보손 끈 이론

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1. 개요
2. 전개
3. 성질
4. 문제점
5. 보손 끈의 종류
6. 역사
- 6.1. 1960년대: 강입자 모형
- 6.2. 1971년: 임계 차원 발견
참조

1. 개요

보손 끈 이론은 1960년대에 개발된 끈 이론의 초기 형태이다. 끈은 시공간을 통해 움직이는 1차원 개체로, 닫힌 끈과 열린 끈이 존재한다. 이 이론은 26차원의 시공간에서만 일관성을 가지며, 중력자, 딜라톤, 캘브-라몽 장을 포함하지만 페르미온과 초대칭은 포함하지 않는다. 보손 끈 이론은 타키온을 포함하고 있으며, 페르미온 부재, 타키온 응축, 등각 이상과 같은 문제점을 가지고 있다.

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중력자는 중력 상호작용을 매개하는 가상의 기본 입자로 여겨지지만, 양자화된 일반 상대성 이론의 문제로 인해 완전한 이론이 확립되지 않았으며, 중력파의 존재가 간접적으로 뒷받침하지만 직접적인 검출은 현재 불가능하고 질량에 대한 상한선이 제시되고 있으며 초대칭 파트너인 그라비티노의 존재가 예측된다.
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보손 끈 이론

2. 전개

보손 끈 이론에서 끈은 시공간 속에서 움직이며, 이는 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 세계면은 두 개의 무차원 좌표 $\xi^a$ ($a\in\{0,1\}$)로 기술된다. 끈은 시공간 안에 존재하며, 시공간은 1차원의 시간과 $D-1$ 차원의 공간으로 구성된다고 가정한다. (관측에 따르면 $D=4$이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공간의 좌표는 $X^\mu$ ($\mu\in\{0,1,\dots,D-1\}$)로, 계량 텐서는 $G_{\mu\nu}$로 표기한다. 끈의 시공 속 위치는 매장 $X^\mu(\xi^a)$로 나타낼 수 있으며, 세계면 계량 텐서는 $h_{ab}=\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu G_{\mu\nu}$로 정의된다.

끈의 움직임을 다루는 방법에는 난부-고토 작용과 폴랴코프 작용이 있다. 난부-고토 작용은 끈의 세계면 넓이에 비례하지만, 제곱근 때문에 양자화가 어렵다. 폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서를 보조장으로 도입하여 이 문제를 해결한다. 폴랴코프 작용은 다음과 같다.^[3]

: $S[X^\mu,h_{ab}]=-\frac12T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{ab}\partial_aX\cdot\partial_bX$

여기서 $T=1/(2\pi\alpha')$는 끈의 장력을 나타내는 상수로, $\alpha'$는 레제 기울기이다.

보손 끈 이론은 경로 적분 양자화를 통해 정의되며,^[2] 미분 동형 사상과 바일 불변성을 갖는다. 바일 대칭은 양자화 과정에서 (등각 이상 현상) 깨지므로, 오일러 지표에 비례하는 항을 추가하여 보완한다. 이때, 임계 차원 26에서 바일 불변성이 유지된다.

폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서 $h_{ab}$에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 이는 BRST 연산자를 통해 나타낼 수 있다.^[3] 빛원뿔 좌표계를 사용하여 게이지 고정을 할 수 있으며, 끈의 좌표를 진동 모드(mode)로 전개하여 운동 방정식을 풀 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 방식 전개를 통해 질량 공식을 유도할 수 있다.

: $M^2=-p^2=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n$

양자화 과정에서 정렬 모호성이 발생하며, 이를 고려하여 질량 공식을 수정한다. 준위 연산자를 도입하여 끈의 상태를 나타낼 수 있으며, 임계 차원에서는 질량이 0인 입자들이 존재한다. 이들은 중력자, 캘브-라몽 장, 딜라톤을 포함하는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장이다.

2. 1. 기본 개념

끈은 시공간을 통해 움직이는 1차원의 개체이다. 끈은 고리 모양인 닫힌 끈(closed string^영어)과 끊어진 선분 모양인 열린 끈(open string^영어)이 있다. 끈은 0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다.

세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있는데, $\xi^a$ ($a\in\{0,1\}$)로 표기한다. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다(무차원).

끈은 시공간 안에 존재한다. 시공간은 1차원의 시간과 $D-1$ 차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정한다. (관측에 따르면 $D=4$이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표는 $X^\mu$ ($\mu\in\{0,1,\dots,D-1\}$)로 나타낸다. 시공간의 계량 텐서는 $G_{\mu\nu}$로 표기한다.

끈의 시공 속 위치는 매장 $X^\mu(\xi^a)$로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서

:$h_{ab}=\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu G_{\mu\nu}$

를 정의할 수 있다.

2. 1. 1. 닫힌 끈과 열린 끈

끈은 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 끈은 고리 모양인 닫힌 끈(closed string^영어)과 끊어진 선분 모양인 열린 끈(open string^영어)이 있다. 끈은 0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리, 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다.

보손 끈 이론에는 네 가지 가능한 종류가 있으며, 이는 열린 끈이 허용되는지 여부와 끈이 특정 방향성을 갖는지에 따라 달라진다. 열린 끈 이론은 닫힌 끈도 포함해야 하는데, 이는 열린 끈이 모든 시공간을 채우는 D25-브레인에 끝점이 고정된 것으로 생각할 수 있기 때문이다. 끈의 특정 방향성은 가향 세계면에 해당하는 상호작용만 허용됨을 의미한다(예: 두 끈은 동일한 방향성으로만 병합될 수 있다).

보손 끈 이론	음수가 아닌 $M^2$ 상태
열린 끈과 닫힌 끈, 방향성이 있는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤, 질량이 없는 반대칭 텐서
열린 끈과 닫힌 끈, 방향성이 없는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤
닫힌 끈, 방향성이 있는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤, 반대칭 텐서, U(1) 벡터 보손
닫힌 끈, 방향성이 없는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤

2. 1. 2. 세계면

끈은 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체이다. 고리 모양(원과 동형)인 닫힌 끈(closed string^영어)과 끊어진 (선분과 동형인) 열린 끈(open string^영어)이 있다. 따라서 끈은 0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를

\xi^a

(

a\in\{0,1\}

)로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다(무차원).

2. 2. 작용

끈을 다루는 가장 간단한 방법은 난부-고토 작용을 이용하는 것이지만, 이 방법은 제곱근 때문에 양자화하기 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용을 사용한다.

보손 끈 이론은 다음의 경로 적분 양자화를 통해 정의된다.^[2]

:

I_0[g,X] = \frac{T}{8\pi} \int_M d^2 \xi \sqrt{g} g^{mn} \partial_m x^\mu \partial_n x^\nu G_{\mu\nu}(x)

여기서

x^\mu(\xi)

는 25+1 차원 시공간에 끈을 임베딩하는 것을 나타내는 세계면의 장이다. 폴랴코프 공식에서

g

는 임베딩에서 유도된 계량으로 이해하는 것이 아니라 독립적인 동적 장으로 이해해야 한다.

G

는 표적 시공간의 계량이며, 섭동 이론에서는 일반적으로 민코프스키 계량으로 간주한다. 윅 회전에 따라 이는 유클리드 계량

G_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu}

으로 변환된다. M은

\xi

좌표로 매개변수화된 위상 공간으로서의 세계면이다.

I_0

는 미분 동형 사상과 바일 불변성을 갖는다. 바일 대칭은 양자화 (등각 이상 현상)에 의해 깨지므로, 이 작용은 오일러 지표에 비례하는 가상적인 순수 위상적 항과 함께 반대항으로 보완되어야 한다.

:

I = I_0 + \lambda \chi(M) + \mu_0^2 \int_M d^2\xi \sqrt{g}

반대항에 의한 바일 불변성의 명시적인 파괴는 임계 차원 26에서 상쇄될 수 있다.

물리량은 (유클리드) 분배 함수 및 N-점 함수로부터 구성된다.

:

Z = \sum_{h=0}^\infty \int \frac{\mathcal{D}g_{mn} \mathcal{D}X^\mu}{\mathcal{N}} \exp ( - I[g,X] )

:

\left\langle V_{i_1} (k^\mu_1) \cdots V_{i_p}(k_p^\mu) \right\rangle = \sum_{h=0}^\infty \int \frac{\mathcal{D}g_{mn} \mathcal{D}X^\mu}{\mathcal{N}} \exp ( - I[g,X] ) V_{i_1} (k_1^\mu) \cdots V_{i_p} (k^\mu_p)

이산 합은 가능한 위상 공간의 합이며, 유클리드 보존 가향 닫힌 끈의 경우 콤팩트 가향 리만 다양체이며, 따라서 종

h

로 식별된다. 대칭으로부터 중복 계산을 보상하기 위해 정규화 인자

\mathcal{N}

이 도입된다. 분배 함수의 계산은 우주 상수에 해당하며,

p

개의 정점 연산자를 포함하는 N-점 함수는 끈의 산란 진폭을 설명한다.

작용의 대칭군은 실제로 적분 공간을 유한 차원 다양체로 대폭 축소한다. 분배 함수에서

g

경로 적분은 ''a priori'' 가능한 리만 구조의 합이다. 그러나 바일 변환에 대한 몫 공간은 등각 구조만 고려할 수 있게 하며, 이는 다음과 같은 계량의 동일성에 따라 관련되는 계량의 등가 클래스이다.

:

g'(\xi) = e^{\sigma(\xi)} g(\xi)

세계면이 2차원이므로 등각 구조와 복소 다양체 사이에 1-1 대응이 있다. 여전히 미분 동형 사상을 제거해야 한다. 이는 주어진 위상적 표면의 모듈리 공간인 미분 동형 사상에 대한 모든 가능한 복소 구조의 공간에 대한 적분을 남기며, 실제로 유한 차원 복소 다양체이다. 따라서 섭동 보존 끈의 근본적인 문제는 모듈리 공간의 매개변수화가 되며, 이는 종

h \geq 4

에 대해 비자명하다.

2. 2. 1. 난부-고토 작용

난부-고토 작용은 끈의 세계면 넓이에 비례하는 작용이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.^[3]

:

S[X^\mu]=-T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}

그러나 난부-고토 작용은 제곱근 때문에 양자화하기 어렵다는 단점이 있다.

2. 2. 2. 폴랴코프 작용

난부-고토 작용은 제곱근 때문에 양자화하기 어렵다는 단점이 있다. 이를 보완하기 위해 세계면 계량 텐서를 보조장으로 도입한 폴랴코프 작용을 사용한다.^[3]

:

S[X^\mu,h_{ab}]=-\frac12T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{ab}\partial_aX\cdot\partial_bX

여기서

T=1/(2\pi\alpha')

는 작용을 무차원화하기 위한 상수로, 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타낸다.

\alpha'

는 '''레제 기울기'''(Regge slope^영어) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다.

보손 끈은 일반적으로 운동 방정식

p^2 = 0

만으로 결정된다.^[3] 여기서

p^\mu

는 끈 전체의 운동량이다. 좌표

\xi=(\tau,\sigma)

에 대하여, 세계면 위의

\partial_a X^\mu

에 대응하는 정준 운동량장

P^\mu_a(\xi)

를 정의하면, 다음과 같은 작용을 적을 수 있다.

:

S \propto \int\mathrm d^2\xi \sqrt{-\det h}h_{ab}g^{\mu\nu}(X(\xi))P_\mu^a(\xi)P_\nu^b(\xi) + P_\mu^a(\xi) \partial_aX^\mu(\xi)

첫째 항은 운동 방정식에서 오며, 둘째 항은

P^a_\mu

와

\partial_aX^\mu

사이의 정준 관계를 나타낸다.

P^a_\mu(\xi)

의 오일러-라그랑주 방정식은

:

P^a_\mu(\xi) = -g_{\mu\nu}(X(\xi))\eta^{ab}\partial_b X^\nu

가 된다. 이를 작용에 대입하면 폴랴코프 작용을 얻는다.

:

S \propto \int\mathrm d^2\xi \sqrt{-\det h}G_{\mu\nu}(X(\xi))\eta^{ab}\partial_aX^\mu(\xi)\partial_bX^\nu(\xi)

닫힌 끈의 경우, 끈의 공간 좌표를

\xi^1 = \sigma \in [0,2\pi)

라고 할 때,

P(\tau,\sigma)

는 서로 상호작용하지 않는 두 개의 장

P^\pm(\tau,\sigma)

이다. 열린 끈의 경우, 공간 좌표가

\xi^1 = \sigma \in [0,\pi]

일 때, 하나의

P_\mu^a

가

\sigma\in[-\pi,\pi]

에 정의된다. 두 경우 모두,

P_\mu^a

는 원 위의 주기적 경계 조건을 만족시킨다. 즉, 닫힌 끈은 서로 상호작용하지 않는 두 개의 열린 끈으로 취급할 수 있다.

2. 2. 3. 레제 기울기 (Regge slope)

\alpha'

는 '''레제 기울기'''(Regge slope^영어) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다. 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타내는 상수

T=1/(2\pi\alpha')

는 작용을 무차원화하기 위해 사용된다.^[3]

2. 3. 게이지 대칭

보손 끈의 폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서

h_{ab}

에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정을 가할 수 있다.

이 게이지 대칭은 작용

L \propto \eta P^2 + P\partial X

에서 생성원

P^2(\sigma)

에 의하여 생성된다. 이것의 리 괄호는 다음과 같다.^[3]

:

\left[\frac12P^2(\sigma),\frac12P^2(\sigma')\right]=\mathrm i\delta'(\sigma'-\sigma)\left(\frac12P^2(\sigma)+\frac12P^2(\sigma')\right)

(여기서

\delta'(-)

은 디랙 델타의 분포로서의 도함수이다.) 즉, 이는 일종의 아핀 리 대수를 이룬다.

이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장

C

에 대하여 다음과 같다.^[3]

:

Q = \int\mathrm d^1\sigma \,\left(\frac12 P(\sigma)^2C(\sigma)+\mathrm iC'(\sigma)\frac{\delta}{\delta C(\sigma)}\right)

여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는

C(\sigma)

,

\delta/\delta C

는 양자화 이후

(c,b)

유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다.

2. 3. 1. 빛원뿔 좌표계 (Light-cone gauge)

폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서

h_{ab}

에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정

:

h_{ab} = \begin{pmatrix}

1&0\\

0&1\end{pmatrix}

을 가할 수 있다. 계산의 편의를 위해 빛원뿔 좌표계가 사용된다.

이 게이지 대칭은 작용

L \propto \eta P^2 + P\partial X

에서 생성원

P^2(\sigma)

에 의하여 생성된다. 이것의 리 괄호는 다음과 같다.

:

\left[\frac12P^2(\sigma),\frac12P^2(\sigma')\right]=\mathrm i\delta'(\sigma'-\sigma)\left(\frac12P^2(\sigma)+\frac12P^2(\sigma')\right)

^[3] (여기서

\delta'(-)

은 디랙 델타의 분포로서의 도함수이다.) 즉, 이는 일종의 아핀 리 대수를 이룬다.

이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장

C

에 대하여 다음과 같다.

:

Q = \int\mathrm d^1\sigma \,\left(\frac12 P(\sigma)^2C(\sigma)+\mathrm iC'(\sigma)\frac{\delta}{\delta C(\sigma)}\right)

^[3] 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는

C(\sigma)

,

\delta/\delta C

는 양자화 이후

(c,b)

유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다.

2. 3. 2. BRST 연산자

폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서

h_{ab}

에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 이에 따라 게이지 고정

:

h_{ab} = \begin{pmatrix}

1&0\\

0&1\end{pmatrix}

을 가할 수 있다. 보통 빛원뿔 좌표계가 사용된다.

이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장

C

에 대하여

:

Q = \int\mathrm d^1\sigma \,\left(\frac12 P(\sigma)^2C(\sigma)+\mathrm iC'(\sigma)\frac{\delta}{\delta C(\sigma)}\right)

이다.^[3] 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는

C(\sigma)

,

\delta/\delta C

는 양자화 이후

(c,b)

유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다.

2. 4. 방식 전개 (Mode expansion)

폴랴코프 작용을 통해 얻은 파동 방정식 형태의 운동 방정식을 풀기 위해, 끈의 좌표를 진동 모드(mode)로 전개한다. 이 과정은 닫힌 끈에 대한 경계 조건을 적용하여 수행되며, 그 결과로 끈의 질량 공식을 유도할 수 있다.

2. 4. 1. 닫힌 끈의 방식 전개

폴랴코프 작용을

h_{ab}=\operatorname{diag}(-1,1)

인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식

:

\square X^\mu=0

과 게이지 조건

:

(\partial_0\pm\partial_1X)^2=0

을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 닫힌 끈의 경우

X^\mu(\xi^0,\xi^1)=X^\mu(\xi^0,\xi^1+2\pi)

의 주기성 (periodicity) 조건을 준다. 그리고 편의상 빛원뿔 좌표계

:

\xi^\pm=\xi^0\pm\xi^1

를 정의한다. 그렇다면 파동 방정식의 해는 왼쪽 방식(mode^영어)과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면 다음과 같다.

:

X^\mu(\xi)=X^\mu_\mathrm L(\xi^+)+X^\mu_\mathrm R(\xi^-)

:

X^\mu_\mathrm L(\xi^+)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_n^\mu

:

X^\mu_\mathrm R(\xi^-)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_n^\mu

여기서

p^\mu

는 뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건

(\partial_\pm X)^2=0

을 적용하면 임의의

m\in\mathbb Z

에 대하여

:

0=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_{-n+m}\cdot\alpha_n=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_{-n+m}\cdot\beta_n

의 조건을 얻는다. 여기서

:

\alpha_0^\mu=\beta_0^\mu=\sqrt{\frac{\alpha'}2}p^\mu

로 정의한다. 이 가운데

m=0

인 조건으로부터 끈의 질량 공식

:

M^2=-p^2=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n

을 얻는다.

2. 4. 2. 질량 공식

폴랴코프 작용을

h_{ab}=\operatorname{diag}(-1,1)

인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식

:

\square X^\mu=0

과 게이지 조건

:

(\partial_0\pm\partial_1X)^2=0

을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 닫힌 끈의 경우

X^\mu(\xi^0,\xi^1)=X^\mu(\xi^0,\xi^1+2\pi)

의 주기성 (periodicity) 조건을 준다. 빛원뿔 좌표계

:

\xi^\pm=\xi^0\pm\xi^1

를 정의하면, 파동 방정식의 해는 다음과 같다. (왼쪽 방식(mode^영어)과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면)

:

X^\mu(\xi)=X^\mu_\mathrm L(\xi^+)+X^\mu_\mathrm R(\xi^-)

:

X^\mu_\mathrm L(\xi^+)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_n^\mu

:

X^\mu_\mathrm R(\xi^-)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_n^\mu

여기서

p^\mu

는 뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건

(\partial_\pm X)^2=0

을 적용하면 임의의

m\in\mathbb Z

에 대하여

:

0=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_{-n+m}\cdot\alpha_n=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_{-n+m}\cdot\beta_n

의 조건을 얻는다. 여기서

:

\alpha_0^\mu=\beta_0^\mu=\sqrt{\frac{\alpha'}2}p^\mu

로 정의한다. 이 가운데

m=0

인 조건으로부터 끈의 질량 공식

:

M^2=-p^2=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n

을 얻는다.

2. 5. 양자화 (Quantization)

끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표를 정의하고, 잉여 게이지 자유도를 사용한다. 이 과정에서 계의 자유도는

x^\pm

,

p^+

,

x^i, p^i,\alpha^i,\beta^i

(

i\in\{2,\dots,D-2\}

)이다.

이후의 내용은 '정준 교환 관계', '정렬 모호성', '준위 연산자', '임계 차원', '느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장' 등의 하위 섹션을 통해 자세히 설명한다.

보존 끈 이론은 경로 적분 양자화를 통해 정의된다.^[2]

:

I_0[g,X] = \frac{T}{8\pi} \int_M d^2 \xi \sqrt{g} g^{mn} \partial_m x^\mu \partial_n x^\nu G_{\mu\nu}(x)

여기서

x^\mu(\xi)

는 25+1 차원 시공간에 끈을 임베딩하는 것을 나타내는 세계면의 장이며, 폴리야코프 공식에서

g

는 임베딩에서 유도된 계량으로 이해하는 것이 아니라 독립적인 동적 장으로 이해해야 한다.

G

는 표적 시공간의 계량이며, 섭동 이론에서는 일반적으로 민코프스키 계량으로 간주한다. 윅 회전에 따라 이는 유클리드 계량

G_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu}

으로 변환된다. M은

\xi

좌표로 매개변수화된 위상 공간으로서의 세계면이다.

T

는 끈 장력이며,

T = \frac{1}{2\pi\alpha'}

로 레제 기울기와 관련이 있다.

I_0

는 미분 동형 사상과 바일 불변성을 갖는다. 바일 대칭은 양자화 (등각 이상 현상)에 의해 깨지므로, 이 작용은 오일러 지표에 비례하는 가상적인 순수 위상적 항과 함께 반대항으로 보완되어야 한다.

:

I = I_0 + \lambda \chi(M) + \mu_0^2 \int_M d^2\xi \sqrt{g}

반대항에 의한 바일 불변성의 명시적인 파괴는 임계 차원 26에서 상쇄될 수 있다.

물리량은 (유클리드) 분배 함수 및 N-점 함수로부터 구성된다.

:

Z = \sum_{h=0}^\infty \int \frac{\mathcal{D}g_{mn} \mathcal{D}X^\mu}{\mathcal{N}} \exp ( - I[g,X] )

:

\left\langle V_{i_1} (k^\mu_1) \cdots V_{i_p}(k_p^\mu) \right\rangle = \sum_{h=0}^\infty \int \frac{\mathcal{D}g_{mn} \mathcal{D}X^\mu}{\mathcal{N}} \exp ( - I[g,X] ) V_{i_1} (k_1^\mu) \cdots V_{i_p} (k^\mu_p)

이산 합은 가능한 위상 공간의 합이며, 유클리드 보존 가향 닫힌 끈의 경우 콤팩트 가향 리만 다양체이며, 따라서 종

h

로 식별된다. 대칭으로부터 중복 계산을 보상하기 위해 정규화 인자

\mathcal{N}

이 도입된다. 분배 함수의 계산은 우주 상수에 해당하며,

p

개의 정점 연산자를 포함하는 N-점 함수는 끈의 산란 진폭을 설명한다.

작용의 대칭군은 실제로 적분 공간을 유한 차원 다양체로 대폭 축소한다. 분배 함수에서

g

경로 적분은 ''a priori'' 가능한 리만 구조의 합이다. 그러나 바일 변환에 대한 몫 공간은 등각 구조만 고려할 수 있게 하며, 이는 다음과 같은 계량의 동일성에 따라 관련되는 계량의 등가 클래스이다.

:

g'(\xi) = e^{\sigma(\xi)} g(\xi)

세계면이 2차원이므로 등각 구조와 복소 다양체 사이에 1-1 대응이 있다. 여전히 미분 동형 사상을 제거해야 한다. 이는 주어진 위상적 표면의 모듈리 공간인 미분 동형 사상에 대한 모든 가능한 복소 구조의 공간에 대한 적분을 남기며, 실제로 유한 차원 복소 다양체이다. 따라서 섭동 보존 끈의 근본적인 문제는 모듈리 공간의 매개변수화가 되며, 이는 종

h \geq 4

에 대해 비자명하다.

2. 5. 1. 정준 교환 관계 (Canonical commutation relation)

빛원뿔 좌표계를 사용하여 끈을 양자화하면, 끈의 좌표와 운동량 사이에 다음과 같은 바른틀 교환자 관계(canonical commutation relation)가 성립한다.

:

[x^i,p^i]=\mathrm i\delta^{ij}

:

[x^\pm,p^\mp]=-\mathrm i

:

[\alpha^i_m,\alpha^j_n]=n\delta^{ij}\delta_{m+n,0}.

여기서

x^i

와

p^i

는 끈의 가로 좌표와 운동량이고,

x^\pm

와

p^\mp

는 끈의 빛원뿔 좌표와 운동량이다.

\alpha^i_m

과

\alpha^j_n

은 끈의 진동 모드를 나타내는 연산자이다.

2. 5. 2. 정렬 모호성 (Ordering ambiguity)

끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표를 정의하고, 잉여 게이지 자유도를 사용한다. 이 과정에서 계의 자유도는

x^\pm

,

p^+

,

x^i, p^i,\alpha^i,\beta^i

(

i\in\{2,\dots,D-2\}

)이다.

다음에 바른틀 교환자 관계 (canonical commutation relation^영어)를 적용시킨다.

:

[x^i,p^i]=\mathrm i\delta^{ij}

:

[x^\pm,p^\mp]=-\mathrm i

:

[\alpha^i_m,\alpha^j_n]=n\delta^{ij}\delta_{m+n,0}.

(

p^-

는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 정렬 모호성(ordering ambiguity)으로 인해 질량 공식이 다음과 같이 수정된다.

:

M^2=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n\right)=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n\right)

여기서 연산자

:

N=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n

:

\tilde N=\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n

을 '''준위'''(準位, level^영어) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다.

2. 5. 3. 준위 연산자 (Level operator)

빛원뿔 좌표계를 사용하여 양자화하면, 끈의 진동 상태를 나타내는 준위 연산자

N=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n

과

\tilde N=\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n

을 정의할 수 있다. 이들은 자연수의 고윳값을 가지며, 끈의 질량 공식은 다음과 같이 주어진다.

:

M^2=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n\right)=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n\right)

여기서 정렬 모호성으로 인해

-\frac{D-2}{24}

항이 추가된다.

준위 연산자의 값에 따라 끈의 상태가 결정된다.

N=\tilde N=0

인 경우는 타키온을 나타내며,

M^2<0

이다.

N=\tilde N=1

인 경우에는 로런츠 대칭에 의해

M^2=0

이고, 보손 끈 이론의 임계 차원

D=26

이 된다. 이때의 입자는 스핀 2의 중력자

G_{\mu\nu}

, 스핀 1의 캘브-라몽 장

B_{\mu\nu}

, 스핀 0의 딜라톤

\Phi

를 포함하는 무질량 입자이며, 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장이라고 부른다.

N=2

이상인 경우는 질량이 매우 커서 (대략 플랑크 질량) 관측되지 않는다.

2. 5. 4. 임계 차원 (Critical dimension)

빛원뿔 좌표계를 사용하여 끈을 양자화하면, 로런츠 대칭을 유지하기 위해 보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이어야 함을 알 수 있다. 이 경우, 질량이 0인 입자들이 존재하는데, 여기에는 스핀 2의 중력자

G_{\mu\nu}

, 스핀 1의 캘브-라몽 장

B_{\mu\nu}

, 스핀 0의 딜라톤

\Phi

이 포함된다. 이들은 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field^영어)으로 통칭된다.

N=\tilde N=1

인 경우, 로런츠 대칭에 의해

M^2=0

이 되어야 하므로,

D=26

이 된다. 즉, 보손 끈 이론에서 임계 차원은 26차원이다.

N=2

이상의 입자는 질량이

\propto1/\sqrt{\alpha'}

(대략 플랑크 질량)이므로 너무 커서 관측되지 않는다.

2. 5. 5. 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field)

닫힌 끈에서 나타나는 무질량 입자들은 중력자

G_{\mu\nu}

(스핀 2), 캘브-라몽 장

B_{\mu\nu}

(Kalb–Ramond field^영어, 스핀 1), 딜라톤

\Phi

(스핀 0)이다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field^영어)이라고 부른다.

3. 성질

보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여 장난감 모형으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 초대칭이 없고, 타키온을 포함하며, 임계 차원이 26차원이라는 특성을 지닌다.^[1]

3. 1. 초대칭 부재

보손 끈 이론은 초대칭이 없으므로 페르미온을 포함하지 않는다. 즉, 오직 NS-NS 장만을 포함한다.

3. 2. 타키온 (Tachyon)

보손 끈 이론은 타키온을 포함한다.^[1] 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다.^[1] (이에 반하여 초끈 이론은 GSO 사영을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.)^[1]

3. 3. 임계 차원

보손 끈 이론은 임계 차원이

26=3^3-1

차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 로런츠 대칭을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다. (초끈 이론에서는 초대칭에 따른

\beta

,

\gamma

유령 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.)

4. 문제점

보손 끈 이론은 매력적인 특징을 많이 가지고 있지만, 실행 가능한 물리 모형으로서는 부족한 점이 있다.

우선, 보손의 존재만을 예측하는 반면, 많은 물리 입자는 페르미온이다. 또한, 허수 질량을 가진 끈의 모드가 존재한다고 예측하며, 이는 이론이 "타키온 응축"으로 알려진 과정에 대한 불안정성을 가지고 있음을 의미한다.

일반적인 시공간 차원의 보손 끈 이론은 등각 이상으로 인해 모순을 보인다.^[1] 그러나 클로드 러브레이스가 처음으로 발견했듯이, 26차원(공간 25차원과 시간 1차원) 시공간, 즉 이론의 임계 차원에서는 이상이 상쇄된다. 이 높은 차원은 끈 이론의 문제점이 아닌데, 22개의 초과 차원을 따라 시공간이 작은 토러스 또는 다른 콤팩트 다양체를 형성하도록 접혀지도록 공식화할 수 있기 때문이다. 이렇게 하면 낮은 에너지 실험에서 보이는 익숙한 4차원의 시공간만 남게 된다. 이상이 상쇄되는 임계 차원의 존재는 모든 끈 이론의 일반적인 특징이다.

4. 1. 페르미온의 부재

보손 끈 이론은 여러 매력적인 특징을 가지지만, 실행 가능한 물리 모형으로서 두 가지 중요한 한계점을 갖는다.

첫째, 보손 끈 이론은 보손의 존재만을 예측하지만, 실제 물리 입자 중 상당수는 페르미온이다.^[1]

4. 2. 타키온 응축 (Tachyon condensation)

보손 끈 이론은 물리 모형으로서 두 가지 중요한 문제점을 가지고 있다.

둘째, 허수 질량을 가진 끈 모드의 존재를 예측하는데, 이는 이론이 "타키온 응축"으로 알려진 과정에 대한 불안정성을 가지고 있음을 의미한다.^[1]

4. 3. 등각 이상 (Conformal anomaly)

보손 끈 이론은 일반적인 시공간 차원에서 등각 이상으로 인해 모순을 보인다.^[1] 그러나 클로드 러브레이스가 처음으로 발견했듯이, 26차원(공간 25차원과 시간 1차원) 시공간, 즉 이론의 임계 차원에서는 이상이 상쇄된다.^[1] 이 높은 차원은 끈 이론의 문제점이 아닌데, 22개의 초과 차원을 따라 시공간이 작은 토러스 또는 다른 콤팩트 다양체를 형성하도록 접혀지도록 공식화할 수 있기 때문이다. 이렇게 하면 낮은 에너지 실험에서 보이는 익숙한 4차원의 시공간만 남게 된다. 이상이 상쇄되는 임계 차원의 존재는 모든 끈 이론의 일반적인 특징이다.

5. 보손 끈의 종류

열린 끈의 허용 여부와 끈의 특정 방향성 유무에 따라 보손 끈 이론에는 네 가지 가능한 종류가 있다. 열린 끈 이론은 닫힌 끈도 포함해야 하는데, 이는 열린 끈이 모든 시공간을 채우는 D25-브레인에 끝점이 고정된 것으로 생각할 수 있기 때문이다. 끈의 특정 방향성은 가향 세계면에 해당하는 상호작용만 허용됨을 의미한다(예: 두 끈은 동일한 방향성으로만 병합될 수 있다).

보손 끈 이론	음수가 아닌 $M^2$ 상태
열린 끈과 닫힌 끈, 방향성이 있는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤, 질량이 없는 반대칭 텐서
열린 끈과 닫힌 끈, 방향성이 없는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤
닫힌 끈, 방향성이 있는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤, 반대칭 텐서, U(1) 벡터 보손
닫힌 끈, 방향성이 없는 끈	타키온, 중력자, 딜라톤

네 가지 이론 모두 음의 에너지를 갖는 타키온( $M^2 = - \frac{1}{\alpha'}$ )과 질량이 없는 중력자를 가지고 있다.

6. 역사

보손 끈 이론은 1960년대에 끈 이론 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 강입자의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, 중간자를 구성하는 두 쿼크를 잇는 글루온은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수 $\alpha'$ 은 중간자의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다. $\alpha'$ 의 이름인 "레제 기울기"는 툴리오 레제의 이름을 따서 유래하였다.^[4]^[5]

1971년에는 클로드 러브레이스(영어: Claud Lovelace, 1934~2012)가 보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실을 발견하였다.^[4]^[5]

6. 1. 1960년대: 강입자 모형

보손 끈 이론은 1960년대에 끈 이론 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 강입자의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, 중간자를 구성하는 두 쿼크를 잇는 글루온은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수

\alpha'

은 중간자의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다.

\alpha'

의 이름인 “레제 기울기”는 툴리오 레제의 이름을 따서 유래하였다.^[4]^[5]

6. 2. 1971년: 임계 차원 발견

클로드 러브레이스(영어: Claud Lovelace, 1934~2012)가 1971년에 보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실을 발견하였다.^[4]^[5]

참조

_[1] 논문 Pomeron form factors and dual Regge cuts
_[2] 문서 D'Hoker, Phong
_[3] 저널 Classical superstring mechanics 1985-01-13
_[4] 저널 Pomeron form factors and dual Regge cuts 1971-03-29
_[5] 서적 The Birth of String Theory https://archive.org/[...] Cambridge University Press

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