선형 푸아송 다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 선형 푸아송 다양체
- 2.2. 리 대수로부터의 구성
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

선형 푸아송 다양체는 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응하는 푸아송 다양체의 한 종류이다. 이는 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념으로, 리 대수 구조를 쌍대 공간에 부여하거나, 유한 차원 실수 리 대수로부터 푸아송 다양체 구조를 정의하여 구성된다. 선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎은 리 군의 공수반 표현 궤도와 일치하며, 멱영 리 군 및 콤팩트 리 군의 표현론과 관련이 있다. 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프는 1961년에 선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계를 발견했다.

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선형 푸아송 다양체
개요
유형	푸아송 다양체
같이 수반 작용 궤도
영어 이름	Coadjoint orbit
설명	리 군의 같이 수반 표현의 궤도
관련 주제	리 군 리 대수 푸아송 다양체 심플렉틱 다양체 기약 표현 기리요프 특성 공식
선형 푸아송 다양체
영어 이름	Linear Poisson manifold
정의	리 대수의 쌍대 공간에 정의된 푸아송 구조
관련 개념	푸아송 다양체 리 대수 리 군 심플렉틱 잎

2. 정의

유한 차원 실수 벡터 공간 $V$ 위에 푸아송 다양체 구조 $\{-,-\}$ 가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

: $\{f,g\}(x) = x^if_i{}^{jk}\partial_jf\partial_kf$

그렇다면, 쌍대 공간 $V^*$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.

: $[t^j,t^k] = \sum_i f_i{}^{jk} t^i$

반대로, 유한 차원 실수 리 대수 $(\mathfrak g,[,])$ 가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 $\mathfrak g^*$ 위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의 $f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)$ 및 $x\in\mathfrak g^*$ 에 대하여,

: $\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])$

여기서

: $\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g$

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 '''선형 푸아송 다양체'''라고 한다.

$G$ 를 리 군(Lie group)이라고 하고, $\mathfrak{g}$ 를 해당 리 대수(Lie algebra)라고 하자. $\mathrm{Ad} : G \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 를 $G$ 의 수반 표현이라고 하자. 그러면 '''공수반 표현''' $\mathrm{Ad}^*: G \rightarrow \mathrm{GL}(\mathfrak{g}^*)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\langle \mathrm{Ad}^*_g \, \mu, Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}^{-1}_{g} Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}_{g^{-1}} Y \rangle$ ( $g \in G, Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*,$ 에 대해)

여기서 $\langle \mu, Y \rangle$ 는 벡터 $Y$ 에 대한 선형 범함수 $\mu$ 의 값을 나타낸다.

$\mathrm{ad}^*$ 를 리 군 $G$ 의 공수반 표현에 의해 유도된 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 $\mathfrak{g}^*$ 에 대한 표현이라고 하자. 그러면 $\mathrm{Ad}^*$ 에 대한 정의 방정식의 미소 버전은 다음과 같다.

: $\langle \mathrm{ad}^*_X \mu, Y \rangle = \langle \mu, - \mathrm{ad}_X Y \rangle = - \langle \mu, [X, Y] \rangle$ ( $X,Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*$ 에 대해)

여기서 $\mathrm{ad}$ 는 리 대수의 수반 표현 $\mathfrak{g}$ 이다.

2. 1. 선형 푸아송 다양체

유한 차원 실수 벡터 공간

V

위에 푸아송 다양체 구조

\{-,-\}

가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

:

\{f,g\}(x) = x^if_i{}^{jk}\partial_jf\partial_kf

그렇다면, 쌍대 공간

V^*

위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.

:

[t^j,t^k] = \sum_i f_i{}^{jk} t^i

반대로, 유한 차원 실수 리 대수

(\mathfrak g,[,])

가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간

\mathfrak g^*

위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의

f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)

및

x\in\mathfrak g^*

에 대하여,

:

\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])

여기서

:

\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 '''선형 푸아송 다양체'''라고 한다.

G

를 리 군(Lie group)이라고 하고,

\mathfrak{g}

를 해당 리 대수(Lie algebra)라고 하자.

\mathrm{Ad} : G \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})

를

G

의 수반 표현이라고 하자. 그러면 '''공수반 표현'''

\mathrm{Ad}^*: G \rightarrow \mathrm{GL}(\mathfrak{g}^*)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\langle \mathrm{Ad}^*_g \, \mu, Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}^{-1}_{g} Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}_{g^{-1}} Y \rangle

(

g \in G, Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*,

에 대해)

여기서

\langle \mu, Y \rangle

는 벡터

Y

에 대한 선형 범함수

\mu

의 값을 나타낸다.

\mathrm{ad}^*

를 리 군

G

의 공수반 표현에 의해 유도된 리 대수

\mathfrak{g}

의

\mathfrak{g}^*

에 대한 표현이라고 하자. 그러면

\mathrm{Ad}^*

에 대한 정의 방정식의 미소 버전은 다음과 같다.

:

\langle \mathrm{ad}^*_X \mu, Y \rangle = \langle \mu, - \mathrm{ad}_X Y \rangle = - \langle \mu, [X, Y] \rangle

(

X,Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*

에 대해)

여기서

\mathrm{ad}

는 리 대수의 수반 표현

\mathfrak{g}

이다.

2. 2. 리 대수로부터의 구성

유한 차원 실수 리 대수

(\mathfrak g,[,])

가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간

\mathfrak g^*

위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의할 수 있다. 임의의

f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)

및

x\in\mathfrak g^*

에 대하여,

:

\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])

여기서

:

\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 '''선형 푸아송 다양체'''라고 한다.

G

를 리 군(Lie group)이라고 하고,

\mathfrak{g}

를 해당 리 대수(Lie algebra)라고 하자.

\mathrm{Ad} : G \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})

를

G

의 수반 표현이라고 하자. 그러면 '''공수반 표현'''

\mathrm{Ad}^*: G \rightarrow \mathrm{GL}(\mathfrak{g}^*)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\langle \mathrm{Ad}^*_g \, \mu, Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}^{-1}_{g} Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}_{g^{-1}} Y \rangle

(

g \in G, Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*,

에 대해)

여기서

\langle \mu, Y \rangle

는 벡터

Y

에 대한 선형 범함수

\mu

의 값을 나타낸다.

\mathrm{ad}^*

를 리 군

G

의 공수반 표현에 의해 유도된 리 대수

\mathfrak{g}

의

\mathfrak{g}^*

에 대한 표현이라고 하자. 그러면

\mathrm{Ad}^*

에 대한 정의 방정식의 미소 버전은 다음과 같다.

:

\langle \mathrm{ad}^*_X \mu, Y \rangle = \langle \mu, - \mathrm{ad}_X Y \rangle = - \langle \mu, [X, Y] \rangle

(

X,Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*

에 대해)

여기서

\mathrm{ad}

는 리 대수의 수반 표현

\mathfrak{g}

이다.

3. 성질

3. 1. 심플렉틱 잎과 쌍대딸림표현 궤도

리 대수

\mathfrak g

에 대응하는 단일 연결 리 군

G

를 생각할 때,

\mathfrak g^*

는

G

의 쌍대딸림표현을 갖는다.

\mathfrak g^*

의 심플렉틱 잎들은

G

의 작용에 대한 궤도, 즉 쌍대딸림표현 궤도와 일치한다.

G

의 공수반 표현은 다음과 같이 정의된다.

:

\langle \mathrm{Ad}^*_g \, \mu, Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}^{-1}_{g} Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}_{g^{-1}} Y \rangle

(

g \in G, Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*,

에 대해)

여기서

\langle \mu, Y \rangle

는 벡터

Y

에 대한 선형 범함수

\mu

의 값을 나타낸다.

리 군

G

의 공수반 표현에 의해 유도된 리 대수

\mathfrak{g}

의

\mathfrak{g}^*

에 대한 표현

\mathrm{ad}^*

는 다음과 같다.

:

\langle \mathrm{ad}^*_X \mu, Y \rangle = \langle \mu, - \mathrm{ad}_X Y \rangle = - \langle \mu, [X, Y] \rangle

(

X,Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*

에 대해)

여기서

\mathrm{ad}

는 리 대수의 수반 표현

\mathfrak{g}

이다.

\mathfrak{g}

의 쌍대 공간

\mathfrak{g}^*

에서

\mu

에 대한 코어드조인트 궤도

\mathcal{O}_\mu

는

\mathfrak{g}^*

내의 실제 궤도

\mathrm{Ad}^*_G \mu

로 정의되거나, 안정자를 이용해 정의될 수 있다.

코어드조인트 궤도는

\mathfrak{g}^*

의 부분 다양체이며, 각 궤도

\mathcal{O}_\mu

에서 닫힌 비퇴화

G

-불변 2-형식

\omega \in \Omega^2(\mathcal{O}_\mu)

가 다음과 같은 방식으로

\mathfrak{g}

로부터 상속되어 자연스러운 심플렉틱 구조를 갖는다.

:

\omega_\nu(\mathrm{ad}^*_X \nu, \mathrm{ad}^*_Y \nu) := \langle \nu, [X, Y] \rangle , \nu \in \mathcal{O}_\mu, X, Y \in \mathfrak{g}

.

정규 2-형식

\omega

는 ''키릴로프-코스탄트-수리우 심플렉틱 형식'' 또는 ''KKS 형식''이라고도 불린다.

3. 2. 멱영 리 군의 표현론

연결 단일 연결 멱영 리 군

G

의 유니터리 기약 표현들은 그 리 대수의 쌍대 공간

\mathfrak{lie}(G)^*

의 쌍대딸림궤도들과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 쌍대딸림궤도는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해

G

의 유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있다. 이 유니터리 표현은 주어진 쌍대딸림궤도에 대응하는 기약 표현이다.

표현

\rho

의 지표는 쌍대딸림궤도의 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다.

3. 3. 콤팩트 리 군의 표현론

연결 단일 연결 콤팩트 리 군

G

의 쌍대딸림표현 궤도들은

G

의 바일 방의 점과 일대일 대응한다.

콤팩트 리 군의 경우, 키릴로프 지표 공식을 통해 기약 표현의 지표를 쌍대딸림궤도 위의 적분으로 나타낼 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

콤팩트 리 대수 (반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합) $\mathfrak g$
$\mathfrak g$ 의 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h$
$\mathfrak h$ 의 양근 집합 $\{\alpha^1,\dotsc,\alpha^{\dim\mathfrak g/2}\} \subseteq \mathfrak h^*$
기약 표현 $\pi\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$
$\pi$ 의 최고 무게 $\lambda \in \mathfrak h^*$

그렇다면,

:

\rho = \frac12\sum_{i=1}^{\dim\mathfrak g/2} \alpha^i

가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도

:

\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) \subseteq \mathfrak g^*

는 심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식

\mu_{\lambda+\rho}

가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

:

(\det(\mathrm D\exp|_\xi))^{1/2} \operatorname{tr}_V\pi(\exp\xi) = \int_{\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho)} \exp(\mathrm i\langle x|\xi\rangle) \mu_{\lambda+\rho}

여기서

$\det(\mathrm D\exp|_\xi) = \operatorname{sinh}(\operatorname{ad}(\xi/2))/\operatorname{ad}(\xi/2)$ 는 리 지수 사상 $\mathfrak g \to G$ 의, $\xi\in\mathfrak g$ 에서의 야코비 행렬 $\mathrm D\exp|_\xi \in \mathfrak g^* \otimes \mathrm T_{\exp\xi}G$ 의 행렬식이다.

3. 4. 고리 리 대수

단일 연결 반단순 리 군

G

의 리 대수

\mathfrak g

를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간

:

\mathrm LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G)

은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간인 리 대수

:

\mathrm L\mathfrak g = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathfrak g)

를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여

:

\mathfrak g \otimes \mathbb C[z,z^{-1}] \subseteq \mathrm L\mathfrak g

이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다.

원

\mathbb S^1

은 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라

:

\mathrm L\mathfrak g \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g^*)

으로 놓을 수 있다. 또한,

\mathfrak g

의 킬링 형식을 사용하여

\mathfrak g^* \cong \mathfrak g

이므로

:

(\mathrm L\mathfrak g)^* \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)

이다. 이 공간

:

(\mathrm L\mathfrak g)^* = \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)

은 원 위의 자명한

G

-주다발의 주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우,

\mathrm LG

는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체

\mathrm L\mathfrak g^*

위의 작용은 게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발의 주접속의 게이지 변환 동치류들의 공간

G/\!/G

이다.

4. 예시

아벨 리 대수 $\mathfrak g$ 를 생각하자. 그렇다면, $\mathfrak g^*$ 위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.

구체적으로,

: $\mathfrak g = \mathbb R^n$

이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군 $G = \mathbb R^n$ 은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.

: $(t^1,\dotsc,t^n) \cdot z \mapsto \exp(\mathrm i\alpha_1t^1+\mathrm i\alpha_2t^2+\dotsb+\mathrm i\alpha_nt^n) z$

이 기약 표현은 점 $(\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_n) \in \mathfrak g^*$ 으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표

: $\chi_{(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)}(t_1,\dotsc,t_n) = \exp(\mathrm i\alpha_1t^1 + \dotsb + \mathrm i\alpha_nt^n)$

는 부피 형식( $(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ 에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.

$\mathfrak{g} = \mathfrak{o}(3)$ (3차원 직교군의 리 대수)는 3차원 벡터 공간이다. 킬링 형식 $B(-,-)$ 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같다.

: $\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))$

이는 음이 아닌 실수 반지름 $r$ 의 구이며, $\operatorname{SU}(2)$ 의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

$r>0$ 일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, $r=0$ 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 $(r,\theta,\phi)$ 에서

: $\omega_r = \frac r{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\phi\wedge\mathrm d\theta$

이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 $1\in\mathbb R$ 에 해당하며, $\rho = 1/2$ 이다.

스핀 $\lambda\in\{1/2,1,3/2,2,\dotsc\}$ 에 대하여,

: $\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) = \{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|= \lambda+1/2\}$

이며,

: $\int_{\|x\|=2\lambda+1/2} \exp(\mathrm i\langle x,\xi\rangle) \omega_{\lambda+1/2}=\frac{\lambda+1/2}{2\pi}\int_0^2\pi\mathrm d\phi\int_0^\pi\mathrm d\theta\,\sin\theta\exp(2\mathrm i\xi(\lambda+1/2)\cos\theta)=\frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\xi}$

이다.

여기서 정적분

: $\int_0^\pi \sin\theta \exp(\mathrm i\cos\theta) = \frac{2\sin r}r$

을 사용하였다.

야코비안은

: $\det \mathrm D\exp|_{\operatorname{diag}(\mathrm i\xi,-\mathrm i\xi)} = \frac{\sin\xi}\xi$

이다.

스핀 $\lambda$ 에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.

: $\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\sin\xi}$

스핀 $\lambda$ 의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로

: $\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \exp(2\mathrm i\lambda)\xi)+ \exp(2\mathrm i(\lambda-1)\xi)+ \dotsb + \exp(-2\mathrm i\lambda\xi)$

가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

멱영 리 군인 하이젠베르크 군

: $\operatorname{Heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}$

을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.

: $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}$

3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적

: $\langle X|Y\rangle = \operatorname{tr}(XY)$

을 사용한다면, $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)$ 의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간 $\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)$ 속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.

: $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)^\perp = \left\{\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix}\colon x,y,z\in\mathbb R\right\} = \{M\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)\colon \operatorname{tr}($

이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.

: $\operatorname{ad}^*\left(\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\right) \colon \begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}0&x-ay&y\\0&0&z+by\\0&0&0\end{pmatrix}$

따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.

$y = 0$ 인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다.
$y \ne 0$ 일 때, 궤도는 $(\mathbb R,y,\mathbb R)$ 의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 $\mathrm dx\wedge\mathrm dz / y$ 은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다.

4. 1. 아벨 리 군

아벨 리 대수

\mathfrak g

를 생각하자. 그렇다면,

\mathfrak g^*

위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.

구체적으로,

:

\mathfrak g = \mathbb R^n

이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군

G = \mathbb R^n

은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.

:

(t^1,\dotsc,t^n) \cdot z \mapsto \exp(\mathrm i\alpha_1t^1+\mathrm i\alpha_2t^2+\dotsb+\mathrm i\alpha_nt^n) z

이 기약 표현은 점

(\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_n) \in \mathfrak g^*

으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표

:

\chi_{(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)}(t_1,\dotsc,t_n) = \exp(\mathrm i\alpha_1t^1 + \dotsb + \mathrm i\alpha_nt^n)

는 부피 형식(

(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)

에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.

4. 2. SU(2)

\mathfrak{g} = \mathfrak{o}(3)

(3차원 직교군의 리 대수)는 3차원 벡터 공간이다. 킬링 형식

B(-,-)

에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같다.

:

\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))

이는 음이 아닌 실수 반지름

r

의 구이며,

\operatorname{SU}(2)

의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

r>0

일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며,

r=0

일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계

(r,\theta,\phi)

에서

:

\omega_r = \frac r{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\phi\wedge\mathrm d\theta

이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은

1\in\mathbb R

에 해당하며,

\rho = 1/2

이다.

스핀

\lambda\in\{1/2,1,3/2,2,\dotsc\}

에 대하여,

:

\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) = \{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|= \lambda+1/2\}

이며,

:

\int_{\|x\|=2\lambda+1/2} \exp(\mathrm i\langle x,\xi\rangle) \omega_{\lambda+1/2}=\frac{\lambda+1/2}{2\pi}\int_0^2\pi\mathrm d\phi\int_0^\pi\mathrm d\theta\,\sin\theta\exp(2\mathrm i\xi(\lambda+1/2)\cos\theta)=\frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\xi}

이다.

여기서 정적분

:

\int_0^\pi \sin\theta \exp(\mathrm ir\cos\theta) = \frac{2\sin r}r

을 사용하였다.

야코비안은

:

\det \mathrm D\exp|_{\operatorname{diag}(\mathrm i\xi,-\mathrm i\xi)} = \frac{\sin\xi}\xi

이다.

스핀

\lambda

에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.

:

\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\sin\xi}

스핀

\lambda

의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로

:

\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \exp(2\mathrm i\lambda)\xi)+ \exp(2\mathrm i(\lambda-1)\xi)+ \dotsb + \exp(-2\mathrm i\lambda\xi)

가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

4. 3. 하이젠베르크 군

멱영 리 군인 하이젠베르크 군

:

\operatorname{Heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}

을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.

:

\mathfrak{heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}

3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적

:

\langle X|Y\rangle = \operatorname{tr}(XY)

을 사용한다면,

\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)

의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간

\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)

속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.

:

\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)^\perp = \left\{\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix}\colon x,y,z\in\mathbb R\right\} = \{M\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)\colon \operatorname{tr}(

이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.

:

\operatorname{ad}^*\left(\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\right) \colon \begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}0&x-ay&y\\0&0&z+by\\0&0&0\end{pmatrix}

따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.

$y = 0$ 인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다.
$y \ne 0$ 일 때, 궤도는 $(\mathbb R,y,\mathbb R)$ 의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 $\mathrm dx\wedge\mathrm dz / y$ 은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다.

5. 역사

선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프/Алекса́ндр Алекса́ндрович Кири́ллов^ru, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.^[2]^[3]

참조

_[1] 논문 Geometry and topology of coadjoint orbits of semisimple Lie groups https://web.archive.[...] 2018-10-16
_[2] 논문 Унитарные представления нильпотентных групп Ли http://mi.mathnet.ru[...]
_[3] 논문 Унитарные представления нильпотентных групп Ли http://mi.mathnet.ru[...] 1962
_[3] 논문 Unitary representations of nilpotent Lie groups

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