바일 군

3. 바일 방(Weyl Chamber)

4. 콕서터 군 구조

바일 군은 반사에 의해 생성되므로 유한 반사군의 예시이며, 추상적인 군으로서는 유한 콕서터 군에 해당한다. 따라서 콕서터-딘킨 다이어그램으로 분류할 수 있다.

구체적으로, 바일 군이 콕서터 군이라는 것은 다음과 같은 특별한 종류의 군의 표현을 가짐을 의미한다. 각 생성원 $s\_i$는 차수가 2이며($s\_i^2\; =\; 1$), 이 외의 관계식은 $(s\_i\; s\_j)^\{m\_\{ij\}\}\; =\; 1$ 형태이다. 여기서 생성원은 단순근($\backslash alpha\_i\; \backslash in\; \backslash Delta$)에 대응하는 반사 $s\_\{\backslash alpha\_i\}$이고, $m\_\{ij\}$는 두 단순근 $\backslash alpha\_i$와 $\backslash alpha\_j$ 사이의 각도에 따라 결정된다. 이 값은 두 근에 대응하는 노드가 딘킨 다이어그램에서 어떻게 연결되어 있는지에 따라 다음과 같이 정해진다.

• 연결선 없음 (각도 90°): $m\_\{ij\}\; =\; 2$, 즉 $(s\_i\; s\_j)^2\; =\; 1$ 이고 $s\_i$와 $s\_j$는 교환한다.
• 단일 연결선 (각도 120°): $m\_\{ij\}\; =\; 3$, 즉 $(s\_i\; s\_j)^3\; =\; 1$.
• 이중 연결선 (각도 135°): $m\_\{ij\}\; =\; 4$, 즉 $(s\_i\; s\_j)^4\; =\; 1$.
• 삼중 연결선 (각도 150°): $m\_\{ij\}\; =\; 6$, 즉 $(s\_i\; s\_j)^6\; =\; 1$.

5. 브뤼아 분해(Bruhat Decomposition)

''B''가 ''G''의 보렐 부분군, 즉 극대 연결 가해군이고, 극대 원환면 ''T'' = ''T''₀가 ''B''에 속하도록 선택되면, 브뤼아 분해

:$G\; =\; \backslash bigcup\_\{w\backslash in\; W\}\; BwB$

를 얻게 된다. 여기서 ''W''는 바일 군이다. 이 분해는 깃발 다양체 ''G''/''B''를 슈베르트 세포로 분해하는 결과를 낳는다 (그래스만 다양체 참조).

바일 군의 하세 도표 구조는 기하학적으로 이 다양체(또는 이 군의 실수 형태 및 복소수 형태)의 코호몰로지와 관련이 있으며, 이는 푸앵카레 쌍대성에 의해 제약된다. 따라서, 바일 군의 대수적 성질은 다양체의 위상 공간론적 성질에 대응한다. 예를 들어, 푸앵카레 쌍대성은 차원 ''k''의 세포와 차원 ''n'' − ''k''의 세포 사이에 대응 관계를 제공한다(여기서 ''n''은 다양체의 차원이다). 가장 낮은 차원(즉, 0차원) 세포는 바일 군의 항등원에 해당하고, 쌍대적으로 가장 높은 차원의 세포는 콕서터 군의 최장 원소에 해당한다.

6. 대수군과의 유사성

대수군과 바일 군 사이에는 여러 유사성이 존재한다. 대표적인 예로 대칭군 S_n의 원소 개수는 계승 ''n''!인 반면, 유한체 F_q 위의 일반 선형군 GL_n(F_q)의 원소 개수는 q-계승 [n]_q!과 밀접한 관련이 있다. 이러한 대응 관계 때문에, 대칭군은 마치 "원소 1개인 체" field with one element^eng 위의 선형군처럼 행동하는 것으로 해석될 수 있다. 이는 원소 한 개 체 이론을 통해 더욱 형식적으로 다루어지며, 이 이론의 맥락에서 바일 군은 원소 한 개 체 위의 단순 대수군으로 간주된다.

7. 코호몰로지(Cohomology)

비가환 연결 콤팩트 리 군 ''G''에 대해, ''G''를 정의하는 데 사용된 최대 토러스 ''T''를 계수로 하는 바일 군 ''W''의 1차 군 코호몰로지^[8] $H^1(W;\; T)$는 정규화 부분군 $N\; =\; N\_G(T)$의 외부 자기 동형군 $\backslash operatorname\{Out\}(N)$ 및 ''G''의 외부 자기 동형군 $\backslash operatorname\{Out\}(G)$와 다음과 같은 관계를 가진다.^[9]

:$\backslash operatorname\{Out\}(N)\; \backslash cong\; H^1(W;\; T)\; \backslash rtimes\; \backslash operatorname\{Out\}(G)$

여기서 ''G''의 외부 자기 동형군 $\backslash operatorname\{Out\}(G)$는 본질적으로 딘킨 도표의 자기 동형에 해당한다. 한편, 군 코호몰로지 $H^1(W;\; T)$는 유한 기본 아벨 2-군 $(\backslash mathbf\{Z\}/2\backslash mathbf\{Z\})^k$ 형태이며, 단순 리 군의 경우에는 이 군의 위수가 1, 2 또는 4이다. 0차 및 2차 군 코호몰로지 역시 정규화 부분군과 밀접한 관련이 있다.^[9]

8. 예시

$\backslash Phi$를 유클리드 공간 $V$의 루트 시스템이라고 하자. 각 루트 $\backslash alpha\backslash in\backslash Phi$에 대해, $s\_\backslash alpha$를 $\backslash alpha$에 수직인 초평면에 대한 반사로 나타내며, 이는 다음과 같이 명시적으로 주어진다.

:$s\_\backslash alpha(v)=v-2\backslash frac\{(v,\backslash alpha)\}\{(\backslash alpha,\backslash alpha)\}\backslash alpha$

여기서 $(\backslash cdot,\backslash cdot)$는 $V$상의 내적이다. $\backslash Phi$의 바일 군 $W$는 모든 반사 $s\_\backslash alpha$에 의해 생성된 직교군 $O(V)$의 부분군이다. 루트 시스템의 정의에 따라 각 $s\_\backslash alpha$는 $\backslash Phi$를 보존하므로, $W$는 유한군이 된다.

몇 가지 작은 바일 군의 예시는 다음과 같다.

• A_n 루트 시스템: 이 경우, 벡터 공간 $V$는 성분의 합이 0인 $\backslash mathbb\; R^\{n+1\}$의 모든 벡터로 이루어진 공간이다. 루트는 $e\_i-e\_j,\backslash ,i\backslash neq\; j$ 형태의 벡터들이며, 여기서 $e\_i$는 $\backslash mathbb\; R^\{n+1\}$의 $i$번째 표준 기저 벡터이다. 이 루트에 대한 반사는 벡터의 $i$번째와 $j$번째 성분을 교환하는 변환이다. 따라서 A_n의 바일 군은 $n+1$개의 원소에 대한 대칭군 $S\_\{n+1\}$과 동형이다.
• 예를 들어, A₂ 루트 시스템의 바일 군은 정삼각형의 대칭군과 같으며, 이는 3개의 원소에 대한 대칭군 $S\_3$과 동형이다. (오른쪽 그림 참고) 그러나 이 바일 군이 A₂ 루트 시스템의 모든 대칭 변환을 포함하는 것은 아니다. 예를 들어 60도 회전은 루트 시스템을 보존하지만 바일 군의 원소는 아니다. (자세한 내용은 A2 참고)
• 리 대수 $\backslash mathfrak\{sl\}\_n$: 리 대수 $\backslash mathfrak\{sl\}\_n$의 바일 군은 $n$개의 원소에 대한 대칭군 $S\_n$이다. 이 작용은 카르탕 부분 대수 $\backslash mathfrak\{h\}$(대각합(trace)이 0인 대각 행렬들의 집합)에 치환 행렬에 의한 켤레 작용으로 나타낼 수 있다. 이 작용은 쌍대 공간 $\backslash mathfrak\{h\}^\backslash ast$에 대한 작용을 유도하며, 이것이 바로 바일 군의 작용이다.

8. 1. A1

a

|

ε

8. 2. A2

  aba

 /    \

ab     ba

|  \/  |

|  /\  |

a      b

 \    /

   ε

8. 3. G2

      ababab

     /      \

   ababa  babab

   | \  / |

   |  \/  |

   |  /\  |

   | /  \ |

  abab  baba

  | \  / |

  |  \/  |

  |  /\  |

  | /  \ |

 aba    bab

 | \  / |

 |  \/  |

 |  /\  |

 | /  \ |

 ab    ba

 | \  / |

 |  \/  |

 |  /\  |

 | /  \ |

 a      b

 \    /

   ε

8. 4. A3

9. 목록

단순 근계는 모두 분류되었고, 그 바일 군은 다 알려져 있다. 바일 군의 목록은 다음과 같다.

B_''n''과 C_''n''은 서로 쌍대 근계이므로, 같은 바일 군을 가진다. 번사이드 정리에 따라, F₄의 바일 군은 가해군이다.

참조

_[1] 서적
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_[3] 서적
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_[10] 서적
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_[12] 문서
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