유한 생성 가군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 가군 성질의 필요 충분 조건
4. 예시
5. 추가 정보 (가환환 위의 유한 생성 가군)
6. 생성 랭크 (Generic Rank)
참조

1. 개요

유한 생성 가군은 환 R에 대해, 유한 개의 원소의 R-선형 결합으로 표현될 수 있는 가군이다. 유한 생성 가군은 가군의 생성 집합을 가지며, 이는 가군을 생성하는 유한 개의 원소 집합을 의미한다.

유한 생성 가군은 가군 이론에서 중요한 개념으로, 뇌터 가군, 유한 표시 가군, 유한 쌍대 생성 가군 등과 같은 다양한 개념과 연결된다. 유한 생성 가군은 가군을 생성하는 원소들의 선형 독립 여부에 따라 벡터 공간의 차원과 같은 개념을 정의하는 데 사용되며, 가군층, 아벨 범주, 스킴 사상 등 다양한 수학적 구조에서도 나타난다.

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쌍가군은 두 환 R과 S에 대해 정의되는 대수적 구조로, 아벨 군 M에 R의 왼쪽 가군 구조와 S의 오른쪽 가군 구조가 호환되도록 결합되며, 텐서곱, 준동형 사상 등 다양한 성질을 갖는다.

유한 생성 가군

2. 정의

환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 가정한다.

왼쪽 ''R''-가군 ''M''이 유한 생성된다는 것은, ''M''의 모든 원소 ''x''에 대해, ''x'' = ''r''₁''a''₁ + ''r''₂''a''₂ + ... + ''r''_''n''''a''_''n''을 만족하는 ''R''의 원소 ''r''₁, ''r''₂, ..., ''r''_''n''이 존재하도록 하는 ''M''의 원소 ''a''₁, ''a''₂, ..., ''a''_''n''이 존재한다는 것을 의미한다.

이때, 집합 {''a''₁, ''a''₂, ..., ''a''_''n''}은 ''M''의 생성 집합이라고 불린다. 유한 생성 집합은 기저일 필요는 없는데, 이는 ''R''에 대해 일차 독립일 필요가 없기 때문이다.

좀 더 범주론적인 관점에서 보면, ''M''이 유한 생성이라는 것은 어떤 자연수 ''n''에 대해 전사 ''R''-선형 사상

: $R^n \to M$

이 존재한다는 것과 동치이다. 즉, ''M''은 유한 계수의 자유 가군의 몫가군이다.

2. 1. 유한 생성 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''유한 생성 왼쪽 가군'''(有限生成-加群, finitely generated left module^영어)이라고 한다.

(A) $_RM\cong {}_RR^{\oplus n}/{}_RN$ 인 자연수 $n\in\mathbb N$ 과 자유 가군의 부분 가군 $_RN\subseteq {}_RR^{\oplus n}$ 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $R$ -왼쪽 가군의 완전열 $R^{\oplus n}\to M\to0$ 이 존재한다.
(B) $_RM$ 의 임의의 부분 가군들의 집합 $\{{}_RN_i\}_{i\in I}$ , ${}_RN_i\subseteq {}_RM$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\sum_{i\in I}{}_RN_i={}_RM$ 이라면, $\textstyle\sum_{i\in I'}{}_RN_i={}_RM$ 이 되는 유한 집합 $I'\subseteq I$ 가 존재한다.
(C) 임의의 부분 가군의 오름 사슬 ${}_RN_0\subseteq {}_RN_1\subseteq\cdots \subseteq {}_RM$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\bigcup_{i=0}^\infty {}_RN_i={}_RM$ 이라면, $N_i=M$ 이 되는 $i\in\mathbb N$ 가 존재한다.
(D) 임의의 집합 $I$ 및 전사 사상 $\phi\colon {}_RR^{\oplus I}\to {}_RM$ 에 대하여, $\phi|_\colon {}_RR^{\oplus I'}\to {}_RM$ 역시 전사 사상이 되게 하는 유한 집합 $I'\subseteq I$ 이 존재한다. (가군의 범주에서 전사 사상은 전사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 '''유한 생성 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다.

조건 (B) 및 (C)는 환

R

에 의존하지 않으므로, 유한 생성성은 모리타 동치 불변 성질이다. 특히, 정의 (B)는 일반위상수학의 콤팩트 공간의 정의와 유사하다. (C)는 특정 사슬 (즉, 합이 전체 가군이 되는 오름 사슬)에 대한 오름 사슬 조건이며, 이를 모든 사슬에 대하여 일반화한다면 뇌터 가군의 개념을 얻는다.

왼쪽

R

-가군

M

은,

M

의 모든 원소

x

에 대해,

x = r_1a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n

을 만족하는

R

의 원소

r_1, r_2, \dots, r_n

이 존재하도록 하는

M

의 원소

a_1, a_2, \dots, a_n

이 존재하면 유한 생성된다고 한다.

이 경우, 집합

\{a_1, a_2, \dots, a_n\}

은

M

의 생성 집합이라고 불린다. 유한 생성 집합은 기저일 필요는 없는데, 왜냐하면

R

에 대해 선형 독립적일 필요가 없기 때문이다.

M

이 유한 생성된다는 것은 어떤

n

에 대해 전사적인

R

-선형 사상:

:

R^n \to M

이 존재한다는 것과 동치이다 (즉,

M

은 유한 계수의 자유 가군의 몫이다).

만약 집합

S

가 유한 생성되는 가군을 생성한다면,

S

에 포함된 유한 생성 집합이 존재한다. 왜냐하면 어떤 유한 생성 집합의 생성원들을 표현하기 위해

S

의 유한 개의 원소들만이 필요하며, 이 유한 개의 원소들이 생성 집합을 이루기 때문이다. 하지만,

S

가 최소 기수의 유한 생성 집합을 포함하지 않는 경우가 발생할 수 있다. 예를 들어, 소수들의 집합은

\mathbb Z

를

\mathbb Z

-가군으로 볼 때의 생성 집합이고, 소수들로 형성된 생성 집합은 적어도 두 개의 원소를 갖는 반면, 단일 집합

\{1\}

도 생성 집합이다.

가군

M

이 체

R

위의 벡터 공간인 경우, 생성 집합이 선형 독립이면,

n

은 '잘 정의'되며

M

의 차원이라고 불린다. 여기서 '잘 정의'된다는 것은 어떤 선형 독립 생성 집합도

n

개의 원소를 갖는다는 것을 의미하며, 이는 벡터 공간 차원 정리에 의해 보장된다.

모든 가군은 유한 생성 부분 가군들의 유향 집합의 합집합이다.

가군

M

이 유한 생성되는 것은, 부분 가군의 증가하는 사슬

M_i

가

M

을 합집합으로 가질 때 안정화되는 것과 동치이다. 즉,

M_i = M

을 만족하는 어떤

i

가 존재한다. 이 사실은 초른의 보조정리와 함께, 모든 영이 아닌 유한 생성 가군이 극대 부분 가군을 갖는다는 것을 함의한다. 만약 부분 가군의 증가하는 사슬이 안정화된다면 (즉, 모든 부분 가군이 유한 생성된다면), 가군

M

을 뇌터 가군이라고 부른다.

다음 조건들은

M

이 유한 생성(f.g.)인 것과 동치이다.

$M$ 의 부분 가군족 $\{N_i \mid i \in I\}$ 에 대해, $\sum_{i\in I}N_i=M$ 이면, $I$ 의 어떤 유한 부분 집합 $F$ 에 대해 $\sum_{i\in F}N_i=M$ 이다.
$M$ 의 부분 가군 $\{N_i \mid i \in I\}$ 의 임의의 사슬에 대해 $\bigcup_{i\in I}N_i=M$ 이면, 어떤 $I$ 의 원소 $i$ 에 대해 $N_i = M$ 이다.
$\phi\colon\bigoplus_{i\in I}R\to M$ 이 전사 사상이면, $I$ 의 어떤 유한 부분 집합 $F$ 에 대해 제한 $\phi\colon\bigoplus_{i\in F}R\to M$ 은 전사 사상이다.

이러한 조건으로부터 유한 생성임이 모리타 동치에 의해 보존되는 성질임을 알 수 있다.

유한 생성 가군

M

이 유한 생성이라는 것은,

M

의 원소

a_1, a_2, \dots, a_n

이 존재하여, 모든

M

의 원소

x

에 대해,

R

의 원소

r_1, r_2, \dots, r_n

이 존재하여,

x = r_1a_1 + r_2a_2 + \cdots + r_na_n

이 되는 것이다.

이 경우, 집합

\{a_1, a_2, \dots, a_n\}

는

M

의 '''생성 집합'''이라고 불린다. 유한 개의 생성원은 기저일 필요는 없는데, 왜냐하면 그것들은

R

위에서 일차 독립일 필요가 없기 때문이다. 좀 더 범주론적인 특징으로는 다음이 있다.

M

이 유한 생성이라는 것은, 어떤 자연수

n

에 대해 전사

R

-선형 사상

:

R^n \to M

이 존재할 때 (즉,

M

은 유한 계수의 자유 가군의 몫가군이다)이고, 그럴 때에만 해당한다.

가군

M

의 부분집합

S

가 유한 생성 부분 가군

N

을 생성하면,

N

의 유한 개의 생성원은

S

에서 가져올 수 있다 (왜냐하면

S

의 많아야 유한 개의 원소만이 유한 개의 생성원을 표현하는 데 필요하기 때문이다).

임의의 가군은 유한 생성 부분 가군의 증가 열의 합집합이다.

가군

M

이 체

R

위의 벡터 공간이고 생성 집합이 일차 독립인 경우에는,

n

은 ''well-defined''이고

M

의 차원이라고 불린다. 여기서 말하는 ''well-defined''는, 벡터 공간 전체를 정의역으로 하고 음이 아닌 정수를 치역으로 하는 차원에 대한 사상 dim을 구성할 때 0이 아닌 벡터 공간 V에 대응하는 음이 아닌 정수를 dim(''M'')=''n'':=#{“어떤” 일차 독립인 ''M''의 생성 집합}으로 정하고 (''M''={0}인 경우에는 dim(''M'')=0으로 한다), 이러한 일차 독립인 ''M''의 생성 집합 자체가 한 가지로 정해지는 것은 아니며, dim(''M'')에 주어진 정의로부터 대응하는 음이 아닌 정수가 유일하게 정해지는지 여부는 자명한 주장이 아니지만, 실제로 임의로 취할 수 있는 {“어떤” 일차 독립인 ''M''의 생성 집합}의 농도는 각각 같으며, 인수 ''M''에 대한 반환값 ''n''이 유일하게 정해지기 때문에, dim이 사상으로서 모순 없이 정의됨이 제대로 확인된다는 의미이다. 또한, 이 사실은 벡터 공간의 차원 정리에 의해 명확히 보장된다.

다음 조건은

M

이 유한 생성(f.g.)임을 나타내는 것과 동치이다.

$M$ 의 부분 가군족 $\{N_i \mid i \in I\}$ 에 대해, $\sum_{i\in I}N_i=M$ 이면, $I$ 의 어떤 유한 부분 집합 $F$ 에 대해 $\sum_{i\in F}N_i=M$ 이다.
$M$ 의 부분 가군 $\{N_i \mid i \in I\}$ 의 임의의 사슬에 대해 $\bigcup_{i\in I}N_i=M$ 이면, 어떤 $I$ 의 원소 $i$ 에 대해 $N_i = M$ 이다.
$\phi\colon\bigoplus_{i\in I}R\to M$ 이 전사 사상이면, $I$ 의 어떤 유한 부분 집합 $F$ 에 대해 제한 $\phi\colon\bigoplus_{i\in F}R\to M$ 은 전사 사상이다.

이러한 조건으로부터 유한 생성임이 모리타 동치에 의해 보존되는 성질임을 알 수 있다.

2. 2. 유한 쌍대 생성 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''유한 쌍대 생성 왼쪽 가군'''(finitely cogenerated left module^영어)이라고 한다.

(B′) $_RM$ 의 임의의 부분 가군들의 집합 $\{{}_RN_i\}_{i\in I}$ , ${}_RN_i\subseteq {}_RM$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\bigcap_{i\in I}{}_RN_i={}_R0$ 이라면, $\textstyle\sum_{i\in I'}{}_RN_i={}_R0$ 이 되는 유한 집합 $I'\subseteq I$ 가 존재한다.
(C′) 임의의 부분 가군의 내림 사슬 ${}_RM\supseteq {}_RN_0\supseteq {}_RN_1\supseteq\cdots$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty {}_RN_i=0$ 이라면, $_RN_i=0$ 이 되는 $i\in\mathbb N$ 가 존재한다.
(D′) 임의의 집합 $I$ 및 단사 사상 $\phi\colon {}_RM\to {}_RR^{\times I}$ 에 대하여, $\phi|_\colon {}_RM\to {}_RR^{\times I'}$ 역시 단사 사상이 되게 하는 유한 집합 $I'\subseteq I$ 이 존재한다. (가군의 범주에서 단사 사상은 단사 함수인 가군 준동형과 일치한다.)

오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 '''유한 쌍대 생성 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다.

조건 (B′) 및 (C′)은 환

R

에 의존하지 않으므로, 유한 쌍대 생성성은 모리타 동치 불변 성질이다. (B′)은 일반위상수학의 콤팩트 공간의 정의와 유사하다. (C′)은 교집합이 영가군이 되는 내림 사슬에 대한 내림 사슬 조건이며, 이를 모든 사슬에 대하여 일반화한다면 아르틴 가군의 개념을 얻는다.

2. 3. 유한 표시 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''유한 표시 왼쪽 가군'''(finitely presented left module^영어)이라고 한다.

$_RM\cong\operatorname{coker}\phi$ 가 되는 자연수 $m,n\in\mathbb N$ 및 $R$ -가군 준동형 $\phi\colon{}_RR^{\oplus m}\to {}_RR^{\oplus n}$ 이 존재한다. 즉, 충분히 큰 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $R$ -왼쪽 가군의 완전열 $R^{\oplus m}\to R^{\oplus n}\to M\to0$ 이 존재한다.
$_RR^{\oplus n}\to {}_RM$ 이 전사 사상이 되는 자연수 $n\in\mathbb N$ 이 존재하며, $\phi\colon{}_RR^{\oplus m}\to {}_RM$ 이 전사 사상이 되는 모든 자연수 $m\in\mathbb N$ 에 대하여, $\ker\phi$ 은 유한 생성 가군이다.

(이 두 조건이 서로 동치라는 것은 섀뉴얼 보조정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.)

2. 4. 가군층의 경우

유한 생성 가군과 유한 표시 가군의 개념은 가군층으로 일반화할 수 있다.

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal F

가 다음 조건을 만족시킨다면 '''유한 생성 가군층'''(finitely generated sheaf of modules^영어) 또는 '''유한형 가군층'''(sheaf of modules of finite type|fr|faisceau de modules de type fini^영어)이라고 한다.^[6]^[7]^[8]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, 층의 완전열 $\mathcal O_X^{\oplus n}|_U\to\mathcal F|_U\to0$ 이 존재하게 되는 열린 근방 $U\ni x$ 와 자연수 $n$ 이 존재한다.

같은 공간 위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal F

가 다음 조건을 만족시킨다면 '''유한 표시 가군층'''(finitely presented sheaf of modules|fr|faisceau de modules admettant une présentation finie^영어)이라고 한다.^[8]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, 층의 완전열 $\mathcal O_X^{\oplus m}|_U\to\mathcal O_X^{\oplus n}|_U\to\mathcal F|_U\to0$ 이 존재하게 되는 열린 근방 $U\ni x$ 와 자연수 $m,n$ 가 존재한다.

유한 생성 가군/유한 표시 가군의 정의에 등장하는 자연수

m,n

을 임의의 기수로 일반화한다면, 각각 '''국소 단면 생성 가군층'''(sheaf of modules locally generated by sections^영어)/'''준연접층'''의 개념을 얻는다.

2. 5. 아벨 범주에서의 유한 생성 대상

보다 일반적으로, 아벨 범주

\mathcal A

의 대상

M\in\mathcal A

이 다음 조건을 만족시킨다면, '''유한 생성 대상'''(finitely generated object^영어)이라고 한다.^[9]^[10]

$M$ 의 부분 대상 부분 순서 집합 $\operatorname{Sub}(M)$ 속의 상향 부분 집합 $\{M_i\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Sub}(M)$ 에 대하여, 만약 $\textstyle M=\sup_{i\in I}M_i$ 이라면, $M=M_i$ 인 $i\in I$ 가 존재한다.

아벨 범주

\mathcal A

의 유한 생성 대상

M\in\mathcal A

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''유한 표시 대상'''(finitely presented object^영어)이라고 한다.^[9]^[10]

임의의 유한 생성 대상 $N\in\mathcal A$ 및 전사 사상 $f\colon N\to M$ 에 대하여, 핵 $\ker f$ 는 유한 생성 대상이다.

2. 6. 유한 스킴 사상

대수기하학에서, 두 가환환 사이의 환 준동형

f\colon R\to S

가 주어졌을 때,

S

는

f

를 통해

R

-가군을 이룬다. 만약

S

가

R

-유한 생성 가군이라면,

f

를 '''유한 준동형'''(有限準同型, finite homomorphism^영어)이라고 한다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상

f\colon X\to Y

가 주어졌다고 하자. 임의의

y\in Y

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방

y\in\operatorname{Spec}S\subseteq Y

가 존재한다면,

f

를 '''유한 사상'''(有限寫像, finite morphism^영어, morphisme fini^프랑스어)이라고 한다.^[11]

원상 $f^{-1}(\operatorname{Spec}S)$ 는 아핀 스킴 $\operatorname{Spec}R$ 이며, $R$ 는 $S$ 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

3. 성질

초른 보조정리에 의하여, 0이 아닌 모든 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다. 0이 아닌 모든 유한 쌍대 생성 가군은 극소 부분 가군을 갖는다.

반단순 가군에 대하여 유한 생성 가군과 유한 쌍대 생성 가군, 이 두 조건은 서로 동치이다.

유한 생성 가군의 모든 몫가군은 유한 생성 가군이다. 유한 쌍대 생성 가군의 모든 부분 가군은 유한 쌍대 생성 가군이다.

왼쪽 가군의 짧은 완전열

: $0\to N\to M\to M/N\to0$

에서, $N$ 과 $M/N$ 이 유한 생성 가군이라면 $M$ 역시 유한 생성 가군이다. 만약 $N$ 과 $M/N$ 이 유한 쌍대 생성 가군이라면 $M$ 역시 유한 쌍대 생성 가군이다.

유한 생성 가군의 준동형 사상은 모두 유한 생성이다. 일반적으로, 유한 생성 가군의 부분 가군은 유한 생성될 필요는 없다. 뇌터 가군의 경우 모든 부분 가군이 유한 생성이다.

유한 생성 가군은 반드시 공동 균일 차원이 유한할 필요는 없다. 반면, 유한 공생성 가군은 반드시 유한 균일 차원을 갖는다.

3. 1. 가군 성질의 필요 충분 조건

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_RM$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

조건	동치 조건
뇌터 가군이다.	모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다.
아르틴 가군이다.	모든 몫가군이 유한 생성 가군이다.
유한 생성 가군이다.	${_RM}$의 근기 $\operatorname{rad}(_RM)\subseteq M$가 잉여적 부분 가군이며, $M/\operatorname{rad}(_RM)$은 유한 생성 가군이다.
유한 쌍대 생성 가군이다.	${_RM}$의 주각 $\operatorname{soc}(_RM)\subseteq M$이 본질적 부분 가군이자 유한 생성 가군이다.

뇌터 가군과 아르틴 가군은 유한 생성 가군과 밀접한 관련이 있다.

4. 예시

정수환 $\mathbb Z$ 위의 유한 생성 가군은 유한 생성 아벨 군과 같은 개념이다.

임의의 체 $K$ 에 대하여, 환 준동형 $K[x]\to K[x,y]/(y^2-x^3-x)$ 을 생각할 수 있다. 이 경우 $k[x,y]/(y^2-x^3-x)$ 는 $k[x]$ 위의 유한 생성 가군을 이룬다. 즉, 이로부터 유도되는 아핀 스킴 사상 $\operatorname{Spec}K[x,y]/(y^2-x^3-x)\to\mathbb A^1_K$ 는 유한 사상이다.^[1]

정수 링 '''Z''' 위의 유한 생성 가군은 유한 생성 아벨 군과 일치한다. 이것들은 '''Z'''를 주 아이디얼 정역으로 하여, 구조 정리에 의해 완전히 분류된다.^[2]

나눗셈 환 위의 유한 생성 (왼쪽) 가군은 정확히 유한 차원 벡터 공간(나눗셈 환 위)이다.^[3]

''R''을 분수체 ''K''를 갖는 정역이라고 하자. 그러면 ''K''의 모든 유한 생성 ''R''-부분 가군 ''I''는 분수 아이디얼이다. 즉, ''rI''가 ''R''에 포함되는 0이 아닌 ''r''이 ''R''에 존재한다. 실제로 ''r''은 ''I''의 생성자들의 분모의 곱으로 취할 수 있다. 만약 ''R''이 뇌터 환이면, 모든 분수 아이디얼은 이런 방식으로 나타난다.^[4]

하나의 원소에 의해 생성되는 가군은 순환 가군이라고 한다.^[5]

5. 추가 정보 (가환환 위의 유한 생성 가군)

가환환 ''R'' 위의 유한 생성 가군에 대해서는 나카야마 보조정리가 기본적인 정리이다. 이 보조정리를 통해 유한 생성 가군에 대해 유한 차원 벡터 공간과 비슷한 성질을 증명할 수 있다. 예를 들어, 유한 생성 가군 ''M''의 전사 ''R''-자기 준동형 ''f'' : ''M'' → ''M''이 있다면, ''f''는 단사이기도 하며, 따라서 ''M''의 자기 동형이다. 이는 ''M''이 호프 가군임을 의미한다. 마찬가지로, 아르틴 가군 ''M''은 코호프이다. 즉, 임의의 단사 자기 준동형 ''f''는 전사 자기 준동형이기도 하다.^[1]

임의의 ''R''-가군은 유한 생성 ''R''-부분 가군의 귀납적 극한이다. 이는 가정을 유한적인 경우로 완화할 때 유용하다. (예를 들어, Tor 함자를 사용한 평탄 가군의 특징을 설명할때 사용된다.)

유한 생성성과 정수 원소 사이의 관계는 가환 대수학에서 찾을 수 있다. 가환 대수 ''A''가 ''R'' 위에서 '''유한 생성 환'''이라는 것은, ''A''의 원소 집합 ''G'' = {''x''₁, ..., ''x''_n}가 존재하여 ''G''와 ''R''을 포함하는 ''A''의 최소 부분환이 ''A'' 자체라는 것이다. 환의 곱을 원소를 결합하는 데 사용할 수도 있으므로, 단순히 ''G''의 원소의 ''R''-선형 결합 이상의 것이 생성된다. 예를 들어, 다항식환 ''R''[''x'']은 환으로서 {1, ''x''}로 유한 생성되지만, 가군으로서는 아니다. ''A''가 ''R'' 위의 (단위원을 갖는) 가환 대수이면, 다음 두 명제는 동치이다.^[2]

''A''는 유한 생성 ''R'' 가군이다.
''A''는 ''R'' 위에서 유한 생성 환이고, ''R''의 정수 확대이다.

5. 1. 나카야마 보조정리

나카야마 보조정리는 가환환 ''R'' 위의 유한 생성 가군에 대해 기본적인 정리이다. 이 보조정리를 통해 유한 생성 가군에 대해 유한 차원 벡터 공간과 유사한 현상을 증명할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, ''f'' : ''M'' → ''M''이 유한 생성 가군 ''M''의 전사 ''R''-자기사상일 경우, ''f''는 단사이기도 하며, 따라서 ''M''의 자기사상이다. 이는 ''M''이 호프 가군임을 의미한다. 마찬가지로, 아르틴 가군 ''M''은 코호프이다. 즉, 모든 단사 자기사상 ''f''는 전사 자기사상이기도 하다.^[1]

5. 2. 호프 가군/코호프 가군

호프 가군(Hopfian module) ''M''은 유한 생성 가군 ''M''의 전사 ''R''-자기사상이 단사이며, 따라서 ''M''의 자기사상인 가군이다.^[1] 마찬가지로, 아르틴 가군 ''M''은 코호프이다. 즉, 모든 단사 자기사상 ''f''는 전사 자기사상이기도 하다.^[2]

5. 3. 귀납적 극한

모든 ''R''-가군은 유한 생성 ''R''-부분 가군의 귀납적 극한이다. 이는 가정을 유한한 경우로 약화시키는 데 유용하다(예: Tor 함자를 사용한 평탄성의 특징).

5. 4. 유한 생성 환과의 관계

가환환 ''R'' 위의 유한 생성 가군에 대해, 나카야마 보조정리는 기본적인 정리이다. 이 보조정리를 통해 유한 생성 가군에 대해 유한 차원 벡터 공간 현상을 증명할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, ''f'' : ''M'' → ''M''이 유한 생성 가군 ''M''의 전사 ''R''-자기사상일 경우, ''f''는 단사이기도 하므로 ''M''의 자기사상이다. 이는 ''M''이 호프 가군임을 의미한다. 마찬가지로, 아르틴 가군 ''M''은 코호프이다. 즉, 모든 단사 자기사상 ''f''는 전사 자기사상이기도 하다.

모든 ''R''-가군은 유한 생성 ''R''-부분 가군의 귀납적 극한이다. 이는 가정을 유한한 경우로 약화시키는 데 유용하다(예: Tor 함자를 사용한 평탄성의 특징).

유한 생성과 정수 원소 간의 연결의 한 예는 가환 대수에서 찾을 수 있다. 가환 대수 ''A''가 ''R'' 위의 '''유한 생성 환'''이라는 것은, ''A'' 안에 ''G'' = {''x''₁, ..., ''x''_''n''}라는 원소 집합이 존재하여, ''G''와 ''R''을 포함하는 ''A''의 가장 작은 부분환이 ''A'' 자체라는 것을 의미한다. 환 곱셈을 사용하여 원소를 결합할 수 있기 때문에, ''G''의 원소의 ''R''-선형 결합 이상이 생성된다. 예를 들어, 다항식환 ''R''[''x'']는 환으로서 {1, ''x''}에 의해 유한 생성되지만, 가군으로는 그렇지 않다. ''A''가 ''R'' 위의 가환 대수(단위원을 가짐)일 경우, 다음 두 명제는 동치이다.

''A''는 유한 생성 ''R'' 가군이다.
''A''는 ''R'' 위의 유한 생성 환이면서, ''R''의 정수 확장이다.

6. 생성 랭크 (Generic Rank)

''M''이 분수체 ''K''를 갖는 정역 ''A'' 위의 유한 생성 가군이라고 하자. 그러면 벡터 공간의 차원(벡터 공간) $\operatorname{dim}_K (M \otimes_A K)$ 를 ''M''의 ''A''에 대한 '''생성 랭크'''라고 한다. 이 수는 ''M''에서 최대 ''A''-선형 독립적인 벡터의 수와 같으며, 이는 ''M''의 최대 자유 부분 가군의 랭크와도 같다(''cf. 아벨 군의 랭크''). $(M/F)_{(0)} = M_{(0)}/F_{(0)} = 0$ 이므로, $M/F$ 는 꼬임 가군이다. ''A''가 뇌터 가환환이면, 제너릭 자유성에 의해 $M[f^{-1}]$ 가 자유 $A[f^{-1}]$ -가군이 되는 원소 ''f''(이는 ''M''에 따라 달라짐)가 존재한다. 그러면 이 자유 가군의 랭크가 ''M''의 생성 랭크이다.

이제 정역 ''A''가 체 ''k'' 위에서 $d_i$ 차수의 유한 개 동차 원소에 의해 대수적으로 생성된다고 가정하자. ''M''도 등급화되어 있고, $P_M(t) = \sum (\operatorname{dim}_k M_n) t^n$ 을 ''M''의 푸앵카레 급수라고 하자. 힐베르트-세르 정리에 의해, $P_M(t) = F(t) \prod (1-t^{d_i})^{-1}$ 인 다항식 ''F''가 존재한다. 그러면 $F(1)$ 은 ''M''의 생성 랭크이다.^[2]

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 자유 가군일 때에만 꼬임이 없는 가군이다. 이는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군에 대한 구조 정리의 결과인데, 그 기본 형태는 PID 위의 유한 생성 가군이 꼬임 가군과 자유 가군의 직합이라고 말한다. 그러나 다음과 같이 직접적으로 보일 수도 있다. ''M''을 PID ''A'' 위의 꼬임이 없는 유한 생성 가군이고, ''F''를 최대 자유 부분 가군이라고 하자. $f M \subset F$ 가 되도록 하는 ''A''의 ''f''를 취하자. 그러면 $fM$ 은 자유 가군의 부분 가군이고 ''A''가 PID이므로 자유 가군이다. 이제 $f: M \to fM$ 은 ''M''이 꼬임이 없으므로 동형 사상이다.

위와 동일한 논리에 의해, 데데킨트 정역 ''A'' (또는 더 일반적으로 반유전환) 위의 유한 생성 가군은 꼬임이 없는 가군일 때에만 사영 가군이다; 결과적으로, ''A'' 위의 유한 생성 가군은 꼬임 가군과 사영 가군의 직합이다. 뇌터 정역 위의 유한 생성 사영 가군은 상수 랭크를 가지므로, ''A'' 위의 유한 생성 가군의 생성 랭크는 그 사영 부분의 랭크이다.

참조

_[1] 문서
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 서적 Lectures on modules and rings Springer
_[6] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves http://www.math.u-bo[...] Oxford University Press 2006-06-29
_[7] 저널 Faisceaux algébriques cohérents http://www1.mat.unir[...] 2016-05-10
_[8] 저널 Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas http://www.numdam.or[...] 2016-05-10
_[9] 서적 Model theory and modules Cambridge University Press 1988
_[10] 저널 Purity in functor categories 1968-03
_[11] 서적 Algebraic geometry Springer 1977

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