상대론적 양자역학

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 방정식
- 3.1. 클라인-고든 방정식
- 3.2. 디랙 방정식
4. 공간과 시간
5. 해밀토니언
6. 스핀 및 전자기적 상호작용
- 6.1. 나선도와 카이랄성
- 6.2. 더 큰 스핀
7. 속도 연산자
8. 상대론적 양자 각운동량
9. 토마스 세차와 스핀-궤도 상호작용
10. 반입자
11. 양자장론과의 관계
12. 같이 보기
참조

1. 개요

상대론적 양자역학은 특수 상대성 이론과 양자역학을 통합하려는 시도로, 1890년대부터 1950년대까지의 실험과 이론 연구를 통해 발전했다. 이 분야는 클라인-고든 방정식, 디랙 방정식과 같은 주요 방정식을 통해 스핀, 반입자, 전자기적 상호작용 등을 설명하며, 슈뢰딩거 묘사, 하이젠베르크 묘사를 포함한 다양한 접근 방식을 사용한다. 상대론적 양자역학은 밀도와 흐름, 스핀, 전자기적 상호작용, 나선도, 카이랄성과 같은 개념을 다루며, 속도 연산자, 각운동량, 토마스 세차, 스핀-궤도 상호작용에 대한 이해를 제공한다. 또한, 양자장론과의 관계를 통해 다입자계를 설명하며, 양자전기역학, 양자색역학, 약전자기 이론 등 표준 모형의 기반이 되는 이론들을 포함한다.

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상대론적 양자역학
개요
슈뢰딩거 방정식
관련 주제	양자역학
일반 정보
유형	물리학
하위 분야	양자장론, 양자화학, 입자물리학
설명	상대론적 효과를 고려한 양자역학
공식	디랙 방정식 클라인-고든 방정식
주요 개념
파동 함수	입자의 상태를 나타내는 수학적 함수
스핀	입자의 고유한 각운동량
반입자	입자와 질량은 같지만 전하가 반대인 입자
인과율	원인과 결과의 관계가 상대론적으로 보존되어야 함
역사 및 발전
초기 개발	1920년대, 폴 디랙, 볼프강 파울리, 오스카르 클라인, 발터 고든 등에 의해 개발
주요 목표	양자역학과 특수 상대성 이론의 결합
주요 방정식	디랙 방정식: 스핀-½ 입자를 기술 클라인-고든 방정식: 스핀-0 입자를 기술
수학적 공식화
로렌츠 군	로렌츠 변환을 포함하는 시공간의 변환 군
푸앵카레 군	시공간의 아이소메트리 군 (로렌츠 변환과 평행 이동을 포함)
표현론	물리학적 상태 공간을 기술하는 데 사용되는 수학적 표현
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확률 해석	상대론적 효과로 인해 파동 함수의 확률 해석이 어려워짐
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관련 이론
양자장론	입자의 생성과 소멸을 다루는 이론, 상대론적 양자역학의 확장
양자 전기역학	빛과 물질의 상호 작용을 다루는 양자장론의 특정 사례
표준 모형	기본 입자와 힘을 설명하는 이론, 상대론적 양자역학을 기반으로 함
응용 분야
원자 물리학	원자의 구조와 성질 연구
응집 물질 물리학	고체와 액체의 성질 연구
입자물리학	기본 입자와 힘 연구
양자화학	화학적 현상을 양자역학적으로 연구
추가 정보
주요 학자	폴 디랙 볼프강 파울리 오스카르 클라인 발터 고든 리처드 파인만 줄리언 슈윙거 도모나가 신이치로
참고 문헌	Perkins, D.H. (2000). Introduction to High Energy Physics. Cambridge University Press. Martin, B.R.; Shaw, G. (2008). Particle Physics (3rd ed.). John Wiley & Sons. Reiher, M.; Wolf, A. (2009). Relativistic Quantum Chemistry. John Wiley & Sons. Strange, P. (1998). Relativistic Quantum Mechanics: With Applications in Condensed Matter and Atomic Physics. Cambridge University Press. Mohn, P. (2003). Magnetism in the Solid State: An Introduction. Springer. Messiah, A. (1981). Quantum Mechanics. North-Holland Publishing Company. Schweber, Silvan S. (1994). QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton University Press. Bhaumik, Mani L. (2022). How Dirac's Seminal Contributions Pave the Way for Comprehending Nature's Deeper Designs. Quanta.

2. 역사

1920년대 초, 볼프강 파울리, 랄프 크로니그, 조지 우렌벡, 사무엘 고우드스미트는 최초로 스핀 개념을 제안했다.^[10] 특수 상대성 이론과 양자역학을 결합하려는 시도가 시작되었다. 1925년에는 클라인과 고든이 스핀이 0인 입자를 기술하는 방정식을 제안하였다.^[68] 1928년에는 폴 디랙이 스핀이 1/2인 입자를 기술하는 디랙 방정식을 제안하여, 반입자의 존재를 예측했다.

연도	사건	내용
1897년	전자 발견	J. J. 톰슨이 전자를 발견하고 전하-질량 비를 측정. 제만 효과 발견: 정자기장 내에서 스펙트럼 선이 여러 성분으로 갈라짐.
1905년	광전 효과 설명	알베르트 아인슈타인이 광전 효과를 설명하며 빛을 광자로 기술하는 입자적 관점 제시.
1908년	기름방울 실험	로버트 밀리컨이 전자의 전하를 측정하고 양자화에 대한 실험적 증거 발견.
1911년	원자핵 발견	어니스트 러더퍼드의 가이거-마스든 실험에서 알파 입자 산란을 통해 원자 내부 구조(원자핵) 발견.^[52]
1913년	슈타르크 효과 발견	정적 전기장으로 인한 스펙트럼 선의 갈라짐(제만 효과와 비교).
1916년	미세 구조 설명	아놀드 조머펠트가 1차 상대론적 보정에 의한 원자의 스펙트럼 선 분리인 미세 구조 설명.
1922년	슈테른-게를라흐 실험	스핀과 그 양자화에 대한 실험적 증거.
1923년	콤프턴 산란	콤프턴 효과가 특수 상대성이론 적용의 추가 증거 제공 (광자-전자 산란의 입자적 기술).
1924년	에너지 준위 연구	에드먼드 클리프턴 스토너가 자기장에서 에너지 준위의 갈라짐 연구.
1927년	전자의 회절 실험	클린턴 조지프 데이비슨, 레스터 저머, 조지 패짓 톰슨이 전자를 회절시켜 파동-입자 이중성에 대한 실험적 증거 제공. 폴 디랙이 양자전기역학(QED) 분야 확립.^[61]
1932년	중성자, 양전자 발견	제임스 채드윅이 중성자를, 칼 데이비드 앤더슨이 양전자를 실험적으로 발견하여 양전자 이론 예측 확인.
1943년	재규격화 연구	도모나가 신이치로가 양자전기역학에 영향을 미친 재규격화 연구 시작.
1947년	전자의 이상 자기 모멘트	줄리언 슈윙거가 전자의 이상 자기 모멘트 계산. 쿠슈 폴리카프는 전자의 이상 자기 모멘트를 측정하여 양자전기역학의 중요 예측 확인.
1958년	뫼스바우어 효과 발견	고체에 결합된 원자핵에 의한 공명적이고 반동 없는 감마선 방출 및 흡수는 중력 적색편이와 시간 지연의 정확한 측정과 초미세 상호작용에서 핵 전자기 모멘트 분석에 유용.^[53]

1932년 칼 데이비드 앤더슨이 양전자를 발견하여 디랙의 예측을 실험적으로 확인했다.^[52] 1930년대 이후, 위그너 등이 상대론적 양자역학을 자유 입자의 분류에 응용하였다. 1940년대 후반, 도모나가 신이치로, 줄리언 슈윙거, 리처드 파인만 등이 양자전기역학을 발전시켜 상대론적 양자역학의 정확성을 입증했다.

3. 주요 방정식

상대론적 양자역학에서 사용되는 주요 방정식에는 클라인-고든 방정식과 디랙 방정식이 있다.

클라인-고든 방정식은 에너지-운동량 관계에 에너지 및 운동량 연산자를 직접 대입하여 얻을 수 있다.^[77]

: $\hat{E}^2 \psi = c^2\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}\psi + (mc^2)^2\psi \,,$

1925년 슈뢰딩거가 자신의 이름을 딴 비상대론적 방정식을 발견하기 전, 그리고 1927년 클라인과 고든이 전자기 상호작용을 포함시켜 발견했다. 이 방정식은 상대론적으로 불변이지만, 스핀 없는 입자에만 적용 가능하다는 점과 음의 에너지 해를 가진다는 점 때문에 충분한 기초가 되지 못한다.^[78]^[79]

이 방정식은 다음과 같은 형식으로 인수 분해될 수 있다.^[80]^[81]

: $\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\left(\hat{E} + c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2 \right)\psi=0 \,,$

여기서 $\boldsymbol \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 및 $\beta$ 는 4 × 4 에르미트 행렬이며, 다음 관계를 만족한다.

: $\alpha_i \beta = - \beta \alpha_i, \quad \alpha_i\alpha_j = - \alpha_j\alpha_i \,$

: $\alpha_i^2 = \beta^2 = I$

이때, 첫 번째 인수

: $\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\psi=0 \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2$

는 디랙 방정식이다. 다른 인수도 디랙 방정식이지만 음의 질량을 가진 입자에 대한 것이다.^[80]

1928년에 폴 디랙은 스핀 1/2 입자에 대한 상대론적 양자역학 방정식인 디랙 방정식을 제안했다.

비상대론적 양자역학에서 파동함수 $\psi$ 의 절대값 제곱 $\rho=|\psi|^2$ 은 확률 밀도 함수이다. 상대론적 양자역학에서 $\psi(\mathbf r,t)$ 는 파동 함수이지만 확률 해석은 비상대론적 양자역학과 동일하지 않다. 디랙 방정식은 다음 관계를 갖는다:^[83]

: $\rho=\psi^\dagger \psi, \quad \mathbf{j} = \psi^\dagger \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \psi \quad \rightleftharpoons \quad J^\mu = \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu \psi$

여기서 단검 기호는 에르미트 수반을 나타낸다. 반면 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.^[84]

: $\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right)\, ,\quad \mathbf{j} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*\right) \quad \rightleftharpoons \quad J^\mu = \frac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*)$

3. 1. 클라인-고든 방정식

클라인-고든 방정식은 스핀이 0인 입자의 상대론적 운동을 기술하는 방정식이다. 1925년 에르빈 슈뢰딩거가 자신의 이름을 딴 비상대론적 방정식을 발견하기 전에 고안되었으며, 1927년 클라인과 고든이 전자기 상호작용을 포함시켜 재발견했다.^[77] 이 방정식은 로렌츠 변환에 대해 불변이며, 특수 상대성 이론의 요구를 만족한다.^[78] 달랑베르시안을 이용하여 시공간을 동등하게 다룬다는 것이 명확해진다.

로렌츠 불변인 상대성이론의 분산 관계

E^2 = m^2c^4+\vec{p}^{\ 2}c^2

를 양자화하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.

:

-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi(t,\mathbf{x}) = \left(-\hbar^2 c^2 \nabla^2 + m^2 c^4\right)\psi(t,\mathbf{x})

이때

E=i\hbar\partial_t

,

\vec{p}=-i\hbar\vec{\nabla}

와 양자화되어 있다.

클라인-고든 방정식은 다음과 같이 에너지-운동량 관계에 에너지 및 운동량 연산자를 직접 대입하여 유도할 수 있다.^[77]

:

\hat{E}^2 \psi = c^2\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}\psi + (mc^2)^2\psi \,,

클라인-고든 방정식은 상대론적 양자역학의 기초 방정식이며, 스핀 개념이 포함되지 않아 스핀이 0인 입자를 기술한다.

하지만, 이 방정식만으로는 상대론적 양자역학을 설명하기에 충분하지 않다.^[78]^[79] 그 이유는 다음과 같다.

스핀이 없는 입자에만 적용 가능하다.
음의 에너지 해를 가진다.^[2]^[22]

이러한 문제를 해결하기 위해 디랙 방정식을 사용한다.

클라인 고든 방정식은 다음과 같이 인수분해 될 수 있다.^[80]^[81]

:

\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\left(\hat{E} + c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2 \right)\psi=0 \,,

여기서

\boldsymbol \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)

및

\beta

는 4 × 4 에르미트 행렬이며, 다음 조건을 만족한다.

:

\alpha_i \beta = - \beta \alpha_i, \quad \alpha_i\alpha_j = - \alpha_j\alpha_i \,

:

\alpha_i^2 = \beta^2 = I

첫 번째 인수

:

\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\psi=0 \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2

는 디랙 방정식이며, 다른 인수는 음의 질량을 가진 입자에 대한 디랙 방정식이다.^[80]

클라인-고든 방정식은 외부 전자기 퍼텐셜에서 스핀 없는 하전 보손에 적용할 수 있다.^[78] 하지만, 전자는 스핀 1/2을 가지므로 원자 설명에는 적용할 수 없다. 비상대론적 극한에서는 전자기장에서 스핀 없는 하전 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식으로 축소된다.^[75]

:

\left ( i\hbar \frac{\partial}{\partial t}- q\phi\right) \psi = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 \psi \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 + q\phi.

3. 2. 디랙 방정식

1928년 폴 디랙(Paul Dirac)이 스핀 1/2 입자(전자 등)의 상대론적 운동을 기술하는 디랙 방정식을 제안했다.^[26] 이 방정식은 클라인-고든 방정식을 만족하며, 다음과 같이 표현된다.

:

\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} -q\phi \right)\psi = \gamma^0 \left[ c\boldsymbol{\gamma}\cdot{(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A})} - mc^2 \right] \psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma^\mu (\hat{P}_\mu - q A_\mu) - mc^2 \right]\psi = 0

여기서

\psi

는 4성분 스피너 장이며, 2개의 2성분 스피너로 분할된다.^[30]

:

\psi=\begin{pmatrix}\psi_{+} \\ \psi_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\psi_{+\uparrow} \\ \psi_{+\downarrow} \\ \psi_{-\uparrow} \\ \psi_{-\downarrow} \end{pmatrix}

2-스피너

\psi_+

는 4-운동량

(E,\mathbf p)

, 전하

q

, 스핀 상태

\sigma=\pm1/2

를 가진 입자에 대응한다.

\psi_-

는 음의 4-운동량

-(E,\mathbf p)

, 음의 전하

-q

를 가져, 음의 에너지 상태, 시간을 역행하는 운동량, 반전된 전하를 가진 입자, 즉 반입자에 대응한다.^[30]

디랙 방정식은 4 × 4 감마 행렬

\gamma^0=\beta,\boldsymbol{\gamma}=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=\beta\boldsymbol{\alpha}=(\beta\alpha_1,\beta\alpha_2,\beta\alpha_3)

을 사용하여 스핀을 자연스럽게 도입한다.^[30] 감마 행렬은 클리퍼드 대수의 기저를 형성하고, 반교환 관계에서 평평한 시공간 민코프스키 계량 성분과 연결된다.

:

\left[\gamma^\alpha,\gamma^\beta\right]_{+} = \gamma^\alpha\gamma^\beta + \gamma^\beta\gamma^\alpha = 2\eta^{\alpha\beta}\,,

비상대론적 극한에서 디랙 방정식은 파울리 방정식으로 축소된다.

4. 공간과 시간

고전 역학 및 비상대론적 양자 역학에서 시간은 모든 관찰자와 입자가 항상 동의할 수 있는 절대적인 양으로 간주되며, 공간 좌표와 관계없이 배경에서 흘러간다. 그러나 상대론적 역학에서는 공간 좌표와 좌표 시간은 절대적이지 *않다*. 서로 상대적으로 움직이는 두 관찰자는 사건의 위치와 시간을 다르게 측정할 수 있다. 위치와 시간 좌표는 사건에 해당하는 4차원 시공간 위치로 자연스럽게 결합된다.^[71] 로런츠 변환은 서로 다른 기준 좌표계에서 측정된 물리량을 연결하는 변환이다.

5. 해밀토니언

양자역학의 가정에 따르면, 모든 양자계의 시간 변화는 해당 계의 해밀토니안 연산자를 사용한 슈뢰딩거 방정식에 의해 주어진다.

: $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi =\hat{H}\psi$

슈뢰딩거 묘사에서, 고전적인 해밀토니안은 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 주어지며, 이에 대응하는 양자 연산자는 다음과 같다.

: $\hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r},t)$

이것을 위의 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 파동 함수에 대한 비상대론적 양자역학 방정식을 얻는다. 그러나 상대론적 양자역학에서는 에너지-운동량 방정식이 에너지와 운동량에 대해 2차식이므로 이 과정이 간단하지 않다.

: $\hat{H} = \hat{E} = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot \hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \quad \Rightarrow \quad i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot \hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \, \psi$

위 식은 연산자의 제곱근을 멱급수로 전개해야 하고, 공간과 시간 미분이 비대칭적이며, 비불변성 문제를 야기한다. 또한, 입자가 특정 위치에 국한되어 있다가 시간이 지나면 모든 곳에서 존재할 수 있는 비국소성 문제와 인과율 위반 가능성도 제기된다.^[16]

스핀이 있는 입자는 보어 마그네톤 단위로 양자화된 스핀 자기 모멘트를 가지며, 이는 전자기장과 상호작용한다. 외부 자기장이 가해지는 경우, 비상대론적 해밀토니안에는 상호작용 항이 추가되어야 한다.

: $\hat{\boldsymbol{\mu}}_S = - \frac{g\mu_B}{\hbar}\hat{\mathbf{S}}\,,\quad \left|\boldsymbol{\mu}_S\right| = - g\mu_B \sigma\,$

: $\hat{H}_B = - \mathbf{B} \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S$

반면, 상대론적 해밀토니안은 상대론적 에너지-운동량 관계를 적용하면서 스핀을 자동적으로 도입한다.^[20]

상대론적 해밀토니언은 고전적인 운동 에너지 항과 유사한 운동량 항, 위치 에너지 항과 유사한 질량 및 외부 장과의 상호작용 항을 포함하지만, 행렬 형태의 스핀 연산자를 포함한다는 주요 차이점이 있다. 따라서 일반적인 상대론적 해밀토니안은 다음과 같다.

: $\hat{H} = \hat{H}(\mathbf{r}, t, \hat{\mathbf{p}}, \hat{\mathbf{S}})$

6. 스핀 및 전자기적 상호작용

상대론적 파동 방정식에 상호작용을 포함시키는 것은 일반적으로 어렵지만, 최소 결합은 전자기 상호작용을 포함하는 간단한 방법이다. 최소 결합은 에너지와 운동량 연산자를 전자기 퍼텐셜을 포함하는 형태로 대체하는 것이다.^[85]

'''스핀 0 입자''': 클라인-고든 방정식을 사용하여 전자기장과의 상호작용을 기술할 수 있다.

:

{(\hat{E} - q\phi)}^2 \psi = c^2{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2\psi + (mc^2)^2\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{(\hat{P}_\mu - q A_\mu)}{(\hat{P}^\mu - q A^\mu)} - {(mc)}^2 \right] \psi = 0.

전하가 0인 경우, 방정식은 자유 클라인-고든 방정식으로 간단하게 축소된다. 이 방정식은 π 중간자와 같이 스핀이 없는 큰입자가 전자기적 상호 작용 외에도 훨씬 더 강한 강한 상호 작용을 경험하기 때문에 항상 유용한 것은 아니다. 그러나 다른 상호작용이 없는 하전된 스핀 없는 보손을 정확하게 설명한다.^[78]

'''스핀 1/2 입자''': 디랙 방정식을 사용하여 전자기장과의 상호작용을 기술할 수 있다.

:

\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} -q\phi \right)\psi = \gamma^0 \left[ c\boldsymbol{\gamma}\cdot{(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A})} - mc^2 \right] \psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma^\mu (\hat{P}_\mu - q A_\mu) - mc^2 \right]\psi = 0

디랙 방정식은 감마 행렬을 통해 스핀을 정확하게 예측하는 첫 번째 방정식이었다. 비상대론적 극한에서 디랙 방정식은 파울리 방정식으로 축소된다. 1전자 원자나 이온에 적용될 때는 스핀-궤도 상호작용, 전자 자기 회전 비, 다윈 항을 포함하는 추가적인 상대론적 항들이 나타난다.

질량이 없는 스핀 1/2 입자의 경우, 디랙 방정식은 바일 방정식으로 축소된다.

:

\left(\frac{\hat{E}}{c} + \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{+} = 0 \,,\quad \left(\frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{-} = 0 \quad \rightleftharpoons \quad \sigma^\mu \hat{P}_\mu \psi_{+} = 0\,,\quad \sigma_\mu \hat{P}^\mu \psi_{-} = 0\,,

1929년에 발견된 브라이트 방정식은 전자기적으로 상호 작용하는 두 개 이상의 무거운 스핀 1/2 페르미온을 1차 상대론적 보정으로 설명한다.

6. 1. 나선도와 카이랄성

나선도 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

\hat{h} = \hat{\mathbf{S}}\cdot \frac{\hat{\mathbf{p}}}

= \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}

여기서 '''p'''는 운동량 연산자, '''S'''는 스핀 ''s'' 입자에 대한 스핀 연산자, ''E''는 입자의 총 에너지, ''m0''은 질량이다. 나선도는 스핀 및 병진 운동량 벡터의 방향을 나타낸다.^[88] 나선도는 정의의 3-모멘텀으로 인해 기준틀에 따라 다르며 스핀 양자화로 인해 양자화된다. 스핀 양자화는 평행 정렬에 대해 이산 양수 값을 갖고 역평행 정렬에 대해 음수 값을 가진다.

질량이 없는 입자의 경우 나선도는 다음과 같이 단순화된다.

:

\hat{h} = \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{E}

6. 2. 더 큰 스핀

디랙 방정식은 스핀 ½ 입자만 설명할 수 있다. 디랙 방정식을 넘어, 상대론적 파동 방정식(RWE)은 다양한 스핀을 가진 자유 입자에 적용되어 왔다. 1936년, 디랙은 그의 방정식을 모든 페르미온으로 확장했고, 3년 후 피에르츠와 파울리는 같은 방정식을 다시 유도했다.^[33] 바르그만-비그너 방정식은 1948년 로런츠 군 이론을 사용하여 발견되었으며, 임의의 스핀을 가진 모든 자유 입자에 적용 가능하다.^[34]^[35]

파동 함수는 다성분 스피너 장이며, 공간과 시간의 함수로 이루어진 열 벡터로 나타낼 수 있다. 스핀 s를 갖는 ''질량 있는'' 입자의 경우, 입자에 대해 2s+1개의 성분이 있고, 해당 반입자에 대해 또 다른 2s+1개의 성분이 있다. 총 2(2s+1)성분 스피너 장을 형성한다. 그러나 스핀 s를 갖는 ''질량 없는'' 입자의 경우, 항상 두 성분 스피너 장만 존재한다.

상대론적 에너지-운동량 관계에 따르면, 모든 질량 없는 입자는 빛의 속력으로 이동하므로, 빛의 속력으로 이동하는 입자도 두 성분 스피너로 기술된다.

고스핀 입자를 기술하는 방정식의 경우, 상호 작용의 포함은 최소 결합만큼 단순하지 않으며, 잘못된 예측과 자체 불일치를 초래한다.^[36] 스핀이 ħ/2 보다 큰 경우, RWE는 입자의 질량, 스핀 및 전하에 의해 고정되지 않는다. 스핀 양자수에 의해 허용되는 전자기 모멘트(전기 쌍극자 모멘트 및 자기 쌍극자 모멘트)는 임의적이다. 예를 들어, 스핀 ½인 경우는 자기 쌍극자만 허용하지만, 스핀 1인 입자의 경우 자기 사중극자와 전기 쌍극자도 가능하다.^[31]

7. 속도 연산자

슈뢰딩거/파울리 속도 연산자는 고전적 정의를 사용하고 일반적인 방법으로 양자 연산자를 대체하여 무거운 입자에 대해 정의할 수 있다.^[94]

: $\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{m}\hat{\mathbf{p}}$

이 연산자의 고유값은 임의의 값을 갖는다. 상대론적 양자역학에서 디랙 이론은 다음과 같다.

: $\hat{\mathbf{v}} = \frac{i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\mathbf{r}}\right]$

이는 ± ''c'' 사이의 고유값을 가져야 한다. 더 많은 이론적 배경은 플로디–우투이센 변환을 참조.

8. 상대론적 양자 각운동량

비상대론적 양자역학에서 각운동량 연산자는 고전적인 유사 벡터 정의 $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ 에서 형성된다. 상대론적 양자역학에서는 위치 및 운동량 연산자를 입자의 4차원 위치 및 운동량에서 정의된 궤도 상대론적 각운동량 텐서(외대수 형식의 바이벡터와 동일)에 직접 대입한다.^[97]^[98]

: $M^{\alpha\beta} = X^\alpha P^\beta - X^\beta P^\alpha = 2 X^{[\alpha} P^{\beta]} \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{M} = \mathbf{X} \wedge \mathbf{P}$

총 6개의 성분이 있다. 3개는 비상대론적 3-궤도 각운동량으로, $M^{12} = L^3$ , $M^{23} = L^1$ , $M^{31} = L^2$ 이고, 나머지 3개( $M^{01}, M^{02}, M^{03}$ )는 회전 물체의 질량 중심 부스트이다.

스핀이 있는 입자의 경우, 질량이 $m$ 인 입자의 ''총'' 각운동량 텐서는 다음과 같이 주어진다.

: $J^{\alpha\beta} = 2X^{[\alpha} P^{\beta]} + \frac{1}{m^2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} W_\gamma p_\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{J} = \mathbf{X} \wedge \mathbf{P} + \frac{1}{m^2} \star (\mathbf{W} \wedge \mathbf{P})$

여기서 별은 호지 쌍대를 나타내고,

: $W_\alpha = \frac{1}{2}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}M^{\beta \gamma}p^\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{W} = \star(\mathbf{M} \wedge \mathbf{P})$

는 파울리-루반스키 유사 벡터이다.^[99] 상대론적 회전에 대한 자세한 내용은 Troshin & Tyurin(1994)을 참조.^[100]

9. 토마스 세차와 스핀-궤도 상호작용

스핀-궤도 상호작용과 거시적 물체의 회전에 적용되는 상대론적 보정인 토마스 세차는 1926년에 발견되었다.^[101]^[102] 1939년에는 위그너가 토마스 세차를 유도했다.

고전 전자기학 및 특수 상대성 이론에서, 자기장 $\mathbf B$ 가 아닌 전기장 $\mathbf E$ 를 통해 속도 $\mathbf v$ 로 이동하는 전자는 자체 기준틀에서 로렌츠 변환된 자기장 $\mathbf B'$ 를 경험한다.

: $\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2\sqrt{1- \left(v/c\right)^2}} \,.$

비상대론적 극한에서는 다음과 같다.

: $\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} .$

따라서 비상대론적 스핀 상호 작용 해밀토니안은 다음과 같이 된다.^[103]

: $\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,,$

여기서 첫 번째 항은 비상대론적 자기 모멘트 상호 작용이고, 두 번째 항은 상대론적 보정이지만, 실험적 원자 스펙트럼과 일치하지 않는다. 토마스는 전자가 곡선 경로로 이동하게 만드는 추가적인 가속으로 인해 발생하는 토마스 세차라는 두 번째 상대론적 효과를 제시했다. 이 효과의^[104] 결과로 스핀-궤도 상호작용이 절반으로 감소하여, 해밀토니안의 상대론적 보정은 다음과 같다.

: $\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{2c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,.$

상대론적 양자역학의 경우, 1/2는 디랙 방정식으로 예측된다.^[103]

10. 반입자

상대론적 양자역학에 따르면, 모든 입자에는 그에 대응하는 반입자가 반드시 존재한다. 광자와 같은 중성 입자의 경우에는 입자와 반입자가 동일하다. 반입자는 입자와 같은 질량과 스핀을 가지며, 전하는 반대 부호이다.^[26] 입자가 다른 몇 개의 입자로 붕괴하는 불안정 입자라면, 반입자 역시 불안정 입자이며, 양자의 평균 수명이 같다.^[27]

11. 양자장론과의 관계

상대론적 양자역학은 단일 입자 이론인 반면, 양자장론은 여러 입자를 다루는 이론이다.^[78] 양자장론에서는 입자의 생성과 소멸을 설명할 수 있지만, 상대론적 양자역학에서는 이것이 불가능하다. 양자전기역학(QED), 양자색역학, 약전자기 이론 등은 양자장론의 구체적인 예시이다.

12. 같이 보기

양자역학
상대론적 역학
특수상대성이론
프로카 방정식
맥스웰 방정식
장의 양자론
양자전기역학
양자색역학
전약 통일 이론

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