거리 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 관련 개념
3. 성질
- 3.1. 거리 위상
4. 예시
- 4.1. 응용
5. 거리 공간 사이의 사상
6. 추가 구조를 갖는 거리 공간
참조

1. 개요

거리 공간은 집합과 그 집합의 원소 사이의 거리를 정의하는 함수인 거리 함수로 이루어진 수학적 구조이다. 거리 함수는 구분 불가능한 점의 동일성, 대칭성, 삼각 부등식을 만족해야 하며, 이를 통해 공간 내 점들 간의 관계를 정의한다. 거리 공간은 위상 공간의 일종으로, 하우스도르프 공간, 파라콤팩트 공간, T6 공간, 제1 가산 공간 등의 성질을 가지며, 부분 집합 역시 거리 공간을 이룬다.

거리 공간의 일반화된 개념으로 유사 거리 공간, 준계량, 메타미터 등이 있으며, 이러한 개념들은 거리 함수의 공리를 완화하여 정의된다. 거리 공간은 완비성, 유계성, 지름과 같은 특징을 가지며, 거리 위상을 통해 위상 공간으로 간주될 수 있다.

거리 공간은 실수의 절댓값, 유클리드 공간, 노름 공간 등 다양한 예시를 가지며, 유한 거리 공간은 컴퓨터 과학 및 이산 수학에서 알고리즘 설계에 활용된다. 또한, 그래프 이론에서 그래프의 정점 간 거리를 정의하는 데에도 사용된다. 거리 공간 사이의 사상으로는 등거리 변환, 연속 함수, 균등 연속 함수, 립시츠 사상, 유사 등거리 등이 있으며, 이들은 공간 간의 구조를 보존하거나 변환하는 역할을 한다. 추가적으로, 노름 벡터 공간, 측지 거리 공간, 길이 공간, 리만 다양체 등은 거리 공간에 추가적인 구조를 부여하여 다양한 분야에서 활용된다.

한국에서는 해밍 거리와 같은 개념이 정보통신 기술 발전에 따라 중요해졌으며, 사회 격차 분석, 도시 계획, 교통 시스템 설계 등 다양한 분야에 거리 공간의 개념이 적용될 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

거리 공간 - 거리화 가능 공간
거리화 가능 공간은 위상을 유도하는 거리 함수가 존재하는 위상 공간으로, 하우스도르프 공간, 파라콤팩트 공간, 제1 가산 공간 등의 성질을 가지며 여러 거리화 정리가 존재한다.
거리 공간 - 초거리 공간
초거리 공간은 일반적인 거리 공간과 달리 초거리 부등식을 만족하여 열린 공이 열린 집합이자 닫힌 집합이 되는 독특한 성질을 가지며, 다양한 분야에서 응용된다.
계량기하학 - 거리
거리는 수학에서 두 점 사이를 측정하는 함수, 물리학에서 물체의 위치 변화량, 일상생활에서 두 지점 사이의 길이를 의미하며, 국제단위계에서는 길이로 표현된다.
계량기하학 - 코시 열
코시 열은 무한수열에서 항들이 뒤로 갈수록 서로 가까워지는 수열로, 수렴열은 항상 코시 열이지만 그 역은 성립하지 않을 수 있으며, 실수의 완비성 정의 및 무한급수 수렴성 판정에 중요한 역할을 하는 개념이다.

거리 공간
개요
R²에서의 거리 기하학
정의	집합과 거리 함수로 구성된 수학적 공간
정의
주요 내용	집합 X 거리 함수 d: X × X → R (실수 집합)
거리 함수의 조건	d(x, y) ≥ 0 (음수가 아님) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (식별 불가능성) d(x, y) = d(y, x) (대칭성) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (삼각 부등식)
거리 공간의 표기	(X, d)
역사
창시자	모리스 르네 프레셰
발표 연도	1906년
예시
유클리드 공간	실수 좌표 공간에 유클리드 거리를 부여한 공간
맨해튼 거리 공간	각 좌표 성분 차이의 절대값의 합으로 정의된 거리 공간
이산 공간	동일한 점 사이의 거리는 0, 다른 점 사이의 거리는 1로 정의된 거리 공간
함수 공간	함수의 집합에 적분 또는 다른 노름을 사용하여 정의된 거리 공간
성질
위상적 성질	거리 공간은 자연스럽게 위상 공간을 이룸
완비성	코시 수열이 수렴하는지 여부
분리 가능성	가산 조밀 부분 집합의 존재 여부
컴팩트성	모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는지 여부
활용
주요 분야	해석학 기하학 위상수학
응용 분야	머신러닝 데이터 마이닝 이미지 처리

2. 정의

집합 X 위의 거리 함수(距離函數, metric function^영어)는 다음 조건을 만족시키는 함수 $d\colon X \times X \to[0,\infty)$ 이다.

(구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = 0 \iff x = y$
(대칭성) 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $d(x,y) = d(y,x)$
(삼각 부등식, triangle inequality^영어) 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체할 수 있다.

(삼각 부등식) $d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)$

여기서

y=x

로 잡으면

d(y,x)=d(x,y)

가 되어, 대칭 공리를 얻는다.
거리 공간

(X,d)

은 거리 함수가 주어진 집합이다. 거리 함수의 정의에서 첫째 조건을

d(x,y)=0\Longleftarrow x=y

로 약화시키면 유사 거리 함수 개념을 얻는다.

구면 위의 두 점 P와 Q 사이의 대원 거리(청록색)와 직선 거리(빨간색).

지구 표면을 예로 들어, 두 점 사이의 거리를 표면을 따라 최단 경로("까마귀가 나는 거리")로 측정할 수 있다. 이는 해운 및 항공 분야에 유용하다. 지구 내부의 두 점 사이의 직선 거리를 측정할 수도 있는데, 이는 지진학에서 지진파 이동 시간을 통해 나타난다.

거리 공간 공리는 거리 개념에 유연성을 부여하는 동시에, 거리에 대한 직관적인 사실을 담고 있어 다양한 맥락에서 적용 가능하다. 예를 들어, 측도 공간에서 바서슈타인 거리는 한 상태에서 다른 상태로 변경하는 비용을, 해밍 거리는 두 문자열 간 차이 정도를 나타낼 수 있다.

거리 공간은 집합 M과 M 위의 거리 d의 순서쌍 (M, d)로 정의되며, 함수 d: M x M → ℝ는 다음 공리를 만족한다. 모든 점 x, y, z ∈ M에 대해:

# 한 점에서 자신까지의 거리는 0이다:

d(x, x) = 0

# (양수성) 서로 다른 두 점 사이의 거리는 항상 양수이다:

x \neq y

이면,

d(x, y)>0

# (대칭성) x에서 y까지의 거리는 항상 y에서 x까지의 거리와 같다:

d(x, y) = d(y, x)

# 삼각 부등식이 성립한다:

d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)

y를 경유하여 x에서 z에 도달하는 것은 직접 경로보다 짧을 수 없다. 거리 d가 모호하지 않은 경우 "거리 공간 M"으로 표현하기도 한다.

두 번째 공리를 제외한 모든 공리에서 거리는 항상 음수가 아니다:

0 = d(x, x) \leq d(x, y) + d(y, x) = 2 d(x, y)

따라서 두 번째 공리는

x \neq y

이면,

d(x, y) \neq 0

로 약화될 수 있으며, 첫 번째 공리와 결합하여

d(x, y) = 0 \iff x=y

로 만들 수 있다.

X를 집합으로 하고, 사상

d: X \times X \to \mathbb{R}

에서, d가 다음 세 가지 조건('''거리 공리''')을 모두 만족할 때, d는 X 상의 '''거리 함수''' 또는 X 상의 '''거리'''(metric^영어)라고 하며, 집합 X와 X 상의 거리 d의 쌍 (X, d)를 '''거리 공간'''(metric space^영어)이라고 한다.

'''비퇴화성'''

:

\forall x,y\in X : d(x,y)=0 \iff x=y

'''대칭성'''

:

\forall x,y\in X : d(x,y)=d(y,x)

'''삼각 부등식'''

:

\forall x,y,z\in X : d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)

혼동이 없을 경우 거리 공간 (X, d)를 단순히 X로 표기하기도 한다.

또한, 비퇴화성, 대칭성, 삼각 부등식으로부터 유도되는 성질로서,

'''비음수성'''

:

\forall x,y\in X : d(x,y) \ge 0

이 있다.

집합 A와 거리 공간 (X, d)와 단사 함수 f: A → X가 있을 때, a₁, a₂∈A에 대해

:

d_f(a_1, a_2) = d(f(a_1), f(a_2))

로 정의하면 (A, d_f)도 거리 공간이 되며, f에 의해 '''유도된 거리 공간'''이라고 한다.

A가 X의 부분 집합이면 포함 사상 id: A ↪ X; a ↦ a에 의해 거리 공간 (A, d_id)가 유도된다. 이와 같이 X의 부분 집합과 포함 사상에 의해 정의된 거리 공간을 (X, d)의 '''부분 거리 공간''' 또는 '''부분 공간'''이라고 한다.

2. 1. 관련 개념

유사 거리(pseudometric)는 거리 함수의 정의에서 첫째 조건(구분 불가능한 점의 동일성)을 약화시킨 개념이다. 즉, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0일 수도 있다.^[17]

초거리 함수(ultrametric)는 삼각 부등식보다 더 강한 조건(max{d(x, y), d(y, z)} ≥ d(x, z))을 만족시키는 거리 함수이다.

거리 공리들을 일부 완화하여 정의한 여러 가지 일반화된 거리 공간들이 있다. 예를 들어 다음과 같다.


	비음수성	비퇴화성	대칭성	삼각 부등식
유사 거리 (pseudometric)	○	$\forall x\in X~:~ d(x,x)=0$	○	○
quasi-metric^[27]^[28]	○	○	－	○
quasi-pseudometric^[29]	○	$\forall x\in X~:~ d(x,x)=0$	－	○
metametric^[30]	○	$\forall x,y\in X~:~d(x,y)=0\Rightarrow x=y$	○	○
semimetric	○	○	○	－

'''의사 거리 공간'''(pseudometric space): $d(x,x)=0$ 이지만, $x \neq y$ 에 대해 $d(x,y)=0$ 인 경우가 존재할 수 있다.
'''준계량 공간'''(quasimetric space): 대칭성 공리( $d(x,y) = d(y,x)$ )를 만족하지 않을 수 있다.^[17] 예를 들어, 산악 마을에서 오르막길과 내리막길의 소요 시간 차이를 고려할 때 준계량이 사용될 수 있다.
'''메타미터'''(metametric): 동일한 점 사이의 거리가 반드시 0일 필요는 없다.^[19]^[20] 그로모프 쌍곡 미터 공간과 그 경계 연구에서 나타난다.
'''부분 미터'''(partial metric): 메타미터와 동일한 공리를 만족하는 함수를 지칭하는 또 다른 용어이다.^[19]^[20]
'''이동 미터'''(dislocated metric): 메타미터와 동일한 공리를 만족하는 함수를 지칭하는 또 다른 용어이다.^[19]^[20]
'''준미터릭'''(premetric): 비음수성과 $d(x,x)=0$ 조건만 만족한다.
'''유사반미터릭'''(pseudo-semimetric): 준미터릭과 대칭성을 만족하는 함수이다.
'''유사미터릭'''(pseudo-metric): 유사반미터릭을 지칭하는 또 다른 용어이다.
'''거리'''(distance): 대칭성을 만족하는 준미터릭, 즉 유사반미터릭을 지칭한다.^[21]

이러한 일반화된 거리 공간들은 균등 구조를 유도할 수 있다.

3. 성질

거리 공간은 다음과 같은 여러 위상수학적 성질들을 만족시킨다.

거리 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

$X$는 분해 가능 공간이다.
$X$는 제2 가산 공간이다.
$X$는 린델뢰프 공간이다.

거리 공간 $(X,d)$의 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $(Y,d|_{Y\times Y})$는 거리 공간을 이룬다.^[34]

모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 '''완비 거리 공간'''이라고 한다.^[34]

'''유계 공간'''은 지름이 유한한 거리 공간이다. 임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대해 유한 개의 지름 $\epsilon$ 이하의 부분 집합들로 덮을 수 있는 공간을 '''전유계'''라고 한다.

3. 1. 거리 위상

거리 공간 $(X,d)$의 거리 위상은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 모든 $x\in U$에 대하여, $B(x,r_x)\subset U$인 $r_x>0$가 존재하는 부분 집합 $U\subset X$이다. 거리 위상은 거리 함수 $d\colon X\times X\to[0,\infty)$를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 $(d(x,-)\colon X\to[0,\infty))_{x\in X}$의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.^[6]

4. 예시

실수에서 절댓값을 이용하여 거리를 $d(x,y) = |x-y|$ 로 정의하면, $(\mathbb{R}, d)$ 는 완비 거리 공간이 된다.^[1]
유리수의 집합 $\mathbb Q$ 는 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이루지만, 완비 거리 공간은 아니다.^[2]
유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 에서 거리를 $d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }$ 로 정의하면, $(\mathbb{R}^n, d)$ 는 거리 공간이 된다. 이 거리를 '''유클리드 거리'''라 하며, 이 공간을 '''n차원 유클리드 공간'''이라 한다. 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.^[3]

\mathbb{R}^n

에서

d_0(x - y) = \max_{1 \le i \le n}

을 거리로 정의하면,

(\mathbb{R}^n, d_0)

는 거리 공간이 된다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않지만, 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.^[4]

노름 공간

(V,\Vert\cdot\Vert)

에 대하여, 거리 함수를

d(x,y)=\|x-y\|

로 정의하면,

(V,d)

는 거리 공간이 된다. 마찬가지로, 거리 함수를

d_{\text{post}}(x,y)=\|x\|+\|y\|

로 정의하면,

(V,d_{\text{post}})

는 거리 공간이 된다. 이 거리 함수를 '''우체국 거리'''(post-office metric^영어)라고 한다.^[5]

임의의 연결 리만 다양체

(M,g)

에 대하여, 거리 함수를

d(x,y)=\inf_{\gamma\in C^1([0,1],M)}\int_0^1\sqrt{g^{-1}(\gamma'(s),\gamma'(s))}\,ds

로 정의하면,

(M,d)

는 거리 공간이 된다.^[6]

임의의 집합

X

및 양의 실수

r

에 대하여,

d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\r&x\ne y\end{cases}

는 초거리 함수를 이룬다. 이를 '''이산 거리 함수'''라고 한다.^[7]

임의의 연결 그래프

G

에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의하면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.^[8]

지구 표면을 점들의 집합으로 생각할 때, 두 점 사이의 거리를 표면을 따라 최단 경로의 길이 (까마귀가 나는 거리)로 측정할 수 있다. 이는 해운 및 항공 분야에 유용하다. 지구 내부의 두 점 사이의 직선 거리를 측정할 수도 있는데, 이는 지진학에서 지진파가 두 점 사이를 이동하는 데 걸리는 시간과 관련이 있다.

체스판에서 3-4-5 삼각형의 빗변에 대한 체비쇼프, 유클리드, 택시 거리 비교

유클리드 평면

\R^2

는 다양한 메트릭을 가질 수 있다.

유클리드 거리: $d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$
택시 또는 맨해튼 거리: $d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$ .
체비쇼프 거리: $d_\infty((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{|x_2-x_1|,|y_2-y_1|\}.$

이산 메트릭:

d(p,q)=\begin{cases}0, & \text{if }p=q, \\ 1, & \text{otherwise.}\end{cases}

아서 케일리는 사영 기하학의 원뿔로 경계가 정해진 영역으로 거리 개념을 확장했다. 그의 거리는 교차비의 로그로 주어졌다.

노름 벡터 공간은 벡터의 길이를 측정하는 함수인 노름이 장착된 벡터 공간이다. 벡터

v

의 노름은

\lVert v \rVert

로 표시된다. 모든 노름 벡터 공간은 두 벡터

x

와

y

사이의 거리가

d(x,y):=\lVert x-y \rVert

로 주어지는 메트릭을 갖출 수 있다.

문자열 거리 및 편집 거리는 전산 언어학의 문장 (언어학) 또는 부호어를 나타낼 수 있는 문자열 사이의 거리를 측정한다. 편집 거리는 한 문자열에서 다른 문자열로 이동하는 데 필요한 변경 횟수를 측정한다. 해밍 거리는 두 문자열 사이에 정의되는 거리로, 서로 다른 문자의 개수를 나타낸다.^[9]

4. 1. 응용

유한 거리 공간은 컴퓨터 과학 및 이산 수학에서 알고리즘 설계 등에 활용된다. 특히 트리 거리와 같은 단순한 구조에서 알고리즘이 더 효율적으로 수행되는 경우가 많다. 모든 유한 거리 공간은 기대 왜곡이

O(log n)

인 트리 거리에 확률적으로 임베딩될 수 있다는 중요한 결과가 있다. 여기서

n

은 거리 공간의 점의 수이다.^[12] 이 임베딩은 왜곡에 대한 최상의 가능한 점근 경계를 달성하며, 생성된 트리 거리는 원래 거리를 "지배"하여 근사 알고리즘 설계에 유용하다.

이러한 결과는 다음과 같은 다양한 계산 문제에 영향을 미친다.

분야	설명
네트워크 설계	거리 공간을 트리 거리로 단순화하여 그룹 슈타이너 트리 문제( 슈타이너 트리 문제의 일반화) 및 대량 구매 네트워크 설계( 네트워크 계획 및 설계의 문제)와 같은 문제에 대한 근사 알고리즘을 개선한다.
클러스터링	트리 거리에서 계층적 클러스터링을 보다 효율적으로 수행할 수 있는 클러스터링 문제에 대한 알고리즘을 향상시킨다.
온라인 알고리즘	단순화된 거리를 통해 더 나은 경쟁률을 제공하여 k-서버 문제 및 메트릭 작업 시스템과 같은 문제에 도움이 된다.

해밍 거리는 두 문자열 사이에 정의되는 거리로, 서로 다른 문자의 개수를 나타낸다. 예를 들어 "simply"와 "sample"의 해밍 거리는 2이다. 해밍 거리는 오류 정정과 같은 추상적인 개념을 시각적으로 이해하기 쉽게 해준다. 오류 정정은 데이터 통신 과정에서 발생하는 오류를 제거하는 방법으로, 해밍 거리를 통해 "거리가 가장 가까운 것을 찾는다"는 시각적인 해석을 제공한다.^[9]

5. 거리 공간 사이의 사상

군이나 환과 같은 대수적 구조와 달리, 거리 공간 사이의 "올바른" 구조 보존 함수 유형은 단일하게 존재하지 않는다. 대신, 목표에 따라 다양한 유형의 함수를 사용한다.
등거리 변환"구조를 보존하는" 사상의 한 가지 해석은 거리 함수를 완전히 보존하는 사상이다. 모든 점 쌍 x와 y에 대해 d₂(f(x),f(y))=d₁(x,y)가 성립하면 함수 f는 거리 보존 함수라고 한다. 전단사 거리 보존 함수를 ''등거리 변환''이라고 한다.^[7]
연속 함수거리 구조를 완전히 잊고 위상 구조만 보존하는 연속 사상을 연구할 수 있다. 함수가 연속이 되는 조건은 여러가지가 있다.

'''위상적 정의.''' 함수 f는 M₂의 모든 열린 집합 U에 대해 역상 f⁻¹(U)가 열려 있으면 연속이다.
'''수열적 연속성.''' 함수 f는 수열 (xₙ)이 M₁의 점 x로 수렴할 때 수열 f(x₁),f(x₂),...가 M₂의 점 f(x)로 수렴하면 연속이다.
'''ε–δ 정의.''' 함수 f는 M₁의 모든 점 x와 모든 ε > 0에 대해 모든 y에 대해 d₁(x,y) < δ ⇒ d₂(f(x),f(y)) < ε를 만족하는 δ > 0이 존재하면 연속이다.

''위상동형사상''은 역함수 또한 연속인 연속 전단사 함수이다.
균등 연속 함수함수 f가 모든 실수 ε > 0에 대해 d(x,y)<δ를 만족하는 모든 점 x와 y에 대해 d₂(f(x),f(y)) < ε가 성립하는 δ > 0가 존재하면 ''균등 연속''이다.

하이네-칸토어 정리에 따르면, M₁이 콤팩트이면 모든 연속 함수는 균등 연속이다.
립시츠 사상립시츠 사상은 거리를 유계 인자만큼만 늘리는 사상이다. 실수 K > 0가 주어지면, 사상 f는 모든 x,y에 대해 d₂(f(x),f(y))≤K d₁(x,y)가 성립 하는 경우 K-''립시츠''이다.

1-립시츠 사상은 ''비확장'' 또는 ''메트릭 사상''이라고 불린다.

K < 1인 K-립시츠 사상은 ''축소 사상''이라고 불린다. 바나흐 고정점 정리는 M이 완비 메트릭 공간인 경우, 모든 축소 사상 f:M → M가 고유한 고정점을 갖는다고 말한다.
유사 등거리유사 등거리는 거리 공간의 "대규모 구조"를 보존하는 사상이다. 유사 등거리는 연속적일 필요는 없다.

사상 f는 다음 상수 A ≥ 1과 B ≥ 0이 존재하면 "유사 등거리 매입"이다.

: 1/A d₂(f(x),f(y))-B≤ d₁(x,y)≤ A d₂(f(x),f(y))+B (모든 x,y에 대해)

추가적으로 "유사 전사적" 즉, M₂의 모든 점이 f(M₁)의 어떤 점에서 최대 C 거리에 있으면 "유사 등거리"이다.

6. 추가 구조를 갖는 거리 공간

노름 벡터 공간은 벡터의 길이를 재는 함수인 노름을 갖춘 벡터 공간이다. 벡터의 노름은 보통 $\lVert v \rVert$ 로 표시된다. 모든 노름 벡터 공간은 두 벡터 와 사이의 거리가 $d(x,y):=\lVert x-y \rVert.$ 로 주어지는 메트릭을 가질 수 있다.

메트릭 는 노름 $\lVert{\cdot}\rVert$ 에 의해 ''유도''된다고 한다. 벡터 공간 에 대한 메트릭 가 평행 이동 불변이면서( $d(x,y) = d(x+a,y+a)$ ), 균질 메트릭이면( $d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x,y)$ ), 이는 노름( $\lVert x \rVert := d(x,0).$ )에 의해 유도된 메트릭이다.

세미노름과 유사 거리 사이에도 비슷한 관계가 성립한다.

$\R^2$ 에 대한 메트릭 , , 는 각각 맨해튼 노름, 유클리드 노름, 최대 노름에 의해 유도된다. 쿠라토프스키 매립을 통해 모든 메트릭 공간을 노름 벡터 공간의 부분 공간으로 볼 수 있다.

함수 해석학에서는 함수 공간과 같은 무한 차원 노름 벡터 공간을 연구한다. 완비 노름 벡터 공간은 바나흐 공간이라고 한다. 노름 벡터 공간의 선형 변환은 립시츠 연속일 때만 연속이며, 이러한 변환은 유계 연산자라고 한다.

거리 공간 에서 곡선은 연속 함수 $\gamma:[0,T] \to M$ 이며, 길이는

$L(\gamma)=\sup_{0=x_0$

로 측정된다. 일반적으로 이 상한은 무한대가 될 수 있으며, 유한한 길이를 가진 곡선을 ''가측 가능''이라고 한다. 곡선의 길이가 끝점 사이의 거리와 같다면, 이는 끝점 사이의 가장 짧은 경로이다. 호의 길이에 의해 재매개변수화된 후, 는 거리 보존 함수인 ''측지선''이 된다. 측지선은 임의의 두 점 사이의 가장 짧은 가능한 경로이다.

''측지 거리 공간''은 임의의 두 점 사이에 측지선을 허용하는 거리 공간이다. $(\R^2,d_1)$ 과 $(\R^2,d_2)$ 는 모두 측지 거리 공간이다. $(\R^2,d_2)$ 에서 측지선은 고유하지만, $(\R^2,d_1)$ 에서는 두 점 사이에 무한히 많은 측지선이 있는 경우가 많다.

공간 은 두 점 와 사이의 거리가 그 사이의 경로 길이의 하한인 경우 ''길이 공간''이다. 측지 거리 공간과 달리 하한이 달성될 필요는 없다. 원점을 제외한 유클리드 평면에서 점 와 는 길이가 2에 임의로 가까운 경로로 연결될 수 있지만, 길이 2의 경로로는 연결될 수 없다. 구의 직선 거리는 길이 공간이 아닌 거리 공간의 예시인데, 지구 중심을 통과하는 두 점 사이의 직선은 표면을 따라가는 모든 경로보다 짧기 때문이다.

임의의 거리 공간 가 주어지면, 점 와 사이의 거리를 그 사이의 경로의 길이의 하한으로 설정하여 에 대한 새로운 내재적 거리 함수 를 정의할 수 있다. 가 구의 직선 거리인 경우 는 대원 거리이다. 만약 $\R^2$ 에서 유도된 부분 공간 거리 를 가진 코흐 눈송이인 경우, 결과적인 내재적 거리는 임의의 서로 다른 점 쌍에 대해 무한대가 된다.

리만 다양체는 모든 점에서 접공간의 접벡터의 길이를 결정하는 리만 계량 텐서를 갖춘 공간이며, 이는 무한소 거리의 개념을 정의한다. 리만 다양체 에서의 미분 가능한 경로 $\gamma:[0, T] \to M$ 는 경로의 접벡터의 길이의 적분으로 정의된 길이를 갖는다.

$L(\gamma)=\int_0^T |\dot\gamma(t)|dt.$

연결된 리만 다양체에서 두 점 사이의 거리는 두 점 사이의 매끄러운 경로의 길이의 하한으로 정의된다. 이 구성은 부분 리만 다양체 및 핀슬러 다양체와 같은 다양체의 다른 종류의 무한소 계량으로 일반화된다.

리만 계량은 거리 함수에 의해 고유하게 결정된다. "합성" 공식을 찾는 것이 목표 중 하나인데, 예를 들어, 리만 다양체는 그 단면 곡률이 보다 작거나 같을 때 공간 (계량에만 의존하는 합성 조건)이다. 따라서 공간은 일반적인 계량 공간으로 상부 곡률 경계를 일반화한다.

실해석학은 $\R^n$ 상의 거리와 르베그 측도를 모두 사용한다. 거리 측도 공간은 서로 호환되는 측도와 거리를 모두 갖춘 공간이다. "거리 측도 공간"은 모든 공이 양의 측도를 갖도록 하는 보렐 정규 측도가 장착된 거리 공간이다. 차원 유클리드 공간, 차원 리만 다양체는 르베그 측도가 장착된 거리 측도 공간의 구조를 자연스럽게 갖는다. 시에르핀스키 개스킷과 같은 특정 프랙탈 거리 공간은 α차원 하우스도르프 측도를 가질 수 있다.

거리 측도 공간의 한 가지 응용은 리만 다양체를 넘어 리치 곡률의 개념을 일반화하는 것이다. RCD 공간은 리치 곡률의 하한을 일반화하는 거리 측도 공간의 한 부류이다.^[8]

미분 다양체 ''M''과, ''M'' 위의 계량 텐서라고 불리는 (비퇴화·정부호·대칭) 2계 공변 텐서 ''g''를 조합한 것을 리만 다양체라고 부른다. 텐서 ''g''에 의해 ''M''의 각 점에서의 접공간에 대해 접벡터의 길이를 나타내는 정부호 2차 형식이 주어지고, 이것을 바탕으로 ''M'' 위의 곡선의 호의 길이를 정의할 수 있다. ''M'' 위의 거리는 두 점을 잇는 길이 최소의 곡선(측지선)의 길이로 정해진다.

실수 또는 복소수체 위의 노름 공간은 두 원소 사이의 거리를 그 차의 노름으로 정의하면 거리 공간으로 간주할 수 있다. 이렇게 얻어지는 거리 공간 중 완비인 것은 바나흐 공간이라고 불리며, 함수 해석학에서의 주요 틀 중 하나가 된다.

노름에 의해 위상이 정해져 있지 않은 위상선형 공간 중, 평행 이동 불변한 거리에 대해 완비 공간이 되는 것은 프레셰 공간이라고 불린다. 바나흐 공간 외에, 미분 다양체 위의 매끄러운 함수로 이루어진 공간이나, 급감소 수열로 이루어진 공간 등이 프레셰 공간의 예가 된다.

참조

_[1] 서적 Fundamentals of Abstract Analysis Taylor & Francis
_[2] 간행물 Sur quelques points du calcul fonctionnel https://zenodo.org/r[...] 1906-12
_[3] 문서 Grundzuge der Mengenlehre
_[4] 간행물 Hausdorff's Grundzüge der Mengenlehre 1927
_[5] 서적 Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory John Wiley & Sons
_[6] 웹인용 A new proof that metric spaces are paracompact https://www.jstor.or[...] 1969-02
_[7] 문서
_[8] 간행물 Lecture notes on differential calculus on RCD spaces 2018-10-18
_[9] 서적 Proceedings of the ICM, Beijing 2002
_[10] 간행물 On lipschitz embedding of finite metric spaces in Hilbert space
_[11] 웹인용 Open problems on embeddings of finite metric spaces http://kam.mff.cuni.[...] 2010-12-26
_[12] 간행물 A tight bound on approximating arbitrary metrics by tree metrics
_[13] 학술회의 Light spanners for snowflake metrics 2014-06-08
_[14] 간행물 Comparison of phylogenetic trees https://linkinghub.e[...] 1981-02
_[15] 문서
_[16] 웹인용 Sequential convergence in Topological Spaces http://at.yorku.ca/p[...] 2001-04
_[17] 문서
_[18] 문서
_[19] 웹사이트 Partial metrics: welcome http://www.dcs.warwi[...] 2018-05-02
_[20] 간행물 Partial Metric Spaces https://www.dcs.warw[...] 2009-10-01
_[21] 문서
_[22] 문서
_[23] 간행물 Les fonctions d'une infinité de variables indépendantes http://www.numdam.or[...]
_[24] 간행물 Sur une genéralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire: Ier Mémoire https://projecteucli[...]
_[25] 간행물 Funzioni di linee Reale Accademia dei Lincei
_[26] 간행물 Sur les opérations fonctionnelles
_[27] 서적 Counterexamples in Topology Dover Publications
_[28] 학술회의 Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 298
_[29] 웹사이트 An Introduction to the Theory of Quasi-uniform Spaces https://web.archive.[...] 2005-05-07
_[30] 간행물 Gromov hyperbolic spaces http://www.helsinki.[...]
_[31] 간행물 The Geodesic Problem in Quasimetric Spaces
_[32] 간행물 The geodesic problem in nearmetric spaces
_[33] 서적 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications
_[34] 문서 集合・位相入門岩波書店

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com