양-밀스 순간자

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

양-밀스 순간자는 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 위의 반 자기 쌍대 주접속을 의미하며, 양-밀스 이론에서 중요한 역할을 한다. 순간자수는 주다발의 특성류로 정의되며, 4차원 초구 위의 주다발은 순간자수로 완전히 분류된다. 반 자기 쌍대 주접속은 주곡률이 반 자기 쌍대인 주접속으로, 게이지 변환에 대해 동치인 접속은 같은 순간자로 간주한다. 순간자의 모듈라이 공간은 순간자 변형 복합체를 통해 국소적으로 묘사되며, ADHM 작도와 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식과 연관된다. 양-밀스 순간자는 유클리드 공간, 칼로론, 초켈러 다양체 등에서 연구되었으며, 사이먼 도널드슨에 의해 수학적 중요성이 처음으로 지적되었다.

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2. 정의

2. 1. (반) 자기 쌍대 형식

2n차원 유향 콤팩트 리만 다양체

(M,g,\omega)

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

및 그 위의 양의 정부호 내적

\langle-,-\rangle

이 주어졌을 때, 벡터 값 미분 형식의 공간

\Omega^\bullet(M;E)

를 정의할 수 있다. 호지 쌍대는 다음과 같이 정의된다.

:

*\colon\Omega^\bullet(M;E) \to \Omega^{2n-\bullet}(M;E)

:

\alpha\wedge*\beta = \langle \alpha,\beta\rangle\omega

k

차 미분 형식에 대하여

*^2 = (-)^{k(2n-k)}

이다.

특히, 가운데 차수 (

n

차) 미분 형식에 대한 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 이 경우

*^2 = (-)^{n^2}

이다. 만약

n

이 짝수라면,

* \restriction \Omega^n(M;E)

의 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간은 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다.

:

\Omega^n(M;E)=\Omega^{n,+}(M;E)\oplus\Omega^{n,-}(M;E)

여기서

\Omega^{n,+}(M)

의 원소는 '''자기 쌍대 미분 형식'''(self-dual differential form^영어),

\Omega^2_-(M)

의 원소는 '''반 자기 쌍대 미분 형식'''(anti-self-dual differential form^영어)이라고 한다. 이에 대한 사영 사상을

\operatorname{proj}^\pm \colon \Omega^n(M;E) \to \Omega^{n,+}(M;E)

라고 표기한다.

만약

n

이 홀수라면,

*

의 고윳값은

\pm\mathrm i

가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.

다양체

M

의 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.

2. 2. 순간자수

다음이 주어졌다고 하자.

4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$
콤팩트 리 군 $G$
$\mathfrak{lie}(G)$ 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 $K(-,-)$
$G$ -매끄러운 주다발 $G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$

그렇다면,

P

의 천-베유 준동형

:

\operatorname{CW}_P\colon\mathbb C[\mathfrak{lie}(G)]^G \to \operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)

을 정의할 수 있으며,

K(-,-)

의 천-베유 준동형 아래의 상

:

\operatorname{CW}_P(K) \in \operatorname H^4(M;\mathbb C)\cong \mathbb C

를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤

\lambda \in \mathbb C

에 대하여

:

\operatorname{CW}_P(K) \in \lambda \mathbb Z\subsetneq\mathbb C

의 꼴이다. 이 경우,

\lambda^{-1}\operatorname{CW}_P(K) \in \mathbb Z

를 주다발

P

의 '''순간자수'''(instanton number^영어)라고 한다. (이는

\lambda\mapsto-\lambda

아래 부호의 모호성을 가진다.)

만약

M = \mathbb S^4

(4차원 초구)이며,

G

가 콤팩트 단순 리 군이라면,

\mathbb S^4

위의

G

-주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.

2. 3. (반) 자기 쌍대 주접속

4차원 유향 콤팩트 리만 다양체

(M,g,\omega)

와 콤팩트 리 군

G

, 그리고

\mathfrak{lie}(G)

위의 양의 정부호 2차 불변 다항식

K(-,-)

,

G

-매끄러운 주다발

P\twoheadrightarrow M

가 주어졌다고 하자.

P

의 주접속들을 생각하면, 연관 벡터 다발

\operatorname{ad}(P) = P \times_G \operatorname{ad}(G)

을 정의할 수 있다. 여기서

\operatorname{ad}(G)

는

G

의 딸림표현이다. 주접속 모듈라이 공간은

\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))

에 대한 아핀 공간이다. 주접속

A

로부터 주곡률

F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(G))

을 정의할 수 있다.

K(-,-)

가 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는

\operatorname{ad}(G)

위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 '''반 자기 쌍대 주접속'''(anti-self-dual connection^영어) 또는 '''양-밀스 순간자'''(Yang–Mills instanton^영어)라고 한다.

게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군은

\mathcal G = \mathcal C^\infty(M,G)

이다.

M

에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간

(M,\bullet)

을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군

\mathcal G_0 = \mathcal C_\bullet^\infty((M,\bullet),(G,1_G))

을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열

1 \to \mathcal G_0 \to \mathcal G \to G \to 1

을 이룬다.

\mathcal G_0

에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류를 '''틀 갖춘 순간자'''(framed instanton^영어)라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을

\mathcal M

, 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을

\tilde{\mathcal M}

이라고 하면, 이는

G

-주다발

G \hookrightarrow \tilde{\mathcal M} \twoheadrightarrow\mathcal M

을 이룬다.

3. 성질

3. 1. 순간자 모듈라이 공간의 국소 모형

반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간

\mathcal M_{\text{ASD}}(M,G)

의 접공간은 순간자 변형 복합체를 통해 묘사할 수 있다.

주어진 반 자기 쌍대 주접속

[A]\in\mathcal M_{\text{ASD}}(M,G)

에 대해, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 수 있다.

:

0 \to \Omega^0(M;\operatorname{ad}(P)) \,\xrightarrow{\nabla_A}\, \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P)) \,\xrightarrow{\operatorname{proj}^+\nabla_A}\,\Omega^{2,+}(M;\operatorname{ad}(P)) \to 0

이를 '''순간자 변형 복합체'''(瞬間子變形複合體, instanton deformation complex}})라고 한다.

여기서

$\Omega^{2,+}(M;\operatorname{ad}(P))$ 는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, $\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))$ 의 부분 실수 벡터 공간이다.
$\operatorname{proj}^+ \colon \Omega^2(\operatorname{ad}(P)) \to \Omega^{2,+}(\operatorname{ad}(P))$ 는 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다.
$\nabla_A \colon\Omega^\bullet(M;\operatorname{ad}(P)) \to \Omega^{\bullet+1}(M;\operatorname{ad}(P))$ 는 $A$ 에 대한 공변 미분이다.

순간자 변형 복합체의 가운데 코호몰로지 군

:

\operatorname H^1 = \frac{\ker (\operatorname{proj}^+ \circ \nabla_A)}{\operatorname{im}\nabla_A}

은

\mathcal M_{\text{ASD}}(M,G)

의,

A \in\mathcal M_{\text{ASD

^영어(M,G)에서의 접공간과 표준적으로 동형이다.

임의의

X \in \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))

에 대하여,

$\operatorname{proj}^+ (\nabla_A X) = 0$ 조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다.
$\nexists\phi\in\Omega^0(M;\operatorname{ad}(P))\colon \nabla_A\phi = X$ 조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다.

순간자 변형 복합체의 오일러 지표

:

\operatorname{ind} = -\dim \operatorname H^0 + \dim \operatorname H^1 - \dim \operatorname H^2

를 모듈라이 공간의 '''가상 차원'''(假想次元, virtual dimension^영어)이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다.

주다발

P

에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다.

:

\operatorname{ind} = 4h^\vee(G)|k| \le \dim\tilde{\mathcal M}

여기서

k

는 순간자수이며,

h^\vee(G)

는

G

의 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 이보다

|G|

만큼 작다.

:

4h^\vee(G)|k| - \dim G \le \dim\mathcal M

3. 2. 순간자 모듈라이 공간

양-밀스 순간자의 모듈라이 공간

\mathcal M_{\text{ASD}}(P)

를 생각하자. 그 위에는

M

의 리만 계량 및

\mathfrak{lie}(G)

위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다.

만약

M

이 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간

\mathcal M_{\text{ADS}}(P)

는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다.

4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이

G

일 경우, 1차 및 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.^[3]^[4]

:

\dim\tilde{\mathcal M}(k,G)=4|k|h^\vee(G)

:

\dim\mathcal M(k,G)=4|k|h^\vee(G)-\dim G

모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간

\tilde M

은

\mathbb R^4

등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면,

4|k|h^\vee(G)-4

차원의 초켈러 다양체를 얻는다.

3. 3. ADHM 작도

4차원 유클리드 공간의 콤팩트화(즉, 4차원 초구)

\mathbb S^4

위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은

\mathcal N=2

게이지 이론의 힉스 가지(Higgs branch)로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 '''ADHM 작도'''라고 한다.^[5]^[6] 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.^[7]

3. 4. 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식

(반) 자기 쌍대 주접속은 '''보고몰니-프라사드-소머필드 부등식'''(Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound^영어, BPS 부등식)을 충족시킨다.^[8]^[9]

M

위의 부피 형식

\omega

가 리만 계량에 의하여 주어지며,

\mathfrak{lie}(G)

위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식

K(-,-)

이 주어졌다고 하자. (\[\[반단순 리 대수]]의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 이 경우,

\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))

위에 자연스러운 양의 정부호 내적이 주어진다.

:

\langle B,C\rangle = \int_M K(B\wedge*C)

이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다.

이에 대한 주곡률의 노름

\langle F,F\rangle

을 주접속의 '''양-밀스 작용'''(Yang–Mills action^영어)이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률

:

F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))

의 (반) 자기 쌍대 성분을

F^\pm

이라고 하자 (

F = F^+ + F^-

,

*F = F^+ - F^-

). 그렇다면

:

\langle F,F\rangle=\langle F_+,F_+\rangle+\langle F_-,F_-\rangle\ge|\langle F_+,F_+\rangle-\langle F_-,F_-\rangle|= \langle F,*F\rangle= \left|\int_M K(F\wedge F)\right|

이다. 우변은

F

의 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 천 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 '''보고몰니-프라사드-소머필드 부등식'''이라고 한다.

(반) 자기 쌍대 접속의 경우,

F^+

또는

F^-

가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.

4. 예

4. 1. 유클리드 공간

4차원 유클리드 공간

\mathbb R^4

위의, 게이지 군

G

의 양-밀스 순간자를 생각하자.

\mathbb R^4

의 콤팩트화

\mathbb S^4

는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다.

:

\dim\mathcal M(G,k) = 4h^\vee(G)|k|

예를 들어,

G=\operatorname{SU}(N)

인 경우 이중 콕서터 수는

h^\vee=N

이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은

4N|k|

이다.^[5] 하나의 순간자(

k=1

)인 경우, 이는 다음과 같다.

4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동(translation^영어) 자유도가 있다.
4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환(dilatation^영어) 자유도가 있다.
$\operatorname{SU}(2)\cong S^3$ 이므로, 원점에서 무한히 떨어진 $S^3$ 에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다.
$\operatorname{SU}(N)$ 에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간

::

\frac{\operatorname{SU}(N)}{(\operatorname U(2)\times\operatorname U(N-2))/\operatorname U(1)}=\frac{\operatorname U(N)}{\operatorname U(2)\times\operatorname U(N-2)}

:이고, 그 차원은

::

N^2-4-(N-2)^2=4N-8

:이다.

따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은

:

4+1+3+4N-8=4N

이다. 만약 순간자수가

k

라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이

4kN

이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.

하나의 순간자의 모듈라이 공간은

:

\mathbb R^4 \times \mathbb R^4 / \operatorname{Cyc}(2)

이다.^[5] 이 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.

4. 2. 칼로론

\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1

위의 양-밀스 순간자는 '''칼로론'''이라고 하며, 잘 알려져 있다.

4. 3. 초켈러 다양체

점근 국소 유클리드 공간^[10]과 토브-너트 공간^[11]^[12]의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다.

토브-너트 공간 위의 SU(2) 순간자 모듈라이 공간을 나타내는 활 도형

토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬

\operatorname{diag}(\exp(2\pi\lambda/l),\exp(-2\pi\lambda/l))

을 갖는)

k

개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소

:

\frac{\mathrm{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^k \times \operatorname{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^k \times \operatorname{TGL}(k;\mathbb C) \times \mathbb H^{k^2}}{\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)\times\operatorname U(k)}

로 주어진다.^[11] 이는 활 도형(bow diagram^영어)으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은

:

\dim\mathcal M_{l,\lambda,k} = 4\left(k^2 + k + k^2 + k + k^2 + k^2 - k^2 - k^2 - k^2-k^2\right) = 8k

이다.

5. 역사

사이먼 도널드슨이 1983년에 양-밀스 순간자의 수학적 중요성을 처음으로 지적하였다.^[13]

참조

_[1] 서적 Geometrical and topological methods for quantum field theory. Proceedings of the summer school, Villa de Leyva, Colombia, 9–27 July 2001 2003-03-01
_[2] 저널 The Mathai-Quillen Formalism and Topological Field Theory https://archive.org/[...] 1992-01-01
_[3] 저널 Pseudoparticle parameters for arbitrary gauge groups 1977-11-15
_[4] 저널 The Hilbert series of the one instanton moduli space 2010-06-01
_[5] 저널 TASI lectures on solitons https://archive.org/[...] 2005-01-01
_[6] 저널 The calculus of many instantons 2002-12-01
_[7] 저널 Construction of instantons 1978-03-06
_[8] 저널 Устойчивость классических решений 1976-01-01
_[9] 저널 Exact classical solution for the ’t Hooft monopole and the Julia–Zee dyon 1975-09-22
_[10] 저널 Yang–Mills instantons on ALE gravitational instantons 1990-01-01
_[11] 저널 Moduli spaces of instantons on the Taub–NUT space 2009-01-01
_[12] 저널 Instantons on gravitons 2011-01-01
_[13] 인용 An application of gauge theory to four dimensional Topology

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