폰트랴긴 쌍대성

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

폰트랴긴 쌍대성은 하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군과 그 지표군 사이의 쌍대 관계를 설명하는 수학 이론이다. 군 G의 지표는 G에서 원군 U(1)로 가는 연속 군 준동형 사상이며, 지표들의 집합은 지표군으로 불린다. 폰트랴긴 쌍대성에 따르면, 지표군의 지표군은 원래 군과 동형이며, 이를 통해 국소 콤팩트 아벨 군과 그 지표군이 쌍대 관계를 이룬다는 것을 알 수 있다. 이 정리는 푸리에 변환, 군 대수, 플랑슈렐 정리 등과 관련이 있으며, 유한 아벨 군, 실수, 원군, p진수 등 다양한 예시를 포함한다. 폰트랴긴 쌍대성은 보어 콤팩트화, 범주론적 관점에서도 유용하게 사용되며, 가환 위상군, 위상 벡터 공간, 비가환 위상군으로 일반화될 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

위상군 - 하르 측도
하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
위상군 - 기본 영역
기본 영역은 위상 공간에서 군의 작용으로 생성된 궤도의 대표원 집합으로, 몫공간 적분 계산에 활용되며 위상적으로 충분히 좋고 준불변 측도에 대해 거의 열린 집합 조건을 만족해야 한다.
쌍대성이론 - 파동-입자 이중성
파동-입자 이중성은 모든 물질이 파동과 입자의 성질을 동시에 갖는 양자역학적 현상으로, 빛의 본성에 대한 오랜 논쟁 끝에 아인슈타인의 광전효과와 드 브로이의 물질파 이론, 이중 슬릿 실험 등을 통해 실험적으로 확인되었으며, 양자역학 해석의 핵심 주제이다.
쌍대성이론 - 드 모르간의 법칙
드 모르간의 법칙은 명제 논리, 술어 논리, 집합론, 부울 대수 등에서 결합 또는 분리의 부정을 각 요소의 부정의 분리 또는 결합으로 표현하는 논리적 원리이다.
조화해석학 - 라플라스 방정식
라플라스 방정식은 리만 다양체에서 라플라스-벨트라미 연산자의 2차 편미분 방정식이며, 조화 함수를 해로 갖고 유체 역학, 정전기학 등 다양한 분야에 응용된다.
조화해석학 - 하르 측도
하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.

폰트랴긴 쌍대성
일반 정보
분야	수학
하위 분야	조화 해석학, 군론
발명가	레프 폰트랴긴
상세 정보
정의	국소 콤팩트 아벨 군 사이의 쌍대성
관련 개념	푸리에 변환
중요성	조화 해석학의 기초

2. 정의

하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군 $G$ 가 주어졌을 때, $G$ 에서 원군(circle group) $U(1)$ 로 가는 연속 군 준동형 사상 $\gamma: G \to U(1)$ 를 $G$ 의 '''지표'''(character^영어)라고 정의한다. $G$ 의 지표들은 점별 곱셈을 통해 군을 이루는데, 이를 $G$ 의 '''지표군'''(character group^영어) $\hat G$ 이라고 정의한다. 지표군은 아벨 군이며, 콤팩트-열린집합 위상을 부여하면 $\hat G$ 은 국소 콤팩트 아벨 위상군이 된다.

지표군의 지표군 $\hat{\hat G}\cong G$ 은 원래 군과 동형임을 보일 수 있다. 구체적인 동형사상 $\iota\colon G\to\hat{\hat G}$ 은 다음과 같다.

: $\iota\colon g\mapsto(\gamma\mapsto\gamma(g))$

따라서, 국소 콤팩트 아벨 군과 그 지표군이 서로 쌍대 관계를 이루는 것을 알 수 있다. 이를 '''폰트랴긴 쌍대성'''이라고 한다.

이는 레프 폰트랴긴이 도입하고 존 폰 노이만, 앙드레 베유 등이 도입한 하르 측도와 결합된 이론으로, 국소 콤팩트 공간 아벨 군의 쌍대군 이론에 의존한다.

이는 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간과 유사하다. 군 $G$ 와 그 쌍대군 $\widehat{G}$ 는 일반적으로 동형이 아니지만, 그들의 자기 사상 환은 서로 반대이다: $\text{End}(G) \cong \text{End}(\widehat{G})^\text{op}$ .

2. 1. 폰트랴긴 쌍대성

하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군

G

와 그 이중 쌍대

\hat{\hat G}

사이에는 자연 동형 사상

\iota\colon G\to\hat{\hat G}

이 존재한다. 이는 군의 원소

g

를 쌍대군 위의 평가 함수(evaluation map)

\gamma\mapsto\gamma(g)

로 대응시키는 방식으로 이루어진다. 이를 폰트랴긴 쌍대성이라고 한다.

폰트랴긴 쌍대성은 다음과 같은 성질을 가진다.

$G$ 에서 원군(circle group) $U(1)$ 로 가는 연속 군 준동형 사상 $\gamma: G \to U(1)$ 를 $G$ 의 지표(character^영어)로 정의한다. $G$ 의 지표들은 모든 점에서의 곱셈(pointwise product)을 통해 군을 이룬다.
지표군은 아벨 군이며, 여기에 콤팩트-열린집합 위상을 주면 $\hat G$ 은 국소 콤팩트 아벨 위상군을 이룬다.
지표군의 지표군 $\hat{\hat G}\cong G$ 은 원래 군과 동형이다.
국소 콤팩트 아벨 군과 그 지표군이 서로 쌍대 관계를 이룬다.

이는 레프 폰트랴긴이 도입하고 존 폰 노이만, 앙드레 베유 등이 도입한 하르 측도와 결합된 이론으로, 국소 콤팩트 공간 아벨 군의 쌍대군 이론에 의존한다.

이는 벡터 공간의 쌍대 벡터 공간과 유사하다. 군

G

와 그 쌍대군

\widehat{G}

는 일반적으로 동형이 아니지만, 그들의 자기 사상 환은 서로 반대이다:

\text{End}(G) \cong \text{End}(\widehat{G})^\text{op}

.

모든 국소 콤팩트 아벨 군

G

와 그 이중 쌍대 사이에는 자연 동형 사상

G\cong\widehat{\widehat{G}}

이 존재한다.

표준형은 자연스럽게 정의된 사상

\operatorname{ev}_G\colon G \to \widehat{\widehat{G}}

가 있다는 것을 의미한다. 군

G

의 곱셈적 문자

\chi

에 대해, 표준 동형 사상

\operatorname{ev}_G

는

x\in G

에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{ev}_G(x)(\chi) = \chi(x) \in\mathbb{T}.

다시 말해,

:

\operatorname{ev}_G(x) : (\chi \mapsto \chi(x)).

즉, 각 군 원소

x

는 쌍대 위에 있는 평가 문자로 식별된다. 이것은 유한 차원 벡터 공간과 그 이중 쌍대 사이의 표준 동형 사상,

V \cong V^{**}

과 매우 유사하며, 모든 벡터 공간

V

는 아벨 군이다.

''G''를 국소 콤팩트 가환군이라고 할 때, ''G''의 지표는 원주군 ''T''에 값을 갖는 ''G'' 위의 연속군 준동형을 의미한다. ''G''의 지표 전체의 집합은 그 자체가 ''G''의 쌍대군이라고 불리는 국소 콤팩트 군을 이룬다.

쌍대군 위의 군 연산은 지표의 점별 곱, 지표의 역원은 그 복소 공액, 위상은 콤팩트 집합 위의 균등 수렴 위상(즉, 콤팩트 열린 위상)에 의해 주어진다. 이 위상은 일반적으로 거리화 가능하지 않지만, 군 ''G''가 가분 국소 콤팩트 가환군이라면 그 쌍대군은 거리화 가능하다.

아벨 군 ''G''의 쌍대군은

\hat G

로 표시된다.

'''정리''':

\hat G

의 쌍대군은 ''G''와 자연 동형이다. 즉, 자연스럽게

(\hat G)

^{^} = G로 간주할 수 있다.

여기서 "자연스러운"(또는 표준적인)이라는 형용은, ''G''에서

(\hat G)

^{^}로의 사상을 정의할 수 있고, 그 사상이 함자(functorial)이라는 것을 의미한다.

이 사실은 중요하며, 예를 들어 어떠한 유한 아벨 군도 그 쌍대군과 동형이지만, 자연 동형은 아니다. 정리에서 말하는 자연 동형은

:

x \mapsto \{\chi \mapsto \chi(x) \}\mbox{ i.e. } x(\chi):=\chi(x)

로 정의함으로써 주어진다. 다시 말해, 군의 각 원소 ''x''는 쌍대군 위의 지표와 동일시된다.

3. 성질

폰트랴긴 쌍대성은 하우스도르프 아벨 위상군에 대해 여러 성질들의 쌍대성을 보여준다. 예를 들어, 어떤 군이 콤팩트하면 그 쌍대군은 이산적이고, 어떤 군이 이산적이면 그 쌍대군은 콤팩트하다.^[1] 이러한 쌍대성은 범주의 동치로도 표현될 수 있다.^[1]

모든 국소 콤팩트 아벨 군 $G$ 와 그 이중 쌍대 사이에는 자연 동형 사상 $G\cong\widehat{\widehat{G}}$ 이 존재한다.^[1] 표준형 사상 $\operatorname{ev}_G\colon G \to \widehat{\widehat{G}}$ 는 군 $G$ 의 곱셈적 문자 $\chi$ 에 대해, $x\in G$ 에 대하여 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{ev}_G(x)(\chi) = \chi(x) \in\mathbb{T}.$

이는 유한 차원 벡터 공간과 그 이중 쌍대 사이의 표준 동형 사상과 유사하다.^[1] 만약 $G$ 가 유한 아벨 군이라면, $G \cong \widehat{G}$ 이지만 이 동형 사상은 표준적이지 않다.^[1]

폰트랴긴 쌍대성의 중요한 응용 중 하나는 다음과 같은 콤팩트 아벨 위상군의 특징화이다.^[1]

국소 콤팩트 ''아벨'' 군 $G$ 가 콤팩트일 필요충분조건은 이중 군 $\widehat{G}$ 가 이산군인 것이다.
반대로, $G$ 가 이산군이면 $\widehat{G}$ 가 콤팩트이다.

보어 콤팩트화는

G

가 국소 콤팩트인지 아벨인지 여부에 관계없이 모든 위상군

G

에 대해 정의된다. 콤팩트 아벨 군과 이산 아벨 군 간의 폰트랴긴 쌍대성을 사용하여, 임의의 아벨 ''국소 콤팩트'' 위상군의 보어 콤팩트화를 특징지을 수 있다.^[1]

G

의 보어 콤팩트화

B(G)

는

\widehat{H}

인데, 여기서 ''H''는 군 구조

\widehat{G}

를 갖지만 이산 위상을 갖는다.^[1]

폰트랴긴 쌍대성은 함자적으로도 유용하게 고려될 수 있다. 국소적으로 콤팩트한 아벨 군과 연속 군 준동형 사상의 범주인 '''LCA'''에서, 쌍대군 구성은 원환군

\mathbb{T}

에 의해 표현되는 반변 함자 '''LCA''' → '''LCA'''이다. 이중 쌍대 함자

G \to \widehat{\widehat{G}}

는 공변이다.^[1]

폰트랴긴 쌍대성의 범주적 공식화는 '''LCA'''의 항등 함자와 이중 쌍대 함자 사이의 자연 변환이 동형 사상이라는 것이다. 이는 유한 차원 벡터 공간의 이중 쌍대와 유사하다.^[1]

쌍대성은 이산군과 콤팩트 군의 부분 범주를 교환한다. 만약

R

이 환이고

G

가 왼쪽

R

-가군이라면, 쌍대군

\widehat{G}

는 오른쪽

R

-가군이 된다. '''LCA'''에서 자기 준동형 사상의 환

\text{End}(G)

는 쌍대성에 의해 그 반대 환으로 바뀐다.^[1]

3. 1. 폰트랴긴 쌍대성과 군의 성질

폰트랴긴 쌍대성에 따르면, 하우스도르프 아벨 위상군

G

와 그 쌍대군

\hat G

에 대해 다음 조건들이 서로 대응된다. 즉,

G

가 왼쪽 조건을 만족하면

\hat G

는 오른쪽 조건을 만족하고, 그 역도 성립한다.

군 $G$ 의 조건	군 $\hat G$ 의 조건
국소 콤팩트	국소 콤팩트
콤팩트	이산
콤팩트 거리화 가능	이산 가산
콤팩트 연결	이산, 꼬임 부분군이 자명군
콤팩트 경로 연결	이산 화이트헤드 군
유한 차원 실수 벡터 공간	유한 차원 실수 벡터 공간
이산 유한	이산 유한
제2 가산	제2 가산
거리화 가능	시그마 콤팩트

$\hat{\hat G}\cong G$ 이므로, 위 조건들은 서로 맞바꿀 수 있다.

이러한 대응 관계는 범주의 동치로도 나타낼 수 있다. 예를 들어, 하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군과 연속 군 준동형의 범주는 자기 자신과 반대 범주(opposite category)가 동치이다.

4. 푸리에 변환

국소 콤팩트 아벨 위상군 위에서 푸리에 변환을 정의하면 그 결과는 폰트랴긴 쌍대군 위에서의 함수로 나타난다.

국소 콤팩트 아벨 위상군 $G$ 위에 하르 측도 $\mu$를 정의한다. $G$ 위의 적분 가능 함수 $f\in L^1(G)$의 푸리에 변환 $\hat f\colon\hat G\to\mathbb C$은 다음과 같다. 모든 $\hat g\in\hat G$에 대하여,

:$\hat f(\hat g)=\int_Gf(g)\overline{\hat g(g)}\,d\mu(g)$

마찬가지로, $\hat f\in L^1(\hat G)$의 역 푸리에 변환은 다음과 같다.

:$f(g)=\int_{\hat G}\hat f(\hat g)\hat g(g)\,d\hat\mu(\hat g)$

여기서 $\hat\mu$은 쌍대군 $\hat G$ 위에 정의된 하르 측도이다. 역 푸리에 변환이 푸리에 변환의 역이 되게 하는 $\hat\mu$는 $G$의 측도 $\mu$에 의해 유일하게 결정되는데, 이를 $\mu$의 '''쌍대 측도'''(dual measure^영어)라고 한다.

보다 일반적으로, (\슈바르츠 함수의 일반화인) 를 사용하여 조절 분포를 정의할 수 있다.

4. 1. 하르 측도

국소 콤팩트 군 $G$에서, 충분히 규칙적인 부분 집합의 "크기"를 일관되게 측정할 수 있는, 본질적으로 고유한 측도를 하르 측도라고 한다. 여기서 "충분히 규칙적인 부분 집합"은 보렐 집합을 의미한다. 즉, 콤팩트 부분 집합에 의해 생성된 σ-대수의 원소이다.

좀 더 명확하게, 국소 콤팩트군 $G$ 위의 '''오른쪽 하르 측도'''는 $G$의 보렐 집합에 정의된 가산 가법 측도 μ이며, $G$의 원소 $x$와 $G$의 보렐 부분 집합 $A$에 대해 $\mu(Ax) = \mu(A)$인 의미에서 ''오른쪽 불변''이며, 또한 일부 규칙성 조건을 만족한다. 양의 스케일링 인자를 제외하면, $G$ 위의 하르 측도는 유일하다.

$G$ 위의 하르 측도는 군 위에 정의된 (복소수 값을 갖는) 보렐 함수에 대한 적분의 개념을 정의할 수 있게 해준다. 특히, 하르 측도 $\mu$와 관련된 다양한 ''L^p'' 공간을 고려할 수 있다. 구체적으로,

$ \mathcal L^p_\mu(G) = \left \{ (f: G \to \mathbb{C}) \ \Big| \ \int_G |f(x)|^p\ d \mu(x) < \infty \right \}. $

$G$ 위의 두 하르 측도는 스케일링 인자까지 같으므로, 이 $L^p$ 공간은 하르 측도의 선택에 독립적이며, 따라서 $L^p(G)$로 쓸 수도 있다. 그러나 이 공간의 $L^p$-노름은 하르 측도의 선택에 따라 달라지므로, 등거리를 이야기하려면 사용되는 하르 측도를 추적하는 것이 중요하다.

콤팩트 군의 경우, 통상적으로 군의 부피가 1이 되게 ($\operatorname{vol}(G)=1$) 하는 측도를 사용하며, 이산 군의 경우 이산 측도를 사용한다. 콤팩트성과 이산성은 서로 쌍대적이며, 군의 부피가 1이 되는 측도의 쌍대 측도는 이산 측도이다.

4. 2. 푸리에 변환과 역변환

국소 콤팩트 아벨 위상군

G

위의 적분 가능 함수

f\in L^1(G)

의 '''푸리에 변환'''

\hat f\colon\hat G\to\mathbb C

은 다음과 같이 정의된다. 모든

\hat g\in\hat G

에 대하여,

:

\hat f(\hat g)=\int_Gf(g)\overline{\hat g(g)}\,d\mu(g)

여기서

\mu

는

G

위에 정의된 하르 측도이다.

마찬가지로,

\hat f\in L^1(\hat G)

의 '''역 푸리에 변환'''은 다음과 같다.

:

f(g)=\int_{\hat G}\hat f(\hat g)\hat g(g)\,d\hat\mu(\hat g)

여기서

\hat\mu

은 쌍대군

\hat G

위에 정의된 하르 측도이다. 역 푸리에 변환이 푸리에 변환의 역이 되게 하는

\hat\mu

는

G

의 측도

\mu

에 의해 유일하게 결정되는데, 이를

\mu

의 '''쌍대 측도'''(dual measure^영어)라고 한다.

콤팩트 군의 경우, 통상적으로 군의 부피가 1이 되게 (

\operatorname{vol}(G)=1

) 하는 측도를 사용하며, 이산군의 경우 이산 측도를 사용한다. 콤팩트성과 이산성은 서로 쌍대적이며, 군의 부피가 1이 되는 측도의 쌍대 측도는 이산 측도이다.

다양한 푸리에 변환은 도메인과 변환 도메인(군과 쌍대군)에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다. (

\mathbb T

는 원군이다.)

변환	원본 도메인, $G$	변환 도메인, $\hat{G}$	측도, $\mu$
푸리에 변환	$\R$	$\R$	$\text{상수} \times \text{르베그 측도}$
푸리에 급수	$\mathbb{T}$	$\Z$	$\text{상수} \times \text{르베그 측도}$
이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)	$\Z$	$\mathbb{T}$	$\text{상수} \times \text{계수 측도}$
이산 푸리에 변환 (DFT)	$\Z_n$	$\Z_n$	$\text{상수} \times \text{계수 측도}$

4. 3. 군 대수 (Group Algebra)

국소 콤팩트 아벨군

G

위의 적분 가능 함수 공간은 합성곱을 연산으로 하는 대수를 이룬다. 이를

G

의 '''군 대수'''라고 한다.

두 적분 가능 함수

f

와

g

의 합성곱은 다음과 같이 정의된다.

:

(f * g)(x) = \int_G f(x - y) g(y) \, d\mu(y)

여기서

\mu

는

G

위의 하르 측도이다.

푸비니-토넬리 정리에 의해, 합성곱은

L^1

노름에 대해 부분 곱셈적이어서

L^1(G)

를 바나흐 대수로 만든다.

G

가 이산군인 경우에만 곱셈 항등원을 가지지만, 일반적으로 근사 항등원을 가진다.

푸리에 변환은 합성곱을 점별 곱셈(pointwise product)으로 변환한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\mathcal{F}(f * g)(\chi) = \mathcal{F}(f)(\chi) \cdot \mathcal{F}(g)(\chi)

이는 가환 바나흐 대수

L^1(G) \to C_0\left(\widehat{G}\right)

(노름 ≤ 1)의 준동형사상이다.

특히,

G

의 모든 군 지표에 대해, 다음과 같이 정의된 군 대수 위의 고유한 ''곱셈 선형 범함수''가 대응된다.

:

f \mapsto \hat{f}(\chi)

이러한 곱셈 선형 범함수는 군 대수 위의 비자명(즉, 항등적으로 0이 아닌) 곱셈 선형 범함수 전체를 이룬다는 중요한 성질을 갖는다. 이는 푸리에 변환이 겔판드 변환의 특별한 경우임을 의미한다.

4. 4. 플랑슈렐 정리 (Plancherel Theorem)

Plancherel theorem^영어(플랑슈렐 정리)에 따르면, L² 공간에서의 푸리에 변환은 유니타리 연산자이다. 즉, 함수 f가 G에서 제곱 적분 가능하면, 그 푸리에 변환

\widehat{f}

도 제곱 적분 가능하며, 다음 식이 성립한다.

:

\int_G |f(x)|^2 \ d \mu(x) = \int_{\widehat{G}} \left|\widehat{f}(\chi)\right|^2 \ d \nu(\chi).

여기서

\mu

는 G 위의 하르 측도,

\nu

는 쌍대군

\widehat{G}

위의 쌍대 측도이다.

이는 푸리에 변환이

G

위의 컴팩트 지지 복소수 값 연속 함수에서

\widehat{G}

위의

L^2

함수로의

L^2

등거리 변환임을 의미한다.

G

위의 컴팩트 지지 복소수 값 연속 함수는

L^2

공간에서 조밀하므로, 푸리에 변환은 유일하게 유니타리 연산자로 확장될 수 있다.

:

\mathcal{F}: L^2_\mu(G) \to L^2_\nu\left(\widehat{G}\right).

비콤팩트 국소 콤팩트 군의 경우,

L^1(G)

는

L^2(G)

를 포함하지 않으므로, 일반적인

L^2

함수의 푸리에 변환은 적분 공식으로 주어지지 않는다.

L^2

푸리에 변환을 정의하려면, 컴팩트 지지 연속 함수와 같은 조밀한 부분 공간에서 시작하여 연속성을 통해 전체 공간으로 등거리 변환을 확장해야 한다.

쌍대군은 자체적으로 역 푸리에 변환을 가지며, 이는

L^2

푸리에 변환의 역(또는 수반)으로 특징지을 수 있다. 푸리에 역변환 공식에 따르면, 푸리에 변환을 콤팩트 지지 연속 함수로 제한한 것의 수반 작용소는 역 푸리에 변환이다.

:

L^2_\nu\left(\widehat{G}\right) \to L^2_\mu(G)

5. 예

다음과 같은 폰트랴긴 쌍대군들이 존재한다.

위상군	쌍대 위상군
표준 위상의 실수 덧셈군 $\mathbb R$	표준적 위상의 실수 덧셈군 $\mathbb R$
표준 위상의 원군 $\operatorname U(1)\cong\mathbb R/\mathbb Z$	이산 위상의 정수 덧셈군 $\mathbb Z$
이산 위상의 유리수 덧셈군 ℚ	$\mathbb A_{\mathbb Q}/\mathbb Q$ ^[5], 아델 환의 표준 위상의 몫위상
이산 위상의 $\mathbb Q/\mathbb Z$	정수환의 사유한 완비 $\hat{\mathbb Z}$
이산 위상의 프뤼퍼 군 $\mathbb Z(p^\infty)$	표준 위상의 p진 정수 덧셈군 $\mathbb Z_p$
$G\times H$	$\hat G\times\hat H$
직합 $\bigoplus_iG_i$	직접곱 $\prod_i\hat G_i$

U(1) 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 ℤ 위에 정의된 함수(수열)이며, 이는 주기함수의 푸리에 급수에 해당한다. 순환군 위에 정의된 함수의 푸리에 변환은 이산 푸리에 변환에 해당한다.

p진수 덧셈군 $\mathbb Q_p$ 와 수체 $K$ 의 아델 환 $\mathbb A_K$ 의 덧셈군은 자기 자신과 동형이다.

5. 1. 유한 아벨 군

순환군

\mathbb Z/n\mathbb Z

의 폰트랴긴 쌍대군은

\tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z

이며, 이는 (비표준적으로) 원래 군과 동형이다. 이 경우 폰트랴긴 쌍대성에 의하여 존재하는 군 준동형은 다음과 같다.

:

(\mathbb Z/n\mathbb Z)\times(\tfrac1n\mathbb Z/\mathbb Z)\to\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

:

([a],[b])\mapsto\exp(2\pi iab)

모든 유한 아벨 군은 순환군들의 직합으로 나타낼 수 있으므로, 모든 유한 아벨 군의 쌍대군은 순환군들로 분해한 뒤 각 성분을 위와 같이 쌍대화하여 얻을 수 있다.

5. 2. 실수 벡터 공간

유한 차원 실수 벡터 공간

V

의 폰트랴긴 쌍대군은 쌍대 공간

V^*

이다.^[5] 이 경우

V

와

V^*

사이에는 동형이 존재하지만, 이는 표준적이지 않다. 폰트랴긴 쌍대성은 다음과 같다.

:

V\times V^*\to\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}

:

(u,v)\mapsto\exp(2\pi iu\cdot v)

무한 차원 실수 벡터 공간은 일반적으로 국소 콤팩트 공간이 아니므로 해당되지 않는다.

5. 3. p진수

표준 위상의 p진수 덧셈군

\mathbb Q_p

는 자기 자신과 동형이다.^[5]

5. 4. 수체 (Number Field)

수체

K

의 덧셈군에 이산 위상을 주었을 때, 그 폰트랴긴 쌍대군은

\hat K\cong\mathbb A_K/K

이다.^[5] 여기서

\mathbb A_K

는 수체

K

의 아델 환이다. 즉, 다음 짧은 완전열은 폰트랴긴 쌍대성에 대하여 대칭이다.

:

0\to K\to\mathbb A_K\to\mathbb A_K/K\to0

6. 보어 콤팩트화 (Bohr Compactification)

보어 콤팩트화는 $G$ 가 국소 콤팩트인지 아벨 군인지 여부에 관계없이 모든 위상군 $G$ 에 대해 정의된다. 콤팩트 아벨 군과 이산 아벨 군 간의 폰트랴긴 쌍대성을 사용하는 한 가지 용도는 임의의 아벨 ''국소 콤팩트'' 위상군의 보어 콤팩트화를 특징짓는 것이다. $G$ 의 ''보어 콤팩트화'' $B(G)$ 는 $\widehat{H}$ 인데, 여기서 ''H''는 군 구조 $\widehat{G}$ 를 갖지만 이산 위상을 갖는다. 포함 사상

: $\iota: H \to \widehat{G}$

는 연속적이고 준동형이므로 쌍대 사상

: $G \sim \widehat{\widehat{G}} \to \widehat{H}$

는 콤팩트 군으로의 사상이며, 이것이 필요한 보편적 성질을 만족하는 것은 쉽게 보일 수 있다.

7. 범주론적 관점

폰트랴긴 쌍대성은 함자(functor)적으로 유용하게 고려될 수 있다. '''LCA'''를 국소적으로 콤팩트한 아벨 군과 연속 군 준동형 사상의 범주라고 하자. $\widehat{G}$ 의 쌍대군 구성은 원환군 $\mathbb{T}$ 에 의해 (표현 가능 함자의 의미에서) $\widehat{G}= \text{Hom}(G, \mathbb{T}).$ 로 표현되는 반변 함자 '''LCA''' → '''LCA'''이다. 특히, 이중 쌍대 함자 $G \to \widehat{\widehat{G}}$ 는 ''공변''이다.

폰트랴긴 쌍대성의 범주적 공식화는 '''LCA'''의 항등 함자와 이중 쌍대 함자 사이의 자연 변환이 동형 사상이라는 것이다. 자연 변환의 개념을 풀면, 이는 모든 국소적으로 콤팩트한 아벨 군 $G$ 에 대해 사상 $G \to \operatorname {Hom}(\operatorname {Hom}(G, T), T)$ 가 동형 사상이며, 이 동형 사상은 $G$ 에서 함자적임을 의미한다. 이 동형 사상은 유한 차원 벡터 공간의 이중 쌍대와 유사하다(실수 및 복소수 벡터 공간의 특수한 경우).

이 공식화의 직접적인 결과는 퐁트랴긴 쌍대성의 또 다른 일반적인 범주적 공식화이다. 즉, 쌍대군 함자는 '''LCA'''에서 '''LCA'''^op로의 범주 동치이다.

쌍대성은 이산군과 콤팩트 군의 부분 범주를 교환한다. 만약 $R$ 이 환이고 $G$ 가 왼쪽 $R$ -가군이라면, 쌍대군 $\widehat{G}$ 는 오른쪽 $R$ -가군이 된다. 이러한 방식으로 이산 왼쪽 $R$ -가군은 콤팩트 오른쪽 $R$ -가군과 퐁트랴긴 쌍대성이 있다는 것을 알 수 있다. '''LCA'''에서 자기 준동형 사상의 환 $\text{End}(G)$ 는 쌍대성에 의해 그 반대 환으로 바뀐다(곱셈 순서를 변경). 예를 들어, $G$ 가 무한 순환 이산군이면, $\widehat{G}$ 는 원환군이다. 전자는 $\text{End}(G) = \Z$ 를 가지므로 후자에도 해당된다.^[1]

8. 역사

레프 폰트랴긴이 1934년에 폰트랴긴 쌍대성을 도입하였다.^[6] 이후 에흐베르튀스 판 캄펀(1935)^[7]과 앙드레 베유(1940)^[8]가 이를 일반적인 국소 콤팩트 아벨 군에 대하여 확장하였다.

1950년에 존 테이트가 박사 학위 논문에서 유체론을 사용하여 아델 환 및 대수적 수체의 폰트랴긴 쌍대성을 분석하였고, 이와사와 겐키치도 독자적으로 사실상 같은 이론을 거의 동시에 개발하였다. 이 이론을 '''테이트 학위 논문'''(Tate’s thesis^영어) 또는 '''테이트-이와사와 이론'''(Tate–Iwasawa theory^영어)이라고 한다.

폰트랴긴이 다룬 내용은 군이 제2 가산 공리를 만족하고, 콤팩트 군이거나 이산 군인 경우였다. 이 제약은 후에 이그베르트 판 캄펜(1935)과 앙드레 베유(1953)에 의해 제거되어, 일반적인 국소 콤팩트 군을 대상으로 하는 것으로 일반화되었다.

9. 일반화

폰트랴긴 쌍대성은 국소 콤팩트가 아닌 위상군이나 비가환 위상군으로 일반화할 수 있다. 가환 위상군과 비가환 위상군의 경우, 이론이 매우 다르게 나타난다.^[2]^[3]^[4]

비가환군의 경우, 표현의 동형류에 대한 쌍대 대상은 1차원 표현만을 포함할 수 없고 군이 되지 않기 때문에, 가환군과 같은 비가환군 ''G''에 대한 이론은 존재하지 않는다. 범주론에서는 탄나-크레인 쌍대성을 통해 비가환적인 경우로 일반화할 수 있다. 하지만, 이는 ''G''^{^} 위의 플랑체렐 측도 문제를 다루어야 하며, 조화 해석에서 벗어나게 된다.^[2]^[3]^[4]

작용소환론의 언어로 공식화된 비가환군에 대한 쌍대 이론도 존재한다. 이 이론은 군 ''G''의 군환과 쌍대군 ''G''^{^}의 함수환이 동형이라는 점을 이용한다.^[2]^[3]^[4]

9. 1. 가환 위상군

G

가 하우스도르프 아벨 위상군일 때, 콤팩트-열린 위상을 갖는 군

\widehat{G}

는 하우스도르프 아벨 위상군이며,

G

에서 이중 쌍대

\widehat{\widehat{G}}

로의 자연 사상은 의미가 있다. 이 사상이 동형사상인 경우,

G

는 폰트랴긴 쌍대성을 만족한다고 말하며 (또는

G

가 ''반사군''^[1] 또는 ''반사군''이라고 한다), 이는

G

가 국소 콤팩트한 경우 외에도 여러 방향으로 확장되었다.^[5]

특히 사무엘 카플란^[2]^[6]은 1948년과 1950년에 임의의 곱과 가산 역극한의 국소 콤팩트 (하우스도르프) 아벨군이 폰트랴긴 쌍대성을 만족한다는 것을 보였다. 국소 콤팩트가 아닌 공간들의 무한 곱은 국소 콤팩트가 아님에 유의하라.

이후 1975년에 랑가차리 벤카타라만^[3]은 폰트랴긴 쌍대성을 만족하는 아벨 위상군의 모든 열린 부분군 자체가 폰트랴긴 쌍대성을 만족한다는 것을 보였다.

더 최근에는 세르히오 아르단자-트레비야노와 마리아 헤수스 차스코^[4]가 앞서 언급한 카플란의 결과를 확장했다. 그들은 폰트랴긴 쌍대성을 만족하는 아벨군의 수열의 직접 극한과 역극한도 그룹이 거리화 가능하거나

k_\omega

-공간인 경우 폰트랴긴 쌍대성을 만족한다는 것을 보였지만, 수열이 일부 추가 조건을 만족하는 경우 반드시 국소 콤팩트일 필요는 없었다.

그러나 폰트랴긴 쌍대성을 국소 콤팩트한 경우를 넘어 고려하고자 한다면 근본적인 측면이 달라진다. 엘레나 마르틴-페이나도르^[7]는 1995년에

G

가 폰트랴긴 쌍대성을 만족하는 하우스도르프 아벨 위상군이고, 다음의 자연 평가 페어링이

\begin{cases} G \times \widehat{G} \to \mathbb{T} \\ (x, \chi) \mapsto \chi(x) \end{cases}

(결합적으로) 연속이면,

G

는 국소 콤팩트하다는 것을 증명했다. 결과적으로, 폰트랴긴 쌍대성의 모든 비-국소 콤팩트 예시는 페어링

G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}

가 (결합적으로) 연속이지 않은 군이다.

폰트랴긴 쌍대성을 보다 광범위한 클래스의 가환 위상군으로 일반화하는 또 다른 방법은 이중 군

\widehat{G}

에 다소 다른 위상, 즉 ''전 유계 집합에서 균등 수렴의 위상''을 부여하는 것이다. 이 가정을 만족하는 군

G \cong \widehat{\widehat{G}}

은 ''스테레오타입 군''이라고 불린다. 이 클래스 역시 매우 넓으며 (그리고 국소 콤팩트 아벨군을 포함한다), 반사군 클래스보다 더 좁다.

폰트랴긴-판 캄펜(P-K) 쌍대성은 여러 방향으로 확장될 수 있다. S. Kaplan은 "폰트랴긴 쌍대성의 확장"^[2]에서 국소 컴팩트 하우스도르프 가환군의 임의 농도의 직적과 가산 역극한이 P-K 쌍대성을 만족함을 보였다. 이후 1975년 R. Venkataraman은 "폰트랴긴 쌍대성의 확장"^[3]에서 P-K 쌍대성을 갖는 가환 위상군의 임의의 열린 부분군이 스스로 P-K 쌍대성을 갖는 것을 보였다. 더 최근에는 S. Ardanza-Trevijano와 M.J. Chasco가 앞서 언급한 Kaplan의 결과를 확장하여 "위상 아벨군의 시퀀셜 극한의 폰트랴긴 쌍대성"^[4]에서 P-K 쌍대성을 만족하는 아벨군열의 순극한과 역극한이 P-K 쌍대성을 갖는 것은 그 군이 거리화 가능하거나 또는 ''k''_ω-공간일 때이며, 반드시 국소 컴팩트일 필요는 없지만, 그 외에 몇 가지 조건이 그 수열에 관해 만족되어야 한다.

9. 2. 위상 벡터 공간

마리안 F. 스미스는 1952년에 바나흐 공간과 반사 공간이 위상군(덧셈 연산을 갖춘)으로 간주될 때 폰트랴긴 쌍대성을 만족한다는 것을 발견했다.^[1] 이후 B. S. 브루도프스키, 윌리엄 C. 워터하우스, K. 브라우너는 이 결과를 모든 준완비 배럴 공간 (특히 모든 프레셰 공간)으로 확장할 수 있음을 보였다. 1990년대에 세르게이 아크바로프는 고전적인 폰트랴긴 반사성보다 더 강한 성질을 만족하는 위상 벡터 공간의 클래스를 설명했는데, 그 내용은 다음과 같다.

:

(X^\star)^\star\cong X

여기서

X^\star

은

X

의 ''전체 유계 집합에서의 균등 수렴 위상''을 갖춘 모든 선형 연속 범함수

f \colon X \to \Complex

의 공간을 의미하며,

(X^\star)^\star

은 같은 의미에서

X^\star

의 쌍대 공간을 의미한다. 이 클래스의 공간은 전형 공간이라고 불리며, 해당 이론은 폰트랴긴 쌍대성의 비가환 위상군으로의 일반화를 포함하여 함수 해석학과 기하학에서 일련의 응용 분야를 찾았다.^[2]

9. 3. 비가환 위상군

고전적인 폰트랴긴 쌍대성은 비가환 국소 콤팩트 군

G

에서는 여러 가지 이유로 작동하지 않는다. 예를 들어,

G

의 기약 표현이 항상 1차원이 아니며, 기약 유니타리 표현 집합에 곱셈을 도입하는 방법이 명확하지 않다. 따라서 비가환 위상군에 대한 쌍대성을 구성하는 문제는 완전히 새롭게 접근해야 한다.

현재까지 구축된 비가환 위상군에 대한 쌍대성 이론은 크게 두 가지로 나뉜다.

첫 번째 유형은 쌍대 대상이 원래 대상과 같은 특성을 갖는 이론이다. (폰트랴긴 쌍대성 자체와 유사)
두 번째 유형은 원래 대상과 쌍대 대상이 근본적으로 달라서 같은 종류의 대상으로 보기 어려운 이론이다.

역사적으로 두 번째 유형의 이론이 먼저 등장했다. 타다오 탄나카와 마르크 크레인은 탄나카-크레인 쌍대성으로 알려진 콤팩트 군에 대한 쌍대성 이론을 구축했다.^[1] 이 이론에서 군

G

의 쌍대 대상은 군이 아니라 그 표현의 범주

\Pi(G)

이다.

첫 번째 유형의 이론은 나중에 등장했으며, 그 예시로 유한 군에 대한 쌍대성 이론이 있다.^[1] 이 이론에서 유한 군의 범주는 군 대수

\Complex_G

를 취하는 연산에 의해 유한 차원 호프 대수의 범주로 임베딩된다. 따라서 폰트랴긴 쌍대성 함자는 쌍대 벡터 공간을 취하는 연산으로 변환된다.

1973년 레오니트 I. 바이네르만, 게오르기 I. 카츠, 미셸 에노크, 장-마리 슈바르츠는 모든 국소 콤팩트 군에 대해 이러한 유형의 일반적인 이론을 구축했다.^[1] 1980년대부터 양자군의 발견으로 이 분야의 연구가 다시 활발해졌으며, 구축된 이론이 양자군 이론에 적용되기 시작했다.^[1] 이 이론들은 C*-대수 또는 폰 노이만 대수의 언어로 공식화되었으며, 그 변형 중 하나가 최근의 국소 콤팩트 양자군 이론이다.^[1]

하지만 이러한 일반적인 이론은 군의 개념을 일반화하는 대상이 일반적인 대수적 의미에서 호프 대수가 아니라는 단점이 있다.^[1]

참조

_[1] Harvs
_[2] 논문 "Extensions of the Pontryagin duality" 第 I 部: 無限積 (infinite products) 1948
_[3] 논문 "Extensions of Pontryagin Duality"
_[4] 논문 "The Pontryagin duality of sequential limits of topological Abelian groups" 2005
_[5] 저널 The character group of '''Q''' https://web.archive.[...] 2013-05-11
_[6] 저널 The theory of topological commutative groups https://archive.org/[...] 1934-04
_[7] 저널 Locally bicompact Abelian groups and their character groups 1935
_[8] 서적 L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications Hermann 1940

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com