트위스터 이론

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1. 개요

트위스터 이론은 3+1차원 시공간의 기하학적 대상을 계량 부호 (2,2)를 갖는 4차원 공간인 트위스터 공간으로 사상하는 이론이다. 로저 펜로즈가 1967년에 양자 중력 이론으로 가는 길로 제창했으며, 임의의 스핀을 가진 질량이 없는 장의 운동 방정식을 푸는 데 유용하다. 양-밀스 이론과 아인슈타인 방정식의 해를 구성하는 데 사용되며, 끈 이론과의 통합을 시도하는 등 다양한 연구가 진행되고 있다. 슈퍼트위스터, 암비트위스터 공간, 팰라티얼 트위스터 이론 등 확장된 이론들도 존재하며, 적분가능계, 산란 진폭 계산 등에도 응용된다.

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트위스터 이론
개요
트위스터 이론은 시공간의 점을 복소 공간의 선으로 변환하고, 시공간의 선을 복소 공간의 점으로 변환한다.
유형	물리학 이론
분야	수학, 이론물리학
개발자	로저 펜로즈
최초 제안	1967년
세부 사항
주요 개념	트위스터 공간, 비선형 중력자
관련 개념	양자 중력, 일반 상대성 이론, 양자장론
응용 분야	끈 이론, 게이지 이론

2. 역사

로저 펜로즈는 1967년에 양자 중력 이론으로 가는 가능한 길로 트위스터 이론을 제창했다.^[48] 펜로즈는 질량 없는 장의 운동 방정식을 푸는 자연스러운 방법을 제시하였다.

초기에 사영 트위스터 공간 $\mathbb{PT}$ 는 사영 3-공간 $\mathbb{CP}^3$ 으로, 3차원 복소 대수 다양체였다. 이는 질량이 없는 입자가 스핀을 가지는 공간으로 해석되었다. 비사영 트위스터 공간 $\mathbb{T}$ 는 4차원 복소 벡터 공간의 사영화이며, 에르미트 형식은 부호 (2, 2)를 가지고, 정칙 부피 형식을 가진다. 트위스터 공간은 민코프스키 공간의 등각군에 대한 키랄 스피너 공간, 스핀 군의 기본 표현으로 이해될 수 있다.

트위스터 이론은 펜로즈 변환을 통해 민코프스키 공간의 물리장을 트위스터 공간의 복소해석 객체로 인코딩한다. 이는 스핀을 가진 질량 없는 장에 자연스럽다. 체흐 표현식으로 더 깊이 이해될 수 있다.^[5]^[6]^[7]

이후 펜로즈의 비선형 중력자 구성^[8]에서 자기 쌍대 중력과, Ward 구성을 통해 양-밀스 장의 자기 쌍대화^[9]를 포함하여 특정 비선형장으로 확장되었다. 이는 적분 가능 시스템 이론을 포함하여 광범위하게 적용되었다.^[10]^[11]^[12] 자기 쌍대 조건은 물리 이론의 완전한 비선형성을 통합하는 데 제한적이지만, 양-밀스-힉스 자기 단극자와 인스턴톤에는 충분하다(ADHM 구성 참조).^[13]

이 제약을 극복하기 위해 Isenberg, Yasskin 및 Green은 '''암비트위스터'''를 도입했고,^[14] 에드워드 위튼은 '''슈퍼 암비트위스터'''로 확장했다.^[15] 암비트위스터 공간은 복소화된 광선 또는 질량이 없는 입자의 공간이며, 트위스터 설명의 복소화 또는 접다발로 간주될 수 있다. 위튼은 초대칭 양-밀스 이론 내에서 추가 확장을 보였고, 이는 영 곡률 제약 방정식과 초대칭 양-밀스 장 방정식 사이의 동등성을 제공하는 것으로 나타났다.^[16]^[17]

2003년, 에드워드 위튼은 끈 이론의 위상적 B 모형을 트위스터 공간에 통합하여 트위스터와 끈 이론을 통합하는 트위스터 끈 이론을 제창했다.^[49] 이는 양-밀스 이론의 트리 레벨 S-행렬에 대한 RSV (Roiban, Spradlin 및 Volovich) 공식을 생성했지만,^[21] 등각 중력의 한계로 적용이 제한되었다.^[22]

트위스터 끈 이론은 산란 진폭 연구에서 발전을 이끌었다. MHV 형식^[23]과 BCFW 재귀^[25]가 도입되었고, 그라스만 적분 공식^[28]^[29] 및 다면체를 사용하여 산란 진폭의 공식을 생성하는 트위스터 공간에서 자연스러운 형식을 갖는다.^[26]^[27]^[30] 이러한 아이디어는 양의 그라스만^[31] 및 진폭다포체로 발전했다.

시모네 스페치알레는 공동 연구자들과 함께 트위스터를 루프 양자 중력 이론에 응용하였다.

2. 1. 펜로즈의 초기 제안 (1967년)

로저 펜로즈는 1967년에 양자 중력 이론으로 가는 가능한 길로서 트위스터 이론을 제창했다.^[48] 트위스터는 임의의 스핀을 가진 질량이 없는 장의 운동 방정식을 푸는 자연스러운 방법으로 제시되었다.

펜로즈의 초기 제안에서, 사영 트위스터 공간

\mathbb{PT}

는 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

으로, 가장 간단한 3차원 복소 대수 다양체였다. 이는 질량이 없는 입자가 스핀을 가지는 공간으로 물리적으로 해석되었다. 이 공간은 4차원 복소 벡터 공간의 사영화인 비사영 트위스터 공간

\mathbb{T}

이며, 에르미트 형식은 부호 (2, 2)를 가지고, 정칙 부피 형식을 가진다.

트위스터 공간은 민코프스키 공간의 등각군

SO(4,2)/\mathbb{Z}_2

에 대한 키랄 (바이어) 스피너의 공간으로 이해될 수 있으며, 등각군의 스핀 군

SU(2,2)

의 기본 표현이기도 하다.

2. 2. 양-밀스 이론 및 아인슈타인 방정식과의 관계

트위스터 이론은 펜로즈 변환을 통해 민코프스키 공간의 물리장을 트위스터 공간의 복소해석 객체로 인코딩한다. 이는 임의의 스핀을 가진 질량 없는 장에 특히 자연스러우며, 트위스터 공간에서 자유 정칙 함수를 사용하여 적분 경로 공식을 통해 얻어진다.^[4] 질량 없는 장 방정식의 해를 생성하는 정칙 트위스터 함수는 체흐 표현식으로 더 깊이 이해될 수 있다.^[5]^[6]^[7]

이러한 대응 관계는 펜로즈의 비선형 중력자 구성^[8]에서 자기 쌍대 중력과, Ward 구성을 통해 양-밀스 장의 자기 쌍대화^[9]를 포함하여 특정 비선형장으로 확장되었다. 전자는 트위스터 공간(

\mathbb{PT}

) 영역에서 기본 복소 구조의 변형을 생성하며, 후자는

\mathbb{PT}

영역에 대한 특정 정칙 벡터 다발을 생성한다. 이러한 구성은 적분 가능 시스템 이론을 포함하여 광범위하게 적용되었다.^[10]^[11]^[12]

자기 쌍대 조건은 물리 이론의 완전한 비선형성을 통합하는 데 주요한 제한 사항이지만, 양-밀스-힉스 자기 단극자와 인스턴톤에는 충분하다(ADHM 구성 참조).^[13]

2. 3. 위튼의 트위스터 끈 이론 (2003년)

에드워드 위튼은 2003년에 끈 이론의 위상적 B 모형을 트위스터 공간에 통합하여 트위스터와 끈 이론을 통합하는 것을 제창했다.^[49] 그의 목적은 특정 양-밀스 이론의 진폭을 모델링하는 것이었고, 그 결과로 얻어진 모델은 트위스터 끈 이론으로 알려져 있다.

트위스터 끈 이론은 양-밀스 이론의 트리 레벨 S-행렬에 대한 RSV (Roiban, Spradlin 및 Volovich) 공식을 만들어 냈는데, 이는 매우 간결했다.^[21] 그러나 중력 자유도는 등각 초대칭의 한 버전을 생성하여 적용 가능성을 제한했다. 등각 중력은 유령을 포함하는 비물리적 이론이지만, 그 상호작용은 트위스터 끈 이론을 통해 계산된 루프 진폭에서 양-밀스 이론과 결합된다.^[22]

이러한 단점에도 불구하고, 트위스터 끈 이론은 산란 진폭 연구에서 급속한 발전을 이끌었다. 그 중 하나는 느슨하게 분리된 끈을 기반으로 한 소위 MHV 형식^[23]이었지만, 트위스터 공간에서 전체 양-밀스 이론에 대한 트위스터 작용을 통해 더 기본적인 기반이 주어졌다.^[24] 또 다른 주요 발전은 BCFW 재귀의 도입이었다.^[25] 이는 그라스만 적분 공식^[28]^[29] 및 다면체를 사용하여 산란 진폭의 놀라운 공식을 생성하는 트위스터 공간에서 자연스러운 형식을 갖는다.^[26]^[27]^[30] 이러한 아이디어는 최근 양의 그라스만^[31] 및 진폭다포체로 발전했다.

2. 4. 루프 양자 중력 이론으로의 응용

에드워드 위튼은 끈 이론의 위상적 B 모형을 트위스터 공간에 통합하여 트위스터와 끈 이론을 통합하는 모델을 제시하였으며, 이 모델은 트위스터 끈 이론으로 알려져 있다.^[49] 시모네 스페치알레는 공동 연구자들과 함께 트위스터를 루프 양자 중력 이론에 응용하였다.

3. 트위스터 공간

사영 트위스터 공간 $\mathbb{PT}$ 는 3차원 복소 사영 다양체 $\mathbb{CP}^3$ 이다. 이는 계량 부호수 (2,2)인 에르미트 형식과 정칙 부피 형식이 주어진 4차원 복소 선형 공간 $\mathbb{T}$ 를 사영화하여 얻는다. $\mathbb{T}$ 는 비사영 트위스터 공간이라고 불린다. 사영 트위스터 공간은 스핀을 가진 질량이 없는 입자들의 공간으로 해석된다.^[53]^[54]

트위스터 이론은 펜로즈 변환을 통해 민코프스키 공간의 물리장을 트위스터 공간의 복소해석 객체로 인코딩한다. 이는 임의의 스핀을 가진 질량 없는 장에 특히 자연스럽다. 질량 없는 장 방정식의 해를 생성하는 정칙 트위스터 함수는 $\mathbb{PT}$ 의 영역에서 해석적인 코호몰로지류의 체흐 표현식으로 이해될 수 있다. 이러한 대응 관계는 펜로즈의 비선형 중력자 구성^[8]에서 자기 쌍대 중력과, Ward 구성을 통해 양-밀스 장의 자기 쌍대화^[9]를 포함하여 특정 비선형장으로 확장되었다. 전자는 $\mathbb{PT}$ 의 영역에서 기본 복소 구조의 변형을 생성하며, 후자는 $\mathbb{PT}$ 의 영역에 대한 특정 정칙 벡터 다발을 생성한다. 이러한 구성은 적분 가능 시스템 이론을 포함하여 광범위하게 적용되었다.^[10]^[11]^[12]

자기 쌍대 조건은 물리 이론의 완전한 비선형성을 통합하는 데 주요한 제한 사항이지만, 양-밀스-힉스 자기 단극자와 인스턴톤에는 충분하다(ADHM 구성 참조).^[13] 이 제약을 극복하려는 초기 시도는 Isenberg, Yasskin 및 Green에 의한 암비트위스터의 도입^[14]과, 에드워드 위튼에 의한 초공간 확장인 슈퍼 암비트위스터이다.^[15]

3. 1. 사영 트위스터 공간 (PT)

사영 트위스터 공간

\mathbb{PT}

는 3차원 복소 사영 다양체

\mathbb{CP}^3

이다. 이는 계량 부호수 (2,2)인 에르미트 형식과 정칙 부피 형식이 주어진 4차원 복소 선형 공간

\mathbb{T}

를 사영화하여 얻는다. 여기서

\mathbb{T}

는 비사영 트위스터 공간이라고 불린다. 사영 트위스터 공간은 스핀을 가진 질량이 없는 입자들의 공간으로 해석된다.^[53]^[54]

사영 트위스터 공간은 3차원 복소 대수 다양체인 사영 3-공간

\mathbb{CP}^3

으로 표현되며, 질량이 없는 입자가 스핀을 가지는 공간으로 물리적으로 해석된다. 이는 부호 (2, 2)를 가지는 에르미트 형식과 정칙 부피 형식을 가진다.^[4]^[5]^[6]^[7]

3. 2. 비사영 트위스터 공간 (T)

비사영 트위스터 공간

\mathbb{T}

는 좌표

Z^{\alpha} = \left(\omega^{A},\, \pi_{A'}\right)

로 주어지는 4차원 복소 벡터 공간이다. 여기서

\omega^A

와

\pi_{A'}

는 두 개의 상수 바일 스피너이다.

\mathbb{T}

에는 에르미트 형식이 정의되어 있는데, 이는

\mathbb{T}

에서 그 쌍대 공간

\mathbb{T}^*

로의 복소 켤레

\bar Z_\alpha = \left(\bar\pi_A,\, \bar \omega^{A'}\right)

를 통해 다음과 같이 표현된다.

:

Z^\alpha \bar Z_\alpha = \omega^{A}\bar\pi_{A} + \bar\omega^{A'}\pi_{A'}.

이 에르미트 형식은 정칙 부피 형식

\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} Z^\alpha dZ^\beta \wedge dZ^\gamma \wedge dZ^\delta

와 함께, 콤팩트화된 민코프스키 시공간의 등각군 C(1,3) (또는 민코프스키 공간의 등각군

SO(4,2)/\mathbb{Z}_2

)의 4중 덮개(covering)인 군 SU(2,2)에 대해 불변이다. 이는 등각군

SO(4,2)/\mathbb{Z}_2

의 스핀군

SU(2,2)

의 기본 표현이며, 바일 스피너들의 공간으로 이해할 수 있다.

민코프스키 공간의 점들은 다음의 입사 관계(incidence relation)를 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다.

:

\omega^{A} = ix^{AA'}\pi_{A'}.

이 입사 관계는 트위스터의 크기 조정에 대해 보존되므로, 보통 사영 트위스터 공간

\mathbb{PT}

에서 다룬다.

4. 트위스터 대응

민코프스키 공간 $M$ 의 좌표 $x^a = (t, x, y, z)$ 와 부호수 $(1, 3)$ 인 로런츠 계량 $\eta_{ab}$ 을 생각하자. 2성분 스피너 지수 $A = 0, 1;\; A' = 0', 1'$ 를 도입하고 다음과 같이 정의한다.

: $x^{AA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t - z & x + iy \\ x - iy & t + z \end{pmatrix}.$

두 개의 상수 바일 스피너 $\omega^A$ 와 $\pi_{A'}$ 에 대해, 비사영 트위스터 공간 $\mathbb{T}$ 는 좌표가 $Z^{\alpha} = \left(\omega^{A},\, \pi_{A'}\right)$ 과 같은 4차원 복소 선형 공간이다. 에르미트 형식은 $\mathbb{T}$ 에서 쌍대 공간 $\mathbb{T}^*$ 로 가는 복소 켤레 $\bar Z_\alpha = \left(\bar\pi_A,\, \bar \omega^{A'}\right)$ 를 정의하여 표현할 수 있다. 이에 따라, 에르미트 형식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $Z^\alpha \bar Z_\alpha = \omega^{A}\bar\pi_{A} + \bar\omega^{A'}\pi_{A'}.$

이것은 정칙 부피 형식 $\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} Z^\alpha dZ^\beta \wedge dZ^\gamma \wedge dZ^\delta$ 와 함께, 컴팩트화된 민코프스키 시공간의 등각 군 C(1,3)의 4중 덮개인 군 SU(2,2)에서 불변이다.

민코프스키 공간과 트위스터 공간 사이에는 입사 관계가 성립하며, 이를 통해 두 공간의 점과 부분 공간 간의 대응 관계를 이해할 수 있다. 이 입사 관계에 대한 자세한 설명은 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 입사 관계

민코프스키 공간의 점은 다음의 입사 관계를 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다.

:

\omega^{A} = ix^{AA'}\pi_{A'}.

여기서

\omega^{A}

와

\pi_{A'}

는 두 개의 상수 바일 스피너이고,

x^{AA'}

는 민코프스키 공간의 점을 나타내는 행렬이며, 다음과 같이 정의된다.

:

x^{AA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t - z & x + iy \\ x - iy & t + z \end{pmatrix}.

이 입사 관계는 트위스터의 전체 크기 조정 하에서 보존되므로, 일반적으로 사영 트위스터 공간

\mathbb{PT}

에서 다룬다. 사영 트위스터 공간은 복소 다양체

\mathbb{CP}^3

와 동형이다. 따라서, 민코프스키 공간의 점

x

는

\mathbb{PT}

안에서

\pi_{A'}

로 매개변수화되는 직선 CP¹을 결정한다.

이 관계를 통해 민코프스키 공간의 점과 트위스터 공간의 부분 공간 사이의 대응 관계를 이해할 수 있다.

4. 2. 물리적 해석

민코프스키 공간의 점은 다음 입사 관계를 통해 트위스터 공간의 부분 공간과 관련된다.

:

\omega^{A} = ix^{AA'}\pi_{A'}.

이 입사 관계는 트위스터의 크기 조정에 영향을 받지 않으므로, 보통 사영 트위스터 공간

\mathbb{PT}

에서 다룬다. 사영 트위스터 공간은 복소 다양체

\mathbb{CP}^3

와 같다. 따라서, 민코프스키 공간의 점

x

는

\mathbb{PT}

안에서

\pi_{A'}

로 매개변수화되는 직선

\mathbb{CP}^1

을 결정한다.

시공간에서 트위스터

Z^\alpha

는 자체 쌍대인 완전히 null인 2차원 평면을 결정하는 복소 좌표 값으로 가장 쉽게 이해할 수 있다.

x

가 실수일 때,

Z^\alpha \bar Z_\alpha = 0

이면

x

는 광선 위에 놓여 있다. 만약

Z^\alpha \bar Z_\alpha \neq 0

이면, 해가 존재하지 않으며, 이 경우

Z^{\alpha}

는 실수 시공간에 국한되지 않는 스핀을 가진 질량이 없는 입자에 해당한다.^[4]

5. 확장된 이론

트위스터 이론은 여러 방향으로 확장되었다. 원래 트위스터 이론은 민코프스키 공간의 물리적 장을 트위스터 공간의 복소 해석학적 대상으로 형식화하는 펜로즈 변환을 이용하며, 이는 임의의 스핀을 가진 질량이 없는 장에 대해 자연스럽다. 초기에는 트위스터 공간에서 자유 정칙 함수를 이용한 선적분 공식을 통해 얻어졌지만, 나아가 정칙 트위스터 함수는 체흐 대표원으로 이해될 수 있게 되었다.

이러한 대응관계는 펜로즈의 비선형 중력자 구성^[55]의 자기 쌍대 중력과 와드 구성의 자체 쌍대 양-밀스 장을 포함하여 특정 비선형 장들로 확장되었고,^[56] 적분가능계 이론 등 다양한 분야에 응용된다.^[57]^[58]^[59]

하지만 자기 쌍대성 조건은 양-밀스–힉스 자기 홀극 및 순간자에는 충분하지만, 물리적 이론의 완전한 비선형성을 통합하는 데는 제한적이었다(ADHM 구성 참조).^[60] 이를 극복하기 위해 에드워드 위튼^[61]과 아이젠베르크, 예스킨 & 그린^[62]은 Ambitwistor를 도입하였다. Ambitwistor 공간은 복소화된 광선 또는 질량이 없는 입자들의 공간이며, 트위스터 설명의 복소화 또는 여접다발로 간주될 수 있다.

에드워드 위튼의 트위스터 끈 이론은 상호 작용에 대한 트위스터 공식을 제시하였다.^[63] 이는 리만 곡면에서 트위스터 공간으로의 정칙 사상의 양자 이론으로, 양-밀스 이론의 트리 수준 S-행렬에 대한 RSV(Roiban, Spradlin & Volovich) 공식을 도출했다.^[64] 그러나 이 이론의 중력 자유도는 등각 초중력 버전을 발생시켜 적용 가능성에 제한이 있었다. 등각 중력은 유령을 포함하여 물리적이지 않지만, 그 상호 작용은 트위스터 끈 이론을 통해 계산된 루프 진폭에서 양-밀스 이론의 상호 작용과 결합된다.^[65]

트위스터 끈 이론은 산란 진폭 연구에 큰 발전을 가져왔다. 분리된 끈에 기반을 둔 MHV 형식주의^[66]와 BCFW 재귀^[68]가 도입되었고, 이는 트위스터 공간에서 자연스러운 공식을 가지며,^[69]^[70] 그라스만 적분 공식^[71]^[72] 및 다포체를 이용한 산란 진폭의 새로운 공식을 이끌어냈다.^[73] 이러한 아이디어는 양의 그라스마니안과 진폭면체로 발전되었다.

Cachazo & Skinner^[74]는 중력에 대한 확장을 제시했고, David Skinner는 최대 초중력에 대한 트위스터 끈 이론을 공식화했다. Cachazo, He & Yuan은 양-밀스 이론과 중력^[75] 및 다른 이론에 대해 모든 차원에서 유사한 공식을 발견했다.^[76] Mason & Skinner^[77]는 암비트위스터 공간의 끈이론을 통해 일반적 이론의 틀을 제시하여, 여러 새로운 모델과 공식을 제공하였다.^[78]^[79]^[80] 끈 이론으로서, 이들은 전통적인 끈 이론과 같은 임계 차원을 가진다. 예를 들어 유형 II 초대칭 버전은 10차원에서 중요하며, 10차원에서 유형 II 초중력의 전체 장 이론과 동일하다.

5. 1. 슈퍼트위스터

1978년 앨런 페르버(Alan Ferber)는 트위스터에 초대칭을 추가하여 슈퍼트위스터를 도입했다.^[43] 비사영 트위스터 공간은 페르미온 좌표로 확장된다. 초대칭 수를 나타내는

\mathcal{N}

과 함께, 반교환인

\eta^i

를 사용하여 트위스터는

\left(\omega^A,\, \pi_{A'},\, \eta^i\right), i = 1, \ldots, \mathcal{N}

로 표현된다. 초등각군

SU(2,2|\mathcal{N})

은 이 공간에 자연스럽게 작용하며, 펜로즈 변환의 초대칭 버전은 슈퍼트위스터 공간의 코호몰로지 류를 슈퍼 민코프스키 공간의 질량이 없는 초대칭 다중항(multiplet)으로 변환한다.

\mathcal{N} = 4

인 경우는 펜로즈의 원래 트위스터 끈에 해당하며,

\mathcal{N} = 8

인 경우는 스키너(Skinner)의 초중력 일반화에 해당한다.

5. 2. 암비트위스터 공간

Ambitwistor^영어 공간은 복소화된 광선 또는 질량이 없는 입자들의 공간이며, 원래 트위스터 설명의 복소화 또는 여접다발로 간주될 수 있다. 이들은 일반 장에 적용되지만 장 방정식은 더 이상 그렇게 간단하게 표현되지 않는다.^[62]

자기 쌍대 섹터를 넘어서는 상호 작용에 대한 트위스터 공식은 에드워드 위튼의 트위스터 끈 이론에서 처음 나왔다.^[63] 이것은 리만 곡면에서 트위스터 공간으로 가는 정칙 사상의 양자 이론이다.

Isenberg, Yasskin 및 Green^[14]은 암비트위스터 대응 관계를 적절하게 정의된 형식적 근방으로 확장하여, 그러한 확장된 영 선을 따라 곡률이 사라지는 것과 완전한 양-밀스 장 방정식 사이의 동등성을 보였다.^[14] 위튼은 페르미온 장 및 스칼라 장을 포함하는 초대칭 양-밀스 이론의 틀 내에서 추가 확장을 보여주었는데, 이는 ''N'' = 1 또는 2 초대칭의 경우 제약 방정식을, ''N'' = 3 (또는 4)의 경우 슈퍼 영 선(슈퍼 암비트위스터)을 따라 슈퍼 곡률이 사라지는 조건이 장 방정식의 전체 집합, 페르미온 장에 대한 방정식을 포함함을 의미했다. 이는 이후 영 곡률 제약 방정식과 초대칭 양-밀스 장 방정식 사이의 동등성을 제공하는 것으로 나타났다.^[16]^[17] 또한, 차원 축소를 통해 10차원, ''N'' = 1 슈퍼 양-밀스 이론에 대한 유사한 슈퍼 암비트위스터 대응 관계에서 추론될 수 있다.^[18]^[19]

메이슨과 스키너는 암비트위스터 공간의 끈 이론을 제시하였는데,^[77] 이는 원래 트위스터 끈을 포함하고 다수의 새로운 모델과 공식을 제공하도록 확장되는 일반적인 프레임워크이다.^[78]^[79]^[80]

5. 3. 고차원 일반화

트위스터 이론의 기반이 되는 클라인 대응은 고차원으로 일반화될 수 있으며, 이는 등방성 부분 공간에 적용된다.^[1] 이러한 고차원 일반화는 등각적으로 콤팩트화된 (복소화된) 민코프스키 공간과 그 초공간 확장에도 적용된다.^[1]

5. 4. 초켈러 다양체

4k

차원 초켈러 다양체는 복소수 차원이

2k+1

인 트위스터 공간과 트위스터 대응을 이룬다.^[44]

5. 5. 팰라티얼 트위스터 이론

펜로즈가 제시한 트위스터 공간에 대한 비가환 기하학 기반의 팰라티얼 트위스터 이론은 ''우수'' 장을 부호화하는 문제를 다룬다.^[46] 무한소적으로, 우수 장은 트위스터 함수 또는 코호몰로지 동차성 −6의 클래스에서 부호화된다. 이러한 트위스터 함수를 완전 비선형 방식으로 사용하여 ''우수'' 비선형 중력자를 얻는 작업은 ('''중력''') '''구글리 문제'''로 불린다.^[45] 여기서 "구글리"는 크리켓 경기에서 좌수 헬리시티를 유발하는 겉보기 동작을 사용해 우수 헬리시티로 볼링된 공을 가리키는 용어이다.

팰라티얼 트위스터 이론은 마이클 아티야^[47]가 펜로즈에게 이론의 중요한 구성 요소인 일종의 "비가환 대수" 사용을 제안한 버킹엄 궁전의 이름을 따서 명명되었다. 이 이론의 기본 트위스터 구조는 트위스터 공간이 아닌 비가환 정칙 트위스터 양자 대수를 모델로 했다.

6. 응용

트위스터 이론은 민코프스키 공간의 물리적 장을 펜로즈 변환을 통해 트위스터 공간의 복소 해석학적 대상으로 형식화한다. 이는 임의의 스핀을 가진 질량이 없는 장에 대해 자연스러우며, 트위스터 공간에서 자유 정칙 함수를 이용한 선적분 공식으로 얻어진다. 질량 없는 장 방정식의 해를 나타내는 정칙 트위스터 함수는 $\mathbb{PT}$ 영역 위에서 해석적 코호몰로지 류의 체흐 대표원으로 이해된다. 이 대응관계는 펜로즈의 비선형 중력자 구성^[55]의 자기 쌍대 중력과 와드 구성의 자체 쌍대 양-밀스 장을 포함하여 특정 비선형 장들로 확장되었다.^[56]

양-밀스–힉스 자기 홀극 및 순간자에 대해서는 자기 쌍대성 조건으로 충분하지만, 물리적 이론의 완전한 비선형성을 통합하기에는 제한적이었다(ADHM 구성 참조).^[60] 이를 극복하기 위해 에드워드 위튼^[61]과 아이젠베르크, 예스킨 & 그린은 Ambitwistor를 도입했다.^[62] Ambitwistor 공간은 복소화된 광선 또는 질량이 없는 입자들의 공간이며, 트위스터 설명의 복소화 또는 여접다발로 간주될 수 있다.

에드워드 위튼의 트위스터 끈 이론은 자기 쌍대 섹터를 넘어서는 기본 상호작용에 대한 트위스터 공식을 처음으로 제시했다.^[63] 최근에는 양의 그라스마니안과 진폭면체로 발전하였다.

Cachazo & Skinner^[74]는 중력에 대한 확장을, David Skinner는 최대 초중력에 대한 트위스터 끈 이론을 공식화했다. Cachazo, He & Yuan은 양-밀스 이론과 중력^[75] 및 다양한 이론에 대해 모든 차원에서 유사한 공식을 발견했다.^[76] Mason & Skinner^[77]는 이를 ambitwistor 공간의 끈 이론으로 이해했으며,^[78]^[79]^[80] 이는 원래 트위스터 끈을 포함하고 확장되어 여러 새로운 모델과 공식을 제공한다. 끈 이론으로서 이들은 전통적인 끈 이론과 같은 임계 차원을 갖는다. 예를 들어 유형 II 초대칭 버전은 10차원에서 중요하며 10차원에서 유형 II 초중력의 전체 장 이론과 동일하다. 이들은 루프 진폭에 대한 공식을 제공하도록 확장되고^[81]^[82] 휘어진 배경에서 정의될 수 있다.^[83]

이론물리학 및 수리물리학에서 트위스터 이론은 3+1차원 시공간 (민코프스키 시공간)의 기하학적 대상을 계량 부호 (2,2)를 갖는 4차원 공간의 기하학적 대상으로 사상한다. 이 공간은 트위스터 공간이며, 복소수 값을 갖는 좌표는 "트위스터"라고 불린다.

로저 펜로즈는 1967년에 트위스터 이론을 양자 중력 이론으로 가는 가능한 길로 제창했다.^[48] 트위스터는 임의의 스핀의 질량이 없는 장의 운동 방정식을 푸는 자연스러운 방법이다. 양-밀스 이론이나 아인슈타인 방정식의 해 구성 등에 사용될 뿐만 아니라 양자 중력 이론과의 관계에서 연구되고 있다.

2003년, 에드워드 위튼은 끈 이론의 위상적 B 모형을 트위스터 공간에 통합하여 트위스터와 끈 이론을 통합하는 것을 제창했다.^[49] 그의 목적은 특정 양-밀스진폭을 모델링하는 것이었다. 결과적으로 얻어진 모델은 트위스터 끈 이론으로 알려져 있다(:en:Twistor theory#Twistor string theory 참조). :en:Simone Speziale과 공동 연구자는 트위스터를 루프 양자 중력 이론에 응용했다.

6. 1. 적분가능계

트위스터 이론은 적분 가능 시스템 이론에서 널리 적용되었다.^[10]^[11]^[12] 펜로즈 변환을 통해 민코프스키 공간의 물리장을 트위스터 공간의 복소해석 객체로 인코딩한다. 이는 임의의 스핀을 가진 질량 없는 장에 특히 자연스럽다. 우선, 트위스터 공간의 영역에서 자유 정칙 함수를 사용하여 적분 경로 공식을 통해 얻어진다. 질량 없는 장 방정식의 해를 생성하는 정칙 트위스터 함수는

\mathbb{PT}

의 영역에서 해석적인 코호몰로지류의 체흐 표현식으로 더 깊이 이해될 수 있다. 이러한 대응 관계는 펜로즈의 비선형 중력자 구성^[8]에서 자기 쌍대 중력과, 소위 Ward 구성을 통해 양-밀스 장의 자기 쌍대화^[9]를 포함하여 특정 비선형장으로 확장되었다. 전자는

\mathbb{PT}

의 영역에서 기본 복소 구조의 변형을 생성하며, 후자는

\mathbb{PT}

의 영역에 대한 특정 정칙 벡터 다발을 생성한다.

6. 2. 산란 진폭 계산

에드워드 위튼의 트위스터 끈 이론은 산란 진폭 연구에 큰 영향을 주었다. 트위스터 끈 이론은 리만 곡면에서 트위스터 공간으로의 정칙 사상을 양자화한 이론이다.^[63] 이 이론을 통해 양-밀스 이론의 트리 수준 S-행렬에 대한 RSV(Roiban, Spradlin & Volovich) 공식이 도출되었으나,^[64] 중력 자유도로 인해 초중력 버전이 발생하여 적용 가능성이 제한되었다.^[65]

이러한 한계에도 불구하고 트위스터 끈 이론은 산란 진폭 계산에 있어 다음과 같은 발전을 가져왔다.

MHV 형식주의: 분리된 끈에 기반을 둔 MHV 형식주의는 트위스터 공간에서 양-밀스 이론의 트위스터 작용을 통해 더 기본적인 토대를 제공받았다.^[66]^[67]
BCFW 재귀: BCFW 재귀는 트위스터 공간에서 자연스러운 공식을 가지며,^[69]^[70] 이는 그라스만 적분 공식^[71]^[72] 및 다면체를 이용한 산란 진폭의 새로운 공식을 이끌어냈다.^[73]
진폭다면체: 양의 그라스만과 진폭다면체 개념이 발전되었다.

트위스터 끈 이론은 RSV 양-밀스 진폭 공식을 일반화하고, 끈 이론을 발견하여 확장되었다.

7. 한국의 관점

트위스터 이론과 관련된 한국의 연구는 아직 초기 단계에 머물러 있으며, 주로 이론 물리학 분야의 일부 연구자들을 중심으로 이루어지고 있다. 한국 과학계에서 트위스터 이론이 주류 연구 분야는 아니지만, 최근 양자장론, 끈 이론 등과의 연관성이 부각되면서 관심을 가지는 연구자들이 늘어나고 있다.

한국의 트위스터 이론 연구는 주로 고등과학원(KIAS)과 같은 연구 기관이나 서울대학교, KAIST 등 주요 대학의 이론 물리학 연구실에서 이루어지고 있다. 이들 연구 기관에서는 국제 학술 교류 및 공동 연구를 통해 트위스터 이론의 최신 연구 동향을 따라가고 있다.

하지만, 한국의 트위스터 이론 연구는 아직까지 뚜렷한 성과를 내지 못하고 있으며, 연구 인력 및 예산 부족 등의 어려움을 겪고 있다. 또한, 트위스터 이론이 실험적으로 검증하기 어려운 분야라는 점도 연구 활성화에 걸림돌이 되고 있다.

그럼에도 불구하고, 트위스터 이론은 현대 물리학의 난제를 해결할 수 있는 잠재력을 지니고 있으며, 한국 과학계에서도 장기적인 관점에서 꾸준한 연구 투자가 필요하다는 인식이 확산되고 있다. 특히, 젊은 연구자들을 중심으로 트위스터 이론에 대한 관심이 높아지고 있어 앞으로의 발전 가능성이 기대된다.

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