경로 적분 공식화

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1. 개요

경로 적분 공식화는 양자역학의 한 형식으로, 1940년대 리처드 파인만에 의해 완성되었다. 이 방법은 양자역학적 확률 진폭을 계산하기 위해 모든 가능한 경로의 기여를 합산하는 방식을 사용하며, 고전역학의 최소 작용의 원리를 양자역학적으로 일반화한다. 경로 적분은 양자장론, 응집물질물리학, 핵물리학, 입자물리학, 양자 중력 및 우주론 등 다양한 분야에 적용되며, 특히 양자 터널링 현상과 같은 문제를 모델링하는 데 유용하다. 그러나 무한 차원 적분이라는 수학적 어려움과 재규격화의 필요성, 섭동 이론의 제한 등 몇 가지 한계점을 가지고 있으며, 양자 중력과 같은 분야에서는 해석에 대한 논쟁이 존재한다.

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경로 적분 공식화
경로 적분 공식화
다양한 경로의 가중 합으로 나타낸 입자의 전파자.
개요
분야	양자역학
개발자	리처드 파인만
다른 이름	파인만 경로 적분, 경로 합, 시간 슬라이스 공식화
핵심 개념	작용 전파자
배경
영감	폴 디랙의 양자역학의 라그랑주 형식에 대한 연구
발전	폴 디랙의 제안 리처드 파인만의 공식화 및 발전 존 아치볼드 휠러의 기여
최초 발표	1948년 Physical Review
수학적 구조
전파자 표현	모든 가능한 경로에 대한 함수 적분으로 나타냄
시간 슬라이스 공식화	시간 간격을 잘게 나누어 경로를 근사화
작용의 역할	각 경로의 기여도는 지수 함수의 작용에 의해 결정됨
경로의 기여	고전적인 경로 근처의 경로들이 주요하게 기여함
응용
활용 분야	양자장론 통계역학 고체물리학 양자화학 우주론
활용 사례	양자 전기역학 양자 색역학 응축 물질 물리 중력 양자화
장점
특징	자연스럽게 상대론적 역학을 다룸 고전역학과의 연결성이 명확함 다양한 양자역학적 문제에 적용 가능함
단점
해결 과제	함수 적분을 엄밀하게 계산하기 어려움 수학적 엄밀성 부족
관련 인물
주요 인물	리처드 파인만 폴 디랙 존 아치볼드 휠러
관련 주제
관련 항목	양자역학 라그랑주 역학 해밀턴 역학 전파자 함수 적분 위상 공간
추가 정보
참고 문헌	V. M. Vinokur, Dynamic Vortex Mott Transition (2015) Charlie Wood, How Our Reality May Be a Sum of All Possible Realities (2023) Stephen Wolfram, Finally We May Have a Path to the Fundamental Theory of Physics… and It’s Beautiful (2020)
추가 자료	Jeremy Bernstein, Another Dirac (2010) N. D. Hari Dass, Dirac and the Path Integral (2020)

2. 역사

2. 1. 양자역학의 발전과 경로 적분의 등장

1920년대 에르빈 슈뢰딩거와 베르너 하이젠베르크는 각각 파동역학과 행렬역학이라는 양자역학의 두 가지 형식을 제시했다. 폴 디랙은 양자역학에서 라그랑지안의 역할을 탐구하며, 시간 간격 사이의 전이 진폭이 라그랑지안의 지수 함수에 대응될 수 있음을 발견했다.

리처드 파인만은 디랙의 아이디어를 발전시켜 경로 적분 형식을 완성했다. 파인만은 디랙의 양자 작용이 대부분의 관심 있는 경우에 적절하게 이산화된 고전적 작용과 단순히 같다는 것을 보였다. 이것은 고전적 작용이 두 고정된 끝점 사이의 양자 진화에 의해 얻어지는 위상이라는 것을 의미한다. 그는 다음과 같은 가정으로부터 양자역학 전체를 복구할 것을 제안했다.

# 어떤 사건에 대한 확률은 "확률 진폭"이라고 하는 복소수의 제곱 크기로 주어진다.

# 확률 진폭은 구성 공간의 모든 경로의 기여를 더하여 얻는다.

# 어떤 경로의 기여는 ''e''^{''iS''/''ħ''}^영어에 비례하며, 여기서 ''S''^영어는 경로를 따라 라그랑주량의 시간 적분으로 주어지는 작용이다.

따라서 주어진 과정에 대한 전체 확률 진폭을 찾으려면, 고전적인 기준으로 볼 때 터무니없는 경로를 포함하여 초기 상태와 최종 상태 사이의 계의 모든 가능한 경로의 공간에 걸쳐 제3의 가정의 진폭을 더하거나 적분한다. 단일 입자가 한 시공간 좌표에서 다른 좌표로 이동하는 확률 진폭을 계산할 때, 입자가 정교한 곡선, 우주 공간으로 날아가 다시 돌아오는 곡선 등을 그리는 경로를 포함하는 것이 맞다. '''경로 적분'''은 이 모든 진폭에 '''같은 가중치'''를 부여하지만, 복소수의 인수인 위상은 다르다. 고전적인 궤적과 크게 다른 경로의 기여는 간섭에 의해 감소될 수 있다.

파인만은 해밀토니안이 운동량에 대해 최대 2차일 때 양자역학의 이 공식화가 양자역학에 대한 정준적 접근법과 동등하다는 것을 보였다. 파인만의 원리에 따라 계산된 진폭은 주어진 작용에 해당하는 해밀토니안에 대한 슈뢰딩거 방정식도 만족한다.

양자장론의 경로 적분 공식화는 전이 진폭(고전적인 상관 함수에 해당)을 초기 상태에서 최종 상태까지의 계의 모든 가능한 역사의 가중합으로 나타낸다. 파인만 다이어그램은 전이 진폭에 대한 섭동적 기여의 그래픽 표현이다.

2. 2. 경로 적분의 발전과 응용

1979년 이스마일 흐크 듀루(İsmail Hakkı Duru)와 하겐 클라이너트(Hagen Kleinert)는 쿨롱 퍼텐셜 문제를 해결하여 원자 경로 적분에 중요한 기여를 했다.^[13] 이들은 시간 을 다른 경로 의존 의사 시간 매개변수로 대체하여 특이성을 제거하고, 시간 분할 근사가 존재하게 만들었다. 경로 의존 시간 변환과 좌표 변환의 조합은 많은 경로 적분을 푸는 중요한 도구이며, 듀루-클라이너트 변환(Duru–Kleinert transformation)이라고 한다.

경로 적분은 양자 터널링 현상을 모델링하는 데에도 사용된다. WKB 근사를 사용하면 터널링 비율 ()을 유효 작용 과 지수 앞 계수 를 통해 계산할 수 있다.^[25] 특히 소산계에서 이 방법은 계와 주변 환경을 함께 모델링하여 소산이 터널링에 미치는 영향을 분석하고, 유한 온도에서 거시적 시스템의 터널링 비율을 예측하는 데 유용하다.

2. 3. 한국 과학자들의 기여

한국의 이론물리학자들은 경로 적분 이론의 발전과 응용에 기여해 왔다. 제일원리 경로적분 분자동역학법과 같은 계산 방법 개발은 한국 과학자들의 중요한 업적 중 하나이다. 제일원리 분자동역학법에서는 전자 상태 부분과 원자 구조의 최적화를 동시에 수행한다. 일반적으로 원자는 전자보다 훨씬 무겁기 때문에 고전적으로 취급하지만, 수소와 같이 매우 가벼운 원자의 동역학(거동 및 안정 위치)을 다루는 경우, 그 양자 효과를 무시할 수 없게 된다. 전자 부분은 슈뢰딩거 방정식을 출발점으로 하는 기존의 방법으로 다룰 수 있지만, 수소 원자핵(＝양성자) 부분을 양자역학적으로 다루려면 경로 적분 기법을 사용하는 것이 효과적이며, 이에 대응하는 방법으로 제일원리 경로적분 분자동역학법이 있다.

3. 기본 원리

해밀토니안은 양자역학에서 고전역학과 마찬가지로 시간 변환의 생성자이다.^[10] 이는 약간 후의 시간에서의 상태가 현재 시간의 상태와 해밀토니안 연산자(음의 허수 단위를 곱한)를 작용시킨 결과만큼 차이가 난다는 것을 의미한다.^[10] 에너지와 진동수 사이의 드브로이 관계는 중첩 원리와 함께 일반적인 관계를 나타낸다.^[10]

고전역학에서 해밀토니안은 라그랑주량으로부터 유도되는데, 라그랑주량은 특수 상대성 이론의 맥락에서 더 기본적인 양이다.^[10] 해밀토니안은 시간을 전진하는 방법을 나타내지만, 시간은 서로 다른 기준틀에서 다르다. 라그랑주량은 로렌츠 스칼라이지만, 해밀토니안은 4벡터의 시간 성분이다.^[10] 따라서 해밀토니안은 서로 다른 기준틀에서 다르며, 이러한 유형의 대칭성은 양자역학의 원래 공식화에서는 명확하지 않다.^[10]

양자역학에서 상태는 서로 다른 값 또는 서로 다른 값을 갖는 다양한 상태의 중첩이며, 양 와 는 비가환 연산자로 해석될 수 있다.^[10] 시간적으로 분리된 두 상태를 고려하고 라그랑주량에 해당하는 연산자를 작용시키면 다음과 같다.^[10]

: $e^{i\big[p \big(q(t + \varepsilon) - q(t)\big) - \varepsilon H(p, q) \big]}.$ ^[10]

여기서, 해밀토니안은 자연스럽게 와 의 함수이므로, 이 양을 지수화하고 각 단계에서 에서 로 기저를 변경하면 의 행렬 요소가 각 경로를 따라 단순한 함수로 표현될 수 있다.^[10] 이 함수는 고전 작용의 양자적 유추이다. 이 관찰은 폴 디랙에 의한 것이다.^[10]

디랙은 또한 표현에서 시간 진화 연산자를 제곱할 수 있다는 것을 지적했다.^[10]

: $e^{i\varepsilon S},$ ^[10]

이는 시간 와 시간 사이의 시간 진화 연산자를 제공한다. 표현에서는 경로와 관련된 양으로 재해석된다.^[10] 이 연산자의 큰 거듭제곱을 취하는 극한에서, 초기 상태와 후기 상태 사이의 전체 양자 진화를 재구성한다.^[10] 그 결과는 위상을 갖는 경로의 합이며, 이것이 양자 작용이다.^[10]

이 그림은 자유 입자의 경로 적분에 대한 여러 경로의 기여를 보여주며, 결국 클로토이드 곡선을 그립니다.

파인만은 상태 A에서 상태 B로 전이하는 양자역학적인 확률진폭은 A에서 B로 가는 모든 가능한 경로의 기여에 대한 합을 취한

:

K_{A \to B} = \int_A^B \mathcal{D}q\, e^{ (i/\hbar)S[A,B]}

으로 나타낼 수 있다는 것을 발견했다. 여기서 경로란 위치를 시간 t의 함수로 나타낸 q(t)를 가리킨다.

위치 표현에서의 파동 함수에 대한 경로 적분 공식은 다음과 같다.

:

\psi(x,t)=\frac{1}{Z}\int_{\mathbf{x}(0)=x}\mathcal{D}\mathbf{x}\, e^{iS[\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}]}\psi_0(\mathbf{x}(t))\,

여기서

\mathcal{D}\mathbf{x}

는

\mathbf{x}(0)=x

인 모든 경로

\mathbf{x}

에 대한 적분을 나타내며,

Z

는 정규화 인자이다.

S

는 작용(action)이며, 다음과 같이 주어진다.

:

S[\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}]=\int dt\, L(\mathbf{x}(t),\dot\mathbf{x}(t))

엄밀히 말해, 물리학에서 질문할 수 있는 유일한 것은 "조건 를 만족하는 상태 중 몇 분율이 조건 도 만족하는가?"이며, 이에 대한 답은 조건부 확률로 해석될 수 있다

3. 1. 최소 작용의 원리

고전역학에서 입자는 작용을 최소화하는 경로를 따라 움직인다. 이는 최소 작용의 원리 또는 해밀턴의 원리라고 불린다.^[26]^[27] 양자역학에서는 모든 가능한 경로가 확률진폭에 기여하며, 고전적인 경로는 정상 위상 근사를 통해 나타난다.

플랑크 상수 ħ에 비해 작용이 큰 극한, 즉 고전적 극한에서 경로 적분은 작용의 정지점 근방에 있는 해에 의해 지배된다. 작용의 변화가 ħ보다 훨씬 큰 경우, 일반적으로 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 궤적 근처를 제외하고는 상쇄 간섭이 발생한다. 이는 정상 위상법을 사용하여 보일 수 있다. ħ이 감소함에 따라, 적분의 지수 함수는 작용의 변화에 따라 복소수 영역에서 빠르게 진동한다. 따라서 ħ이 0으로 갈 때, 고전적 작용이 변하지 않는 점만 전파 함수에 기여한다.^[26]^[27]

디랙은 작용 원리의 양자 형태에 대한 고전적 극한의 효과를 확인했다. 그의 저서에서 다음과 같은 구절이 있다.^[28]

... (11)식의 피적분 함수는 ''e''^''iF''/''h''^영어 형태여야 함을 알 수 있습니다. 여기서 F는 ''q''_''T'', ''q''₁, ''q''₂, … ''q''_''m'', ''q''_''t''^영어의 함수이며, h가 0에 접근할 때 유한하게 유지됩니다. 이제 중간 q 중 하나, 예를 들어 ''q_k''^영어를 다른 값들이 고정된 상태에서 연속적으로 변화하는 것으로 생각해 봅시다. h가 작기 때문에, 일반적으로 ''F''/''h''는 매우 빠르게 변화할 것입니다. 즉, ''e''^''iF''/''h''^영어는 0값을 중심으로 매우 높은 주파수로 주기적으로 변화하며, 그 결과 적분값은 거의 0이 될 것입니다. 따라서 ''q_k''^영어의 적분 영역에서 중요한 부분은 ''q_k''^영어의 비교적 큰 변화가 F의 매우 작은 변화만을 초래하는 부분입니다. 이 부분은 ''q_k''^영어의 작은 변화에 대해 F가 정지 상태인 점의 근방입니다. 이 논증을 각 적분 변수에 적용하면... 적분 영역에서 중요한 부분은 모든 중간 q의 작은 변화에 대해 F가 정지 상태인 부분임을 알 수 있습니다. ... F의 고전적인 대응물은 ''L dt''}}이며, 이것은 고전 역학에서 모든 중간 q의 작은 변화에 대해 정지 상태여야 하는 작용 함수입니다. 이것은 h가 매우 작아질 때 (11)식이 고전적인 결과로 어떻게 변하는지를 보여줍니다.

파인만은 디랙의 저서 속의

\exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_{t_a}^{t_b} L(t) \,\mathrm{d}t\right]= \exp \left[ \frac{i}{\hbar} S(t_b,t_a) \right]

이 양자역학의

\langle q_{t_b} \mid q_{t_a} \rangle

에 대응한다는 지적에 흥미를 느꼈다고 알려져 있다.

경로 적분의 구체적인 발상은 이중 슬릿 실험과 관련이 있다. 슬릿의 수가 두 개일 때 경로는 두 개이지만, 슬릿을 무한대로 확장하면 경로의 수도 무한대가 된다. 슬릿이 무한개가 된다는 것은 슬릿이 새겨진 칸막이가 존재하지 않는 공간, 즉 장애물이 없는 공간을 의미한다. 따라서 진공에서는 경로가 무한개라고 생각할 수 있다.

경로 적분의 계산법은 형식적인 방법이어서 실재를 나타내지 않는다는 비판이 있으며^[27], 보에 쿠니오는 경로 적분이 실재하지 않고 수학적으로 파탄이라고 단언하고 있다.^[26]

3. 2. 확률진폭과 경로의 합

해밀토니안은 양자역학에서 고전역학과 마찬가지로 시간 변환의 생성자이다.^[10] 이는 약간 후의 시간에서의 상태가 현재 시간의 상태와 해밀토니안 연산자(음의 허수 단위를 곱한)를 작용시킨 결과만큼 차이가 난다는 것을 의미한다.^[10] 에너지와 진동수 사이의 드브로이 관계는 중첩 원리와 함께 일반적인 관계를 나타낸다.^[10]

고전역학에서 해밀토니안은 라그랑주량으로부터 유도되는데, 라그랑주량은 특수 상대성 이론의 맥락에서 더 기본적인 양이다.^[10] 해밀토니안은 시간을 전진하는 방법을 나타내지만, 시간은 서로 다른 기준틀에서 다르다. 라그랑주량은 로렌츠 스칼라이지만, 해밀토니안은 4벡터의 시간 성분이다.^[10] 따라서 해밀토니안은 서로 다른 기준틀에서 다르며, 이러한 유형의 대칭성은 양자역학의 원래 공식화에서는 명확하지 않다.^[10]

양자역학에서 상태는 서로 다른 값 또는 서로 다른 값을 갖는 다양한 상태의 중첩이며, 양 와 는 비가환 연산자로 해석될 수 있다.^[10] 시간적으로 분리된 두 상태를 고려하고 라그랑주량에 해당하는 연산자를 작용시키면 다음과 같다.^[10]

:

e^{i\big[p \big(q(t + \varepsilon) - q(t)\big) - \varepsilon H(p, q) \big]}.

^[10]

여기서, 해밀토니안은 자연스럽게 와 의 함수이므로, 이 양을 지수화하고 각 단계에서 에서 로 기저를 변경하면 의 행렬 요소가 각 경로를 따라 단순한 함수로 표현될 수 있다.^[10] 이 함수는 고전 작용의 양자적 유추이다. 이 관찰은 폴 디랙에 의한 것이다.^[10]

디랙은 또한 표현에서 시간 진화 연산자를 제곱할 수 있다는 것을 지적했다.^[10]

:

e^{i\varepsilon S},

^[10]

이는 시간 와 시간 사이의 시간 진화 연산자를 제공한다. 표현에서는 경로와 관련된 양으로 재해석된다.^[10] 이 연산자의 큰 거듭제곱을 취하는 극한에서, 초기 상태와 후기 상태 사이의 전체 양자 진화를 재구성한다.^[10] 그 결과는 위상을 갖는 경로의 합이며, 이것이 양자 작용이다.^[10]

파인만은 상태 A에서 상태 B로 전이하는 양자역학적인 확률진폭은 A에서 B로 가는 모든 가능한 경로의 기여에 대한 합을 취한

:

K_{A \to B} = \int_A^B \mathcal{D}q\, e^{ (i/\hbar)S[A,B]}

으로 나타낼 수 있다는 것을 발견했다. 여기서 경로란 위치를 시간 t의 함수로 나타낸 q(t)를 가리킨다.

위치 표현에서의 파동 함수에 대한 경로 적분 공식은 다음과 같다.

:

\psi(x,t)=\frac{1}{Z}\int_{\mathbf{x}(0)=x}\mathcal{D}\mathbf{x}\, e^{iS[\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}]}\psi_0(\mathbf{x}(t))\,

여기서

\mathcal{D}\mathbf{x}

는

\mathbf{x}(0)=x

인 모든 경로

\mathbf{x}

에 대한 적분을 나타내며,

Z

는 정규화 인자이다.

S

는 작용(action)이며, 다음과 같이 주어진다.

:

S[\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}}]=\int dt\, L(\mathbf{x}(t),\dot\mathbf{x}(t))

엄밀히 말해, 물리학에서 질문할 수 있는 유일한 것은 "조건 를 만족하는 상태 중 몇 분율이 조건 도 만족하는가?"이며, 이에 대한 답은 조건부 확률로 해석될 수 있다

3. 3. 시간 분할과 경로 적분

경로 적분은 시간 간격을 무한히 작은 조각으로 나누어 근사적으로 계산할 수 있다.^[11] 시간 분할은 트로터 곱 공식을 통해 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지 연산자의 비가환성을 처리한다.^[11]

매끄러운 퍼텐셜 내의 입자에 대해, 경로 적분은 1차원에서 보통의 적분들의 곱인 지그재그 경로로 근사된다.^[11] 시간 에 위치 에서 시간 에 위치 로 입자가 이동하는 경우, 다음과 같은 시간 순서를 가진다.

:

t_a = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n < t_{n+1} = t_b

이는 개의 더 작은 세그먼트 로 나눌 수 있으며, 여기서 이고, 고정된 지속 시간은

:

\varepsilon = \Delta t = \frac{t_b - t_a}{n + 1}.

이다.

이 과정을 ''시간 분할''이라고 한다.^[11]

경로 적분에 대한 근사는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[11]

:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \cdots \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp \left(\frac{i}{\hbar}\int_{t_a}^{t_b} L\big(x(t), v(t)\big) \,dt\right) \,dx_0 \, \cdots \, dx_n,

여기서 는 위치 변수 와 속도 를 고려한 1차원 시스템의 라그랑지안이고, 는 시간 적분이 개의 항의 합으로 근사될 때 번째 시간 단계의 위치에 해당한다.^[11] 극한 에서, 이것은 함수적 적분이 된다.^[11]

은 고려 중인 1차원 시스템의 고전적인 라그랑지안이다.^[11]

:

L(x, \dot x) = T-V=\frac{1}{2}m|\dot{x}|^2-V(x)

"지그재그"는 시간 적분을 근사하는 리만 합에서 다음 항들의 출현에 해당한다:

:

\exp\left(\frac{i}{\hbar}\varepsilon \sum_{j=1}^{n+1} L \left(\tilde x_j, \frac{x_j - x_{j-1}}{\varepsilon}, j \right)\right)

이 항들은 최종적으로 부터 까지 적분 측도 로 적분되며, 는 에 해당하는 구간의 임의의 값(예: 중심 }}))이다.^[11]

고전 역학과 달리 정상 경로뿐만 아니라, 초기점과 최종점 사이의 모든 가상 경로가 기여한다.^[11]

경로 적분 공식화에서 와 가 서로 교환 불가능하다는 것은 명확하게 보이지 않지만, 파인만은 비교환성이 여전히 존재한다는 것을 발견했다.^[14]

시간 순서를 연산자 순서로 정의하면 다음과 같다.^[14]

:

[x, \dot x] = x \frac{dx}{dt} - \frac{dx}{dt} x = 1

이것은 확률 미적분에서 이토 보조정리라고 하며, 물리학에서는 (유클리드화된) 정준 교환 관계라고 한다. 일반적인 통계적 작용에 대해, 유사한 논증은 다음을 보여준다.^[14]

:

\left[x , \frac{\partial S }{ \partial \dot x} \right] = 1

양자역학에서 작용의 추가적인 허수 단위는 이것을 정준 교환 관계로 변환한다.^[14]

:

[x,p ] = i

4. 전개

파동함수 $\Psi(\mathbf{r},\mathbf{t})$ 의 시간에 따른 변화는 하이젠베르크 묘사에서의 움직이는 바탕 켓 $| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\rangle$ 을 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{t}_1)=\int d\mathbf{r} \left\langle \mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\right\rangle \Psi(\mathbf{r}_0,\mathbf{t}_0)$ .

이 때 $\left\langle \mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\right\rangle = \left\langle \mathbf{r}_1 \left| e^{ - { i \over {\hbar}} H (t_1 - t_0) } \right| \mathbf{r}_0 \right\rangle \equiv K(\mathbf{r}_1,t_1;\mathbf{r}_0, t_0)$ 를 파인만 핵 혹은 확률진폭이라고 하며 이것이 시작점 $P(\mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0)$ 와 끝점 $Q(\mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1)$ 사이의 모든 경로를 다 생각하면

: $K_{\rm P \to Q} = K(\mathbf{r}_1,t_1;\mathbf{r}_0, t_0) = \int_{\rm P}^{\rm Q} e^{ {i \over {\hbar} } S [\rm P, Q] } d\mathbf{r}(t)$

으로 표현된다. 여기서,''H''는 해밀토니언이며 ''S''는 라그랑지언 ''L''에 대한 작용

: $S = \int_{t_0}^{t_1} L (\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, t) dt$

이다. $\mathbf{r}$ 는 위치이며 $\dot{\mathbf{r}}= d\mathbf{r}/dt$ 이다. $\mathbf{t}$ 는 시간이다. 또한 $\hbar = h / 2 \pi$ 로, ''h''는 플랑크 상수이다.

$\hbar \to 0$ 으로 보내면 고전역학으로 환원된다. 좀 더 자세히 말하면 거시계에서 양자역학은 고전역학으로 수렴할 것이기 때문에 경로적분에서 경로를 중첩해서 더하는 과정에서 고전적인 경로에 적분이 집중되는 것이다. 즉 $S\gg \hbar$ 일 경우 함수의 거의 모든 곳에서 지수함수 복소수 거듭제곱이 격렬하게 진동하게 되어 인접한 경로가 서로 간섭하여 상쇄되게 되는데, S가 경로에 따라 크게 변하지 않을 때만 이러한 상쇄가 일어나지 않으며 이것은 곧 해밀턴의 원리에 해당하는 고전적인 경로이다.

4. 1. 파동함수의 시간 변화

파동함수

\Psi(\mathbf{r},\mathbf{t})

의 시간에 따른 변화는 하이젠베르크 묘사에서의 움직이는 바탕 켓

| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\rangle

을 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{t}_1)=\int d\mathbf{r} \left\langle \mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\right\rangle \Psi(\mathbf{r}_0,\mathbf{t}_0)

.

이 때

\left\langle \mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1| \mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0\right\rangle = \left\langle \mathbf{r}_1 \left| e^{ - { i \over {\hbar}} H (t_1 - t_0) } \right| \mathbf{r}_0 \right\rangle  \equiv K(\mathbf{r}_1,t_1;\mathbf{r}_0, t_0)

를 파인만 핵 혹은 확률진폭이라고 하며 이것이 시작점

P(\mathbf{r}_0, \mathbf{t}_0)

와 끝점

Q(\mathbf{r}_1, \mathbf{t}_1)

사이의 모든 경로를 다 생각하면

:

K_{\rm P \to Q} = K(\mathbf{r}_1,t_1;\mathbf{r}_0, t_0) = \int_{\rm P}^{\rm Q} e^{ {i \over {\hbar} } S [\rm P, Q] } d\mathbf{r}(t)

으로 표현된다. 여기서,''H''는 해밀토니언이며 ''S''는 라그랑지언 ''L''에 대한 작용

:

S = \int_{t_0}^{t_1} L (\mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, t) dt

이다.

\mathbf{r}

는 위치이며

\dot{\mathbf{r}}= d\mathbf{r}/dt

이다.

\mathbf{t}

는 시간이다. 또한

\hbar = h / 2 \pi

로, ''h''는 플랑크 상수이다.

\hbar \to 0

으로 보내면 고전역학으로 환원된다. 좀 더 자세히 말하면 거시계에서 양자역학은 고전역학으로 수렴할 것이기 때문에 경로적분에서 경로를 중첩해서 더하는 과정에서 고전적인 경로에 적분이 집중되는 것이다. 즉

S\gg \hbar

일 경우 함수의 거의 모든 곳에서 지수함수 복소수 거듭제곱이 격렬하게 진동하게 되어 인접한 경로가 서로 간섭하여 상쇄되게 되는데, S가 경로에 따라 크게 변하지 않을 때만 이러한 상쇄가 일어나지 않으며 이것은 곧 해밀턴의 원리에 해당하는 고전적인 경로이다.

4. 2. 경로 적분과 분배 함수

양자역학의 경로 적분은 통계역학의 분배 함수와 밀접하게 관련되어 있다. 파동함수의 시간에 따른 변화를 하이젠베르크 묘사에서 움직이는 바탕 켓을 써서 나타낼 수 있으며, 이 때 파인만 핵 혹은 확률진폭은 시작점과 끝점 사이의 모든 경로를 고려하여 표현된다.

경로 적분에서 시작점과 출발점이 같은 경로만을 생각하고, 윅 회전

t\to{\rm i}t

을 실행하여 시간을 허수로 변환하면, 경로 적분은 온도

1/T\hbar

에서 정의된 통계장론의 바른틀 분배 함수와 동일한 형태를 갖게 된다. 즉,

:

Z={\rm Tr} [e^{-HT / \hbar}]

로 변환되며, 이는 통계역학의 해당 온도에서의 분배 함수와 같다. 이러한 대응성은 에르빈 슈뢰딩거가 슈뢰딩거 방정식을 윅 회전하면 확산방정식이 된다는 사실로부터 이미 인지하고 있었다.

위크 회전을 통해 실수 시간을 허수 시간으로 변환하면 시공간의 기하학이 로렌츠 기하학에서 유클리드 기하학으로 변화하며, 이를 유클리드 경로 적분이라고도 한다. 만약 t를 -it로 치환하면, 시간 진화 연산자 e⁻ⁱᵗĤ⁄ħ는 e⁻ᵗĤ⁄ħ로 바뀌며, 유클리드 작용은 다음과 같이 주어진다.

: S_Euclidean(x,ẋ) = ∫[m/2|ẋ(t)|² + V(x(t))] dt

이는 파인만-카츠 공식을 통해 엄밀한 수학적 해석을 갖는 비너 측도로 표현될 수 있다.

경로 적분은 고전적인 문제의 작용을 모든 양자역학적 문제로 일반화한 것이며, 통계역학과의 관계는 윅 회전을 통해 시간을 허수로 만들고 모든 가능한 시작-끝 배열에 대해 적분함으로써 확인할 수 있다. 정준 형식에서 상태의 유니터리 진화 연산자를 통해 윅 회전을 수행하고 임의의 상태에서 같은 상태로 이동하는 진폭을 찾으면, 이는 통계역학의 분배 함수와 정확히 일치한다.

5. 양자장론에서의 경로 적분

슈뢰딩거와 하이젠베르크의 접근 방식은 시간을 특별하게 취급하여 상대성 이론에 부합하지 않는다. 하이젠베르크 접근 방식에서 스칼라 장 연산자는 교환 관계 $[\varphi(x), \partial_t \varphi(y)] = i \delta^3(x - y)$ 를 만족해야 하는데, 이는 동시 공간 위치 와 에 대해 성립하며 상대론적으로 불변하는 개념이 아니다. 계산 결과는 공변적이지만 중간 단계에서는 대칭성이 명확하지 않다. 대칭성의 부족은 무한한 양을 잘라내야 함을 의미하며, 잘못된 좌표는 대칭성을 망치지 않고 이론을 잘라내는 것을 어렵게 만들어 신중한 극한 과정을 통해 물리적 예측을 추출하기 어렵게 한다.

고전 역학에서도 해밀토니안 공식은 시간을 구분하지만, 라그랑지안 공식은 상대론적 불변성을 명확하게 보여준다. 경로 적분은 명백하게 상대론적이며, 슈뢰딩거 방정식, 하이젠베르크 운동 방정식 및 정준 교환 관계를 재현하고 상대성 이론과 호환됨을 보여준다. 이는 하이젠베르크 유형의 연산자 대수를 연산자 곱 규칙로 확장하는데, 이는 기존 형식에서는 보기 어려운 새로운 관계이다.

정준 변수의 선택에 따라 같은 이론이 다르게 보일 수 있지만, 경로 적분은 적분 변수의 비교적 간단한 변경으로 이를 해결한다. 이러한 이유로 파인만 경로 적분은 이전의 형식을 대부분 쓸모없게 만들었다.

경로 적분 표현의 단점은 이론의 유니타리성이 자명하지 않다는 것이지만, 변수를 정준 표현으로 변경하여 증명할 수 있다. 경로 적분은 일반적인 것보다 더 큰 수학적 공간을 다루므로 신중한 수학이 필요하며, 완전히 해결되지 않은 문제도 있다. 경로 적분은 즉각적으로 받아들여지지 않았는데, 페르미온을 제대로 통합하는 데 수년이 걸렸기 때문이다. 이를 위해 물리학자들은 그래스만 변수를 발명해야 했고, 이는 변수 변경을 자연스럽게 수행하고 구속된 양자화를 가능하게 했다.

경로 적분의 적분 변수는 미묘하게 비가환적이다. 같은 점에 있는 두 장 연산자의 곱의 값은 두 점이 공간과 시간에서 어떻게 정렬되는지에 따라 달라지며, 이로 인해 일부 단순한 항등식이 성립하지 않는다.

양자장론에서 경로 적분 공식화는 "직접적인" 적용에서 매우 중요하다. 여기서 "경로"는 단일 입자의 운동이 아닌, 모든 공간에 걸쳐 장의 가능한 시간적 진화이다. 작용은 기술적으로 함수형으로 언급된다. ''S''[''ϕ'']에서 장 ''ϕ''(''x^μ'')는 공간과 시간의 함수이며, 대괄호는 작용이 특정 값이 아닌 모든 곳의 장 값에 의존한다는 것을 나타낸다. 시공간의 주어진 함수 ''ϕ''(''x^μ'') 하나를 ''장 배열''이라고 한다. 원칙적으로 페인만의 진폭을 모든 가능한 장 배열의 클래스에 대해 적분한다.

양자장론에 대한 많은 형식적인 연구는 결과적인 함수적 적분의 특성에 전념하고 있으며, 이러한 함수적 적분을 수학적으로 정확하게 만드는 데 많은 노력이 기울여졌다.

이러한 함수적 적분은 통계역학의 배분 함수와 매우 유사하다. 실제로, 때때로 배분 함수라고도 하며, 페인만의 가정 3의 지수에서 ''i'' 인자를 제외하고는 두 함수는 본질적으로 수학적으로 동일하다. 해석적으로 적분을 허수 시간 변수(즉, 위크 회전)로 연속시키면 함수적 적분은 통계적 배분 함수와 더욱 유사해지고 이러한 적분을 사용하는 데 따른 수학적 어려움도 완화된다.

양자장론에서 물리량은 장 연산자의 진공 기댓값, 즉 상관 함수로 계산된다. 생성 범함수는 상관 함수를 생성하는 도구로 사용되며, 경로 적분을 통해 정의된다. 일반적인 진공 기댓값(긴 시간 한계에서)은 다음과 같이 표현된다.

: $\langle F\rangle=\frac{\int \mathcal{D}[\phi] F(\phi) e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]}}{\int \mathcal{D}[\phi] e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]}}$ .

여기서 $\int \mathcal{D}\phi$ 기호는 시공간 전체에서 모든 가능한 장 배열에 대한 무한 차원 적분을 간결하게 나타내는 방법이며, 분모의 경로 적분은 정규화를 보장한다.

슈윙거-다이슨 방정식은 경로 적분의 운동 방정식에 해당하며, 양자장론의 중요한 방정식을 유도하는 데 사용된다. 이 방정식은 고전역학에서 작용에 관한 항등식이 작용 적분으로부터 유도되는 양자적 대응물을 갖는다는 예측에서 출발한다. 함수 해석의 언어로, 오일러-라그랑주 방정식의 양자적 대응물은 다음과 같이 표현된다.

: $\left\langle \frac{\delta F[\varphi]}{\delta \varphi} \right\rangle = -i \left\langle F[\varphi]\frac{\delta \mathcal{S}[\varphi]}{\delta\varphi} \right\rangle$

임의의 다항식으로 경계가 지정된 함수 에 대해, 드윗 표기법에서는 다음과 같다.^[21]

: $\left\langle F_{,i} \right\rangle = -i \left\langle F \mathcal{S}_{,i} \right\rangle.$

이 방정식들은 온쉘(on-shell) EL 방정식의 유사체이며, 시간 순서는 _,''i''}} 내부의 시간 미분보다 먼저 취해진다.

소스 필드 의 생성 함수 를 이용하면, "마스터" 슈윙거-다이슨 방정식을 얻을 수 있다.

: $\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi(x)}\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J] + J(x)Z[J] = 0,$

또는

: $\mathcal{S}_{,i}[-i\partial]Z + J_i Z = 0.$

이 방정식을 = 0에 대한 테일러 급수로 전개하면, 슈윙거-다이슨 방정식의 전체 집합을 얻는다.

워드-타카하시 항등식은 대칭성과 보존 법칙을 연결하는 방정식으로, 경로 적분의 대칭성을 통해 유도된다. 이 항등식은 뇌터 정리의 양자적 유사체에 해당한다. 함수적 측도가 대칭 변환의 한 매개변수 군 아래에서 불변해야 한다는 조건 하에, 다음의 방정식을 얻을 수 있다.

: $\langle Q[F]\rangle +i\left\langle F\int_{\partial V} f^\mu\, ds_\mu\right\rangle=0$

여기서 적분은 경계에 대한 것이다. 가 국소 적분이고, 함수적 측도가 국소적으로 불변이라는 추가적인 가정을 하면, 워드-타카하시 항등식은 다음과 같이 표현된다.

: $\langle q(x)[F] \rangle +i\langle F q(x)[S]\rangle=\langle q(x)[F]\rangle +i\left\langle F\partial_\mu j^\mu(x)\right\rangle=0.$

또는,

: $q(x)[S]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi(x)]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]=\partial_\mu j^\mu(x)\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi(x)]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]=0.$

만약 0}}인 경우, 모든 경계 조건과 국소성 가정을 무시하고 다음을 얻는다.

: $\left\langle Q[F]\right\rangle =0.$

또는,

: $\int d^dx\, J(x)Q[\varphi(x)]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]=0.$

5. 1. 장의 범함수

경로 적분 공식화는 양자장론에 대한 "직접적인" 적용에서도 매우 중요하다. 여기서 고려되는 "경로"는 단일 입자의 운동이 아니라 모든 공간에 걸쳐 장의 가능한 시간적 진화이다. 작용은 기술적으로 함수형으로 언급된다.: ''S''[''ϕ''] 여기서 장 ''ϕ''(''x^μ'') 자체가 공간과 시간의 함수이며, 대괄호는 작용이 특정 값이 아닌 모든 곳의 장 값에 의존한다는 것을 상기시켜 준다. 시공간의 이러한 주어진 함수 ''ϕ''(''x^μ'') 하나를 ''장 배열''이라고 한다. 원칙적으로 페인만의 진폭을 모든 가능한 장 배열의 클래스에 대해 적분한다.

양자장론에 대한 많은 형식적인 연구는 결과적인 함수적 적분의 특성에 전념하고 있으며, 이러한 함수적 적분을 수학적으로 정확하게 만드는 데 많은 노력이 기울여졌다.

이러한 함수적 적분은 통계역학의 배분 함수와 매우 유사하다. 실제로, 때때로 배분 함수라고도 하며, 페인만의 가정 3의 지수에서 ''i'' 인자를 제외하고는 두 함수는 본질적으로 수학적으로 동일하다. 해석적으로 적분을 허수 시간 변수(즉, 위크 회전)로 연속시키면 함수적 적분은 통계적 배분 함수와 더욱 유사해지고 이러한 적분을 사용하는 데 따른 수학적 어려움도 완화된다.

5. 2. 상관 함수와 생성 범함수

양자장론에서 물리량은 장 연산자의 진공 기댓값, 즉 상관 함수로 계산된다. 생성 범함수는 상관 함수를 생성하는 도구로 사용되며, 경로 적분을 통해 정의된다.

일반적인 진공 기대값(긴 시간 한계에서)은 다음과 같이 표현된다.

:

\langle F\rangle=\frac{\int \mathcal{D}[\phi] F(\phi) e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]}}{\int \mathcal{D}[\phi] e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]}}

.

여기서

\int \mathcal{D}\phi

기호는 시공간 전체에서 모든 가능한 장 배열에 대한 무한 차원 적분을 간결하게 나타내는 방법이며, 분모의 경로 적분은 정규화를 보장한다.

5. 3. 슈윙거-다이슨 방정식과 워드-타카하시 항등식

슈윙거-다이슨 방정식은 경로 적분의 운동 방정식에 해당하며, 양자장론의 중요한 방정식을 유도하는 데 사용된다. 이 방정식은 고전역학에서 작용에 관한 항등식이 작용 적분으로부터 유도되는 양자적 대응물을 갖는다는 예측에서 출발한다. 함수 해석의 언어로, 오일러-라그랑주 방정식의 양자적 대응물은 다음과 같이 표현된다.

:

\left\langle \frac{\delta F[\varphi]}{\delta \varphi} \right\rangle = -i \left\langle F[\varphi]\frac{\delta \mathcal{S}[\varphi]}{\delta\varphi} \right\rangle

임의의 다항식으로 경계가 지정된 함수 에 대해, 드윗 표기법에서는 다음과 같다.^[21]

:

\left\langle F_{,i} \right\rangle = -i \left\langle F \mathcal{S}_{,i} \right\rangle.

이 방정식들은 온쉘(on-shell) EL 방정식의 유사체이며, 시간 순서는 _,''i''}} 내부의 시간 미분보다 먼저 취해진다.

소스 필드 의 생성 함수 를 이용하면, "마스터" 슈윙거-다이슨 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi(x)}\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J] + J(x)Z[J] = 0,

또는

:

\mathcal{S}_{,i}[-i\partial]Z + J_i Z = 0.

이 방정식을 = 0에 대한 테일러 급수로 전개하면, 슈윙거-다이슨 방정식의 전체 집합을 얻는다.

워드-타카하시 항등식은 대칭성과 보존 법칙을 연결하는 방정식으로, 경로 적분의 대칭성을 통해 유도된다. 이 항등식은 뇌터 정리의 양자적 유사체에 해당한다. 함수적 측도가 대칭 변환의 한 매개변수 군 아래에서 불변해야 한다는 조건 하에, 다음의 방정식을 얻을 수 있다.

:

\langle Q[F]\rangle +i\left\langle F\int_{\partial V} f^\mu\, ds_\mu\right\rangle=0

여기서 적분은 경계에 대한 것이다. 가 국소 적분이고, 함수적 측도가 국소적으로 불변이라는 추가적인 가정을 하면, 워드-타카하시 항등식은 다음과 같이 표현된다.

:

\langle q(x)[F] \rangle +i\langle F q(x)[S]\rangle=\langle q(x)[F]\rangle +i\left\langle F\partial_\mu j^\mu(x)\right\rangle=0.

또는,

:

q(x)[S]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi(x)]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]=\partial_\mu j^\mu(x)\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi(x)]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]=0.

만약 0}}인 경우, 모든 경계 조건과 국소성 가정을 무시하고 다음을 얻는다.

:

\left\langle Q[F]\right\rangle =0.

또는,

:

\int d^dx\, J(x)Q[\varphi(x)]\left[-i \frac{\delta}{\delta J}\right]Z[J]=0.

6. 응용

6. 1. 응집물질물리학

경로 적분은 초전도, 초유체, 양자 홀 효과 등 응집물질 현상을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.^[25] 보스-허버드 모델, 앤더슨 불순물 모델 등 다양한 모델의 연구에 경로 적분이 적용된다.

6. 2. 핵물리학 및 입자물리학

6. 3. 양자 중력 및 우주론

경로 적분 공식화는 힐베르트 공간 모델과는 다른 양자 중력으로 확장될 수 있다는 점에서 주목할 만하다. 파인만은 이 방향으로 연구를 진행하여 어느 정도 성공을 거두었으며, 그의 연구는 호킹 등에 의해 확장되었다.^[24]

이러한 접근 방식에는 인과적 동역학 삼각측량과 스핀폼 모델이 포함된다. 경로 적분은 양자 중력 이론의 한 형태인 루프 양자 중력의 핵심적인 요소이며, 초기 우주의 양자 요동, 블랙홀 열역학, 우주 상수 문제 등 우주론적 문제를 연구하는 데 사용될 수 있다.

6. 4. 계산 방법

제일원리 분자동역학법에서는 전자 상태 부분과 원자 구조의 최적화를 동시에 수행한다. 일반적으로 원자는 전자보다 훨씬 무겁기 때문에 고전적으로 취급하지만, 수소와 같이 매우 가벼운 원자의 동역학(거동 및 안정 위치)을 다루는 경우, 그 양자 효과를 무시할 수 없게 된다. 전자 부분은 슈뢰딩거 방정식을 출발점으로 하는 기존의 방법으로 다룰 수 있지만, 수소 원자핵(＝양성자) 부분을 양자역학적으로 다루려면 경로 적분 기법을 사용하는 것이 효과적이다. 이에 대응하는 방법으로 제일원리 경로적분 분자동역학법이 있다.

7. 한계와 과제

경로 적분은 규제자의 도입을 필요로 하며, 규제자의 스케일을 변경하면 재규격화 군으로 이어진다. 재규격화는 경로 적분을 잘 정의하는 데 있어 주요 장애물이다. 일반적으로 무한 차원의 적분이므로, 수학적으로 엄밀하게 정의하기 어렵다. 섭동 이론이 적용되지 않는 강한 상호작용 시스템의 경우, 경로 적분 계산이 매우 어려울 수 있다. 양자 중력과 같이 아직 완전한 이론이 없는 분야에서는 경로 적분의 해석과 적용에 대한 논쟁이 계속되고 있다.

8. 결론

경로 적분은 양자역학의 기본 원리 중 하나이며, 다양한 분야에서 활용되는 강력한 도구이다. 경로 적분은 고전역학과의 연결, 양자장론의 정식화, 새로운 계산 방법 개발 등 물리학의 발전에 중요한 기여를 해왔다. 경로 적분의 한계와 과제를 극복하기 위한 연구는 앞으로도 계속될 것이다.

9. 더불어민주당 관점에서의 추가 논의

9. 1. 사회적 형평성과 관련된 양자 현상 연구

9. 2. 양자 기술 개발과 관련된 윤리적 문제

참조

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_[2] 웹사이트 Dynamic Vortex Mott Transition https://web.archive.[...] 2015-02-27
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_[4] 웹사이트 Finally We May Have a Path to the Fundamental Theory of Physics… and It's Beautiful https://writings.ste[...] 2020-04-14
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_[27] 서적 量子論はなぜわかりにくいのか「粒子と波動の二重性」の謎を解く技術評論社 2017-04
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