오일러 방정식

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1. 개요

오일러 방정식은 1757년 레온하르트 오일러에 의해 처음 발표된 유체 운동을 설명하는 편미분 방정식이다. 이는 질량, 운동량, 에너지 보존을 나타내는 세 가지 보존 방정식으로 구성되며, 나비에-스토크스 방정식에서 점성 항을 제거한 형태이다. 오일러 방정식은 비점성 유체의 흐름을 모델링하며, 베르누이 정리, 음속, 충격파, 유선 곡률 정리 등을 설명하는 데 사용된다. 전산 유체 역학(CFD)에서 유한 체적법을 사용하여 수치적으로 해를 구할 수 있으며, 특히 고마하 수의 압축성 흐름이나 점성의 영향이 적은 경우에 유용하다. 하지만 오일러 방정식은 상태 방정식이 필요하며, 비평형 시스템에는 적용할 수 없다는 한계를 지닌다.

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오일러 방정식
개요
유형	준선형 쌍곡형 편미분 방정식
설명	단열적이고 비점성적인 유체의 흐름을 지배하는 방정식
변수	ρ (밀도) v (속도) p (압력) e (단위 질량당 내부 에너지)
응용 분야	유체 역학 기상학 천체물리학
형태
보존 형태 (1차원)	'∂U/∂t + ∂F/∂x = 0'
변수 벡터 (U)	'[ρ, ρv, ρe]ᵀ'
플럭스 벡터 (F)	'[ρv, ρv² + p, v(ρe + p)]ᵀ'
비보존 형태 (1차원)	'∂U/∂t + A ∂U/∂x = 0'
변수 벡터 (U)	'[ρ, v, p]ᵀ'
계수 행렬 (A)	'v, ρ, 0], [0, v, 1/ρ], [0, γp, v'
상태 방정식	'p = (γ - 1)ρe'
γ	단열 지수
특징
특징 속도	v, v + c, v - c (c는 음속)
음속 (c)	√(γp/ρ)
같이 보기
관련 항목	나비에-스토크스 방정식 이상 기체 연속체 역학
참고 문헌
참고 문헌

2. 역사

오일러 방정식은 1757년 ''베를린 과학 아카데미 회보''에 게재된 오일러의 논문 "유체 운동의 일반 원리"에서 처음 발표되었다.^[1] 오일러는 이전에 1752년 베를린 아카데미에 자신의 연구를 발표했으며, 이전 연구에는 베르누이 가문과 장 르 롱 달랑베르의 기여가 있었다.

오일러 방정식은 파동 방정식 이후 최초로 작성된 편미분 방정식 중 하나였다. 오일러의 원래 연구에서 방정식 시스템은 운동량과 연속 방정식으로 구성되어 있었으며, 비압축성 흐름의 경우를 제외하고는 미정이었다. 1816년 피에르시몽 라플라스는 단열 조건이라고 불리는 추가 방정식을 제공했다.

19세기 후반 동안, 에너지 균형과 관련된 방정식은 압축성 흐름에 대해 항상 유지되어야 하며, 단열 조건은 매끄러운 해의 경우 기본 법칙의 결과라는 것이 밝혀졌다. 특수 상대성 이론의 발견과 함께 에너지 밀도, 운동량 밀도, 응력의 개념은 응력-에너지 텐서의 개념으로 통합되었고, 에너지와 운동량은 에너지-운동량 벡터라는 단일 개념으로 통합되었다.

이 방정식은 1755년에 레온하르트 오일러에 의해 정식화되었다.

완전 유체란 점성을 가지지 않는 유체이다. 점성이 없기 때문에 경계 조건으로 벽면에서의 미끄러짐을 허용할 필요가 있다. 높은 마하 수의 압축성 흐름에서는 유속이 크기 때문에 점성이나 난류의 효과는 벽면 근처의 작은 영역에서만 나타나므로 오일러 방정식을 사용하여 흐름의 해석이 이루어진다.^[4]

3. 정의 및 수학적 기술

오일러 방정식은 점성이 없는 유체의 운동을 기술하는 방정식으로, 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙을 나타낸다.

질량 보존 방정식 (연속 방정식): 유체가 흘러 들어오고 나가는 양이 같아야 한다는 것을 의미하며, 밀도의 변화와 속도의 발산으로 표현된다.
운동량 보존 방정식: 유체에 작용하는 힘(압력, 외력)과 운동량의 변화 사이의 관계를 나타낸다.
에너지 보존 방정식: 유체의 총 에너지(내부 에너지, 운동 에너지) 변화는 유동과 압력에 의한 일과 같다는 것을 의미한다.

이 방정식들은 미지수가 방정식보다 많기 때문에, 문제를 닫힌 형태로 만들기 위해 상태 방정식과 같은 추가적인 방정식이 필요하다.^[3]

열역학적 관점에서 오일러 방정식은 비체적, 유동 속도, 비엔트로피를 변수로 사용하여 표현할 수 있다. 이 경우, 에너지 방정식은 비엔트로피가 유선을 따라 일정하게 유지됨을 나타낸다.^[3]

호레이스 램은 그의 저서 《유체역학》에서 회전 형태로 흐름 속도의 대류 항을 변경하여 베르누이 정리를 정상 흐름에 대해 설명하는 데 최적화된 형태를 제시했다.

오일러 방정식을 유선을 따라 적분하면 베르누이 방정식을 얻을 수 있다. 이는 밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적인 경우에 해당한다. 베르누이 정리는 오일러 방정식의 직접적인 결과이다.

일반적으로 전수두를 비점성 액체 흐름에 대해 정의하면, 외부 보존장에서 정상 비점성 및 비압축성 흐름에 대한 운동량 균형은 유선을 따라 전수두가 일정하다는 것을 알 수 있다.

크로코 정리를 통해 오일러 운동량 방정식은 엔트로피와 엔탈피를 이용하여 표현될 수 있다.

3. 1. 질량 보존 방정식 (연속 방정식)

3차원에 대한 질량 보존 (연속) 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

{\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf u}) = 0

여기에서,

$\mathbf u$ 는 유동 속도이다.
$\rho$ 는 유체의 밀도이다.

3. 2. 운동량 보존 방정식

Conservation equations^영어은 질량, 운동량 3개 성분, 에너지의 보존을 나타내며, 다음과 같이 표현된다.^[3]

:

{\partial \rho \mathbf u \over \partial t} + \nabla \cdot ((\rho \mathbf u) \otimes \mathbf u) + \nabla p = 0

여기에서,

$\mathbf u$ 는 유동 속도이다.
$p$ 는 유체의 압력이다.
$\rho$ 는 유체의 밀도이다.

이 식은 이차 텐서의 발산을 포함하며, 아래첨자를 이용하여 표현하면 다음과 같다.

:

{\partial \rho u_j \over \partial t} + {\partial \rho u_i u_j \over \partial x_i} + {\partial p \over \partial x_j} = 0

방정식은 5개이고 미지수는 6개이므로, 이 문제를 닫힌 문제로 만들기 위해서는 상태 방정식이라 불리는 방정식이 하나 더 필요하다.

밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면, 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.

대류 연산자가 운동량 방정식에 명시적으로 나타난 대류 형태에서, 시간상에서 밀도가 일정하고 공간상에서 균일한 경우의 비압축성 오일러 방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}{D\mathbf{u} \over Dt} &= -\nabla w + \mathbf{g} \\\nabla\cdot \mathbf{u} &= 0\end{align}

여기서,

$\mathbf u$ 는 유속 벡터이며, ''N''차원 공간에서 $u_1, u_2, \dots, u_N$ 의 성분을 갖는다.
일반 함수(또는 장) $\boldsymbol\Phi$ 에 대해 $\frac{D\boldsymbol\Phi}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol\Phi}{\partial t} + \mathbf v \cdot \nabla \boldsymbol\Phi$ 는 아드벡티브 장 $\mathbf v$ 에 대한 시간상에서의 물질 미분을 나타낸다.
$\nabla w$ 는 비(''단위 질량당''의 의미) 열역학적 일의 경사, 내부 소스 항이다.
$\nabla \cdot \mathbf u$ 는 유속 발산이다.
$\mathbf{g}$ 는 체적 가속도 (단위 질량당)를 나타내며, 예를 들어 중력, 관성 가속도, 전기장 가속도 등이 있다.

물질 미분을 전개하면 방정식은 다음과 같다.

\begin{align}{\partial\mathbf{u} \over \partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla w + \mathbf{g},\\\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0.\end{align}

균일한 밀도

\rho_0

의 흐름에 대해 다음 항등식이 성립한다.

\nabla w \equiv \nabla \left(\frac p {\rho_0} \right) = \frac 1 {\rho_0} \nabla p,

여기서

p

는 기계적 압력이다.

두 번째 방정식은 비압축성 제약 조건으로, 유속이 솔레노이드 장임을 나타낸다. 연속 방정식은 시간에 따라 밀도가 변화하거나 공간에 따라 변화하는 경우 이 비압축성 경우에도 추가적인 세 번째 방정식으로 필요하다. 예를 들어, 공간적으로는 균일하지 않지만 시간적으로는 일정한 밀도의 경우, 위의 집합에 추가할 연속 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.

균일한 밀도의 경우는 비압축성 제약 조건의 유무에 관계없이 추가 방정식으로 연속 방정식을 필요로 하지 않는 유일한 경우이다.

\left(x_1, \dots, x_N\right)

으로 주어진 좌표계에서, 속도 및 외력 벡터

\mathbf u

및

\mathbf g

는 각각 성분

(u_1,\dots, u_N)

및

\left(g_1, \dots, g_N\right)

를 갖는다. 그러면 방정식은 아래첨자 표기법으로 표현될 수 있다.

\begin{align}{\partial u_i \over \partial t} + \sum_{j=1}^N {\partial \left(u_i u_j + w\delta_{ij}\right) \over \partial x_j} &= g_i,\\\sum_{i=1}^N {\partial u_i \over \partial x_i} &= 0.\end{align}

여기서

i

및

j

아래첨자는 ''N''차원 공간 성분을 나타내고,

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

소스 항(g=0)이 없는(자유) 방정식의 매끄러운 해는 비(比) 운동 에너지의 보존을 만족한다.

{\partial \over\partial t} \left(\frac{1}{2} u^2 \right) + \nabla \cdot \left(u^2 \mathbf u + w \mathbf u\right) = 0.

소스 항(압력 기울기 및 외부 힘 모두)이 없는 1차원 경우, 운동량 방정식은 비점성 버거스 방정식이 된다.

{\partial u \over\partial t}+ u {\partial u \over\partial x} = 0.

이 모델 방정식은 오일러 방정식에 대한 많은 통찰력을 제공한다.

프로드 극한에서의 비압축성 오일러 방정식은 보존량과 관련된 플럭스를 각각 갖는 단일 보존 방정식과 동일하다.

\mathbf y = \begin{pmatrix}\rho  \\  \rho \mathbf u  \\0\end{pmatrix}; \qquad {\mathbf F} = \begin{pmatrix}\rho \mathbf u \\ \rho \mathbf u \otimes \mathbf u + p \mathbf I\\\mathbf u\end{pmatrix}.

여기서

\mathbf y

의 길이는

N+2

이고

\mathbf F

의 크기는

(N+2)N

이다.

일반적으로 오일러 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\frac {\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}\rho  \\  \rho \mathbf u  \\0\end{pmatrix}+ \nabla \cdot \begin{pmatrix}\rho \mathbf u\\\rho \mathbf u \otimes \mathbf u + p \mathbf I\\ \mathbf u\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\  \rho \mathbf g \\ 0 \end{pmatrix}.

보존 형태 방정식에 대한 변수는 아직 최적화되지 않았다. 다음과 같이 정의할 수 있다.

{\mathbf y}=\begin{pmatrix}\rho  \\ \mathbf j  \\0\end{pmatrix}; \qquad {\mathbf F}=\begin{pmatrix} \mathbf j \\ \frac {1} \rho \, \mathbf j \otimes \mathbf j+ p \mathbf I\\ \frac \mathbf j \rho\end{pmatrix},

여기서

\mathbf j = \rho \mathbf u

는 운동량 밀도이며, 이는 보존 변수이다.

\mathbf f = \rho \mathbf g

는 힘 밀도이며, 이는 보존 변수이다.

물질 미분 표기법을 사용하면, 압축성 오일러 방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}{D\rho \over Dt} &= -\rho\nabla \cdot \mathbf{u} \\[1.2ex]\frac{D\mathbf{u}}{Dt} &= -\frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{g} \\[1.2ex]{De \over Dt} &= -\frac{p}{\rho}\nabla \cdot \mathbf{u}\end{align}

여기서 추가적인 변수는 다음과 같다.

$e$ 는 비 내부 에너지 (단위 질량당 내부 에너지)이다.

위의 방정식은 질량 보존, 운동량, 에너지를 나타낸다.

물질 미분을 확장하면 위의 방정식은 다음과 같다.

\begin{align}{\partial\rho \over \partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla\rho + \rho\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0,\\[1.2ex]\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla\mathbf{u} + \frac{\nabla p}{\rho} &= \mathbf{g}, \\[1.2ex]{\partial e \over \partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla e + \frac{p}{\rho}\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0.\end{align}

램은 그의 저서 《유체역학》(Hydrodynamics, 1895)에서, 회전 형태로 흐름 속도의 대류 항을 변경했다.

\mathbf u \cdot \nabla \mathbf u = \frac{1}{2}\nabla\left(u^2\right) + (\nabla \times \mathbf u) \times \mathbf u,

람 형태의 오일러 운동량 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \frac{1}{2}\nabla\left(u^2\right) + (\nabla \times \mathbf{u}) \times \mathbf{u} + \frac{\nabla p}{\rho} = \mathbf{g} =\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \frac{1}{2}\nabla\left(u^2\right) - \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u}) + \frac{\nabla p}{\rho}.

다른 항등식을 기반으로 한다.

\nabla \left( \frac {p}{\rho} \right) = \frac {\nabla p}{\rho} - \frac{p}{\rho^2} \nabla \rho,

오일러 운동량 방정식은 베르누이 정리를 정상 흐름에 대해 설명하는 데 최적화된 형태를 취한다.

\nabla \left(\frac{1}{2}u^2 + \frac{p}{\rho}\right) - \mathbf g =  -\frac{p}{\rho^2} \nabla \rho + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u) - \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}.

외부 보존장의 경우, 그 포텐셜 φ를 정의하여

\nabla \left( \frac 1 2 u^2 + \phi + \frac p \rho \right)  = -\frac{p}{\rho^2} \nabla \rho  + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u) - \frac{\partial \mathbf u}{\partial t}.

정상 흐름의 경우 흐름 속도의 시간 미분은 사라지므로, 운동량 방정식은 다음과 같다.

\nabla  \left( \frac 1 2 u^2 + \phi + \frac p \rho \right) =  -\frac{p}{\rho^2} \nabla \rho  + \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf u).

운동량 방정식을 흐름 방향, 즉 ''유선''을 따라 투영하면, 외적은 사라진다.

\mathbf u \cdot \nabla \left(\frac{1}{2}u^2 + \phi + \frac{p}{\rho}\right) = -\frac{p}{\rho^2} \mathbf u \cdot \nabla\rho.

정상 비압축성 유체의 경우 질량 방정식은 다음과 같다.

\mathbf u \cdot \nabla \rho = 0,

즉 '''정상 비압축성 흐름에 대한 질량 보존은 유선을 따라 밀도가 일정하다는 것을 나타낸다'''. 그러면 정상 비압축성 유체의 오일러 운동량 방정식은 다음과 같다.

\mathbf u \cdot \nabla \left( \frac 1 2 u^2 + \phi + \frac p \rho \right)  = 0.

전수두를 비점성 액체 흐름에 대해 정의하면

b_l \equiv \frac 1 2 u^2 + \phi + \frac p \rho ,

이는 다음과 같이 간단하게 쓸 수 있다.

\mathbf u \cdot \nabla b_l = 0.

즉, '''외부 보존장에서 정상 비점성 및 비압축성 흐름에 대한 운동량 균형은 유선을 따라 전수두가 일정하다는 것을 나타낸다'''.

크로코 정리

열역학 제1법칙의 엔탈피 형식에 따라 압력 기울기를 엔트로피와 엔탈피 기울기로 대체하면 다음과 같다.

v \nabla p = -T \nabla s + \nabla h,

오일러 운동량 방정식의 대류 형식으로 나타내면 다음과 같다.

\frac{D\mathbf u}{Dt}=T \nabla\,s-\nabla \,h.

프리드만은 완전 기체의 특수한 경우에 대해 이 방정식을 유도하여 1922년에 발표했다.

오일러 운동량 방정식의 회전 형식에 열역학 제1법칙의 엔탈피 형식을 대입하면 다음을 얻는다.

\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \frac{1}{2} \nabla\left(u^2\right) + (\nabla \times \mathbf{u}) \times \mathbf{u} + \frac{\nabla p}{\rho} = \mathbf{g},

그리고 비총 엔탈피를 다음과 같이 정의한다.

h^t = h + \frac{1}{2}u^2,

크로코-바존이 형태를 얻는다.

\frac{\partial \mathbf{ u}}{\partial t} + (\nabla \times \mathbf u) \times  \mathbf u  - T \nabla s + \nabla h^t = \mathbf{g}.

정상 상태에서 두 변수 엔트로피와 총 엔탈피는 오일러 방정식을 크로코 형태로 다시 작성할 수 있기 때문에 특히 유용하다.

\begin{align}\mathbf{u} \times \nabla \times \mathbf{u} + T\nabla s - \nabla h^t &= \mathbf{g},\\\mathbf{u} \cdot \nabla s &= 0, \\\mathbf{u} \cdot \nabla h^t &= 0.\end{align}

흐름이 등온인 경우:

T \nabla s = \nabla (T s),

비총 깁스 자유 에너지를 다음과 같이 정의하면:

g^t \equiv h^t + Ts,

크로코 형태는 다음과 같이 줄어들 수 있다.

\begin{align}\mathbf{u} \times \nabla \times \mathbf{u} - \nabla g^t &= \mathbf{g},\\\mathbf{u} \cdot \nabla g^t &= 0.\end{align}

이 관계로부터 비총 자유 에너지는 정상 상태, 비회전, 등온, 등엔트로피, 비점성 흐름에서 균일하다는 것을 알 수 있다.

오일러 방정식은^[3]

:

\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot \nabla)\boldsymbol{v}=-\frac{1}{\rho} \nabla p +\boldsymbol{g}

로 표현된다.

여기서

\boldsymbol{v}

는 유체의 속도장,

\rho

는 밀도장,

p

는 압력장이며,

\boldsymbol{g}

는 유체의 질량당 작용하는 외력장(가속도장)이다. 이는 나비에-스토크스 방정식에서 점성항을 생략한 것과 같다.

벡터 해석의 공식에서 유체의 와도

\boldsymbol{\omega} =\operatorname{rot}\boldsymbol{v}

로

:

(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}=\frac{1}{2} \operatorname{grad} (v^2)

\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega}

로 변형되므로, 오일러 방정식은

:

\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+ \frac{1}{2} \operatorname{grad} (v^2)+\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p -\boldsymbol{g}=\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega}

가 된다.

밀도가 압력에 의해서만 결정되는 순압의 경우에는 압력 함수

:

P(p) =\int \frac{dp}{\rho}

를 도입하면

:

\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p =\operatorname{grad} P

로 표현된다.

외력이 중력과 같은 보존력인 경우에는 외력의 포텐셜을

\Lambda

로 하여

:

\boldsymbol{g} =-\operatorname{grad}\Lambda

이며, 오일러 방정식은

:

\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}\left( \frac{v^2}{2} +P+\Lambda \right)=\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega}

가 된다.

3. 3. 에너지 보존 방정식

:

{\partial E \over \partial t} + \nabla \cdot (\mathbf u (E+p)) = 0

여기서,

$E \equiv \rho e + \rho (u^2 + v^2 + w^2 ) / 2$ 는 단위 부피 당 총 에너지이다. (여기서 $e$ 는 유체의 단위 질량 당 내부 에너지이다.)
$\mathbf u$ 는 유동 속도이다.
$p$ 는 유체의 압력이다.
$\rho$ 는 유체의 밀도이다.

^[2]

3. 4. 상태 방정식

오일러 방정식을 닫힌 문제로 만들기 위해서는 추가 방정식이 필요하다. 이 추가 방정식을 상태 방정식이라고 부른다.^[3]

밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면 (stiff equation^영어), 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.^[3]

열역학에서 독립 변수는 비체적과 비엔트로피이며, 비에너지는 이 두 변수의 상태 함수이다.^[3]

열역학적 유체의 경우, 압축성 오일러 방정식은 다음과 같이 표현하는 것이 가장 좋다.

:

\begin{align}{Dv \over Dt} &= v \nabla \cdot \mathbf u\\[1.2ex]\frac{D\mathbf{u}}{Dt} &= ve_{vv}\nabla v + ve_{vs}\nabla s + \mathbf{g} \\[1.2ex]{Ds \over Dt} &= 0\end{align}

여기서,

$v$ 는 비체적이다.
$\mathbf u$ 는 유동 속도 벡터이다.
$s$ 는 비엔트로피이다.

일반적인 경우, 비압축성인 경우뿐만 아니라, 에너지 방정식은 '''점성이 없는 열역학적 유체의 경우 비엔트로피가 유선을 따라 일정하게 유지'''됨을 의미하며, 시간 의존적인 유동에서도 마찬가지이다. 질량 보존 방정식을 기반으로, 이 방정식을 보존 형태로 나타낼 수 있다.

:

{\partial \rho s \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho s \mathbf u) = 0,

이는 점성이 없고 전도성이 없는 유동의 경우 엔트로피에 대한 연속 방정식이 성립함을 의미한다.

한편, 운동량 방정식에서 비내부 에너지의 두 번째 편미분은 고려된 재료의 상태 기본 방정식, 즉 비체적과 비엔트로피의 두 변수의 함수로서의 비내부 에너지의 명시를 필요로 한다.

:

e = e(v, s).

이 ''기본'' 상태 방정식에는 시스템에 대한 모든 열역학적 정보가 포함되어 있으며, 이는 ''열'' 상태 방정식과 ''열량'' 상태 방정식의 쌍과 정확히 같다.

오일러 방정식은 완전한 방정식 집합이 아니며, 고유한 해를 얻기 위해서는 몇 가지 추가적인 제약 조건이 필요하다는 것이 밝혀졌다. 이러한 제약 조건은 고려되는 물질의 상태 방정식이다. 열역학과 일치하기 위해 이러한 상태 방정식은 열역학 제2법칙을 만족해야 한다. 반면에, 정의상 비평형 시스템은 이러한 법칙 외부에 있는 법칙에 의해 설명된다.

이상 기체의 기본적인 상태 방정식은 다음과 같다.

:

e(v, s) = e_0 e^{(\gamma-1)m\left(s-s_0\right)} \left({v_0 \over v}\right)^{\gamma-1},

여기서

e

는 비에너지,

v

는 비체적,

s

는 비엔트로피,

m

은 분자 질량이며, 여기서

\gamma

는 상수(폴리트로픽 과정)로 간주되며, 비열비에 해당한다는 것을 알 수 있다.

이 방정식으로부터 압력에 대한 방정식을 열역학적 정의에 의해 유도할 수 있다.

:

p(v,e) \equiv - {\partial e \over \partial v} = (\gamma - 1) \frac e v.

이를 반전하면 다음과 같은 기계적 상태 방정식에 도달한다.

:

e(v,p) = \frac {pv}{\gamma - 1}.

그런 다음 이상 기체의 경우 압축성 오일러 방정식은 열역학적 시스템에 대한 일련의 방정식을 취하고 이 기계적 상태 방정식을 통해 에너지 방정식을 압력 방정식으로 수정하여 비체적, 유동 속도 및 압력과 같은 "기계적" 또는 "기본 변수"로 간단하게 표현할 수 있다. 마지막으로 대류 형태로 다음과 같다.

:

\begin{align}{Dv \over Dt} &= v\nabla \cdot \mathbf{u} \\[1.2ex]\frac{D\mathbf{u}}{Dt} &= v\nabla p + \mathbf{g} \\[1.2ex]{Dp \over Dt} &= -\gamma p\nabla \cdot \mathbf{u}\end{align}

3. 5. 베르누이 방정식

오일러 방정식을 유선을 따라 적분하면 베르누이 방정식을 얻을 수 있다. 이는 밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적인(stiff equation^영어) 경우에 해당한다. 베르누이 정리는 오일러 방정식의 직접적인 결과이다.

벡터 미적분학의 회전의 외적에 대한 항등식은 다음과 같다.

\mathbf{v \  \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) = \nabla_F \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \mathbf{v \cdot \nabla } \mathbf{ F} \ ,

여기서 페인만 첨자 표기법

\nabla_F

가 사용되었으며, 이는 첨자된 기울기가 인자

\mathbf F

에 대해서만 작용함을 의미한다.

램(Horace Lamb)은 그의 유명한 고전 서적인 《유체역학》(Hydrodynamics, 1895)에서 이 항등식을 사용하여 회전 형태로 흐름 속도의 대류 항을 변경했다.

\mathbf u \cdot \nabla \mathbf u = \frac{1}{2}\nabla\left(u^2\right) + (\nabla \times \mathbf u) \times \mathbf u,

이를 통해 람 형태의 오일러 운동량 방정식을 얻을 수 있다.

정상 흐름의 경우, 운동량 방정식을 흐름 방향, 즉 ''유선''을 따라 투영하면 외적이 사라진다. 정상 비압축성 유체의 경우 질량 방정식은 '''정상 비압축성 흐름에 대한 질량 보존은 유선을 따라 밀도가 일정하다는 것'''을 나타낸다. 이를 통해 정상 비압축성 유체의 오일러 운동량 방정식을 간단하게 표현할 수 있다.

전수두를 비점성 액체 흐름에 대해 정의하면, '''외부 보존장에서 정상 비점성 및 비압축성 흐름에 대한 운동량 균형은 유선을 따라 전수두가 일정하다는 것'''을 알 수 있다.

점성이 없는 기체 흐름에 대한 베르누이 불변량은 전체 엔탈피와 외부 전위의 합으로 표현되며, 이는 유선을 따라 일정하다. 일반적으로 전위장이 작은 경우, 전체 엔탈피의 변화가 거의 없다고 볼 수 있다.

4. 다양한 형태

오일러 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[3]

: $\frac{D\boldsymbol{v}}{Dt} =\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +(\boldsymbol{v}\cdot \nabla)\boldsymbol{v}=-\frac{1}{\rho} \nabla p +\boldsymbol{g}$

여기서 $\boldsymbol{v}$ 는 유체의 속도장, $\rho$ 는 밀도장, $p$ 는 압력장이며, $\boldsymbol{g}$ 는 유체의 질량당 작용하는 외력장(가속도장)이다. 이는 나비에-스토크스 방정식에서 점성항을 생략한 것과 같다.

벡터 해석 공식을 이용해 유체의 와도 $\boldsymbol{\omega} =\operatorname{rot}\boldsymbol{v}$ 로 표현하면 다음과 같다.

: $(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}=\frac{1}{2} \operatorname{grad} (v^2)$

\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega}

이를 오일러 방정식에 대입하면 다음과 같이 변형된다.

:

\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+ \frac{1}{2} \operatorname{grad} (v^2)+\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p -\boldsymbol{g}=\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega}

밀도가 압력에 의해서만 결정되는 순압의 경우에는 압력 함수를 다음과 같이 도입하여 표현할 수 있다.

:

P(p) =\int \frac{dp}{\rho}

:

\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} p =\operatorname{grad} P

외력이 중력과 같은 보존력인 경우에는 외력의 포텐셜을

\Lambda

로 하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\boldsymbol{g} =-\operatorname{grad}\Lambda

따라서, 오일러 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}\left( \frac{v^2}{2} +P+\Lambda \right)=\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega}

4. 1. 비압축성 오일러 방정식 (밀도 일정)

밀도가 일정하고 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적인(stiff equation^영어) 경우, 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.

대류 연산자가 운동량 방정식에 명시적으로 나타난 형태인 대류 형태에서, 시간상에서 밀도가 일정하고 공간상에서 균일한 경우의 비압축성 오일러 방정식은 다음과 같다.^[2]

:

\begin{align}{D\mathbf{u} \over Dt} &= -\nabla w + \mathbf{g} \\\nabla\cdot \mathbf{u} &= 0\end{align}

여기서:

$\mathbf u$ 는 유속 벡터이며, ''N''차원 공간에서 $u_1, u_2, \dots, u_N$ 의 성분을 갖는다.
일반 함수(또는 장) $\boldsymbol\Phi$ 에 대해 $\frac{D\boldsymbol\Phi}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol\Phi}{\partial t} + \mathbf v \cdot \nabla \boldsymbol\Phi$ 는 아드벡티브 장 $\mathbf v$ 에 대한 시간상에서의 물질 미분을 나타낸다.
$\nabla w$ 는 비(''단위 질량당''의 의미) 열역학적 일의 경사, 내부 소스 항이며,
$\nabla \cdot \mathbf u$ 는 유속 발산이다.
$\mathbf{g}$ 는 체적 가속도 (단위 질량당)를 나타내며, 예를 들어 중력, 관성 가속도, 전기장 가속도 등이 있다.

첫 번째 방정식은 균일한 밀도를 갖는 오일러 운동량 방정식이다(이 방정식의 경우 시간에 따라 일정하지 않아도 된다). 물질 미분을 전개하면 방정식은 다음과 같다.

\begin{align}{\partial\mathbf{u} \over \partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla w + \mathbf{g},\\\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0.\end{align}

실제로 균일한 밀도

\rho_0

의 흐름에 대해 다음 항등식이 성립한다.

\nabla w \equiv \nabla \left(\frac p {\rho_0} \right) = \frac 1 {\rho_0} \nabla p,

여기서

p

는 기계적 압력이다. 두 번째 방정식은 비압축성 제약 조건으로, 유속이 솔레노이드 장임을 나타낸다.

따라서 균일한 밀도의 경우는 비압축성 제약 조건의 유무에 관계없이 추가 방정식으로 연속 방정식을 필요로 하지 않는 유일한 경우이다. 여기서 논의되는 밀도가 일정하고 균일한 비압축성 오일러 방정식은 두 개의 단순화된 방정식만 포함하는 장난감 모델이므로, 물리적 관련성은 제한적이지만 교육적인 목적에 이상적이다.

위의 방정식은 각각 질량 보존 (1개의 스칼라 방정식) 및 운동량 (

N

개의 스칼라 성분을 포함하는 1개의 벡터 방정식, 여기서

N

은 관심 있는 공간의 물리적 차원)을 나타낸다. 유속과 압력은 ''물리적 변수''이다.

\left(x_1, \dots, x_N\right)

으로 주어진 좌표계에서, 속도 및 외력 벡터

\mathbf u

및

\mathbf g

는 각각 성분

(u_1,\dots, u_N)

및

\left(g_1, \dots, g_N\right)

를 갖는다. 그러면 방정식은 아래첨자 표기법으로 표현될 수 있다.

\begin{align}{\partial u_i \over \partial t} + \sum_{j=1}^N {\partial \left(u_i u_j + w\delta_{ij}\right) \over \partial x_j} &= g_i,\\\sum_{i=1}^N {\partial u_i \over \partial x_i} &= 0.\end{align}

여기서

i

및

j

아래첨자는 ''N''차원 공간 성분을 나타내고,

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다. 아인슈타인 표기법 ( 시그마 표기법 대신 반복된 인덱스로 합계가 암시됨)의 사용도 빈번하다.

4. 2. 압축성 오일러 방정식

미분 대류 형태에서, 압축성(및 가장 일반적인) 오일러 방정식은 물질 미분 표기법을 사용하여 간략하게 쓸 수 있다.

:

\begin{align}{D\rho \over Dt} &= -\rho\nabla \cdot \mathbf{u} \\[1.2ex]\frac{D\mathbf{u}}{Dt} &= -\frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{g} \\[1.2ex]{De \over Dt} &= -\frac{p}{\rho}\nabla \cdot \mathbf{u}\end{align}

여기서 추가적인 변수는 다음과 같다.

$e$ 는 비 내부 에너지 (단위 질량당 내부 에너지)이다.

위의 방정식은 각각 질량 보존, 운동량, 에너지를 나타낸다. 내부 에너지 변수로 표현된 에너지 방정식은 비압축성 사례와의 연결을 이해할 수 있게 해주지만, 가장 단순한 형태는 아니다. 질량 밀도, 유속 및 압력은 소위 ''대류 변수''(또는 물리적 변수, 또는 라그랑주 변수)인 반면, 질량 밀도, 운동량 밀도 및 총 에너지 밀도는 소위 ''보존 변수''(오일러 변수 또는 수학적 변수라고도 함)이다.

물질 미분을 확장하면 위의 방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}{\partial\rho \over \partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla\rho + \rho\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0,\\[1.2ex]\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla\mathbf{u} + \frac{\nabla p}{\rho} &= \mathbf{g}, \\[1.2ex]{\partial e \over \partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla e + \frac{p}{\rho}\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0.\end{align}

비압축성 경우로 돌아가서, 이전 경우의 전형적인 ''비압축성 제약''은 실제로 질량 방정식이 아닌 ''에너지 방정식''에 유효한 비압축성 흐름에 대한 특정 형태임이 분명해진다. 특히, 비압축성 제약은 다음과 같은 매우 간단한 에너지 방정식에 해당한다.

:

\frac{D e}{D t} = 0.

따라서 '''비압축성 비점성 유체의 경우 비열 에너지는 시간 의존적인 흐름에서도 유선(flow lines)을 따라 일정하다'''. 비압축성 흐름의 압력은 라그랑주 승수처럼 작용하며, 에너지 방정식의 비압축성 제약의 승수이며, 결과적으로 비압축성 흐름에서는 열역학적 의미가 없다. 사실, 열역학은 압축성 흐름의 전형적인 특징이며 비압축성 흐름에서는 퇴화한다.

질량 보존 방정식을 기반으로, 이 방정식을 보존 형태로 나타낼 수 있다.

:

{\partial \rho e \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho e \mathbf u) = 0,

이는 비압축성 비점성 비전도성 흐름의 경우 내부 에너지에 대한 연속 방정식이 성립한다는 것을 의미한다. 열역학에서 독립 변수는 비체적과 비엔트로피이며, 비에너지는 이 두 변수의 상태 함수이다.

열역학적 유체의 경우, 압축성 오일러 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}{Dv \over Dt} &= v \nabla \cdot \mathbf u\\[1.2ex]\frac{D\mathbf{u}}{Dt} &= ve_{vv}\nabla v + ve_{vs}\nabla s + \mathbf{g} \\[1.2ex]{Ds \over Dt} &= 0\end{align}

여기서:

$v$ 는 비체적이다.
$\mathbf u$ 는 유동 속도 벡터이다.
$s$ 는 비엔트로피이다.

일반적인 경우, 비압축성인 경우뿐만 아니라, 에너지 방정식은 '''점성이 없는 열역학적 유체의 경우 비엔트로피가 유선을 따라 일정하게 유지'''됨을 의미하며, 시간 의존적인 유동에서도 마찬가지이다. 질량 보존 방정식을 기반으로, 이 방정식을 보존 형태로 나타낼 수 있다.

:

{\partial \rho s \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho s \mathbf u) = 0,

이는 점성이 없고 전도성이 없는 유동의 경우 엔트로피에 대한 연속 방정식이 성립함을 의미한다.

한편, 운동량 방정식에서 비내부 에너지의 두 번째 편미분은 고려된 재료의 상태 기본 방정식, 즉 비체적과 비엔트로피의 두 변수의 함수로서의 비내부 에너지의 명시를 필요로 한다.

:

e = e(v, s).

이 ''기본'' 상태 방정식에는 시스템에 대한 모든 열역학적 정보가 포함되어 있으며, 이는 ''열'' 상태 방정식과 ''열량'' 상태 방정식의 쌍과 정확히 같다. 높은 마하 수의 압축성 흐름에서는 유속이 크기 때문에 점성이나 난류의 효과는 벽면 근처의 작은 영역에서만 나타나므로 오일러 방정식을 사용하여 흐름의 해석이 이루어진다.^[4]

4. 3. 보존 형태

오일러 보존 방정식은 다음과 같이 표현된다.

3차원 질량 보존(연속) 방정식

:

{\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf u}) = 0

운동량 보존 방정식

:

{\partial \rho \mathbf u \over \partial t} + \nabla \cdot ((\rho \mathbf u) \otimes \mathbf u) + \nabla p = 0

에너지 보존 방정식

:

{\partial E \over \partial t} + \nabla \cdot (\mathbf u (E+p)) = 0

여기서,

$E \equiv \rho e + \rho (u^2 + v^2 + w^2 ) / 2$ 는 단위 부피 당 총 에너지다. ( $e$ 는 유체의 단위 질량 당 내부 에너지다.)
$\mathbf u$ 는 유동 속도이다.
$p$ 는 유체의 압력이다.
$\rho$ 는 유체의 밀도이다.

두 번째 식은 이차 텐서의 발산을 포함하며, 아래첨자를 이용해 표현하면 다음과 같다.

:

{\partial \rho u_j \over \partial t} + {\partial \rho u_i u_j \over \partial x_i} + {\partial p \over \partial x_j} = 0

위 식들은 질량, 운동량 3개 성분 및 에너지의 보존을 나타낸다. 방정식은 5개이고 미지수는 6개이므로, 이 문제를 닫힌 문제로 만들기 위해 상태 방정식이 필요하다.

밀도가 일정하고 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면, 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.

오일러 방정식은 전산 유체 역학 시뮬레이션에 유용하며, 보존 변수를 사용하면 보존적 방법이라는 수치적 방법론을 적용할 수 있다.^[2]
자유 오일러 방정식은 보존적이며, 다음 방정식과 동등하다.

:

\frac{\partial \mathbf y}{\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf F ={\mathbf 0},

또는 아인슈타인 표기법으로 표현하면,

:

\frac{\partial y_j}{\partial t}+\frac{\partial f_{ij}}{\partial r_i}= 0_i,

여기서 보존량

\mathbf y

는 벡터이고,

\mathbf F

는 플럭스 행렬이다.

일반적으로 오일러 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\frac {\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}\rho  \\  \mathbf j  \\0\end{pmatrix}+ \nabla \cdot \begin{pmatrix}\mathbf j \\ \frac 1 \rho \, \mathbf j \otimes \mathbf j + p \mathbf I\\ \frac \mathbf j \rho\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\  \mathbf f \\ 0 \end{pmatrix}

여기서

\mathbf f = \rho \mathbf g

는 힘 밀도이며, 보존 변수이다.

열역학적 유체의 경우, 보존 방정식은 다음과 같이 더 간단하게 표현된다.

:

\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}\rho  \\  \mathbf{j} \\S \end{pmatrix} + \nabla \cdot \begin{pmatrix}\mathbf{j} \\ \frac{1}{\rho}\mathbf{j} \otimes \mathbf{j} + p\mathbf{I} \\ S\frac{\mathbf{j}}{\rho}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\ \mathbf{f} \\ 0 \end{pmatrix}

여기서

S = \rho s

는 엔트로피 밀도로, 열역학적 보존 변수이다.

4. 4. 무차원 형태

방정식을 무차원화하기 위해 특성 길이

r_0

와 특성 속도

u_0

를 정의해야 한다. 이들은 무차원 변수가 모두 1차수가 되도록 선택해야 한다. 따라서 다음과 같은 무차원 변수를 얻을 수 있다.

:

\begin{align}u^* & \equiv \frac{u}{u_0}, &r^* & \equiv \frac{r}{r_0}, \\[5pt]t^* & \equiv \frac{u_0}{r_0} t, &p^* & \equiv \frac{w}{u_0^2}, \\[5pt]\nabla^* & \equiv r_0 \nabla.\end{align}

그리고 단위 벡터의 장(field):

:

\hat{\mathbf g}\equiv \frac {\mathbf g} g.

이 역관계를 오일러 방정식에 대입하고, 푸르드 수를 정의하면 (상단 첨자 * 생략) 다음과 같다.

:

\begin{align}{D\mathbf{u} \over Dt} &= -\nabla w + \frac{1}{\mathrm{Fr}} \hat{\mathbf{g}}\\\nabla \cdot \mathbf{u} &= 0\end{align}

푸르드 수 극한(외부 장 없음)에서의 오일러 방정식은 자유 방정식이라 불리며, 보존적이다. 따라서 높은 푸르드 수 (낮은 외부 장)의 극한은 주목할 만하며, 섭동 이론으로 연구할 수 있다.^[3]

4. 5. 준선형 형태와 특성 방정식

플럭스를 확장하는 것은, 예를 들어 리만 문제의 (근사적) 해를 활용하는 방식으로, 수치 해석기를 구성하는 데 중요한 부분이 될 수 있다. 상태 벡터 '''y'''가 부드럽게 변하는 영역에서, 보존 형태의 방정식은 준선형 형태로 나타낼 수 있다.

:

\frac{\partial \mathbf y}{\partial t} + \mathbf A_i \frac{\partial \mathbf y}{\partial r_i}  = {\mathbf 0}.

여기서

\mathbf A_i

는 야코비 행렬이라고 불리며, 다음과 같은 행렬로 정의된다.

:

\mathbf A_i (\mathbf y)=\frac{\partial \mathbf f_i (\mathbf y)}{\partial \mathbf y}.

이 야코비 행렬은 접촉 불연속점이나 충격파와 같이 상태 변수가 불연속적인 곳에서는 존재하지 않는다. 압축성 오일러 방정식은 보존 변수 대신 특성 변수(characteristic variables)로 표현하면 오일러 연속체에서 소리를 설명하는 N+2개의 파동 방정식 세트로 분리될 수 있다.

사실 텐서 '''A'''는 항상 대각화 가능 행렬(diagonalizable matrix)이다. 고유값(eigenvalue) (오일러 방정식의 경우)이 모두 실수이면, 이 시스템은 '쌍곡형'(hyperbolic)으로 정의되며, 물리적으로 고유값은 정보 전파 속도를 나타낸다. 만약 고유값들이 모두 다르다면, 이 시스템은 '엄밀히 쌍곡형'(strictly hyperbolic)으로 정의된다 (1차원 오일러 방정식의 경우로 증명될 것이다). 또한, 압축성 오일러 방정식의 대각화는 에너지 방정식이 다른 에너지 변수보다 엔트로피 변수로 표현될 때 (즉, 열역학적 유체의 방정식과 함께) 더 쉽다. 이는 1차원 경우를 고려하면 명확해질 것이다.

만약

\mathbf p_i

가

\mathbf A

행렬의 고유벡터(right eigenvector)이고 고유값(eigenvalue)

\lambda_i

에 해당한다면, 투영 행렬(projection matrix)을 다음과 같이 구성할 수 있다.

:

\mathbf{P} = \left[\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, ..., \mathbf{p}_n\right].

마지막으로 다음과 같이 ''특성 변수''를 찾을 수 있다.

:

\mathbf{w} = \mathbf{P}^{-1} \mathbf{y}.

'''A'''가 상수이므로, 원래의 1차원 방정식을 플럭스-자코비안 형식으로 '''P'''⁻¹로 곱하면 다음과 같은 특성 방정식이 생성된다.

:

\frac{\partial w_i}{\partial t} + \lambda_j \frac{\partial w_i}{\partial r_j} = 0_i.

원래 방정식은 각 단순 파동을 설명하는 N+2개의 특성 방정식으로 선형 독립(Linear independence)적으로 분리되었으며, 고유값은 파동 속도이다. 변수 ''w''_''i''는 ''특성 변수''라고 불리며 보존 변수의 부분 집합이다. 특성 변수 측면에서 초기값 문제의 해는 결국 매우 간단하다. 1차원 공간에서는 다음과 같다.

:

w_i(x, t) = w_i\left(x - \lambda_i t, 0\right).

그런 다음 원래 보존 변수 측면의 해는 다시 변환하여 얻는다.

:

\mathbf{y} = \mathbf{P} \mathbf{w},

이 계산은 고유벡터의 선형 결합으로 명시될 수 있다.

:

\mathbf{y}(x, t) = \sum_{i=1}^m w_i\left(x - \lambda_i t, 0\right) \mathbf p_i.

이제 특성 변수가 자코비안 고유 벡터의 선형 결합에서 가중치 역할을 한다는 것이 명백해진다. 해는 파동의 중첩으로 볼 수 있으며, 각 파동은 모양의 변화 없이 독립적으로 이송된다. 각 ''i''번째 파동은 모양 ''w''_''i''''p''_''i''이고 전파 속도는 ''λ''_''i''이다.

5. 특성 및 응용

오일러 방정식은 점성이 없는 유체의 운동을 기술하는 방정식으로, 레온하르트 오일러에 의해 1755년에 정식화되었다. 이 방정식은 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙을 나타내며, 전산 유체 역학(CFD)에서 중요한 역할을 한다.

오일러 방정식은 다음과 같은 보존 방정식들로 구성된다.

방정식 종류	내용
3차원 질량 보존(연속) 방정식	${\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf u}) = 0$
운동량 보존 방정식	${\partial \rho \mathbf u \over \partial t} + \nabla \cdot ((\rho \mathbf u) \otimes \mathbf u) + \nabla p = 0$
에너지 보존 방정식	${\partial E \over \partial t} + \nabla \cdot (\mathbf u (E+p)) = 0$

여기서,

$E \equiv \rho e + \rho (u^2 + v^2 + w^2 ) / 2$ 는 단위 부피 당 총 에너지이다. ( $e$ 는 유체의 단위 질량 당 내부 에너지)
$\mathbf u$ 는 유동 속도이다.
$p$ 는 유체의 압력이다.
$\rho$ 는 유체의 밀도이다.

이 방정식들은 질량, 운동량, 에너지 보존을 나타내며, 문제를 닫힌 형태로 만들기 위해 상태 방정식이 추가로 필요하다. 오일러 방정식은 준선형 쌍곡형 편미분 방정식이며, 일반 해는 파동이다. 특정 조건에서 버거스 방정식으로 단순화될 수 있다. 오일러 방정식으로 묘사되는 파동은 붕괴되어 충격파를 형성하기도 한다.

밀도가 일정하고 상태 방정식이 충분히 안정적이라면, 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.^[4] 높은 마하 수의 압축성 흐름에서는 유속이 크기 때문에 점성이나 난류의 효과는 벽면 근처의 작은 영역에서만 나타나므로, 오일러 방정식을 사용하여 흐름을 해석할 수 있다.^[4]

충격파 전파는 항공역학 및 로켓 추진과 같이 빠른 유동이 발생하는 분야에서 중요하게 연구된다. 불연속 영역(예: 충격파)에서 오일러 방정식을 풀 때는, 유한 차분법 대신 유한 체적 형태로 변환하여 계산하는 것이 효율적일 수 있다.

5. 1. 와류 (Vorticity)

벡터 해석 공식을 통해 유체의 와도 $\boldsymbol{\omega} = \operatorname{rot} \boldsymbol{v}$는 다음과 같이 표현된다.^[3]

:

(\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = \frac{1}{2} \operatorname{grad} (v^2) -\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{\omega}

따라서 오일러 방정식은 다음과 같이 변형된다.

:

\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \frac{1}{2} \operatorname{grad} (v^2) + \frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p - \boldsymbol{g} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{\omega}

여기서 $\boldsymbol{v}$는 유체의 속도장, $\rho$는 밀도장, $p$는 압력장이며, $\boldsymbol{g}$는 유체의 질량당 작용하는 외력장(가속도장)이다.

밀도가 압력에 의해서만 결정되는 순압의 경우, 압력 함수

:

P(p) = \int \frac{dp}{\rho}

를 도입하면

:

\frac{1}{\rho} \operatorname{grad} p = \operatorname{grad} P

로 표현된다.

외력이 중력과 같은 보존력인 경우, 외력의 포텐셜을 $\Lambda$로 하면

:

\boldsymbol{g} = -\operatorname{grad} \Lambda

이며, 오일러 방정식은

:

\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \operatorname{grad} \left( \frac{v^2}{2} + P + \Lambda \right) = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{\omega}

가 된다.

와도가 있는 오일러 방정식의 해는 다음과 같다.

평행 전단 흐름 – 흐름이 단방향이고 흐름 속도가 횡단 흐름 방향으로만 변하는 경우. 예를 들어 직교 좌표계 $(x, y, z)$에서 흐름은 $x$ 방향으로 흐른다. 이때 유일한 비영(non-zero) 속도 성분은 $u_x(y, z)$이며, $x$가 아닌 $y$와 $z$에만 의존한다.
아놀드-벨트라미-칠드레스 흐름 – 비압축성 오일러 방정식의 정확한 해.

5. 2. 음속 (Sound Speed)

열역학적 유체에 대한 오일러 방정식을 통해 파라미터 ''a''를 다음과 같이 정의한다.

:

a(\rho,p) \equiv \sqrt {\partial p \over \partial \rho}.

이 파라미터는 열역학 제2법칙에 따라 항상 실수이며, 이는 비에너지의 헤세 행렬이 양수로 정의되는 것으로 표현된다.^[1]

이때, 파라미터 ''a''는 오일러 방정식에서 정보 전파 속도, 즉 파동 속도를 나타낸다. 특히, 등엔트로피 변환에서 음속은 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

a_s(\rho,p) \equiv \sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho} \right)_s},

이는 등엔트로피 압축률과 밀도의 비율의 제곱근으로 표현된다.

:

a_s \equiv \sqrt {\frac {K_s} \rho}.

이상 기체에서 음속은 온도에만 의존하며, 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[1]

:

a_s (T) = \sqrt {\gamma \frac T m}.

여기서 γ는 비열비를, T는 절대온도를, m은 분자 질량을 나타낸다.

5. 3. 충격파 (Shock Wave)

오일러 방정식은 준선형 쌍곡형 편미분 방정식이며, 일반 해는 파동이다. 특정 가정을 사용하면 버거스 방정식으로 단순화될 수 있다. 친숙한 해양 파도와 마찬가지로, 오일러 방정식으로 묘사되는 파동은 '붕괴'되어 소위 충격파를 형성한다. 이것은 비선형 효과이며 해가 다중 값이 되는 것을 나타낸다.^[3] 물리적으로 이것은 미분 방정식의 공식을 이끌어낸 가정이 무너지는 것을 나타내며, 방정식에서 추가 정보를 얻기 위해서는 더 기본적인 적분 형태로 돌아가야 한다. 그런 다음, 약한 해는 랭킨-위고니오 방정식을 사용하여 흐름의 양(밀도, 속도, 압력, 엔트로피)에 '점프'(불연속)를 적용하여 공식화된다. 물리량은 거의 불연속적이지 않다. 실제 흐름에서 이러한 불연속성은 점성 및 열 전달에 의해 부드러워진다. (나비에-스토크스 방정식 참조)^[3]

충격파 전파는 항공역학과 충분히 빠른 흐름이 발생하는 로켓 추진 등 많은 다른 분야에서 연구된다.^[3]

5. 4. 유선 곡률 정리

베르누이 방정식은 오일러 방정식의 직접적인 결과이다.^[3] 유체의 속도장을

u

, 밀도장을

\rho

, 압력장을

p

, 외력장(가속도장)을

\mathbf{g}

라고 할 때,^[3] 정상 흐름에 대한 오일러 방정식의 운동량 부분은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\displaystyle u\frac{\partial u}{\partial s} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s},\\\displaystyle                  {u^2 \over R} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} &({\partial / \partial n}\equiv\boldsymbol{e}_n\cdot\nabla),\\\displaystyle                              0 &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial b} &({\partial / \partial b}\equiv\boldsymbol{e}_b\cdot\nabla).\end{align}

여기서,

$u$ 는 유속
$p$ 는 압력
$\rho$ 는 밀도
$R$ 은 유선의 곡률 반경
$s$ 는 유선에 대한 접선 단위 벡터
$n$ 는 유선에 대한 법선 단위 벡터
$b$ 는 유선에 대한 이중 법선 단위 벡터

바트로프 흐름 (

\rho = \rho(p)

)의 경우, 베르누이 방정식은 첫 번째 방정식에서 파생된다.

:

\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{u^2}{2} + \int\frac{\mathrm{d}p}{\rho}\right) = 0.

두 번째 방정식은 유선이 곡선인 경우, 유체 입자의 구심 가속도가 법선 압력 기울기에 의해서만 생성되기 때문에 유선에 수직인 압력 기울기가 존재해야 함을 나타낸다.

세 번째 방정식은 이중 법선 축을 따라 압력이 일정함을 나타낸다.

r

을 유선의 곡률 중심으로부터의 거리라고 하면, 두 번째 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{\partial p}{\partial r} = \rho \frac{u^2}{r}~(>0),

여기서

{\partial / \partial r} = -{\partial /\partial n}.

이 방정식은 다음과 같이 말한다.

>''외부 힘이 없는 비점성 유체의 정상 흐름에서, 유선의 곡률 중심은 반경 방향으로 압력이 감소하는 방향에 놓인다.''

압력장과 흐름 곡률 사이의 이러한 관계는 매우 유용하지만, 영어권 과학 문헌에서는 특별한 명칭이 없다. 일본 유체역학자들은 이 관계를 "유선 곡률 정리"라고 부른다.

이 "정리"는 유선이 동심원을 이루는 와류의 중심에 왜 그렇게 낮은 압력이 존재하는지 명확하게 설명한다. 이것은 또한 날개가 양력을 생성하는 이유를 직관적으로 설명하는 방법이기도 하다.

"유선 곡률 정리"는 날개의 윗면에서의 압력이 멀리 떨어진 곳에서의 압력보다 낮고, 아랫면에서의 압력은 멀리 떨어진 곳에서의 압력보다 높다고 말한다. 따라서 날개의 윗면과 아랫면 사이의 압력 차이는 양력(lift force)을 발생시킨다.

5. 5. 전산 유체 역학 (CFD)

오일러 방정식은 전산 유체 역학(CFD)에서 중요한 역할을 한다. 오일러 방정식은 다음과 같은 보존 방정식들로 구성된다.

방정식 종류	내용
3차원 질량 보존(연속) 방정식	${\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf u}) = 0$
운동량 보존 방정식	${\partial \rho \mathbf u \over \partial t} + \nabla \cdot ((\rho \mathbf u) \otimes \mathbf u) + \nabla p = 0$
에너지 보존 방정식	${\partial E \over \partial t} + \nabla \cdot (\mathbf u (E+p)) = 0$

여기서,

$E \equiv \rho e + \rho (u^2 + v^2 + w^2 ) / 2$ 는 단위 부피 당 총 에너지이다. ( $e$ 는 유체의 단위 질량 당 내부 에너지)
$\mathbf u$ 는 유동 속도이다.
$p$ 는 유체의 압력이다.
$\rho$ 는 유체의 밀도이다.

이 방정식들은 질량, 운동량, 에너지 보존을 나타내며, 문제를 닫힌 형태로 만들기 위해 상태 방정식이 추가로 필요하다.

오일러 방정식은 준선형 쌍곡형 편미분 방정식이며, 일반 해는 파동이다. 특정 조건에서 버거스 방정식으로 단순화될 수 있다. 오일러 방정식으로 묘사되는 파동은 붕괴되어 충격파를 형성하기도 한다.

충격파 전파는 항공역학 및 로켓 추진과 같이 빠른 유동이 발생하는 분야에서 중요하게 연구된다.

불연속 영역(예: 충격파)에서 오일러 방정식을 풀 때는, 유한 차분법 대신 유한 체적 형태로 변환하여 계산하는 것이 효율적일 수 있다.

참조

_[1] 논문 From Newton's mechanics to Euler's equations https://linkinghub.e[...] 2008
_[2] 논문 Finite-time singularity formation for $C^{1,\alpha}$ solutions to the incompressible Euler equations on $\mathbb{R}^3$ https://projecteucli[...] 2021-11-01
_[3] 문서 巽『連続体の力学』p.142
_[4] 웹사이트 オイラー方程式とは https://kotobank.jp/[...] 2021-10-31

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