정역학
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1. 개요
정역학은 정지 상태에 있는 물체의 힘과 평형 상태를 연구하는 역학의 한 분야이다. 아르키메데스는 정역학 분야의 선구적인 연구를 수행했으며, 힘, 모멘트, 평형 등의 개념을 다룬다. 정역학은 건축학, 구조역학, 유체 정역학 등 다양한 분야에 응용되며, 구조물 분석, 유압 시스템 설계 등에 중요한 역할을 한다.
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| 정역학 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 분야 | 역학 |
| 하위 분야 | 연속체 역학 |
| 정의 | |
| 정의 | 비운동 시스템에서 힘의 균형에 관한 역학 분야 |
2. 역사
(내용 없음)
2. 1. 고대
아르키메데스(기원전 287년경 ~ 기원전 212년경)는 정역학 분야에서 선구적인 연구를 수행한 것으로 알려져 있다.[1][2] 이후 정역학 분야의 발전은 사비트 이븐 쿠라의 저술에서도 찾아볼 수 있다.[3]2. 2. 중세 및 근대
정역학 분야의 후기 발전은 사비트 이븐 쿠라의 저서에서 찾아볼 수 있다.[3]3. 기초 개념
정역학을 이해하기 위해 기본적으로 알아야 할 몇 가지 개념이 있다.
- '''질점(Particle)''': 크기는 무시할 수 있고 질량만 가진다고 가정하는 물체이다. 점 질량으로 생각할 수 있으며, 물체의 아주 작은 부분을 나타내거나 물체의 크기가 전체적인 움직임 분석에 중요하지 않을 때 사용된다.
- '''강체(Rigid body)''': 외부 힘에 의해 형태나 크기가 변하지 않는 이상적인 물체를 말한다. 실제 물체는 힘을 받으면 변형되지만, 정역학에서는 대부분의 경우 물체 내부의 상대적인 변형이 매우 작아 무시할 수 있다고 가정하고 강체로 다룬다. 정역학은 주로 평형 상태에 있는 강체에 작용하는 외력을 계산하는 데 중점을 둔다.
3. 1. 힘 (Force)
힘은 한 물체가 다른 물체에 작용하는 것을 의미한다. 힘은 밀거나 당기는 작용이며, 물체를 힘이 작용하는 방향으로 움직이게 하려는 경향이 있다. 힘의 작용은 그 크기, 작용 방향, 그리고 작용점(또는 접촉점)에 의해 특징지어진다. 따라서 힘은 작용의 크기뿐만 아니라 방향에도 그 효과가 의존하기 때문에 벡터량이다.[4]힘은 크게 접촉력과 체력으로 분류할 수 있다.
- 접촉력: 물체 간의 직접적인 물리적 접촉에 의해 발생하는 힘이다. 예를 들어, 지지 표면이 물체에 가하는 힘이 접촉력에 해당한다.
- 체력: 물체가 특정 힘장 내에 위치함으로써 발생하는 힘으로, 다른 물체와의 직접적인 접촉 없이 작용한다. 중력, 전기장 또는 자기장과 같은 힘장이 체력을 생성하며, 대표적인 예로는 지구의 중력장에서 물체가 받는 무게가 있다.[5]
일상생활에서는 '힘'이라는 단어가 마력과 같은 일률이나 원자력과 같은 에너지 등 다양한 능력을 포괄하는 의미로 사용되기도 하지만, 물리학에서는 상호작용의 원인이나 방식에 따라 전기력, 중력, 핵력, 구심력 등으로 명확히 구분하여 사용한다.
3. 2. 모멘트 (Moment)
어떤 점으로부터 힘까지의 거리(모멘트 암)와 힘의 크기를 곱한 값이다. 힘이 물체를 회전시키려고 하는 작용의 크기를 나타낸다.점 P에 대한 힘 F의 모멘트 M은 M=Fl로 계산하며, 평면상에서는 회전 방향에 따라 양(+) 또는 음(-)의 부호를 붙인다.
힘은 물체를 작용선 방향으로 움직이게 할 뿐만 아니라, 특정 축을 중심으로 회전시키려는 경향도 가진다. 이 축은 힘의 작용선과 교차하지 않으며 평행하지 않은 모든 선이 될 수 있다. 이러한 회전 경향을 힘의 모멘트('''M''')라고 하며, 흔히 '''토크'''라고도 부른다.
점 ''O''에서 힘의 모멘트 크기는 ''O''점에서 힘 ''F''의 작용선까지의 수직 거리(''d'')에 힘의 크기(''F'')를 곱한 값과 같다. 즉, ''M'' = ''F'' · ''d'' 이다. 여기서 ''d''는 축에서 힘의 작용선까지의 수직 거리이며, 이를 모멘트 암이라고 한다.
모멘트의 방향은 오른손 법칙으로 결정된다. 일반적으로 반시계 방향(CCW) 회전을 일으키는 모멘트는 양(+)의 부호로, 시계 방향(CW) 회전을 일으키는 모멘트는 음(−)의 부호로 나타내는 규칙을 사용한다. 모멘트는 벡터량이므로 벡터 덧셈이 가능하다.
벡터 형식으로 모멘트는 기준점 O에서 힘의 작용점까지의 위치 벡터 '''r'''과 힘 벡터 '''F'''의 외적으로 정의할 수 있다.[6]
바리뇽의 정리에 따르면, 어떤 점에 대한 한 힘의 모멘트는 그 점에 대한 해당 힘의 각 성분들의 모멘트 합과 같다. 이는 여러 힘이 작용하는 계에서 힘들의 한 점 O에 대한 모멘트 합은 이 힘들의 합력의 O점에 대한 모멘트와 같다는 것을 의미하며, 평행한 여러 힘의 합력 위치를 찾는 데 유용하게 사용된다.
3. 3. 평형 (Equilibrium)
입자의 정적 평형은 정역학에서 중요한 개념이다. 입자에 작용하는 모든 힘의 합력이 0일 때 입자는 평형 상태에 있다. 직교 좌표계에서 평형 방정식은 세 개의 스칼라 방정식으로 표현될 수 있으며, 세 방향의 힘의 합이 모두 0이다.
이 개념의 공학적 응용 분야는 하중을 받는 최대 세 개의 케이블의 장력을 결정하는 것인데, 예를 들어 물체를 들어 올리는 호이스트의 각 케이블에 작용하는 힘이나 가이 와이어가 열기구를 지면에 고정시키는 힘을 계산하는 것이다.[7]
정역학은 건축학이나 구조역학에서 구조 분석 도구로 사용된다. 재료역학은 정역학과 밀접하게 관련된 역학의 한 분야이다.
3. 4. 질량, 공간, 시간
- '''공간(Space)''' : 좌표계에서 직선과 각도로서 기술되는 어떤 위치에서 물체가 차지하는 기하학적인 영역이다. 3차원 문제에서는 3개의 독립적인 좌표가 필요하며, 2차원 문제에서는 2개의 좌표만이 필요하다.
- '''시간(Time)''' : 어떤 사건의 연속에 대한 단위이며 동역학에서는 기본량에 해당한다. 하지만 정역학에서는 시간을 직접적으로 포함하지 않는다.
- '''질량(Mass)''' : 질량은 물체의 관성력에 대한 단위이다. 또한 질량을 어떤 물체 속에 있는 물질의 양으로도 생각할 수 있다. 물체의 질량은 서로 다른 물체끼리의 끌어당기는 힘에 영향을 미친다.
3. 5. 스칼라와 벡터
물리학에서 사용하는 대표적인 물리량의 한 형태는 스칼라이다. 같은 반에 속한 학생 수, 전자가 가지는 전하량, 길이, 에너지 등이 스칼라량에 속하며, 크기를 나타내는 수에 단위를 붙여서 그대로 사용한다. 에너지 5J, 전하량 1C, 이동 거리 5m 등은 모두 스칼라로 표현된 양들이다. '어떤 방향의' 혹은 '어떤 방향으로' 5J의 에너지라는 말이 어색하게 느껴지는 것은 이런 양들이 방향에 대한 정보를 포함하고 있지 않기 때문이다. 이처럼 방향과 상관없이 크기만 가지는 양을 스칼라라고 하며, 이 외에도 질량, 온도, 크기 같이 물체의 속성과 관련이 있는 양들 또한 스칼라량에 속한다.스칼라는 일반적인 사칙연산이 그대로 적용된다. 질량 2kg짜리 물체 위에 3kg짜리 물체를 얹으면 총 질량은 5kg이 된다. 이처럼 스칼라의 연산은 일상적으로 사용하는 더하기, 빼기, 나누기, 곱셈을 무리 없이 그대로 적용해서 사용할 수 있다. 하지만 스칼라가 이러한 사칙연산에만 사용되는 것은 아니고, 단위 길이를 가진 벡터와 곱하여져 벡터의 크기를 나타내는 데도 쓰인다. 예를 들어 5'''a'''→는 '''a'''→ 방향의 벡터가 5의 크기를 가짐을 나타내며, 스칼라와 벡터의 곱으로 표현된 양이다. 스칼라와 벡터의 곱은 결과적으로 벡터량이 된다.
크기와 방향을 가지는 양을 벡터라고 한다. 이와 대응되는 개념으로 크기만을 가지는 변량은 '스칼라'라고 부른다. 예를 들어 길이, 질량, 넓이는 스칼라이고 속도, 가속도, 힘은 벡터이다. 그림과 같이 방향이 있는 선분 AB로 나타내어지는 벡터를 기호로는 '''AB'''→로 나타내고, A를 벡터의 시점, B를 벡터의 종점이라 한다. 벡터를 문자로 나타낼 때에는 '''a'''→, '''b'''→ 등의 기호를 사용한다. 벡터의 크기를 기호로 |'''AB'''→|로 나타내고 이는 곧 선분 AB의 길이를 의미한다.
숫자에 사칙연산이 적용되듯 벡터에도 더하기, 빼기, 내적, 외적과 같은 몇 가지 연산이 정의되어 있다. 벡터 덧셈은 힘의 합 등을 구할 때 쓰이며, 벡터의 뺄셈은 변위를 구해서 속도 혹은 가속도 벡터를 얻기 위해 주로 사용한다. 벡터 내적은 에너지에 관한 단원에서 힘이 한 일을 계산할 때, 벡터 외적은 자기장 속을 움직이는 전하가 받는 힘(로런츠 힘)의 방향과 크기를 구할 때 각각 필요하다. 벡터는 물리학 전 범위에서 빠짐없이 사용되므로 네 가지 연산을 실제로는 어떻게 계산하는지 그리고 그 연산의 결과가 기하학적으로는 어떤 의미를 가지는지 이해하는 것이 좋다. 예를 들어 두 벡터의 외적은 각각을 두 변으로 가지는 평행사변형의 넓이를 구해서 두 벡터와 동시에 수직인 단위 벡터에 그 값을 곱해서 얻는 것과 같은 결과를 낳는다.
3. 6. 뉴턴의 운동 법칙
뉴턴 경은 질점의 운동을 지배하는 기본 법칙들을 최초로 서술하였고, 그 법칙들의 타당성을 입증하였다.- 뉴턴의 제3법칙: 물체 상호간에 작용하는 작용 힘과 반작용 힘은 크기가 같고 방향이 서로 반대이며 동일선 상에 놓여있다.
4. 관성 모멘트 (Moment of Inertia)
회전축을 중심으로 회전하는 물체가 계속해서 회전을 지속하려고 하는 성질의 크기를 나타낸다. 외부에서 힘이 작용하지 않는다면 관성 모멘트가 클수록 각속도는 작아진다.
고전역학에서 '''관성 모멘트'''(慣性模面特, Moment of Inertia영어)는 질량 모멘트, 회전 관성, 질량의 극 관성 모멘트 또는 각질량이라고도 하며 (SI 단위: kg·m²), 물체의 회전 변화에 대한 저항을 나타내는 척도이다. 즉, 회전하는 물체가 계속 회전하려는 성질(관성)의 정도를 의미한다. 관성 모멘트는 선형 운동에서의 질량과 유사한 역할을 하며, 회전 운동에서 각운동량과 각속도, 토크와 각가속도 사이의 관계 등 다양한 물리량을 설명하는 데 사용된다. 관성 모멘트 또는 극 관성 모멘트를 나타내는 기호로는 보통 ''I'' 와 ''J'' 가 사용된다.
많은 경우 관성 모멘트를 간단한 스칼라 값으로 다루는 것으로 충분하지만, 팽이나 자이로스코프 운동과 같이 더 복잡한 시스템을 분석하기 위해서는 텐서(텐서)를 이용한 접근 방식이 필요하다.
이 개념은 레온하르트 오일러가 1765년에 출판한 저서 Theoria motus corporum solidorum seu rigidorumla에서 처음 소개되었다. 오일러는 이 책에서 관성 모멘트뿐만 아니라 관성 주축 등 여러 관련 개념에 대해서도 논의했다.
5. 정역학의 응용
정역학은 건축학이나 구조역학과 같은 분야에서 구조물을 분석하고 설계하는 데 중요한 도구로 활용된다. 또한, 힘을 받는 물체의 변형과 내부 응력을 연구하는 재료역학 역시 정역학의 원리와 밀접하게 연관된 학문 분야이다.
5. 1. 구조물 분석
정역학은 건축공학 및 구조 공학과 같은 구조물 분석에 사용된다. 재료역학은 정적 평형의 적용에 크게 의존하는 관련 역학 분야이다.구조물 분석 시 특정 물체 또는 물체의 조합을 해석 대상으로 결정하면, 이 대상은 주위의 모든 물체로부터 분리된 단일 물체로 취급한다. 이러한 분리는 분리된 시스템을 단일 물체로 간주하여 도식적으로 나타낸 '''자유물체도(Free body diagram)'''를 통해 이루어진다. 자유물체도는 제거된 다른 물체와의 역학적 접촉에 의해 작용하는 모든 힘을 표현한다.[12]
트러스는 여러 개의 직선 부재들을 끝점에서 연결하여 구성한 구조물이다. 트러스를 구성하는 부재 및 외력이 동일 평면 내에 있는 평면 트러스는 구조 해석의 한 예이다. 실제 사용되는 것은 대부분 입체 트러스이지만, 계산이나 작도가 복잡해지기 때문에 설계 계산 등에서는 평면 트러스로 나누어 생각하는 경우가 많다. 이렇게 나누어 계산해도 실용적으로 충분한 강도를 확보할 수 있다.
트러스 해석에는 주로 격점법과 단면법이 사용된다.
- '''격점법(Method of joint)'''은 각 격점(부재가 만나는 점)의 연결핀에 작용하는 힘이 평형 상태에 있어야 한다는 조건을 이용한다. 한 점에 작용하는 힘의 평형 문제를 다루므로, 각 격점에서는 두 개의 독립적인 평형방정식(ΣFx=0, ΣFy=0)만을 사용할 수 있다.
- '''단면법(Method of section)'''은 트러스를 가상의 단면으로 절단했다고 가정하고, 절단된 두 부분 중 한쪽 부분의 힘 평형 조건을 이용하여 절단된 부재의 내부 힘(부재력)을 구하는 방법이다. 특정 부재의 힘을 직접 구하는 데 유용하다.
구조물의 안정성을 판단하는 데 중요한 개념 중 하나는 무게중심이다. 무게중심은 물체의 모든 질량이 모여있는 것처럼 작용하는 가상의 점이다. 이 점이 물체를 지지하는 기초 내부에 있는지 외부에 있는지에 따라 외부 힘에 대한 안정성이 결정된다.
- 무게중심이 기초 밖에 있으면, 물체에는 넘어뜨리려는 회전력(토크)가 작용하여 불안정해진다. 작은 외력에도 물체가 넘어지거나 쓰러질 수 있다.
- 무게중심이 기초 내에 있으면, 물체에 작용하는 순 토크가 없어 안정 상태를 유지한다.
- 무게중심이 기초의 경계선상에 있으면 물체는 준안정 상태라고 한다.
5. 2. 유체 정역학 (Hydrostatics)
유체 정역학은 정지 상태의 유체(정적 평형 상태)를 연구하는 학문이다. 정지 상태 유체의 중요한 특징은 유체 내 같은 깊이(또는 고도)의 모든 지점에서 임의의 입자에 작용하는 힘이 모든 방향으로 동일하다는 것이다. 만약 순 힘이 0보다 크면, 유체는 그 힘의 방향으로 움직이게 된다.이 개념은 1647년 프랑스의 수학자이자 철학자인 블레즈 파스칼에 의해 처음 공식화되었으며, 파스칼의 법칙으로 알려져 있다. 이 원리는 유압 및 수리학 분야에서 중요한 응용의 기초가 된다. 유체 정역학 발전에는 아르키메데스, 아부 알 레이한 비루니, 알-하자니[8], 갈릴레오 갈릴레이 등도 중요한 기여를 했다.
참조
[1]
서적
The Beginnings of Western Science
https://archive.org/[...]
The University of Chicago Press
[2]
서적
A History of Natural Philosophy
https://archive.org/[...]
Cambridge University Press
[3]
서적
Geometry : our cultural heritage
https://archive.org/[...]
Springer
2010
[4]
서적
Engineering Mechanics
John Wiley & Sons
[5]
서적
Engineering Mechanics
[6]
서적
Engineering Mechanics: Statics, 12th Ed.
https://archive.org/[...]
Pearson Prentice Hall
[7]
서적
Vector Statics For Engineers
McGraw Hill
[8]
간행물
Statics
[9]
웹사이트
静力学
[10]
웹사이트
経済静学・経済動学
[11]
웹사이트
한국물리학회 물리학용어집
https://www.kps.or.k[...]
[12]
서적
토목기사 과년도 시리즈 - 응용역학
성안당
2015
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