성과 같은 쌍대성 정리의 진술은 고렌스타인 또는 코언-매콜리 스킴에 대해 정칙 스킴 또는 매끄러운 다양체에서 일어나는 일의 단순성을 어느 정도 유지한다.

국소환이 코언-매콜리인 것과 그 완비화가 코언-매콜리인 것은 동치이다. 환 R이 코언-매콜리인 것과 다항식환 R[x]가 코언-매콜리인 것은 동치이다. 코언-매콜리 환의 몫환은 이다.

3.1. 함의 관계

정칙환 ⊊ 완비교차환(complete intersection ring) ⊊ 고런스틴 환 ⊊ 코언-매콜리 환의 포함 관계가 성립한다. 특히, 모든 정칙 스킴은 코언-매콜리 스킴이다.

코언-매콜리 환이 되기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

* 모든 정칙환은 코언-매콜리 환이다. 특히, 모든 체나, 함수체 $Kx$ 등은 정칙 국소환이므로 코언-매콜리 환이다.
* 모든 아르틴 환은 코언-매콜리 환이다.
* 모든 크룰 차원이 1인 뇌터 축소환은 코언-매콜리 환이다.
* 모든 고런스틴 환은 코언-매콜리 환이다.
* 뇌터 국소환은 완비화가 코언-매콜리 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다.
* R이 코언-매콜리 환이면, 다항식 환 R[x]와 멱급수 환 Rx도 코언-매콜리 환이다.
* 뇌터 국소환 R의 극대 아이디얼에 속하는 영인자가 아닌 u에 대해, R은 R/(u)가 코언-매콜리 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다.
* 코언-매콜리 환을 아이디얼로 나눈 몫은 전체 사슬 조건을 만족한다.
* R이 코언-매콜리 환의 몫이면, 집합 { p ∈ Spec R | R_p가 코언-매콜리 환 }은 Spec R의 열린 부분 집합이다.
* (R, m, k)를 임베딩 코차원 c인 뇌터 국소환이라고 하자. 여기서 c = dim_k(m/m²) − dim(R)이다. 기하학적으로, 이는 정규 스킴에서 코차원 c인 부분 스킴의 국소환에 대해 성립한다. c=1인 경우, R은 초곡면 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다. 코차원 2인 코언-매콜리 환에 대한 구조 정리가 있는데, 이는 힐베르트-벌치 정리이다. 즉, 이들은 모두 어떤 r에 대한 (r+1) × r 행렬의 r × r 소행렬식에 의해 정의되는 행렬식 환이다.
* 뇌터 국소환 (R, m)에 대해, R이 코언-매콜리 환인 것은 모든 매개변수 아이디얼 Q (매개변수 시스템에 의해 생성된 아이디얼)에 대해, $\operatorname{length}(R/Q) = e(Q)$ := Q의 힐베르트-사무엘 중복도가 성립하는것과 동치이다. (어떤 매개변수 아이디얼 Q에 대해, $\operatorname{length}(R/Q) = e(Q)$ 가 성립하여도 동치이다. 이 특성을 일반화한 환에 대해서는 일반화된 코언-매콜리 환 및 벅스바움 환을 참조).

코언-매콜리 조건은 코히어런트 쌍대성 이론에서 사전적으로 유도 범주에 있는 쌍대화 대상이 단 하나의 가군 (연접층)으로 표현되는 경우에 해당한다. 고렌스타인 조건은 사영적인 이 가군 (가역층)으로 표현되는 경우이다. 비특이성 (정칙성)은 더 강한 조건으로, 기하학적 대상의 어떤 점에서의 매끄러움의 개념에 해당한다. 따라서, 기하학적인 의미에서, 고렌스타인과 코언-매콜리 개념은 매끄러운 점보다 넓은 범위의 점, 매끄럽지는 않지만 여러 의미에서 매끄러운 점처럼 행동하는 점을 포착한다.

3.2. 연산에 대한 닫힘

뇌터 가환환 $R$ 에 대하여, $R$ 가 코언-매콜리 환인 것과 다항식환 $R[x]$ 가 코언-매콜리 환인 것은 서로 동치이다. 뇌터 국소환 $(R,\mathfrak m)$ 에 대하여, $R$ 가 코언-매콜리 국소환인 것과 $R$ 에 대응하는 완비 국소환이 코언-매콜리 국소환인 것은 서로 동치이다.

만약 R이 코언-매콜리 환이면, 다항식 환 R[x]와 멱급수 환 Rx도 코언-매콜리 환이다. 뇌터 국소환 R의 극대 아이디얼에 속하는 영인자가 아닌 u에 대해, R은 R/(u)가 코언-매콜리 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다. 코언-매콜리 환을 아이디얼로 나눈 몫은 전체 사슬 조건을 만족한다.

(R, m, k)를 임베딩 코차원 c인 뇌터 국소환이라고 하자. 여기서 c = dimk(m/m2) − dim(R)이다. 기하학적으로, 이는 정규 스킴에서 코차원 c인 부분 스킴의 국소환에 대해 성립한다. c=1인 경우, R은 초곡면 환일 때 그리고 그 때만 코언-매콜리 환이다. 또한 코차원 2인 코언-매콜리 환에 대한 구조 정리가 있는데, 이는 힐베르트-벌치 정리이다. 즉, 이들은 모두 어떤 r에 대한 (r+1) × r 행렬의 r × r 소행렬식에 의해 정의되는 행렬식 환이다.

뇌터 국소환 (R, m)에 대해, R이 코언-매콜리 환인 것은 모든 매개변수 아이디얼 Q (매개변수 시스템에 의해 생성된 아이디얼)에 대해,
$\operatorname{length}(R/Q) = e(Q)$ := Q의 힐베르트-사무엘 중복도가 성립하는것과 동치이다. 또한,어떤 매개변수 아이디얼 Q에 대해, $\operatorname{length}(R/Q) = e(Q)$ 가 성립하는 경우에도 동치이다.

국소환이 코언-매콜리인 것과 그 완비화가 코언-매콜리인 것은 동치이다. 환 R이 코언-매콜리인 것과 다항식환 R[x]가 코언-매콜리인 것은 동치이다. 코언-매콜리 환의 몫환은 universally catenary ring이다.

3.3. 히로나카 기적적 평탄성

정칙 국소환 $K$ 와 국소 가환환 $A$ 가 주어졌고, 단사 환 준동형 $K \to A$ 가 존재하며, $A$ 가 $K$ -유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 세 조건은 서로 동치이다.
* $A$ 가 코언-매콜리 국소환이다.
* $A$ 가 $K$ -평탄 가군이다.
* $A$ 가 $K$ -자유 가군이다.
이 사실을 히로나카 기적적 평탄성(Hironaka’s miracle flatness^영어)이라고 하며, 기적적인 평탄성 또는 히로나카의 기준이라고도 불린다.

이러한 부분환은 뇌터 정규화 보조정리에 의해 체 위의 유한 생성 대수의 소 아이디얼에서의 임의의 국소화 R에 대해 존재한다. 또한, R이 완비이고 체를 포함하거나, R이 완비 정역인 경우에도 존재한다.

기하학적으로, X를 체 K 위의 유형 사상의 연결 공간인 아핀 스킴(예를 들어, 아핀 대수다양체)이라고 하고, n을 X의 차원이라고 하자. 뇌터 정규화를 통해, X에서 체 K 위의 아핀 공간 Aⁿ으로의 유한 사상 f가 존재한다. 그러면 X는 f의 모든 올(fiber)이 같은 차수를 가질 필요충분조건으로 코언-매콜리이다. 이 속성이 f의 선택에 무관하다는 것은 주목할 만하다.

등급 환에 대한 기적적인 평탄성의 버전도 있다. R을 체 K 위의 유한 생성 가환 등급 대수라고 하자.
: $R=K\oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots.$
항상 R이 A-가군으로 유한 생성되도록 하는 등급 다항식 부분환 A ⊂ R(다양한 차수의 생성자 포함)가 있다. 그러면 R은 R이 등급 A-가군으로서 자유 가군일 필요충분조건으로 코언-매콜리이다. 이 자유성은 다항식 부분환 A의 선택에 무관하다.

3.4. 순수성 정리 (Unmixedness Theorem)

Noether 환 A의 아이디얼 I는, A/I의 임의의 연관 소인자 P에 대해 ht(I) = ht(P)일 때 순수 (unmixed)라고 불린다. 환 A에 대해 순수성 정리 (unmixedness theorem)가 성립한다는 것은, 아이디얼 I로 ht(I)개의 원소로 생성되는 것이 모두 순수함을 의미한다. 노터 환이 코언-매콜리 환인 것과 순수성 정리가 성립하는 것은 동치이다.

Noether 환 A의 아이디얼 I는 높이가 I의 높이와 A/I의 모든 연관 소 아이디얼 P의 높이가 같을 경우, unmixed in height라고 불린다. 이는 A/I가 등차원이라는 것보다 더 강력한 조건이다.

unmixedness 정리는 환 A의 높이와 같은 수의 원소에 의해 생성된 모든 아이디얼 I가 unmixed일 경우, 환 A에 대해 성립한다고 말한다.

unmixed 정리는 특히 영 아이디얼(영 원소에 의해 생성된 아이디얼)에 적용되며, 이를 통해 코언-매콜리 환이 등차원 환이라는 것을 알 수 있다. 실제로 임베디드 성분이 없고, 각 성분은 동일한 코드 차원을 갖는다는 강한 의미에서 그렇다.

다음이 주어졌다고 하자.

* 정칙 국소환 $K$
* 국소 가환환 $A$
* 단사 환 준동형 $K \to A$ . 이에 따라서, $A$ 가 $K$ -유한 생성 가군이라고 하자.

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

* $A$ 가 코언-매콜리 국소환이다.
* $A$ 가 $K$ -평탄 가군이다.
* $A$ 가 $K$ -자유 가군이다.

이 사실을 히로나카 기적적 평탄성(Hironaka’s miracle flatness^영어)이라고 한다.

4. 예

다음과 같은 노에터 환(Noetherian rings)은 코언-매콜리 환이다.

* 모든 정칙 국소환. 이는 정수 $\Z$ , 또는 체 K에 대한 다항식 환 $K[x_1,\ldots ,x_n]$ 또는 멱급수환 $Kx_1,\ldots ,x_n$ 과 같은 다양한 코언-매콜리 환의 예시를 낳는다. 기하학적으로, 모든 정칙 스킴, 예를 들어 체 위의 매끄러운 다양체는 코언-매콜리이다.
* 모든 0차원 환(또는 동등하게, 모든 아르틴 환).
* 모든 1차원 기약환, 예를 들어 모든 1차원 정역.
* 모든 2차원 정규환.
* 모든 고렌스타인 환. 특히, 모든 완전 교차환.
* 환의 불변환 $R^G$ (R이 표수가 0인 체 위의 코언-매콜리 대수이고 G가 유한군(또는 일반적으로 리 대수적 군의 항등 성분이 환원군)인 경우). 이것은 호흐스터-로버츠 정리이다.
* 모든 행렬식 환. 즉, R이 정칙 국소환 S를 S의 원소로 이루어진 p × q 행렬의 어떤 r × r 소행렬식에 의해 생성된 아이디얼 I로 나눈 몫이라고 하자. I의 코차원(또는 높이)이 "예상된" 코차원 (p−r+1)(q−r+1)과 같으면 R을 행렬식 환이라고 한다. 이 경우, R은 코언-매콜리이다. 유사하게, 행렬식 다양체의 좌표 환은 코언-매콜리이다.

몇 가지 더 예시:

1. 환 K[x]/(x²)는 차원이 0이므로 코언-매콜리이지만, 기약적이지 않으므로 정칙적이지 않다.
2. 다항식 환 K[t]의 부분환 K[t², t³], 또는 t=0에서의 국소화 또는 완비화는 고렌스타인이면서 1차원 정역이며, 따라서 코언-매콜리이지만 정칙적이지 않다. 이 환은 또한 K 위의 첨점 3차 곡선 y² = x³의 좌표 환으로 설명할 수 있다.
3. 다항식 환 K[t]의 부분환 K[t³, t⁴, t⁵], 또는 t=0에서의 국소화 또는 완비화는 코언-매콜리이지만 고렌스타인이 아닌 1차원 정역이다.

표수가 0인 체 위의 유리 특이점은 코언-매콜리이다. 모든 체 위의 토릭 다양체는 코언-매콜리이다. 최소 모형 프로그램은 klt (Kawamata log terminal) 특이점을 가진 다양체를 사용한다. 표수 0에서 이들은 유리 특이점이며, 따라서 코언-매콜리이다. 양의 표수에서 유리 특이점의 성공적인 유사물은 F-유리 특이점의 개념이다. 다시 말해서, 이러한 특이점은 코언-매콜리이다.

X가 체 위의 차원 n ≥ 1인 사영 다양체이고, L이 X 위의 충분 선다발이라고 하자. 그러면 L의 단면 환
: $R=\bigoplus_{j\geq 0}H^0(X,L^j)$
은 1 ≤ i ≤ n−1 및 모든 정수 j에 대해 코호몰로지 그룹 Hⁱ(X, L^j)가 0일 경우에만 코언-매콜리이다. 예를 들어, 아벨 다양체 X의 아핀 콘 Spec R은 X의 차원이 1일 때는 코언-매콜리이지만, X의 차원이 2 이상일 때는 그렇지 않다(왜냐하면 H¹(X, O)가 0이 아니기 때문이다). 일반화된 코언-매콜리 환도 참조하십시오.
간단한 예로, 포물선과 접하는 선의 교차점을 취하면, 교차점에서의 국소환은 다음과 동형입니다.
: $\frac{\Complex[x,y]}{(y - x^2)} \otimes_{\Complex[x,y]}\frac{\Complex[x,y]}{(y)} \cong \frac{\Complex[x]}{(x^2)}$
이는 길이 2인 코언-매콜리 환이므로, 예상대로 교차 다중도는 2입니다.

4.1. 코언-매콜리 환의 예

모든 정칙 국소환은 코언-매콜리 환이다. 정수 $\Z$ , 체 K에 대한 다항식 환 $K[x_1,\ldots ,x_n]$ , 멱급수환 $Kx_1,\ldots ,x_n$ 등이 이에 해당한다. 기하학적으로, 체 위의 매끄러운 다양체와 같은 모든 정칙 스킴은 코언-매콜리이다. 모든 0차원 환(또는 모든 아르틴 환), 모든 1차원 기약환(예: 모든 1차원 정역), 모든 2차원 정규환 역시 코언-매콜리 환이다.

모든 고렌스타인 환은 코언-매콜리 환이며, 특히 모든 완전 교차환이 이에 해당한다. R이 표수가 0인 체 위의 코언-매콜리 대수이고 G가 유한군(또는 리 대수적 군의 항등 성분이 환원군)일 때, 환의 불변환 $R^G$ 는 코언-매콜리 환이다. (이 정리는 호흐스터-로버츠 정리이다.)

정칙 국소환 S와 S의 원소로 이루어진 p × q 행렬의 r × r 소행렬식으로 생성된 아이디얼 I에 대해, I의 코차원(또는 높이)이 (p−r+1)(q−r+1)과 같으면, 몫환 R = S/I은 코언-매콜리 환인 행렬식 환이다. 행렬식 다양체의 좌표 환은 코언-매콜리이다.

환 K[x]/(x²)는 차원이 0이므로 코언-매콜리이지만, 기약적이지 않으므로 정칙적이지 않다. 다항식 환 K[t]의 부분환 K[t², t³] (또는 t=0에서의 국소화 또는 완비화)는 고렌스타인이면서 1차원 정역이며, 따라서 코언-매콜리이지만 정칙적이지 않다. 이 환은 K 위의 첨점 3차 곡선 y² = x³의 좌표 환으로도 볼 수 있다. 다항식 환 K[t]의 부분환 K[t³, t⁴, t⁵] (또는 t=0에서의 국소화 또는 완비화)는 코언-매콜리이지만 고렌스타인이 아닌 1차원 정역이다.

표수가 0인 체 위의 유리 특이점은 코언-매콜리이다. 모든 체 위의 토릭 다양체는 코언-매콜리이다. 최소 모형 프로그램은 klt (Kawamata log terminal) 특이점을 가진 다양체를 사용하는데, 표수 0에서 이들은 유리 특이점이므로 코언-매콜리이다. 양의 표수에서 유리 특이점과 유사한 F-유리 특이점 역시 코언-매콜리이다.

X가 체 위의 차원 n ≥ 1인 사영 다양체이고, L이 X 위의 충분 선다발일 때, L의 단면 환
: $R=\bigoplus_{j\geq 0}H^0(X,L^j)$
은 1 ≤ i ≤ n−1 및 모든 정수 j에 대해 코호몰로지 그룹 Hⁱ(X, L^j)가 0일 경우에만 코언-매콜리이다. 아벨 다양체 X의 아핀 콘 Spec R은 X의 차원이 1일 때는 코언-매콜리이지만, X의 차원이 2 이상일 때는 그렇지 않다.

4.2. 고런스틴 환이 아닌 코언-매콜리 환

체 $K$ 에 대하여, 다항식환 $K[t]$ 의 부분환 $K[t^2,t^3]$ 를 생각하자. 이는 코언-매콜리 환이지만 고런스틴 환이 아니다. 구체적으로, 극대 아이디얼 $(t^2,t^3)$ 에서의 국소화는 고런스틴 국소환이 아닌 코언-매콜리 국소환이다.

4.3. 코언-매콜리 환이 아닌 환

체 $K$ 에 대하여 가환환
: $R=K[x,y]/(x^2,xy)$
를 생각하자. 기하학적으로, $(x^2,xy) = (x)(x,y)$ 이므로, 이는 ‘두꺼운’ 원점 $x=0,y=0$ 을 갖는 직선 $x=0$ 이다. 원점에서 0차원과 1차원의 공존으로 인해 이는 코언-매콜리 환이 될 수 없다. (반면, ‘두꺼운 점’만이 존재하는 경우인 $K[x,y]/(x^2)$ 는 코언-매콜리 환이다.)

구체적으로, 원점에 해당하는 극대 아이디얼 $\mathfrak m = (x,y)$ 에서의 국소 가환환 $R_{\mathfrak m}$ 을 취하자. 이 경우, $\mathfrak mR_{\mathfrak m}$ 에 속하는 임의의 원소 $a\in\mathfrak mR_{\mathfrak m}$ 에 대하여, $ax = 0$ 이므로, $R_{\mathfrak m}$ 의 극대 아이디얼에 포함되는 모든 원소는 영인자이며, 특히 극대 아이디얼에 포함되는 모든 정칙렬의 길이는 0이다. 따라서 $R$ 의, $\mathfrak m$ 에서의 깊이는 0이다. 그러나
: $(x,y)R_{\mathfrak m} \subsetneq (x)R_{\mathfrak m}$
이므로 $R_{\mathfrak m}$ 의 크룰 차원( $\mathfrak m$ 의 높이)은 1이다.

따라서 $R_{\mathfrak m}$ 은 코언-매콜리 국소환이 아니며, $R$ 는 코언-매콜리 환이 아니다.

체 $K$ 에 대하여,
: $R = \frac{K[x,y,z,w]}{(x,y)(z,w)}$
를 생각하자. 기하학적으로, 이는 4차원 아핀 공간 속의, $x=y=0$ 평면과 $z=w=0$ 평면의 합집합이다. 이 환은 어디서나 같은 차원(즉, 2차원)을 갖는다 (즉, 극대 아이디얼의 국소 가환환의 크룰 차원이 항상 2이다). 그러나 이는 (원점에서) 코언-매콜리 환이 아니다.

판별 기준을 사용하면, 내장된 점이 있는 곡선을 구성하여 코언-매콜리 곡선이 아닌 쉬운 예시를 얻을 수 있다. 예를 들어, 스킴
: $X = \text{Spec}\left( \frac{\Complex[x,y]}{(x^2,xy)} \right)$
은 소 아이디얼 $(x)\cdot(x,y)$ 로 분해된다. 기하학적으로 이는 원점에 내장된 점이 있는 $y$ 축으로, 이는 "뚱뚱한 점"으로 생각할 수 있다. 매끄러운 사영 평면 곡선 $C \subset \mathbb{P}^2$ 가 주어졌을 때, 동일한 기술을 사용하여 내장된 점이 있는 곡선을 구성할 수 있다. 점 $x \in C$ 의 아이디얼 $I_x$ 를 찾아 곡선 $C$ 의 아이디얼 $I_C$ 와 곱한다. 그러면
: $X = \text{Proj}\left( \frac{\Complex[x,y,z]}{I_C \cdot I_x} \right)$
는 $x$ 에서 내장된 점이 있는 곡선이다.

만약 K가 체라면, 링 R = K[x,y]/(x²,xy) (내포된 점이 있는 선의 좌표 링)은 코언-매콜리가 아니다. 이는 예를 들어 기적적 평탄성에 의해 증명된다. R은 다항식 링 A = K[y] 위에서 유한하며, 아핀 선 Spec A의 점 중 y ≠ 0인 점에서는 차수 1을 가지지만, y = 0인 점에서는 차수 2를 가진다 (왜냐하면 K-벡터 공간 K[x]/(x²)의 차원은 2이기 때문이다).

만약 K가 체라면, 링 K[x,y,z]/(xy,xz) (선과 평면의 합집합의 좌표 링)은 환원적이지만 동일 차원이 아니므로 코언-매콜리가 아니다. 비영인자 x−z로 몫을 취하면 위에서 언급된 예제가 된다.

만약 K가 체라면, 링 R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (점에서 만나는 두 평면의 합집합의 좌표 링)은 환원적이고 동일 차원이지만 코언-매콜리가 아니다. 이를 증명하기 위해, 하츠숀의 연결성 정리를 사용할 수 있다: 만약 R이 2차원 이상인 코언-매콜리 국소 링이라면, Spec R에서 닫힌 점을 뺀 것은 연결되어 있다.

두 코언-매콜리 링의 세그레 곱은 코언-매콜리일 필요는 없다.

K가 체일 경우, 형식적 멱급수환의 상 $Kx,y/(x^2,xy)$ (국소환의, 매몰된 이중점을 갖는 직선의 이중점에 있어서의 완비화)는 코언-매콜리가 아니다. 왜냐하면 깊이 0이지만 차원 1이기 때문이다.

K가 체일 경우, 환 $Kx,y,z/(xy,xz)$ (국소환의, 평면과 직선의 공통 부분에서의 완비화)는 코언-매콜리가 아니다. $x-z$ 로 나누면 바로 앞의 예제를 얻을 수 있다.

K가 체일 경우, 환 $Kw,x,y,z/(wy,wz,xy,xz)$ (국소환의, 한 점에서 교차하는 두 평면의 공통 부분에서의 완비화)는 코언-매콜리가 아니다. $w-x$ 로 나누면 바로 앞의 예제를 얻을 수 있다.

5. 코언-매콜리 곡선

코언-매콜리 곡선은 코언-매콜리 스킴의 특수한 경우이지만, 매끄러운 궤적 $\mathcal{M}_g$ 의 경계가 코언-매콜리 곡선인 곡선의 모듈라이 공간을 압축하는 데 유용하다. 곡선이 코언-매콜리 곡선인지 여부를 결정하는 데 유용한 기준이 있다. 차원이 $\leq 1$ 인 스킴은 내장된 소수가 없는 경우에만 코언-매콜리 스킴이다. 코언-매콜리 곡선에 존재하는 특이점은 평면 곡선 경우를 살펴봄으로써 완전히 분류될 수 있다.

6. 교차 이론과의 관계

코언-매콜리 스킴은 교차 이론과 특별한 관계를 가진다. X가 매끄러운 다양체이고, V, W가 순수한 차원의 닫힌 부분 스킴이라고 하자. Z를 스킴 이론적 교차 $V \times_X W$ 의 고유 성분, 즉, 예상된 차원의 기약 성분이라고 하자. 만약 $V \times_X W$ 의 Z의 일반점에서의 국소환 A가 코언-매콜리이면, Z를 따라 V와 W의 교차 중복도는 A의 길이로 주어진다.

: $i(Z, V \cdot W, X) = \operatorname{length}(A)$ .

일반적으로, 그 중복도는 본질적으로 코언-매콜리 환을 특징짓는 길이로 주어지며, #성질을 참조하면 된다. 중복도 1 조건은 대략적으로 중복도 1의 국소환으로서 정규 국소환을 특징짓는다.

7. 역사

프랜시스 소어비 매콜리(Francis Sowerby Macaulay^영어)는 1916년에 다항식환이 (현대적인 용어로) 코언-매콜리 환임을 증명하였고, 어빈 솔 코언은 1946년에 형식적 멱급수환도 마찬가지 성질을 가짐을 보였다. 이후 매콜리와 코언의 이름을 따서 이름붙여졌다.

멜빈 혹스터(Melvin Hochster^영어)는 코언-매콜리 환의 개념에 대하여 다음과 같이 적었다.