곡률

3. 평면 곡선의 곡률

평면 곡선의 곡률은 곡선이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 값이다. 곡선의 방향이 작은 거리를 이동하면서 얼마나 변하는지를 나타내는 척도로, 단위는 rad/m(라디안/미터)이다. 이는 곡선을 따라 움직이는 점의 '방향'의 순간 변화율을 측정하는 것이며, 곡률이 클수록 변화율도 커진다.

좀 더 구체적으로 설명하면, 점 P가 곡선을 따라 단위 속도로 움직일 때 점 P에서의 곡선에 대한 단위 접선 벡터가 얼마나 빨리 회전하는지를 측정하는 것이다. 점이 곡선을 따라 1단위의 일정한 속도로 움직인다고 가정할 때, 점 P(s)의 위치는 매개변수 s의 함수로 나타낼 수 있다. 여기서 s는 시간 또는 주어진 원점으로부터의 호의 길이를 의미한다. P(s)에서의 곡선의 단위 접선 벡터를 T(s)라고 하면, 이는 P(s)를 s에 대해 미분한 것이다. 그러면 T(s)를 s에 대해 미분한 것은 곡선에 수직이고 그 길이가 곡률인 벡터가 된다.

곡률의 정의와 다양한 특성은 접선이 연속적으로 변동하도록 P 근처에서 곡선이 연속 미분 가능해야 하며, 곡선이 P에서 두 번 미분 가능해야 한다.

단위 접선 벡터의 미분 측면에서 곡률을 설명하는 것은 접원을 이용한 정의보다 직관적이지 않을 수 있지만, 곡률 계산 공식을 유도하기 더 쉽다. 따라서 운동학에서의 사용 때문에 이 특성이 종종 곡률의 정의로 사용되기도 한다.

어떤 임의의 곡선에서 선상의 점 P₀를 기점으로 하고, 거기에서 곡선상의 임의의 점 P (위치 벡터 r_P로 표시)까지의 거리를 s로 한다. 이때 점 P의 위치는,

:$\backslash mathbf\{r\}\_P\; =\; \backslash mathbf\{r\}(s)$

와 같이, 변수 s의 함수로 나타낼 수 있다.

이때, 점 P에서 접하는 방향의 단위 벡터 (이것을 t_P로 한다)는,

:$\backslash mathbf\{t\}\_P\; =\; \backslash mathbf\{t\}\; (s)\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; s\; \backslash to\; 0\}\; \{\backslash mathbf\{r\}\; (s\; +\; \backslash Delta\; s)\; -\; \backslash mathbf\{r\}\; (s)\; \backslash over\; \{\backslash Delta\; s\}\; \}\; =\; \{d\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash over\; \{ds\}\; \}$

가 된다.

마찬가지로, r_Q = r(s + Δs)로 표시되는 점 Q를 생각할 때, 점 Q 상의 단위 접선 벡터 t_Q는,

:$\backslash mathbf\{t\}\_Q\; =\; \backslash mathbf\{t\}\; (s\; +\; \backslash Delta\; s)$

이며, 두 개의 단위 접선 벡터 t_P, t_Q가 이루는 각도를 Δθ라고 하면,

:$\{\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{t\}\_Q\; -\; \backslash mathbf\{t\}\_P\; \backslash right|\; \backslash over\; 2\}=\; \backslash sin\; \{\backslash Delta\backslash theta\; \backslash over\; 2\}$

이다.

Δθ가 충분히 작을 때,

:$\backslash Delta\backslash theta\; =\; \backslash sin\backslash Delta\backslash theta\; =\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{t\}\_Q\; -\; \backslash mathbf\{t\}\_P\; \backslash right|$

로 간주할 수 있다.

따라서, 접선 기울기 Δθ의 변동률인 χ를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash chi(s)\; =\; \{\; d\; \backslash mathbf\{\backslash theta\; \}\; \backslash over\; \{ds\}\; \}\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; s\; \backslash to\; 0\}\; \{\backslash Delta\; \backslash theta\; \backslash over\; \{\backslash Delta\; s\}\; \}\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; s\; \backslash to\; 0\}\; \backslash left|\; \{\backslash mathbf\{t\}\; (s\; +\; \backslash Delta\; s)-\backslash mathbf\{t\}\; (s)\; \backslash over\; \{\backslash Delta\; s\}\; \}\; \backslash right\; |\; =\; \backslash left\; |\; \{\; d\; \backslash mathbf\{t\}\; \backslash over\; \{ds\}\; \}\; \backslash right\; |\; =\; \backslash left\; |\; \{\; d^2\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash over\; \{ds\}^2\; \}\; \backslash right\; |\; =\; \{1\; \backslash over\; R(s)\}$

일반적으로 χ를 '''곡률''', χ의 역수 R을 '''곡률 반경'''이라고 한다.

3. 1. 접원

3. 2. 호의 길이 매개변수화

3. 3. 일반적인 매개변수화

3. 4. 함수의 그래프

3. 5. 극좌표

3. 6. 음함수

3. 7. 예시

3. 7. 1. 원

3. 7. 2. 포물선

3. 8. 프레네-세레 공식 (평면 곡선)

:$\backslash begin\{align\}$

\frac {d\mathbf{N}}{ds} &= -\kappa\mathbf{T},\\

&= -\kappa\frac{d\boldsymbol{\gamma}}{ds}.

\end{align}

매개변수 $t$에 의한 일반적인 매개변수화의 경우, $t$에 대한 도함수를 포함하는 표현이 필요하다. 이는 $s$에 대한 도함수에 $\backslash frac\{ds\}\{dt\}$를 곱하여 얻으므로, 임의의 적절한 매개변수화에 대해 다음을 얻는다.

:$$

\mathbf{N}'(t) = -\kappa(t)\boldsymbol{\gamma}'(t).



어떤 임의의 곡선에서 선상의 점 $P\_0$를 기점으로 하고, 거기에서 곡선상의 임의의 점 $P$ (위치 벡터 $\backslash mathbf\{r\}\_P$로 표시)까지의 거리를 $s$로 한다. (이 경우의 $s$는 일반 좌표상의 거리 또는 곡선상의 길이 중 어느 쪽이든 좋다.)

이때 점 $P$의 위치는,

:$\backslash mathbf\{r\}\_P\; =\; \backslash mathbf\{r\}(s)$

와 같이, 변수 $s$의 함수로 나타낼 수 있다. (이하, 특히 언급하지 않는 한 $\backslash mathbf\{r\}\_P\; =\; \backslash mathbf\{r\}$로 한다.)

이때, 점 $P$에서 접하는 방향의 단위 벡터 (이것을 $\backslash mathbf\{t\}\_P$로 한다)는,

:$\backslash mathbf\{t\}\_P\; =\; \backslash mathbf\{t\}\; (s)\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; s\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\; (s\; +\; \backslash Delta\; s)\; -\; \backslash mathbf\{r\}\; (s)\}\{\backslash Delta\; s\}\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds\}$

가 된다. (위치 벡터의 변위 분 $\backslash Delta\backslash mathbf\{r\}$이 충분히 작을 때, $|\backslash Delta\backslash mathbf\{r\}|\; =\; \backslash Delta\; s$이므로, 이것은 단위 벡터이다.)

마찬가지로, $\backslash mathbf\{r\}\_Q\; =\; \backslash mathbf\{r\}\; (s\; +\; \backslash Delta\; s)$로 표시되는 점 $Q$를 생각할 때, 점 $Q$ 상의 단위 접선 벡터 $\backslash mathbf\{t\}\_Q$는,

:$\backslash mathbf\{t\}\_Q\; =\; \backslash mathbf\{t\}\; (s\; +\; \backslash Delta\; s)$

이며, 두 개의 단위 접선 벡터 $\backslash mathbf\{t\}\_P$, $\backslash mathbf\{t\}\_Q$가 이루는 각도를 $\backslash Delta\backslash theta$라고 하면,

:$\backslash frac\{\backslash left|\; \backslash mathbf\{t\}\_Q\; -\; \backslash mathbf\{t\}\_P\; \backslash right|\}\{2\}=\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash Delta\backslash theta\}\{2\}$

이다.

$\backslash Delta\backslash theta$가 충분히 작을 때, 즉 $\backslash Delta\; s$가 충분히 작을 때,

:$\backslash Delta\backslash theta\; =\; \backslash sin\backslash Delta\backslash theta\; =\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{t\}\_Q\; -\; \backslash mathbf\{t\}\_P\; \backslash right|$

로 간주할 수 있다.

따라서, 접선 기울기 $\backslash Delta\backslash theta$의 변동률인 $\backslash chi$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash chi(s)\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{\backslash theta\}\}\{ds\}\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; s\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash Delta\; \backslash theta\}\{\backslash Delta\; s\}\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; s\; \backslash to\; 0\}\; \backslash left|\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{t\}\; (s\; +\; \backslash Delta\; s)-\backslash mathbf\{t\}\; (s)\}\{\backslash Delta\; s\}\; \backslash right\; |\; =\; \backslash left\; |\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{t\}\}\{ds\}\; \backslash right\; |\; =\; \backslash left\; |\; \backslash frac\{d^2\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds^2\}\; \backslash right\; |\; =\; \backslash frac\{1\}\{R(s)\}$

일반적으로 $\backslash chi$를 '''곡률''', $\backslash chi$의 역수 $R$을 '''곡률 반경'''이라고 한다.

또한, 특히 곡선이 고차일 때, $\backslash Delta\; s\; \backslash to\; 0$의 극한에서 두 개의 접선에 의해 결정되는 평면을 점 $P$에서의 '''접촉 평면'''이라고 한다.

더욱이, $\backslash mathbf\{t\}$를 $s$로 미분하면,

:$\backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{t\}\}\{ds\}\; =\; \backslash frac\{d^2\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds^2\}\; =\; \backslash mathbf\{n\}\; \backslash frac\{d\; \backslash theta\}\{ds\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{n\}\}\{R\}$

를 얻을 수 있다. 여기서 $\backslash mathbf\{n\}$은 주 법선 방향의 단위 벡터이며, 주 법선과 접선은 직교한다. 이는 $\backslash frac\{d\backslash mathbf\{r\}\}\{ds\}$가 단위 벡터이므로,

:$\backslash left(\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds\}\; \backslash right)^2\; =\; \backslash left\; |\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds\}\; \backslash right\; |^2\; =\; 1$

이 되며, 이를 $s$에 대해 미분하면,

:$\backslash frac\{d\}\{ds\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds\}\; \backslash right)^2\; =\; \backslash frac\{d^2\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds^2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds\}\; +\; \backslash frac\{d\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{d^2\; \backslash mathbf\{r\}\}\{ds^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{n\}\}\{R\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{t\}\; +\; \backslash mathbf\{t\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{n\}\}\{R\}\; =\; 0$

이 되기 때문이다(벡터끼리의 내적이 0이 되므로, 해당 벡터끼리는 직교한다).

벡터 $\backslash mathbf\{t\}$와 $\backslash mathbf\{n\}$의 외적,

:$\backslash mathbf\{t\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{n\}\; =\; \backslash mathbf\{b\}$

로 얻어지는 벡터 $\backslash mathbf\{b\}$가 종 법선 방향의 단위 벡터가 된다. 종 법선은 접촉 평면에 대한 법선이 된다.

3. 9. 곡률 빗

'''곡률 빗'''^[8]은 곡선상의 모든 점의 곡률을 그래프로 나타내는 데 사용될 수 있다. 매개변수 곡선 $ t \mapsto x(t) $가 주어질 때, 곡률 빗은 다음과 같이 정의된다.

:$ t \mapsto x(t) + d\kappa(t)n(t) $

여기서 $ \kappa, n $은 각각 곡률과 법선 벡터이고, $ d $는 시각적 표현을 개선하기 위해 선택되는 스케일링 팩터이다.

4. 공간 곡선의 곡률

3차원 공간 곡선의 곡률은 곡선이 휘어진 정도를 나타내는 값이다. 2차원 곡선과 마찬가지로, 3차원 이상의 정칙 공간 곡선에서 곡률은 곡선을 따라 단위 속도로 움직이는 입자의 가속도의 크기이다.

4. 1. 일반적인 표현

4. 2. 호와 현의 길이를 이용한 곡률

5. 곡면의 곡률

곡면의 곡률은 곡면이 휘어진 정도를 나타내는 값으로, 곡면 위에 그려진 곡선의 곡률을 이용하여 정의된다. 곡면의 곡률을 정의하고 연구하는데 있어서 곡선은 중요한 도구이다.

5. 1. 곡면 위의 곡선

• 법곡률
• 측지 곡률
• 측지 비틀림

• \kappa_\mathrm{g}&0&\tau_\mathrm{r}\\
• \kappa_\mathrm{n}&-\tau_\mathrm{r}&0

5. 1. 1. 주곡률

주어진 점에서 같은 접선 벡터를 갖는 모든 곡선은 같은 법곡률을 가지며, 이는 '''T'''와 '''u'''를 포함하는 평면과 표면의 교차로 얻은 곡선의 곡률과 같다. 가능한 모든 접선 벡터를 취하면, 한 점에서의 법곡률의 최대값과 최소값은 '''주곡률''' k1^영어과 k2^영어라고 하며, 대응하는 접선 벡터의 방향을 '''주법선 방향'''이라고 한다.

5. 2. 법단면

곡률은 지구의 곡률 반경에서와 같이 표면 법선 단면을 따라 평가할 수 있다.

임의의 곡선에서 선상의 점 ''P''₀를 기점으로 하고, 거기에서 곡선상의 임의의 점 ''P'' (위치 벡터 '''r'''_''P''로 표시)까지의 거리를 ''s''로 한다. (이 경우 ''s''는 일반 좌표상의 거리 또는 곡선상의 길이 중 어느 쪽이든 좋다.)

이때 점 ''P''의 위치는,

:'''r'''_''P'' = '''r'''(''s'')

와 같이, 변수 ''s''의 함수로 나타낼 수 있다. (이하, 특히 언급하지 않는 한 '''r'''_''P'' = '''r'''로 한다.)

이때, 점 ''P''에서 접하는 방향의 단위 벡터 (이것을 '''t'''_''P''로 한다)는,

:'''t'''_P = '''t''' (''s'') = lim_{Δ''s'' → 0} {'''r''' (''s'' + Δ''s'') - '''r''' (''s'') / {Δ''s''} } = d'''r''' / d''s''

가 된다. (위치 벡터의 변위 분 Δ'''r'''이 충분히 작을 때, |Δ'''r'''| = Δs이므로, 이것은 단위 벡터이다.)

마찬가지로, '''r'''_Q = '''r''' (''s'' + Δ''s'')로 표시되는 점 ''Q''를 생각할 때, 점 ''Q'' 상의 단위 접선 벡터 '''t'''_''Q''는,

:'''t'''_Q = '''t''' (''s'' + Δ''s'')

이며, 두 개의 단위 접선 벡터 '''t'''_''P'', '''t'''_''Q''가 이루는 각도를 Δ''θ''라고 하면,

:{ |'''t'''_Q - '''t'''_P| / 2} = sin {Δ''θ'' / 2}

이다.

Δ''θ''가 충분히 작을 때, 즉 Δ''s''가 충분히 작을 때,

:Δ''θ'' = sinΔ''θ'' = |'''t'''_Q - '''t'''_P|

로 간주할 수 있다.

따라서, 접선 기울기 Δ''θ''의 변동률인 χ를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:χ(''s'') = d'''θ''' / d''s'' = lim_{Δ''s'' → 0} {Δ''θ'' / Δ''s''} = lim_{Δ''s'' → 0} | {'''t''' (''s'' + Δ''s'')-'''t''' (''s'') / Δ''s''} | = | d'''t''' / d''s'' | = | d²'''r''' / d''s''² | = 1 / R(''s'')

일반적으로 χ를 '''곡률''', χ의 역수 ''R''을 '''곡률 반경'''이라고 한다.

또한, 특히 곡선이 고차일 때, Δ''s'' → 0의 극한에서 두 개의 접선에 의해 결정되는 평면을 점 ''P''에서의 '''접촉 평면'''이라고 한다. 더욱이, '''t'''를 ''s''로 미분하면,

: d'''t''' / d''s'' = d²'''r''' / d''s''² = '''n''' d''θ'' / d''s'' = '''n''' / R

를 얻을 수 있다. 여기서 '''n'''은 주 법선 방향의 단위 벡터이며, 주 법선과 접선은 직교한다. 이는 d'''r'''/d''s''가 단위 벡터이므로,

:( d'''r''' / d''s'' )² = | d'''r''' / d''s'' |² = 1

이 되며, 이를 ''s''에 대해 미분하면,

:d/d''s'' ( d'''r''' / d''s'' )² = d²'''r''' / d''s''² ⋅ d'''r''' / d''s'' + d'''r''' / d''s'' ⋅ d²'''r''' / d''s''² = '''n''' / R ⋅ '''t''' + '''t''' ⋅ '''n''' / R = 0

이 되기 때문이다(벡터끼리의 내적이 0이 되므로, 해당 벡터끼리는 직교한다).

벡터 '''t'''와 '''n'''의 외적,

:'''t''' × '''n''' = '''b'''

로 얻어지는 벡터 '''b'''가 종 법선 방향의 단위 벡터가 된다. 종 법선은 접촉 평면에 대한 법선이 된다.

5. 3. 전개 가능 곡면

전개 가능 곡면은 가우스 곡률이 0인 곡면이다.^[10]

5. 4. 가우스 곡률

카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 가우스 곡률은 주 곡률의 곱과 같다. 길이⁻²의 차원을 가지며, 구에서는 양수, 한 겹 쌍곡면에서는 음수, 평면과 원통에서는 0이다. 표면이 국소적으로 볼록한지(양수인 경우) 또는 국소적으로 안장 모양인지(음수인 경우)를 결정한다.

가우스 곡률은 표면의 "내재적" 속성이며, 이는 표면의 특정 임베딩에 의존하지 않는다는 것을 의미한다. 직관적으로, 이것은 표면에서 사는 개미가 가우스 곡률을 결정할 수 있다는 것을 의미한다. 예를 들어, 구에 사는 개미는 삼각형의 내각의 합을 측정하고 180도보다 크다는 것을 결정하여, 그 개미가 사는 공간이 양의 곡률을 가지고 있음을 암시할 수 있다. 반면에, 원통에 사는 개미는 유클리드 기하학에서 그러한 편차를 감지하지 못할 것이다. 특히 개미는 두 표면이 서로 다른 평균 곡률을 가지고 있다는 것을 감지할 수 없을 것이다(아래 참조). 이는 순전히 외재적 유형의 곡률이다.

형식적으로, 가우스 곡률은 표면의 리만 계량에만 의존한다. 이것은 가우스의 유명한 가우스의 뛰어난 정리이며, 그는 지리적 측량 및 지도 제작에 관심을 갖는 동안 이를 발견했다.

점 P에서의 가우스 곡률의 내재적 정의는 다음과 같다. 짧은 길이 r의 실에 묶인 개미를 상상해 보자. 실이 완전히 늘어난 상태에서 P 주위를 돌아다니며 P 주위를 한 바퀴 도는 길이 C(r)를 측정한다. 표면이 평평하다면 개미는 C(r) = 2πr을 발견할 것이다. 곡면에서는 C(r)에 대한 공식이 달라지며, 점 P에서의 가우스 곡률 K는 베르트랑-디게-프외 정리에 의해 다음과 같이 계산될 수 있다.

:$K\; =\; \backslash lim\_\{r\backslash to\; 0^+\}\; 3\backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\; r-C(r)\}\{\backslash pi\; r^3\}\backslash right).$

전체 표면에 대한 가우스 곡률의 적분은 표면의 오일러 지표와 밀접한 관련이 있다. 가우스-보네 정리를 참조하십시오.

특히 다면체에 유용한 곡률의 이산적 유사체는 한 점에 곡률이 집중되는 것에 해당하며, 이는 (각) 결함이다. 가우스-보네 정리의 유사체는 총 각 결함에 관한 데카르트의 정리이다.

5. 5. 평균 곡률

주곡률의 합의 절반(math|}})으로, 곡률의 ''외적'' 척도이다. 차원은 길이⁻¹이다. 평균 곡률은 표면적의 1차 변분과 밀접한 관련이 있다. 특히 비누 막과 같은 극소 곡면은 평균 곡률이 0이고, 비누 방울은 상수 평균 곡률을 갖는다. 가우스 곡률과 달리 평균 곡률은 외적인 것으로, 임베딩에 따라 달라진다. 예를 들어, 원기둥과 평면은 국소적으로 등거리이지만 평면의 평균 곡률은 0인 반면 원기둥의 평균 곡률은 0이 아니다.

5. 6. 제2 기본 형식

제2 기본 형식은 곡면의 고유 곡률과 외적 곡률을 모두 포함하는 이차 형식이다. 이 형식은 곡면의 한 점에서 접평면에 대한 이차 형식으로, 곡면에 접하는 특정 접벡터 '''X'''에서의 값은 '''X'''에 접하는 곡선의 가속도의 법선 성분이다. 즉, '''X'''에 접하는 곡선에 대한 법선 곡률이다.

기호로는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash operatorname\{I\backslash !I\}(\backslash mathbf\{X\},\backslash mathbf\{X\})\; =\; \backslash mathbf\{N\}\backslash cdot\; (\backslash nabla\_\backslash mathbf\{X\}\; \backslash mathbf\{X\})$

여기서 '''N'''은 곡면에 대한 단위 법선 벡터이다.

단위 접벡터 '''X'''에 대해, 제2 기본 형식은 최대값 $\text{'}\text{'}k\text{'}\text{'}$₁과 최소값 $\text{'}\text{'}k\text{'}\text{'}$₂를 가지며, 이는 각각 주방향 $\text{'}\text{'}\text{'}u\text{'}\text{'}\text{'}$₁ 및 $\text{'}\text{'}\text{'}u\text{'}\text{'}\text{'}$₂에서 발생한다. 따라서 주축 정리에 의해 제2 기본 형식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash operatorname\{I\backslash !I\}(\backslash mathbf\{X\},\backslash mathbf\{X\})\; =\; k\_1\backslash left(\backslash mathbf\{X\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\{u\}\_1\backslash right)^2\; +\; k\_2\backslash left(\backslash mathbf\{X\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\{u\}\_2\backslash right)^2.$

5. 7. 형상 연산자

형상 연산자는 곡면의 곡률을 나타내는 선형 연산자이다. 바인가르텐 방정식은 형상 연산자를 제1 기본 형식과 제2 기본 형식으로 표현한다.

형상 연산자 ''S''는 접선 평면에서 자신으로의 자기 수반 선형 연산자이며, 가우스 맵의 미분으로 구체화된다.

접선 벡터 '''X'''와 법선 '''N'''을 가진 곡면에 대해, 형상 연산자는 색인 합산 표기법으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash partial\_a\; \backslash mathbf\{N\}\; =\; -S\_\{ba\}\; \backslash mathbf\{X\}\_\{b\}\; .$

바인가르텐 방정식은 제1 기본 형식 및 제2 기본 형식의 계수를 사용하여 ''S''의 값을 다음과 같이 제공한다.

:$S=\; \backslash left(EG-F^2\backslash right)^\{-1\}\backslash begin\{pmatrix\}$

eG-fF& fG-gF \\

fE-eF & gE- fF\end{pmatrix}.

주곡률은 형상 연산자의 고유값이고, 주곡률 방향은 그 고유벡터이며, 가우스 곡률은 그 행렬식, 평균 곡률은 그 대각합의 절반이다.

6. 공간의 곡률

이전 논의를 연장하면, 3차원 이상의 공간은 내재적으로 굽을 수 있다. 여기서 곡률은 더 큰 공간에 포함된 속성이 아니라, 공간의 모든 지점에서 정의된 속성이라는 의미에서 '내재적'이다. 일반적으로 굽은 공간은 더 높은 차원의 주위 공간에 놓인 것으로 생각할 수도 있고, 그렇지 않을 수도 있다. 그렇지 않은 경우 곡률은 내재적으로만 정의될 수 있다.

비유클리드 기하학과 밀접하게 관련된 곡률의 내재적 정의가 발견된 후, 많은 수학자와 과학자들은 일반적인 물리적 공간이 굽을 수 있는지에 대해 의문을 제기했다. 당시까지는 유클리드 기하학이 성공적이었기 때문에, 곡률 반경이 천문학적으로 커야 한다는 것을 의미했지만, 일반적인 물리적 공간이 굽을 수 있는지에 대한 의문은 여전했다. 일반 상대성 이론에서는 중력과 물리적 우주론을 설명하며, 이 아이디어가 "시공간의 곡률"로 약간 일반화된다. 상대성 이론에서 시공간은 유사 리만 다양체이다. 시간 좌표가 정의되면, 특정 시간에 해당하는 3차원 공간은 일반적으로 굽은 리만 다양체이다. 그러나 시간 좌표 선택은 대체로 임의적이므로, 물리적으로 중요한 것은 기본 시공간 곡률이다.

임의로 굽은 공간은 설명하기 매우 복잡하지만, 국소적으로 등방성이고 균질인 공간의 곡률은 표면과 같이 단일 가우스 곡률로 설명된다. 수학적으로 이는 강력한 조건이지만, 모든 점과 모든 방향은 구별할 수 없다는 합리적인 물리적 가정에 해당한다. 양의 곡률은 곡률 반경의 역제곱에 해당하며, 예시는 구 또는 초구이다. 음의 곡률 공간의 예는 쌍곡 기하학이다(참고: 비음의 곡률). 곡률이 0인 공간 또는 시공간을 '''평탄'''이라고 한다. 예를 들어, 유클리드 공간은 평탄 공간의 예시이며, 민코프스키 공간은 평탄 시공간의 예시이다. 하지만 두 설정 모두에서 평탄한 기하학의 다른 예시가 있다. 토러스 또는 원기둥은 모두 평탄한 계량을 가질 수 있지만, 위상에서 다르다. 굽은 공간에 대해서도 다른 위상이 가능하다.

7. 일반화

야코비장은 곡률의 운동학적 일반화를 나타낸다. 곡선의 곡률은 곡선을 따라 움직이는 관찰자가 느끼는 힘으로 생각할 수 있는데, 이와 비슷하게 고차원 곡률은 일종의 조석력으로 간주될 수 있다. 이러한 일반화는 근처 시험 입자의 움직임에 따라 달라진다.^[11]

곡률 형식은 홀로노미를 척도로서 곡률을 추상화한다. 구면에서 벡터가 루프를 따라 평행 이동할 때, 최종 위치가 초기 위치와 다를 수 있다. 이러한 현상을 홀로노미라고 하며, 곡률 형식은 이를 추상적으로 포착한다.^[12]

스칼라 곡률과 리치 곡률은 곡률의 또 다른 일반화이다. 곡면에서 원반 면적은 평평한 공간에서 같은 반지름의 원반 면적과 다르다. 이 차이는 스칼라 곡률로 측정되며, 원반 부채꼴 면적의 차이는 리치 곡률로 측정된다. 이는 아인슈타인 방정식에 나타나며, 일반 상대성 이론에서 중요하게 다루어진다.

CAT(k) 공간은 곡률을 비교 정리를 통해 일반화한다. 거리 공간에서 삼각형 개념을 사용하여, 곡면 공간을 상수 곡률 공간과 비교한다.

참조

_[1] 서적 Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions University of Wisconsin Press
_[2] 논문 A Medieval Mystery: Nicole Oresme's Concept of Curvitas
_[3] 논문 Who Gave You the Cauchy–Weierstrass Tale? The Dual History of Rigorous Calculus
_[4] 서적 Elementary Differential Geometry https://books.google[...] Springer 2001
_[5] 인용
_[6] 웹사이트 The Arc Length Parametrization of a Curve https://sites.google[...] 2013-12-10
_[7] 논문 Curvature formulas for implicit curves and surfaces
_[8] 논문 Curvature combs and curvature plots 2016-11
_[9] 웹사이트 the article on curvature https://mathworld.wo[...]
_[10] 웹사이트 developable surface https://mathworld.wo[...] 2021-02-11
_[11] 서적 Foundations of Differential Geometry Interscience
_[12] 서적 Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History Pearson Prentice Hall
_[13] Kotobank 2022-02-10
_[14] 서적 曲線と曲面の微分幾何 裳華房 1977年8月20日