함수 공간

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1. 개요
2. 선형대수학
3. 함수해석학
- 3.1. 주요 함수 공간
- 3.2. 노름
4. 다양한 분야에서의 응용
5. 추가적인 구조
참조

1. 개요

함수 공간은 수학에서 함수들을 원소로 갖는 집합을 의미하며, 선형대수학, 함수해석학, 위상수학, 대수적 위상수학 등 다양한 분야에서 활용된다. 선형대수학에서는 함수 X → F가 점별로 정의된 F 위의 벡터 공간 구조를 가지며, 함수해석학에서는 위상 벡터 공간으로 만들기 위한 기술을 중심으로 연구된다. 함수 공간은 또한 집합론, 확률 과정, 범주론, 함수형 프로그래밍 등 다양한 분야에서 응용되며, 콤팩트-열린 위상, 힐베르트 공간, 바나흐 공간 등이 주요 예시로 제시된다. 함수 공간에 곱을 정의하여 선형환으로 만들 수도 있다.

2. 선형대수학

F^영어를 체라고 하고, X^영어를 임의의 집합이라고 하자. 함수 X^영어 → F^영어는 연산이 점별로 정의된 F^영어 위의 벡터 공간 구조를 가질 수 있다. 즉, 모든 f^영어, g^영어 : X^영어 → F^영어, 모든 x^영어 ∈ X^영어, 그리고 모든 c^영어 ∈ F^영어에 대해 다음을 정의한다.

:(f+g)(x) = f(x)+g(x)

:(c·f)(x) = c·f(x)

만약 정의역 X^영어에 추가적인 구조가 있다면, 해당 구조를 존중하는 모든 함수들의 부분 집합 (또는 부분 공간)을 고려할 수 있다. 예를 들어, V^영어와 X^영어 자체가 F^영어 위의 벡터 공간이라면, 선형 사상 X^영어 → V^영어의 집합은 점별 연산과 함께 F^영어 위의 벡터 공간을 이룬다(종종 Hom(X^영어,V^영어)로 표기). 그러한 공간 중 하나는 X^영어의 쌍대 공간이다. 즉, 덧셈과 스칼라 곱셈이 점별로 정의된 선형 범함수 X^영어 → F^영어의 집합이다.

추가적인 구조가 없는 함수 공간의 기수 차원은 에르되시-카플란스키 정리로 구할 수 있다.^[1]

3. 함수해석학

함수 해석학에서는 위상 벡터 공간의 연속 선형 변환에서 연속 함수를 포함하는 경우를 주로 다룬다. 주요 예시로는 힐베르트 공간과 바나흐 공간이 있다.

자연수에서 어떤 집합 ''X''로 가는 모든 함수 집합은 ''수열 공간''이라고 불리며, ''X'' 원소로 구성된 모든 가능한 수열의 집합이다.

3. 1. 주요 함수 공간

함수 해석학은 함수 공간을 유한 차원 노름 공간에 적용할 수 있는 아이디어 범위 내에 있는 위상 벡터 공간으로 만들기 위한 적절한 기술을 중심으로 구성된다. 여기서는 실수선을 예시 도메인으로 사용하지만, 아래의 공간은 적절한 열린 부분 집합

\Omega \subseteq \R^n

에서 존재한다.

$C(\R)$ : 균등 노름 위상을 갖춘 연속 함수
$C_c(\R)$ : 콤팩트 지지 집합을 가진 연속 함수
$B(\R)$ : 유계 함수
$C_0(\R)$ : 무한대에서 사라지는 연속 함수
$C^r(\R)$ : ''r''개의 연속 도함수를 갖는 연속 함수
$C^{\infty}(\R)$ : 매끄러운 함수
$C^{\infty}_c(\R)$ : 콤팩트 지지 집합을 가진 매끄러운 함수
$C^\omega(\R)$ : 실해석 함수
$L^p(\R)$ : ( $1\leq p \leq \infty$ 에 대해) ''p''-노름 $\|f\|_p = \left( \int_\R |f|^p \right)^{1/p}$ 가 유한한 가측 함수의 L^p 공간
$\mathcal{S}(\R)$ : 급감하는 매끄러운 함수의 슈바르츠 공간과 그 연속 쌍대 공간인 $\mathcal{S}'(\R)$ (완화 분포)
$D(\R)$ : 극한 위상의 콤팩트 지지 집합
$W^{k,p}$ : ''k''차까지의 약한 도함수가 $L^p$ 에 속하는 함수의 소볼레프 공간
$\mathcal{O}_U$ : 정칙 함수
선형 함수
구간별 선형 함수
연속 함수 (콤팩트 열린 위상)
모든 함수 (점별 수렴 공간)
하디 공간
홀더 공간
Càdlàg 함수 (일명 스코로호드 공간)
$\text{Lip}_0(\R)$ : 0에서 사라지는 $\R$ 상의 모든 립시츠 연속 함수

함수 공간은 원래 공간의 다양한 성질을 자연스러운 형태로 내포하고 있으며, 성질이 좋은 공간이라면 그 함수 공간으로부터 원래의 공간을 "복원"할 수 있다. 일반적으로 고찰의 대상이 되는 함수는 실수값 함수나 복소수값 함수처럼 공역을 공유한다. 함수의 공역으로서 필요에 따라 특정 체나 환과 같은 대수계를 취하는데, 이에 따라 함수 공간에는 벡터 공간이나 환 위의 가군의 구조가 미리 주어져 있다고 생각할 수 있다. 원래의 공간이 대수적인 것이 아니더라도, 함수 공간으로 옮겨가면 대수적인 조작을 이용한 고찰이 가능해진다는 것이 함수 공간을 생각하는 동기 중 하나이다. 즉, 함수 공간의 대수적인 성질을 원래의 공간으로 환원시켜 줌으로써 지금까지 알려지지 않았던 성질이 발견되거나, 반대로 원래의 공간의 기하학적인 구조를 함수 공간으로 옮겨서 생각함으로써 어떤 종류의 대수계의 성질이 결정되는 것을 알게 된다.

함수 공간에는 다양한 위상이 정의되어 위상 공간을 이룬다. 어떤 위상이 다루어지는지는 논의의 문맥에 따라 달라지지만, 예를 들어 ''X''에서 ''Y''로의 배치 공간을 ''X''를 첨자로 하는 ''Y''의 (''X''의 농도만큼의) 복사본의 곱위상 공간으로 간주하여 자연스럽게 도입되는 점별 수렴 위상이라든가, 균등 수렴 위상은 르베그 공간의 ''L''^∞-노름에 의한 거리 위상을 예로 자주 볼 수 있고, 국소 컴팩트 공간상의 함수 공간에서의 콤팩트 열린 위상은 함수와 그 변수를 상대화하여 동등하게 취급하고 (함수도 하나의 변수라고 생각하고) 동시에 움직일 때 연속성에 관해 자연스러운 위상으로 나타난다.

함수 공간 위의 함수 공간이라는 개념도 다양한 형태로 나타난다. 예를 들어 분포의 이론은 함수 공간 위의 함수 공간으로서 초함수 전체가 이루는 공간을 규정하는 것이고, 미분 형식은 국소적으로는 다양체의 표면을 그 위의 함수 공간인 접공간과 동일시하고, 그 여접공간이라고 불리는 함수 공간에서 정의되는 함수(의 싹)이다(대역적으로 미분 형식은 여접다발의 절단이다).

3. 2. 노름

만약 가 닫힌 구간 에서 정의된 모든 연속 함수의 함수 공간

\mathcal {C}(a,b)

의 원소이면,

\mathcal {C}(a,b)

에서 정의된 '''노름

\|y\|_\infty

'''는 에 대한 의 최대 절댓값으로,^[2]

\| y \|_\infty \equiv \max_{a \le x \le b} |y(x)| \qquad \text{where} \ \ y \in \mathcal {C}(a,b)

는 ''균등 노름'' 또는 ''상한 노름''('sup 노름')이라고 불린다.

4. 다양한 분야에서의 응용

집합론에서, ''X''에서 ''Y''로의 함수 집합은 {''X'' → ''Y''} 또는 ''Y''^''X''로 표기될 수 있다.
특별한 경우로, 집합 ''X''의 멱집합은 2^''X''로 표기되며, ''X''에서 {0, 1}로 가는 모든 함수의 집합으로 식별될 수 있다.
''X''에서 ''Y''로의 전단사 함수 집합은 $X \leftrightarrow Y$ 로 표기한다. 팩토리얼 표기법 ''X''!는 단일 집합 ''X''의 순열에 사용될 수 있다.
함수 해석학에서, 위상 벡터 공간의 연속 함수를 포함하는 연속 선형 변환에 대해 위와 동일한 내용이 관찰되며, 주요 예시 중 다수는 위상을 갖는 함수 공간이다. 가장 잘 알려진 예시로는 힐베르트 공간과 바나흐 공간이 있다.
함수 해석학에서, 자연수에서 어떤 집합 ''X''로 가는 모든 함수의 집합은 ''수열 공간''이라고 불린다. 이것은 ''X''의 원소로 구성된 모든 가능한 수열의 집합으로 구성된다.
위상수학에서, 한 위상 공간 ''X''에서 다른 공간 ''Y''로의 연속 함수 공간에 위상을 부여하려는 시도가 있을 수 있으며, 이는 공간의 특성에 따라 유용성이 달라진다. 일반적으로 사용되는 예시는 콤팩트-열린 위상이며, 예시로 루프 공간이 있다. 또한 집합론적 함수(즉, 반드시 연속 함수일 필요는 없는) ''Y''^''X''의 공간에 대한 곱 위상도 사용할 수 있다. 이 맥락에서, 이 위상은 점별 수렴의 위상이라고도 한다.
대수적 위상수학에서, 호모토피 이론의 연구는 본질적으로 함수 공간의 이산 불변량에 대한 연구이다.
확률 과정 이론에서, 기본적인 기술적 문제는 '과정의 경로'(시간의 함수)의 함수 공간에 확률 측정을 구성하는 방법이다.
범주론에서, 함수 공간은 지수 대상 또는 사상 대상이라고 불린다. 이는 하나의 방식으로 표현 표준 쌍대 함자로 나타난다. 그러나 $[X,-]$ 유형의 (단일) 함자로서, 대상에 대한 $- \times X$ 유형의 함자에 대한 수반 함자로 나타난다.
함수형 프로그래밍 및 람다 대수에서, 함수 유형은 고차 함수의 개념을 표현하는 데 사용된다.
영역 이론에서, 기본적인 아이디어는 잘 동작하는 데카르트 닫힌 범주를 생성하여 람다 대수를 모델링할 수 있는 부분 순서로부터의 구성을 찾는 것이다.
유한군 표현론에서, 그룹 G의 두 개의 유한 차원 표현 V와 W가 주어지면, 선형 사상의 벡터 공간 Hom(V,W) 위에 있는 G의 표현을 형성할 수 있으며, 이를 Hom 표현이라고 한다.^[1]
함수환(function algebra)은 함수로 구성된 선형 공간에 곱을 정의하여 선형환으로 만든 것이다.
환 달린 공간 / 개형은 공간과 그 위의 함수 공간을 묶어 생각하는 방식을 추상화한 개념이다.

5. 추가적인 구조

function algebra|함수환^영어는 함수로 구성된 선형 공간에 곱을 정의하여 선형환으로 만든 것이다.

환 달린 공간/개형은 공간과 그 위의 함수 공간을 묶어 생각하는 방식을 추상화한 개념이다.

참조

_[1] 서적 Representation Theory: A First Course https://books.google[...] Springer Science & Business Media 1991
_[2] 서적 Calculus of variations http://store.doverpu[...] Dover Publications

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