평탄 주접속

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

평탄 주접속은 매끄러운 다양체 위의 주접속 중 곡률이 0인 경우를 의미한다. 제르브와 ∞-주다발로 일반화될 수 있으며, 복소 구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조를 상속받을 수 있다. 평탄 주접속은 홀로노미에 의해 완전히 분류되며, 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다. 물리학, 특히 천-사이먼스 이론과 한국 이론 물리학 연구에서 핵심적인 역할을 한다.

더 읽어볼만한 페이지

게이지 이론 - 양자 색역학
양자 색역학은 색 전하를 국소 대칭으로 정의한 SU(3) 게이지 군의 비아벨 게이지 이론으로, 쿼크와 글루온을 기본 입자로 하여 쿼크 사이의 강한 상호작용을 매개하며, 점근적 자유성과 색 가둠의 특징을 가지는 이론이다.
게이지 이론 - 점근 자유성
점근 자유성은 양자 색역학의 특징으로, 높은 에너지에서 쿼크가 자유 입자처럼 행동하며, 이는 쿼크와 글루온의 상호작용을 설명하는 양-밀스 이론의 중요한 성질이고, 높은 에너지에서는 결합 상수가 0으로 수렴하지만 낮은 에너지에서는 결합 상수가 무한대로 발산하는 색 가둠 현상과 관련되어 있다.
미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

평탄 주접속
개요
유형	주다발 접속
분야	미분기하학
관련 항목
관련 개념	주다발 접속 곡률 모듈라이 공간

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 과 리 군 $G$ , 그리고 $G$ -매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 이 주어졌을 때, $P$ 의 주접속 $A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)$ 에 대하여 곡률 $F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)$ 을 정의할 수 있다. 만약 $F=0$ 이라면, $A$ 를 $P$ 의 '''평탄 주접속'''이라고 한다.

2. 1. 리 군과 주다발

2. 2. 곡률과 평탄성

2. 3. 제르브의 경우

평탄 주접속의 개념은 제르브와 ∞-주다발로 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용한다. 이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.

구체적으로, 매끄러운 다양체

M

과 L∞-대수

\mathfrak g

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의

\mathfrak g

값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형

:

\operatorname W(\mathfrak g)\to\Omega(M)

이다. (정의역은

\mathfrak g

의 베유 대수, 공역은

M

의 미분 형식의 대수).

이 경우, 매끄러운 다양체 위의

\mathfrak g

-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.

:

\begin{matrix}\operatorname{inv}(\mathfrak g) & \to & \Omega(M) \\\downarrow & & \downarrow \\\operatorname W(\mathfrak g) & \to & \operatorname\Omega(M\times\triangle^1) \\\downarrow && \downarrow\\\operatorname{CE}(\mathfrak g) & \to & \operatorname{\Omega_\perp}(M\times\triangle^1)\end{matrix}

여기서

$\triangle^1$ 은 1차원 단체에 해당한다. 즉, $\operatorname\Omega(M\times\triangle^1)$ 은 $\Omega(M)\otimes_{\mathbb R}\mathbb R[s,\mathrm ds]$ 이며, $\mathbb R[s,\mathrm ds] = \operatorname\Omega(\triangle^1)$ 은 하나의 0차 생성원 $s$ 로 생성되는 자유 가환 미분 등급 대수이다.
$\operatorname{\Omega_{vert}}(M\times\triangle^1)$ 는 $\operatorname\Omega(M\times\triangle^1)$ 속의, $\mathrm dt$ 로 생성되는 아이디얼이다.
사상 $\operatorname{\Omega_\perp}(M\times\triangle^1)\to\operatorname\Omega(M)$ 은 포함 사상이다.
$\operatorname{inv}(\mathfrak g)$ 와 $\operatorname W(\mathfrak g)$ 와 $\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 는 각각 L∞-대수 $\mathfrak g$ 의 불변 다항식(으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · 베유 대수 · 슈발레-에일렌베르크 대수이며, $\operatorname W(\mathfrak g)\to\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 은 베유 대수의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄

\mathfrak g

-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체

:

\operatorname{inv}(\mathfrak g) \to \operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname\Omega(M\times\triangle^1)

가 존재한다.

3. 성질

3. 1. 평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조

밑공간 복소 구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

==== 복소구조 ====

만약

M

에 복소구조

:

J_M \colon \mathrm{TM}\to \mathrm{TM}

가 존재한다고 하면,

\mathcal M(\Sigma)

위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의

\delta A\in T_A\mathcal M(\Sigma)

를

\Omega^1(\Sigma,\mathfrak g)

의 원소로 나타내면,

:

J\colon\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)\to\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)

:

[J(\delta A)]^j=(J_M)_i{}^j(\delta A)_i

여기서, 우변의

J_i{}^j

는

M

의 복소구조다.

==== 심플렉틱 구조 ====

리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식

K(-,-)

을 갖춘 가약 리 대수인

G

를 생각하자. (半單純Lie代數/반단순 리 대수^영어의 경우 이는 킬링 형식

K(AB)=\operatorname{tr}(AB)

의 스칼라배다.)

만약

M

에 심플렉틱 구조

:

\omega\in\Omega^2(M)

가 주어졌다면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간

\mathcal M(M;G)

역시 심플렉틱 구조를 가진다.

\mathcal M(\Sigma)

는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.^[2]^[3] 구체적으로, 임의의

\mathcal M

의 접공간의 원소

\delta_1A,\delta_2 A\in T_A\mathcal M(\Sigma)

가 주어졌다고 하자. 이들을

\mathfrak g

값의 1차 미분 형식으로 간주하면, 심플렉틱 구조를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\omega(\delta A_1,\delta A_2)=\int_\Sigma \omega^{ij} K_{ab}\delta_1 A^a_i\wedge\delta_2 A^a_j

평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약

M

이 켈러 다양체라면,

\mathcal M(M,G)

는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히,

M

이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

3. 1. 1. 복소구조

만약

M

에 복소구조

:

J_M \colon \mathrm{TM}\to \mathrm{TM}

가 존재한다고 하면,

\mathcal M(\Sigma)

위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의

\delta A\in T_A\mathcal M(\Sigma)

를

\Omega^1(\Sigma,\mathfrak g)

의 원소로 나타내면,

:

J\colon\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)\to\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)

:

[J(\delta A)]^j=(J_M)_i{}^j(\delta A)_i

여기서, 우변의

J_i{}^j

는

M

의 복소구조다.

3. 1. 2. 심플렉틱 구조

리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식

K(-,-)

을 갖춘 가약 리 대수인

G

를 생각하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식

K(AB)=\operatorname{tr}(AB)

의 스칼라배다.)

만약

M

에 심플렉틱 구조

:

\omega\in\Omega^2(M)

가 주어졌다면, 평탄 주접속의 모듈라이 공간

\mathcal M(M;G)

역시 심플렉틱 구조를 가진다.

\mathcal M(\Sigma)

는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.^[2]^[3] 구체적으로, 임의의

\mathcal M

의 접공간의 원소

\delta_1A,\delta_2 A\in T_A\mathcal M(\Sigma)

가 주어졌다고 하자. 이들을

\mathfrak g

값의 1차 미분 형식으로 간주하면, 심플렉틱 구조를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\omega(\delta A_1,\delta A_2)=\int_\Sigma \omega^{ij} K_{ab}\delta_1 A^a_i\wedge\delta_2 A^a_j

평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약

M

이 켈러 다양체라면,

\mathcal M(M,G)

는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히,

M

이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.

3. 2. 반단순 리 군의 경우

G

가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자. 콤팩트 곡면

\Sigma

위의 평탄

G

-주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로

:

\mathcal M(\Sigma)\cong\hom(\pi_1(\Sigma),G)/G

이다. 여기서

\pi_1(\Sigma)

는

\Sigma

의 기본군이고,

\hom(\cdot,\cdot)

은 군 준동형들의 공간이며,

/G

는 동치관계

\phi\sim g\phi g^{-1}

에 대한 동치류를 취하는 것이다.^[4]

곡면

\Sigma

의 기본군은 다음과 같이 표시된다.

:

\pi_1(\Sigma)=\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g|a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}\rangle

따라서,

\hom(\pi_1(\Sigma),G)

의 한 원소는

\pi_1(\Sigma)

의 생성원

\{a_i,b_i\}_{i=1,\dots,g}

의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는

2g(\dim G)

개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에

\phi(a_1)\phi(b_1)\phi(a_1)^{-1}\phi(b_1)^{-1}\cdots=1

은

\dim G

개의 제약을 가하고, 또한

G

의 켤레 작용

\phi\sim g\phi g^{-1}

또한 차원을

\dim G

만큼 축소시키므로, 모듈라이 공간의 차원은

:

\dim\mathcal M=-\chi(\Sigma)\cdot\dim G=(2g-2)\cdot\dim G

이다.^[4] 여기서

\chi(\Sigma)=2-2g

는

\Sigma

의 오일러 지표다.

4. 분류

평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, 연결 공간 $M$ 의 임의의 점 $x\in M$ 에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 기본군에서 리 군으로 가는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

: $\operatorname\pi_1(M,x) \to G$

게이지 변환에 따라서, $M$ 위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

: $\mathcal M=\frac{\hom(\pi_1(M,x),G)}G$

이다. 여기서 $G$ 의 작용은 공액류 작용이다.

: $g\cdot\phi = ([\gamma]\mapsto[t\mapsto g\gamma(t)^{-1}])$

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약 $G$ 가 아벨 군일 경우 이는 단순히 $\mathcal M=\hom(\pi_1(M,x))$ 이며, 만약 $M=\mathbb T^n$ 이 원환면일 경우 이는 $\mathcal M=G^n$ 이다.

4. 1. 홀로노미와 기본군

연결 공간에서 평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, 연결 공간

M

의 임의의 점

x\in M

에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 기본군에서 리 군으로 가는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

:

\operatorname\pi_1(M,x) \to G

게이지 변환에 따라서,

M

위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

:

\mathcal M=\frac{\hom(\pi_1(M,x),G)}G

이다. 여기서

G

의 작용은 공액류 작용이다.

:

g\cdot\phi = ([\gamma]\mapsto[t\mapsto g\gamma(t)^{-1}])

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

특히, 만약

G

가 아벨 군일 경우 이는 단순히

\mathcal M=\hom(\pi_1(M,x))

이며, 만약

M=\mathbb T^n

이 원환면일 경우 이는

\mathcal M=G^n

이다.

4. 2. 모듈라이 공간

평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, 연결 공간

M

에서 임의의 점

x\in M

에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.

게이지 변환에 따라서,

M

위의 평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 몫공간

\mathcal M=\frac{\hom(\pi_1(M,x),G)}G

이다. 여기서

G

의 작용은 공액류 작용이다.

평탄 주접속들의 모듈라이 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.

만약

G

가 아벨 군일 경우 이는 단순히

\mathcal M=\hom(\pi_1(M,x))

이며, 만약

M=\mathbb T^n

이 원환면일 경우 이는

\mathcal M=G^n

이다.

5. 예

5. 1. 단일 연결 공간

단일 연결 매끄러운 다양체

M

위의

G

-주다발은 동형 아래 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 한원소 공간이다.

특히, 구

\Sigma=S^2

의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간이다.

:

\mathcal M(S^2;G)=\{\bullet\}

5. 2. 원환면

원환면

\Sigma=\mathbb T^2=\mathbb S^1\times\mathbb  S^1

의 경우, 반단순 리 군

G

에 대하여

:

\mathcal M(\mathbb T^2;G)=(C(G)\times C(G))/\operatorname{Weyl}(G)

이다. 여기서

C(G)\cong U(1)^{\operatorname{rank}(G)}

는

G

의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며,

\operatorname{Weyl}(G)

는

C(G)

에 작용하는 바일 군이다.

==== 원환면 위의 U(N) 및 GL(N;ℂ) 주접속 ====

\mathbb T^n

위의

\operatorname U(N)

주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우,

n

개의 가환 홀로노미들은

n

개의 서로 가환하는

N\times N

유니터리 행렬

:

M_1,\dotsc,M_n

을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여

:

M_i = \operatorname{diag}(\lambda_{i,1},\dotsc,\lambda_{i,N})

:

\lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

로 놓을 수 있다. 이제

:

\vec\lambda_j=(\lambda_{1,j},\dotsc,\lambda_{n,j})

로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군

\operatorname{Weyl}(\operatorname U(N))=\operatorname{Sym}(N)

의 작용)은

\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N

위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N(\mathbb T^n)

G=\operatorname U(N)

대신

G=\operatorname{GL}(N;\mathbb C)

의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우

\lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}

대신

:

\lambda_{i,j}\in\mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}

이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N\left((\mathbb C^\times)^{\times n}\right)

==== 원환면 위의 SU(N) 및 SL(N;ℂ) 주접속 ====

\operatorname{SU}(N)

의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 (

\mathbb T^n

의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인,

\mathbb T^n

위의

N

개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SU}(N)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in (\mathbb T^n)^{\times N}\colon\sum_{i=1}^N\vec\lambda_i=0\}}{\operatorname{Sym}(N)}

특히,

M=\mathbb T^2

일 때,

\mathbb T^2

위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이

N

개의 점들은

\mathbb T^2

위의, 차수

N

의 인자를 정의하며, 이들은

M

위의, 차수

N

의 복소수 선다발

L\twoheadrightarrow M

의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간

:

\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{\mathbb P}(\operatorname H^0(L))

이다. 리만-로흐 정리에 의하여,

L

의 차수가

N

이므로, 그 차원은

:

\dim_{\mathbb C}\operatorname H^0(L) = N - g(\mathbb T^2) + 1 = N

이다. 즉,

:

\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{Proj}(\operatorname H^0(L)) = \operatorname{\mathbb CP}^{N-1}

\operatorname{SL}(N;\mathbb C)

의 경우는

\operatorname{SU}(N)

와 마찬가지이지만, 덧셈 아벨 군

\operatorname U(1)

대신 곱셈 아벨 군

\mathbb C^\times

가 들어가게 된다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SL}(N;\mathbb C)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in((\mathbb C^\times)^n)^{\times N}\colon\prod_{j=1}^N\lambda_{i,j}=0\qquad\forall i\in\{1,\dotsc,n\}\}}{\operatorname{Sym}(N)}

5. 2. 1. 원환면 위의 U(N) 및 GL(N;ℂ) 주접속

\mathbb T^n

위의

\operatorname U(N)

주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우,

n

개의 가환 홀로노미들은

n

개의 서로 가환하는

N\times N

유니터리 행렬

:

M_1,\dotsc,M_n

을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여

:

M_i = \operatorname{diag}(\lambda_{i,1},\dotsc,\lambda_{i,N})

:

\lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

로 놓을 수 있다. 이제

:

\vec\lambda_j=(\lambda_{1,j},\dotsc,\lambda_{n,j})

로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군

\operatorname{Weyl}(\operatorname U(N))=\operatorname{Sym}(N)

의 작용)은

\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N

위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N(\mathbb T^n)

G=\operatorname U(N)

대신

G=\operatorname{GL}(N;\mathbb C)

의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우

\lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}

대신

:

\lambda_{i,j}\in\mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}

이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N\left((\mathbb C^\times)^{\times n}\right)

5. 2. 2. 원환면 위의 SU(N) 및 SL(N;ℂ) 주접속

\operatorname{SU}(N)

의 경우, 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 (

\mathbb T^n

의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인,

\mathbb T^n

위의

N

개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SU}(N)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in (\mathbb T^n)^{\times N}\colon\sum_{i=1}^N\vec\lambda_i=0\}}{\operatorname{Sym}(N)}

특히,

M=\mathbb T^2

일 때,

\mathbb T^2

위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이

N

개의 점들은

\mathbb T^2

위의, 차수

N

의 인자를 정의하며, 이들은

M

위의, 차수

N

의 복소수 선다발

L\twoheadrightarrow M

의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간

:

\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{\mathbb P}(\operatorname H^0(L))

이다. 리만-로흐 정리에 의하여,

L

의 차수가

N

이므로, 그 차원은

:

\dim_{\mathbb C}\operatorname H^0(L) = N - g(\mathbb T^2) + 1 = N

이다. 즉,

:

\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{Proj}(\operatorname H^0(L)) = \operatorname{\mathbb CP}^{N-1}

이다.

\operatorname{SL}(N;\mathbb C)

의 경우는

\operatorname{SU}(N)

와 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군

\operatorname U(1)

대신 곱셈 아벨 군

\mathbb C^\times

가 들어가게 된다.

:

\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SL}(N;\mathbb C)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in((\mathbb C^\times)^n)^{\times N}\colon\prod_{j=1}^N\lambda_{i,j}=0\qquad\forall i\in\{1,\dotsc,n\}\}}{\operatorname{Sym}(N)}

6. 응용

물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다. 한국의 이론 물리학계에서는 천-사이먼스 이론 및 관련 위상 양자장 연구가 활발히 진행되고 있으며, 평탄 주접속은 이러한 연구에서 핵심적인 역할을 한다.

6. 1. 천-사이먼스 이론

물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

6. 2. 한국 물리학계의 연구

한국의 이론 물리학계에서는 천-사이먼스 이론 및 관련 위상 양자장 연구가 활발히 진행되고 있으며, 평탄 주접속은 이러한 연구에서 핵심적인 역할을 한다. 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈라이 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.

참조

_[1] 서적 Moduli spaces of flat connections https://faculty.math[...] Katholieke Universiteit Leuven 2013
_[2] 저널 The Yang–Mills equations over Riemann surfaces 1983-03-17
_[3] 서적 Handbook of Differential Geometry. Volume 2 Elsevier 2006
_[4] 저널 Quantum field theory and the Jones polynomial http://projecteuclid[...] 1989

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com