베셀 함수

3. 베셀 함수의 종류

베셀 방정식의 해는 일반적으로 두 가지 종류로 나뉜다.

제2종 베셀 함수와 제2종 구면 베셀 함수는 때때로 및 대신 각각 및 으로 표시되기도 한다.^[2][17]

3. 1. 제1종 베셀 함수 (J_α)

3. 1. 1. 제1종 베셀 함수의 성질

• $J\_\{-\backslash alpha\}\; (x)\; =\; (-1)^\backslash alpha\; J\_\backslash alpha\; (x)$ (α가 정수일 때만 정의됨)
• $J\_\{-1/2\}\; (x)\; =\; \backslash sqrt\; \backslash cos\; x$
• $J\_\{1/2\}\; (x)\; =\; \backslash sqrt\; \backslash sin\; x$
• $\{d\; \backslash over\; dx\; \}\; \backslash left(\; x^\backslash alpha\; J\_\backslash alpha\; (x)\; \backslash right)\; =\; x^\backslash alpha\; J\_\{\backslash alpha-1\}\; (x)$
• $\backslash int\_0\; ^x\; x\text{'}\; J\_0\; (x\text{'})\; dx\text{'}\; =\; x\; J\_1(x)$
• $\backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}\; ^\backslash infty\; J\_k\; (x)\; =\; 1$

3. 2. 제2종 베셀 함수 (Y_α)

3. 3. 변형 베셀 함수 (I_α, K_α)

3. 3. 1. 제1종 변형 베셀 함수 (I_α)

3. 3. 2. 제2종 변형 베셀 함수 (K_α)

• 배셋 함수 (Basset function)
• 맥도날드 함수 (Macdonald function)
• 제3종 변형 베셀 함수
• 변형 행켈 함수^[30]

3. 4. 한켈 함수 (H⁽¹⁾_α, H⁽²⁾_α)

3. 5. 구면 베셀 함수 (j_n, y_n)

구면 베셀 함수는 구면 좌표계에서 헬름홀츠 방정식을 변수분리하여 풀 때 나타나는 방사형 방정식의 해이다. 이 방정식은 다음과 같다.^[31]

$$x^2\; \backslash frac\{d^2\; y\}\{dx^2\}\; +\; 2x\; \backslash frac\{d\; y\}\{dx\}\; +\backslash left(x^2\; -\; n(n\; +\; 1)\backslash right)\; y\; =\; 0.$$

이 방정식의 두 선형 독립 해는 '''구면 베셀 함수''' $j\_n$ 및 $y\_n$이며, 일반 베셀 함수 $J\_n$ 및 $Y\_n$과 다음과 같은 관계를 갖는다.

$$\backslash begin\{align\}$$

j_n(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+\frac{1}{2}}(x), \\

y_n(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+\frac{1}{2}}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-\frac{1}{2}}(x).

\end{align}

$y\_n$은 $n\_n$ 또는 $\backslash eta\_n$으로도 표기되며, 일부 저자는 이 함수를 '''구면 노이만 함수'''라고 부른다.

일반 베셀 함수와의 관계로부터 다음을 알 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

j_n(x) &= (-1)^{n} y_{-n-1} (x)

\\

y_n(x) &= (-1)^{n+1} j_{-n-1}(x)

\end{align}

구면 베셀 함수는 레일리 공식으로도 쓸 수 있다.^[32]

$$\backslash begin\{align\}$$

j_n(x) &= (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\sin x}{x}, \\

y_n(x) &= -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\cos x}{x}.

\end{align}

0차 구면 베셀 함수 $j\_0(x)$는 싱크 함수(비정규화)이다. 몇 가지 구면 베셀 함수는 다음과 같다.^[33][34]

$$\backslash begin\{align\}$$

j_0(x) &= \frac{\sin x}{x}. \\

j_1(x) &= \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}, \\

j_2(x) &= \left(\frac{3}{x^2} - 1\right) \frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x}{x^2}, \\

j_3(x) &= \left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x}\right) \frac{\sin x}{x} - \left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos x}{x}

\end{align}

$$\backslash begin\{align\}$$

y_0(x) &= -j_{-1}(x) = -\frac{\cos x}{x}, \\

y_1(x) &= j_{-2}(x) = -\frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}, \\

y_2(x) &= -j_{-3}(x) = \left(-\frac{3}{x^2} + 1\right) \frac{\cos x}{x} - \frac{3\sin x}{x^2}, \\

y_3(x) &= j_{-4}(x) = \left(-\frac{15}{x^3} + \frac{6}{x}\right) \frac{\cos x}{x} - \left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\sin x}{x}.

\end{align}

처음 몇 개 구면 베셀 함수의 0이 아닌 근은 다음과 같다.

구면 베셀 함수(1종)의 0이 아닌 근

차수	근 1	근 2	근 3	근 4	근 5
$j\_\{0\}$	3.141593	6.283185	9.424778	12.566371	15.707963
$j\_\{1\}$	4.493409	7.725252	10.904122	14.066194	17.220755
$j\_\{2\}$	5.763459	9.095011	12.322941	15.514603	18.689036
$j\_\{3\}$	6.987932	10.417119	13.698023	16.923621	20.121806
$j\_\{4\}$	8.182561	11.704907	15.039665	18.301256	21.525418

구면 베셀 함수(2종)의 0이 아닌 근

차수	근 1	근 2	근 3	근 4	근 5
$y\_\{0\}$	1.570796	4.712389	7.853982	10.995574	14.137167
$y\_\{1\}$	2.798386	6.121250	9.317866	12.486454	15.644128
$y\_\{2\}$	3.959528	7.451610	10.715647	13.921686	17.103359
$y\_\{3\}$	5.088498	8.733710	12.067544	15.315390	18.525210
$y\_\{4\}$	6.197831	9.982466	13.385287	16.676625	19.916796

정수 베셀 함수 $J\_n(x)$, $Y\_n(x)$와 달리, 구면 베셀 함수 $j\_n(x)$, $y\_n(x)$는 유한 급수 표현을 갖는다.^[36]

$$\backslash begin\{alignat\}\{2\}$$

j_n(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{n+\frac{1}{2}}(x) = \\

&= \frac{1}{2x} \left[ e^{ix} \sum_{r=0}^n \frac{i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^r} + e^{-ix} \sum_{r=0}^n \frac{(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^r} \right] \\

&= \frac{1}{x} \left[ \sin\left(x-\frac{n\pi}{2}\right) \sum_{r=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \frac{(-1)^r (n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}} + \cos\left(x-\frac{n\pi}{2}\right) \sum_{r=0}^{\left[ \frac{n-1}{2} \right]} \frac{(-1)^r (n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}} \right] \\

y_n(x) &= (-1)^{n+1} j_{-n-1}(x) = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2x}J_{-\left(n+\frac{1}{2}\right)}(x) = \\

&= \frac{(-1)^{n+1}}{2x} \left[ e^{ix} \sum_{r=0}^n \frac{i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^r} + e^{-ix} \sum_{r=0}^n \frac{(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^r} \right] = \\

&= \frac{(-1)^{n+1}}{x} \left[ \cos\left(x-\frac{n\pi}{2}\right) \sum_{r=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \frac{(-1)^r (n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}} + \sin\left(x-\frac{n\pi}{2}\right) \sum_{r=0}^{\left[ \frac{n-1}{2} \right]} \frac{(-1)^r (n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}} \right]

\end{alignat}

3. 5. 1. 구면 베셀 함수의 생성 함수

구면 베셀 함수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다.^[35]

$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{1}{z} \cos \left(\sqrt{z^2 - 2zt}\right) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} j_{n-1}(z), \\

\frac{1}{z} \sin \left(\sqrt{z^2 - 2zt}\right) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} y_{n-1}(z).

\end{align}

3. 6. 리카티-베셀 함수 (S_n, C_n, ξ_n, ζ_n)

리카티-베셀 함수는 구면 베셀 함수와 약간의 차이만 보인다.

$$\backslash begin\{align\}$$

S_n(x) &= x j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2}} J_{n+\frac{1}{2}}(x) \\

C_n(x) &= -x y_n(x) = -\sqrt{\frac{\pi x}{2}} Y_{n+\frac{1}{2}}(x) \\

\xi_n(x) &= x h_n^{(1)}(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2}} H_{n+\frac{1}{2}}^{(1)}(x) = S_n(x) - iC_n(x) \\

\zeta_n(x) &= x h_n^{(2)}(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2}} H_{n+\frac{1}{2}}^{(2)}(x) = S_n(x) + iC_n(x)

\end{align}

이 함수들은 다음과 같은 미분 방정식을 만족한다.

$$x^2\; \backslash frac\{d^2\; y\}\{dx^2\}\; +\; \backslash left\; (x^2\; -\; n(n\; +\; 1)\backslash right)\; y\; =\; 0.$$

예를 들어, 이러한 종류의 미분 방정식은 가상적인 원통형 무한 포텐셜 장벽을 가진 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식의 반경 방향 성분을 풀 때 나타난다.^[38] 이 미분 방정식과 리카티-베셀 해는 또한 미(Mie, 1908)에 의해 처음 발표된 해로 알려진, 구에 의한 전자기파 산란 문제인 미 산란에서도 발생한다. 최근 개발과 참고 문헌에 대해서는 예를 들어 Du (2004)^[39]를 참조하라.

데바이(1909)에 따라, S_n, C_n 대신 ψ_n, χ_n 표기가 사용되기도 한다.

4. 베셀 함수의 성질

베셀 함수는 다음과 같은 다양한 성질을 갖는다.

정수 차수 n의 경우, J_n은 생성 함수에 대한 로랑 급수를 통해 정의되기도 한다.

:$$e^\{\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\backslash left(t-\backslash frac\{1\}\{t\}\backslash right)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_n(x)\; t^n$$

이는 1843년 P. A. Hansen이 사용한 방법이다.

$\backslash sum\_\{\backslash nu=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_\{N\backslash nu\; +\; p\}(x)$ 형식의 베셀 함수의 무한 급수는 많은 물리 시스템에서 나타나며 Sung 급수로 닫힌 형식으로 정의된다.^[45] 예를 들어 N=3 일때,

$\backslash sum\_\{\backslash nu=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_\{3\backslash nu+p\}(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left[1+2\backslash cos\{(x\backslash sqrt\{3\}/2-2\backslash pi\; p/3)\}\backslash right]$ 이다.

베셀 함수를 사용한 급수 전개 (Kapteyn 급수)는 다음과 같다.

:$$

\frac{1}{1-z} = 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{n}(nz).



정수 차수에 대한 중요한 관계는 야코비-앙거 전개이다.

:$$e^\{iz\; \backslash cos\; \backslash phi\}\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; i^n\; J\_n(z)\; e^\{in\backslash phi\}$$

:$$e^\{\backslash pm\; iz\; \backslash sin\; \backslash phi\}\; =\; J\_0(z)+2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; J\_\{2n\}(z)\; \backslash cos(2n\backslash phi)\; \backslash pm\; 2i\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; J\_\{2n+1\}(z)\backslash sin((2n+1)\backslash phi)$$

이는 평면파를 원통형파의 합으로 전개하거나, 톤 변조된 FM 신호의 푸리에 급수를 찾는데 사용된다.

일반적으로, 급수

:$$f(z)=a\_0^\backslash nu\; J\_\backslash nu\; (z)+\; 2\; \backslash cdot\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; a\_k^\backslash nu\; J\_\{\backslash nu+k\}(z)$$

는 f의 Neumann 전개라고 불린다.

선택된 함수는 특별한 표현을 허용한다.

:$$f(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k^\backslash nu\; J\_\{\backslash nu+2k\}(z)$$

이때

:$$a\_k^\backslash nu=2(\backslash nu+2k)\; \backslash int\_0^\backslash infty\; f(z)\; \backslash frac\{J\_\{\backslash nu+2k\}(z)\}z\; \backslash ,dz$$

직교 관계 때문이다.

:$$\backslash int\_0^\backslash infty\; J\_\backslash alpha(z)\; J\_\backslash beta(z)\; \backslash frac\; \{dz\}\; z=\; \backslash frac\; 2\; \backslash pi\; \backslash frac\{\backslash sin\backslash left(\backslash frac\; \backslash pi\; 2\; (\backslash alpha-\backslash beta)\; \backslash right)\}\{\backslash alpha^2\; -\backslash beta^2\}$$

베셀 함수를 정의하는 또 다른 방법은 푸아송 표현 공식과 Mehler-Sonine 공식이다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

J_\nu(z) &= \frac{\left(\frac{z}{2}\right)^\nu}{\Gamma\left(\nu +\frac{1}{2}\right)\sqrt{\pi}} \int_{-1}^1 e^{izs}\left(1-s^2\right)^{\nu-\frac{1}{2}} \,ds \\[5px]

&=\frac 2 \,du

\end{align}

여기서 ν > -1/2 이고 z ∈ C 이다.^[48] 이 공식은 특히 푸리에 변환을 다룰 때 유용하다.

베셀 방정식이 x로 나누면 에르미트 (자기 수반)가 되기 때문에, 해는 적절한 경계 조건에 대해 직교 관계를 만족해야 한다. 특히, 다음과 같다.

:$$\backslash int\_0^1\; x\; J\_\backslash alpha\backslash left(x\; u\_\{\backslash alpha,m\}\backslash right)\; J\_\backslash alpha\backslash left(x\; u\_\{\backslash alpha,n\}\backslash right)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{\backslash delta\_\{m,n\}\}\{2\}\; \backslash left[J\_\{\backslash alpha+1\}\; \backslash left(u\_\{\backslash alpha,m\}\backslash right)\backslash right]^2\; =\; \backslash frac\{\backslash delta\_\{m,n\}\}\{2\}\; \backslash left[J\_\{\backslash alpha\}\text{'}\backslash left(u\_\{\backslash alpha,m\}\backslash right)\backslash right]^2$$

여기서 α > -1, δ_m,n은 크로네커 델타이며, u_α,m은 J_α(x)의 m번째 영점 이다.

만약 작은 매개변수 ε에 의존하는 x의 박스카 함수를 다음과 같이 정의하면,

:$$f\_\backslash varepsilon(x)=\backslash frac\; 1\backslash varepsilon\; \backslash operatorname\{rect\}\backslash left(\backslash frac\{x-1\}\backslash varepsilon\backslash right)$$

(여기서 rect는 사각형 함수)의 한켈 변환(어떤 주어진 차수 α > -1/2), g_ε(k)는 어떤 주어진 k에 대해 ε가 0에 가까워질 때 J_α(k)에 접근한다.

:$$\backslash int\_0^\backslash infty\; k\; J\_\backslash alpha(kx)\; g\_\backslash varepsilon(k)\; \backslash ,dk\; =\; f\_\backslash varepsilon(x)$$

이는 1 근처를 제외하고는 모든 곳에서 0이다. ε가 0에 가까워지면, 우변은 δ가 디랙 델타 함수인 δ(x - 1)에 접근한다. 이는 (분포의 의미에서) 다음과 같은 극한을 허용한다.

:$$\backslash int\_0^\backslash infty\; k\; J\_\backslash alpha(kx)\; J\_\backslash alpha(k)\; \backslash ,dk\; =\; \backslash delta(x-1)$$

그런 다음 변수의 변경은 ''폐쇄 방정식''을 생성한다.^[49]

:$$\backslash int\_0^\backslash infty\; x\; J\_\backslash alpha(ux)\; J\_\backslash alpha(vx)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{u\}\; \backslash delta(u\; -\; v)$$

(α > -1/2에 대해).

베셀 방정식의 또 다른 중요한 속성은 아벨의 항등식에서 파생되며, 해의 론스키 행렬식과 관련이 있다.

:$$A\_\backslash alpha(x)\; \backslash frac\{dB\_\backslash alpha\}\{dx\}\; -\; \backslash frac\{dA\_\backslash alpha\}\{dx\}\; B\_\backslash alpha(x)\; =\; \backslash frac\{C\_\backslash alpha\}\{x\}$$

여기서 A_α와 B_α는 베셀 방정식의 두 해이며, C_α는 x에 독립적인 상수이다.

두 베셀 함수의 곱은 다음 합을 허용한다.

:$$\backslash sum\_\{\backslash nu=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_\backslash nu(x)\; J\_\{n\; -\; \backslash nu\}(y)\; =\; J\_\{n\}(x\; +\; y),$$

:$$\backslash sum\_\{\backslash nu=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_\backslash nu(x)\; J\_\{\backslash nu\; +\; n\}(y)\; =\; J\_\{n\}(y\; -\; x).$$

베셀 함수는 다음의 곱셈 정리를 따른다.

:$$\backslash lambda^\{-\backslash nu\}\; J\_\backslash nu(\backslash lambda\; z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash left(1\; -\; \backslash lambda^2\backslash right)z\}\{2\}\backslash right)^n\; J\_\{\backslash nu+n\}(z),$$

여기서 λ와 ν는 임의의 복소수로 간주할 수 있다.^[54][55]

4. 1. 점화식

4. 2. 적분 표현

4. 3. 생성 함수

4. 4. 점근 전개

4. 5. 직교성

4. 6. 영점

5. 베셀 함수의 응용

라플라스 방정식과 헬름홀츠 방정식의 분리 가능한 해를 원통 좌표계 또는 구면 좌표계에서 찾을 때 베셀 방정식이 나타난다. 따라서 베셀 함수는 파동 전파 및 정적 전위 문제 등 다양한 분야에 응용된다. 원통 좌표계에서는 정수 차수 베셀 함수를, 구면 좌표계에서는 반정수 차수 베셀 함수를 얻는다.

베셀 함수는 신호 처리 (예: 주파수 변조 합성, 카이저 윈도우, 베셀 필터) 등에도 활용된다.^[1]

5. 1. 물리학

베셀 함수는 신호 처리(예: 주파수 변조 합성, 카이저 윈도우, 베셀 필터)와 같은 다른 문제에도 활용된다.^[1]

5. 1. 1. 전자기파

5. 1. 2. 열전도

5. 1. 3. 진동

5. 1. 4. 양자역학

5. 2. 신호 처리

5. 3. 기타 응용

• 원통형 도파관 내 전자기파
• 비점성 유동 회전 흐름의 압력 진폭
• 원통형 물체의 열전도
• 얇은 원형 또는 환형 음향 막(예: 드럼 헤드 또는 다른 막명악기)의 진동 모드
• 격자에서의 확산 문제
• 자유 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 반경 방향 해 (구면 및 원통 좌표)
• 양자장론에서 페르미 전파자의 위치 공간 표현
• 음향 방사 패턴 해결
• 원형 파이프라인의 주파수 의존 마찰
• 부유체의 역학
• 각도 분해능
• DNA를 포함한 나선형 물체로부터의 회절
• 두 개의 정규 분포된 확률 변수의 곱의 확률 밀도 함수^[1]
• 지구물리학 및 지진학에서 미소 진동에 의해 생성된 표면파 분석

6. 역사

다니엘 베르누이가 최초로 정의하였고, 프리드리히 베셀이 연구하고 일반화하였다.^[66]

참조

_[1] 논문 Why and when to expect Gaussian error distributions in epoch of reionization 21-cm power spectrum measurements 2023-06
_[2] 웹사이트 Spherical Bessel Function of the Second Kind
_[3] 문서 p. 360, 9.1.10 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[4] 서적 A Course of Modern Analysis Cambridge University Press 1927
_[5] 문서 p. 358, 9.1.5 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[6] 서적 Special Functions: An introduction to the classical functions of mathematical physics Wiley
_[7] 웹사이트 Hansen-Bessel Formula
_[8] 문서 The relevant integral is an unnumbered equation between equations 28 and 29. Note that Bessel's $I^h\_k$ would today be written $J\_h(k)$. Bessel, F. 1824
_[9] 문서 p. 176 https://books.google[...] Watson
_[10] 웹사이트 Properties of Hankel and Bessel Functions http://www.math.ohio[...] 2010-10-18
_[11] 웹사이트 Integral representations of the Bessel function https://www.nbi.dk/~[...] 2018-03-25
_[12] 문서 exercise 11.1.17 Arfken & Weber
_[13] 문서 p. 362, 9.1.69 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[14] 서적 Orthogonal Polynomials AMS 1975
_[15] 웹사이트 Bessel Functions of the First and Second Kind http://www.mhtlab.uw[...] 2022-05-24
_[16] 웹사이트 NIST Digital Library of Mathematical Functions https://dlmf.nist.go[...] 2016-10-25
_[17] 웹사이트 Bessel Function of the Second Kind
_[18] 문서 p. 178 https://books.google[...] Watson
_[19] 문서 p. 358, 9.1.3, 9.1.4 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[20] 문서 p. 358, 9.1.6 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[21] 문서 p. 360, 9.1.25 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[22] 문서 p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[23] 논문 A direct proof of Nicholson's integral 1930
_[24] 문서 p. 375, 9.6.3, 9.6.5 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[25] 문서 p. 374, 9.6.1 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[26] 서적 Quantum Electrodynamics Springer 2009
_[27] 문서 p. 181 https://books.google[...] Watson
_[28] 웹사이트 Modified Bessel Functions §10.32 Integral Representations http://dlmf.nist.gov[...] NIST 2024-11-20
_[29] 논문 Cascade Processes of Energy Loss by Emission of Hard Photons 2004
_[30] 논문 The Mixture of Normal Distributions with Different Variances https://dml.cz/bitst[...] 1957
_[31] 문서 p. 437, 10.1.1 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[32] 문서 p. 439, 10.1.25, 10.1.26 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[33] 문서 p. 438, 10.1.11 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[34] 문서 p. 438, 10.1.12 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[35] 문서 p. 439, 10.1.39 https://personal.mat[...] Abramowitz and Stegun
_[36] 논문 Algorithms for computing Bessel functions of half-integer order with complex arguments https://www.scienced[...]
_[37] 서적 https://personal.mat[...]
_[38] 서적 Introduction to Quantum Mechanics
_[39] 학술지 Mie-scattering calculation 2004
_[40] 서적 https://personal.mat[...]
_[41] 간행물 Digital Library of Mathematical Functions https://dlmf.nist.go[...] NIST
_[42] 서적 https://personal.mat[...]
_[43] 서적 https://personal.mat[...]
_[44] 논문 Fröhlich and Spencer 1981 Appendix B https://projecteucli[...]
_[45] arXiv On Infinite Series of Bessel functions of the First Kind
_[46] 서적 https://personal.mat[...]
_[47] 서적 A Treatise on the Theory of Bessel Functions https://books.google[...] Cambridge University Press 2018-03-25
_[48] 서적 Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, Inc. 2015
_[49] 문서
_[50] 서적 https://personal.mat[...]
_[51] 서적 https://personal.mat[...]
_[52] 서적 On Some Applications of Diophantine Approximations: a translation of Carl Ludwig Siegel's Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen by Clemens Fuchs, with a commentary and the article Integral points on curves: Siegel's theorem after Siegel's proof by Clemens Fuchs and Umberto Zannier Scuola Normale Superiore 2014
_[53] 학술지 Review: Carl Ludwig Siegel, Transcendental numbers https://projecteucli[...] 1950-11
_[54] 서적 https://personal.mat[...]
_[55] 학술지 On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions 1950
_[56] 문서 1824
_[57] 문서
_[58] 학술지 Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions 1995
_[59] 서적
_[60] 웹사이트 Bessel function https://www.britanni[...] Britannica 2021-03-20
_[61] 문서 岩波数学公式
_[62] 문서 岩波数学公式
_[63] 문서 岩波数学公式
_[64] 문서 岩波数学公式
_[65] 문서 岩波数学公式
_[66] 저널