감쇠 (진동계)

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1. 개요

감쇠(Damping)는 진동하는 시스템에서 에너지 손실로 인해 진동의 진폭이 감소하는 현상을 의미한다. 감쇠는 운동 방정식의 무차원화를 통해 다양한 시스템의 진동 특성을 비교하는 데 사용되며, 감쇠비(ζ)는 시스템의 감쇠 정도를 나타내는 중요한 매개변수이다. 감쇠비의 값에 따라 부족 감쇠, 임계 감쇠, 과다 감쇠로 구분되며, 각각 진동의 정도와 평형 상태로의 수렴 속도가 다르다. 감쇠는 에너지의 산일을 유발하며, 점성 감쇠, 속도 제곱 감쇠, 쿨롱 마찰 감쇠, 히스테리시스 감쇠 등 다양한 종류가 있다. 실제 응용 분야로는 전기 시스템, 자기 감쇠, 자기유변 감쇠 등이 있으며, 로그 감쇠율과 퍼센트 오버슛은 감쇠 시스템의 특성을 분석하는 데 사용되는 지표이다.

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감쇠 (진동계)
감쇠 정보
정의	진동하는 물리 시스템의 진동을 줄이거나 막는 영향
관련 용어	에너지 소산
감쇠의 역할	진동 이론에서 중요
감쇠 시스템	에너지를 보존하지 않으며, 진동 에너지가 전달되는 시스템 (예: 자전거)
감쇠 유형
무감쇠 (Undamped)	감쇠가 없는 상태 (ζ = 0)
부족 감쇠 (Underdamped)	감쇠가 부족한 상태 (ζ < 1), 진동이 발생
임계 감쇠 (Critically damped)	감쇠가 최적 상태 (ζ = 1), 가장 빠른 정상 상태 복귀
과도 감쇠 (Overdamped)	감쇠가 과도한 상태 (ζ > 1), 느린 정상 상태 복귀

2. 운동 방정식

감쇠 진동을 설명하는 가장 기본적인 모델은 벽에 스프링으로 연결된 질점이 있는 조화 진동자 모델에, 속도에 비례하는 저항력을 만드는 감쇠 장치(댐퍼)를 추가한 것이다.

시간을 ''t'', 질점의 질량을 ''m'', 댐퍼의 감쇠 계수를 ''c'', 스프링 상수를 ''k'', 질점의 위치를 ''x''(''t'') (수직 방향으로만 움직인다고 가정)라고 할 때, 이 모델의 운동 방정식은 다음과 같은 선형 미분 방정식으로 표현된다.

:

m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0

이 방정식은 시스템의 움직임을 시간에 따라 기술한다. 여기서 위첨자 점(

\dot{x}

,

\ddot{x}

)은 각각 시간 미분 (속도와 가속도)을 나타낸다. 감쇠력이 속도에 비례하는 이러한 모델에서 계수 ''c''를 점성 감쇠 계수(viscous damping coefficient)라고 부른다.^[19]

또한, 시스템의 초기 상태를 정의하기 위해 다음과 같은 초기 조건이 필요하다.

:

x(0) = x_0

: 초기 위치 (시간 ''t''=0일 때의 위치)

:

\dot{x}(0) = v_0

: 초기 속도 (시간 ''t''=0일 때의 속도)

이 모델은 질점의 수직 위치 ''x''라는 단 하나의 자유도만을 가지므로 선형 1자유도 진동계라고 불린다. 비록 단순한 모델이지만, 이 시스템의 분석을 통해 감쇠 진동의 중요한 기본 원리를 이해할 수 있다.^[19]

2. 1. 간략 표현

질량-스프링-댐퍼계의 운동 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:

m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0

여기서 ''m''은 질량, ''c''는 점성 감쇠 계수, ''k''는 스프링 상수, ''x''는 시간에 따른 질점의 위치를 나타낸다. 위첨자 점은 시간 미분을 의미한다.

이 운동 방정식을 더 간결하게 표현하기 위해 다음 식을 사용하기도 한다.

:

\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0

이 식에 사용된 기호들은 다음과 같이 정의된다.

$c_\text{c} = 2\sqrt{mk}$ : 임계 점성 감쇠 계수 (critical viscous damping constant). 감쇠 진동에서 진동이 발생하는지 여부를 결정하는 기준이 되는 값이다.^[19]
$\zeta = \frac{c}{c_\text{c}}$ : 감쇠비 (damping ratio). 실제 감쇠 계수 ''c''와 임계 점성 감쇠 계수 ''c''_c의 비율로, 감쇠 정도를 나타내는 무차원 수이다.^[19]
$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ : 고유 각진동수 또는 비감쇠 고유 각진동수 (natural angular frequency). 감쇠가 없을 때 시스템이 가지는 고유한 진동수를 의미한다.^[19]

이러한 표현 방식은 시스템의 동적 특성을 감쇠비(

\zeta

)와 고유 각진동수(

\omega_0

)라는 두 가지 중요한 매개변수로 나타낼 수 있게 해준다.

2. 2. 무차원 형식

운동 방정식을 더 간결하게 표현하기 위해 다음 식을 자주 사용한다.

:

\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0

여기서 각 기호는 다음과 같이 정의된다.

$c_\text{c} = 2\sqrt{mk}$ : 임계 점성 감쇠 계수 (critical viscous damping constant)^[19]
$\zeta = \frac{c}{c_\text{c}}$ : 감쇠비 (damping ratio)^[19]
$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ : 고유 각진동수 또는 비감쇠 고유 각진동수 (natural angular frequency)^[19]

이 운동 방정식을 초기 조건을 포함하여 무차원수로 나타내면 다음과 같은 일반적인 형태를 얻을 수 있다.

:

\chi''(\tau) + 2\zeta\chi'(\tau) + \chi(\tau) = 0,

:

\chi(0) = 1, \quad \chi'(0) = \sigma

여기서 사용된 무차원 변수들은 다음과 같이 정의된다.

$' = \mathrm{d}/\mathrm{d}\tau$ : 무차원 시간에 대한 미분
$\tau = \omega_0 t$ : 무차원 시간
$\chi = x/x_0$ : 무차원 진폭
$\sigma = \frac{v_0}{x_0\omega_0}$ : 무차원 초기 속도

위의 무차원화된 식에서 알 수 있듯이, 이 감쇠 진동 운동을 지배하는 핵심적인 매개변수는 본질적으로 감쇠비 ''ζ''와 무차원 초기 속도 ''σ'' 두 가지뿐이다. 이 사실은 차원 해석을 통해서도 확인할 수 있다. 즉, 다양한 질량, 감쇠 계수, 스프링 상수를 가진 시스템이라도 감쇠비와 무차원 초기 속도가 같다면 동일한 형태의 운동을 보인다.

3. 해

조화 진동자의 고유 진동수 $\omega_n = \sqrt{k/m}$ 와 감쇠비 $\zeta$ 를 사용하여 감쇠 진동계의 운동 방정식은 다음과 같은 미분 방정식으로 표현할 수 있다.

: $\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_n\frac{dx}{dt} + \omega_n^2 x = 0$

이 방정식은 질량-스프링 시스템뿐만 아니라 전기 회로 등 다양한 물리계의 감쇠 현상을 설명하는 데 사용된다.

이 방정식의 해는 일반적으로 $x(t) = C e^{st}$ 형태를 가정하여 구할 수 있으며, 여기서 상수 ''s''는 다음 특성 방정식을 만족하는 값이다.

: $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$

이 이차 방정식의 근은 다음과 같다.

: $s = -\omega_n \zeta \pm \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}$

이 근의 형태는 감쇠비 $\zeta$ 의 값에 따라 달라지며, 이에 따라 시스템의 운동 양상, 즉 해의 형태가 결정된다. 감쇠비 $\zeta$ 의 값에 따라 해는 크게 네 가지 경우로 나눌 수 있다.^[5]

'''비감쇠''' ( $\zeta = 0$ ): 감쇠가 전혀 없는 이상적인 경우로, 시스템은 단순 조화 운동을 하며 영원히 진동한다.
'''부족 감쇠''' ( $0 < \zeta < 1$ ): 시스템은 평형점을 중심으로 진동하면서 지수 함수적으로 진폭이 줄어든다.
'''임계 감쇠''' ( $\zeta = 1$ ): 시스템은 진동(오버슛) 없이 가장 빠르게 평형 상태로 복귀한다.
'''과감쇠''' ( $\zeta > 1$ ): 감쇠가 매우 커서 시스템은 진동하지 않고 천천히 평형 위치로 돌아간다.

감쇠비 ''ζ''(제타) 값에 따른 감쇠 진동의 시간 변화 양상.
세로축은 무차원 진폭, 가로축은 무차원 시간 ( $\omega_n t$ ).

각각의 경우에 대한 자세한 해의 형태와 물리적 의미는 해당 하위 섹션에서 설명한다.

3. 1. 비감쇠 진동

스프링-질량 시스템과 같은 진동계에서 에너지 손실이 전혀 없는 이상적인 경우를 '''비감쇠'''(undamped) 진동이라고 한다. 이는 감쇠비 ζ(제타)가 0 (

\zeta = 0

)인 특수한 상황에 해당한다.^[19]

이 경우, 시스템은 외부 힘이 없다면 단순 조화 운동을 하며 무한정 진동하게 된다. 각 진동의 폭은 이전과 동일하게 유지된다. 비감쇠 진동의 해는 복소수 형태

\exp(i\omega_nt)

로 표현되거나, 일반적으로 다음과 같은 실수 함수 형태로 나타낼 수 있다.^[19]

:

x(t) = A \cos(\omega_n t + \phi)

여기서

A

는 진폭,

\omega_n

는 고유 진동수,

\phi

는 위상이다.

비감쇠 진동은 마찰이나 공기 저항 등 모든 종류의 에너지 손실을 무시하는 이론적인 모델이므로 자연계에서는 엄밀히 존재하기 어렵다. 하지만 마찰이 의도적으로 최소화된 시스템은 비감쇠 진동에 가까운 거동을 보일 수 있다.

3. 2. 감쇠 진동

감쇠가 있는 진동계의 가장 단순한 모델은 벽과 질점을 스프링으로 연결한 조화 진동자 모델에, 속도에 비례하는 저항력을 발생시키는 감쇠 요소를 더한 것이다. 시간을 ''t'', 질점의 질량을 ''m'', 댐퍼의 감쇠 계수를 ''c'', 스프링 상수를 ''k'', 질점의 위치를 ''x''(''t'') (수직 방향으로만 움직일 수 있다고 가정)라고 하면, 이 모델의 운동 방정식은 다음의 선형 미분 방정식으로 표현된다.

:

m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0

여기서 위첨자 점은 시간 미분을 의미한다. 이 식처럼 감쇠력이 속도에 비례하는 모델에서 계수 ''c''를 점성 감쇠 계수(viscous damping coefficient)라고 부른다.^[19] 질점의 수직 위치 ''x''만을 자유도로 하므로, 이를 선형 1자유도 진동계라고 한다. 이 계의 해석은 감쇠 진동의 중요한 기초 개념을 이해하는 데 도움을 준다.^[19]

운동 방정식을 더 간결하게 표현하기 위해 다음 식을 사용하기도 한다.

:

\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0

여기서 각 기호는 다음과 같이 정의된다.

$c_\text{c} = 2\sqrt{mk}$ : 임계 점성 감쇠 계수 (critical viscous damping constant) ^[19]
$\zeta = \frac{c}{c_\text{c}}$ : 감쇠비 (damping ratio) ^[19]
$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ : 고유 각진동수 또는 비감쇠 고유 각진동수 (natural angular frequency) ^[19]

이 방정식의 해는 감쇠비

\zeta

(제타)의 값에 따라 크게 네 가지 경우로 나뉜다.

감쇠 강도가 증가하는 감쇠 진동자의 위상 초상. 비감쇠에서 시작하여, 부족 감쇠, 임계 감쇠, 과잉 감쇠로 진행됩니다.

무감쇠 (Undamped): $\zeta = 0$ 인 경우이다. 이는 감쇠가 전혀 없는 이상적인 단순 조화 진동자에 해당하며, 질량은 영원히 진동한다. 해는 $\exp(i\omega_0t)$ 형태의 정현파이다. 실제 자연계에서는 마찰을 의도적으로 최소화한 경우가 가장 가깝다.

부족 감쇠 (Underdamped): $0 < \zeta < 1$ 인 경우이다. 이 경우 해는 다음과 같다.^[19]

:

x(t) = C e^{-\zeta\omega_0 t} \cos\left(\omega_d t-\alpha\right)

여기서

\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}

는 아래에서 설명할 감쇠 고유 각진동수이며, ''C''와 ''α''는 초기 위치

x(0)

와 초기 속도

\dot{x}(0)

에 의해 결정되는 상수이다. 이 해는 진폭이

e^{-\zeta\omega_0 t}

에 따라 지수 함수적으로 감소하는 진동 운동을 나타낸다. 질량은 평형점을 중심으로 진동하면서 점차 멈추게 된다. 좁은 의미의 '감쇠 진동'은 주로 이 경우를 가리킨다.^[19] 이때의 각진동수

\omega_d

는 다음과 같이 주어지며, 이를 감쇠 고유 각진동수(damped natural angular frequency)라고 부른다.^[19]

:

\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}

감쇠가 존재하므로 비감쇠 고유 각진동수

\omega_0

보다 작다. 감쇠 고유 진동수(damped natural frequency)

f_d

는

f_d = \omega_d / (2\pi)

이다. 번지 점프 줄의 진동 등이 이 예에 해당한다.

임계 감쇠 (Critically damped): $\zeta = 1$ 인 경우이다. 이는 부족 감쇠와 과감쇠의 경계에 해당한다. 시스템은 진동(오버슛) 없이 가장 빠르게 평형 상태로 복귀한다.^[5] 이 특성 때문에 문을 닫는 장치(도어 클로저) 등 많은 공학적 설계에서 목표로 하는 상태이다. 해의 형태는 다음과 같다.

:

x(t) = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}

여기서 A, B는 초기 조건으로 결정되는 상수이다.

과감쇠 (Overdamped): $\zeta > 1$ 인 경우이다. 감쇠가 매우 커서 시스템은 진동하지 않고 천천히 평형 위치로 돌아간다. 해는 두 개의 감쇠 지수 함수의 합으로 표현된다.^[19]

:

x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t} \left\{ A \exp\left(\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}\right) + B \exp\left(-\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}\right) \right\}

여기서 A, B는 초기 조건으로 결정되는 상수이다. 과감쇠는 오버슈팅이 발생하면 위험할 수 있는 상황, 예를 들어 자동 조종 장치로 비행기를 착륙시키는 경우 등에 적용될 수 있다.

이러한 감쇠 진동 모델과 그 해의 분석은 기계공학, 전기공학 등 다양한 분야에서 시스템의 동적 거동을 이해하고 설계하는 데 기초가 된다.

3. 3. 임계 감쇠

임계 감쇠는 과감쇠와 부족 감쇠 사이의 경계에 해당하는 특별한 감쇠 수준이다.^[5] 이 상태는 감쇠비 ζ(제타)가 정확히 1일 때 (

\zeta = 1

) 발생한다.^[19] 임계 감쇠의 가장 큰 특징은 시스템이 초기 위치를 넘어서는 오버슛 없이, 그리고 어떠한 진동도 하지 않고 가장 빠른 시간 내에 평형 상태로 돌아간다는 점이다.^[5] 이는 과감쇠 상태와 구별되는 중요한 차이점으로, 과감쇠 역시 진동은 없지만 평형 상태로 돌아가는 데 더 오랜 시간이 걸린다.

감쇠 진동자의 운동을 나타내는 미분 방정식

\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0

에서

\zeta = 1

을 대입하면 임계 감쇠 상태의 운동 방정식

\ddot{x}(t) + 2\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0

을 얻는다. 이 방정식의 해는 초기 위치

x(0) = x_0

와 초기 속도

\dot{x}(0) = v_0

에 따라 다음과 같이 주어진다.^[19]

:

x(t) = x_0 e^{-\omega_0 t} \left\{\left( \frac{v_0}{\omega_0 x_0} + 1 \right)\omega_0 t+1\right\}

여기서

\omega_0 = \sqrt{k/m}

는 고유 각진동수이다.

이러한 특성 때문에 임계 감쇠는 진동을 피하면서 가능한 한 빨리 시스템을 안정시키고자 하는 여러 엔지니어링 분야에서 이상적인 목표로 간주된다. 예를 들어, 문의 부드러운 닫힘을 조절하는 도어 클로저나 특정 계측 장비 등이 임계 감쇠의 원리를 응용한 대표적인 사례이다.^[5]

3. 4. 과감쇠

과감쇠(Overdamping)는 감쇠비

\zeta

가 1보다 큰 (

\zeta > 1

) 상태를 말한다.^[19] 이 상태에서는 시스템에 가해진 초기 변위 이후, 진동 없이 천천히 평형 위치로 복귀한다. 마치 점성이 매우 큰 유체 속에서 스프링-질량 시스템이 움직이는 것처럼, 질량은 초기 위치를 넘어서는 오버슛 현상 없이 원래 상태로 돌아온다.

미분 방정식

\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0

의 해를 구하기 위한 특성 방정식의 근

s = -\omega_0 (\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})

는

\zeta > 1

이므로

\zeta^2 - 1 > 0

이 되어, 서로 다른 두 개의 음의 실수가 된다. 따라서 시스템의 일반 해는 진동 항 없이 두 개의 지수 함수 감쇠 항의 합으로 표현된다.

:

x(t) = C_1 e^{s_1 t} + C_2 e^{s_2 t}

여기서

s_1

과

s_2

는 위에서 구한 두 실근이며,

C_1

과

C_2

는 초기 조건(

x(0)

,

\dot{x}(0)

)에 의해 결정되는 상수이다. 이 해는 시간이 지남에 따라 진동 없이

x=0

(평형점)으로 점근적으로 수렴한다.

임계 감쇠(

\zeta = 1

) 상태와 비교했을 때, 과감쇠 상태는 오버슛이 없다는 점은 동일하지만 평형 상태로 돌아가는 데 더 오랜 시간이 걸린다.^[5] 부족 감쇠(

0 \le \zeta < 1

) 상태와는 달리 진동이 전혀 발생하지 않는다.

과감쇠는 오버슛이 발생하면 심각한 문제를 일으킬 수 있는 시스템 설계에 적용될 수 있다. 예를 들어, 항공기의 자동 조종 장치가 착륙을 시도할 때, 시스템이 오버슛하여 착륙 장치를 너무 늦게 내리는 상황을 방지하기 위해 의도적으로 과감쇠 특성을 이용할 수 있다. 또한, 문의 자동 닫힘 장치 등에서도 충격 없이 부드럽게 닫히도록 과감쇠 또는 임계 감쇠에 가깝게 설계된다.

3. 5. 지수 함수를 사용한 표현

감쇠비 ζ(제타)가 1이 아닐 때, 즉 부족 감쇠와 과잉 감쇠의 해는 오일러 공식 등을 이용하여 삼각 함수나 쌍곡선 함수를 지수 함수 형태로 바꾸어 통일된 하나의 식으로 표현할 수 있다. 이 통일된 해의 형태는 다음과 같다.

:

x(t) = \frac{x_0}{2} e^{-\zeta\omega_0 t} \left\{ \left(1+\frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}}\right)e^{\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}} + \left(1-\frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}}\right)e^{-\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}} \right\}

여기서 ''x''₀는 초기 위치, ''ω''₀는 고유 각진동수, ζ는 감쇠비이다.

4. 에너지의 산일

감쇠 진동 시스템의 운동 방정식을 에너지 적분의 관점에서 살펴보면, 계의 역학적 에너지가 댐퍼의 감쇠력에 의해 점차 감소하는 것을 확인할 수 있다. 역학적 에너지 ''W''를 속도( $\dot{x}$ )와 변위(''x'')의 함수로 다음과 같이 정의한다.

: $W(\dot{x},x) \equiv \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2$

여기서 ''m''은 질량, ''k''는 용수철 상수를 나타낸다. 이 에너지의 시간에 따른 변화율을 계산하면 다음과 같다.

: $\begin{align}\frac{dW}{dt}&= \frac{\partial W}{\partial \dot{x}}\frac{d\dot{x}}{dt} + \frac{\partial W}{\partial x}\frac{dx}{dt} \\&=-c \dot{x}^2\leq 0\end{align}$

위 식은 에너지 변화율( $\frac{dW}{dt}$ )이 항상 0보다 작거나 같음을 보여준다. 즉, 에너지는 감쇠 계수 ''c''와 속도의 제곱( $\dot{x}^2$ )에 비례하는 크기로 시간이 지남에 따라 지속적으로 소실된다.^[20]

시스템의 감쇠 정도를 나타내는 주요 지표인 ''Q'' 인자, 감쇠비 ''ζ'', 그리고 진동의 지수 감쇠 속도를 나타내는 지수 감쇠율 α 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.^[9]

: $\zeta = \frac{1}{2 Q} = { \alpha \over \omega_n }.$

여기서 $\omega_n$ 은 시스템의 고유 진동수이다.

만약 시스템의 감쇠비가 1보다 작으면( $\zeta < 1$ ), 즉 시스템이 부족 감쇠 상태일 때는, 진동이 지수적으로 감소한다. 이때 감쇠율 매개변수 $\alpha$ 는 진동의 지수 감쇠 속도를 나타낸다. 감쇠비가 낮을수록 감쇠율도 낮아지므로, 감쇠가 매우 적은 시스템은 오랫동안 진동을 유지한다.^[10] 예를 들어, 튜닝 포크는 매우 높은 Q값(매우 낮은 감쇠비)을 가지므로, 한번 치면 진동이 아주 천천히 줄어들어 오랫동안 소리를 낸다.

Q값은 감쇠비와 다음과 같이 간단한 역수 관계를 가진다.

: $Q=\frac{1}{2\zeta}$

5. 강제 진동

(내용 없음)

6. 감쇠의 종류

감쇠 진동의 가장 단순한 모델은 속도에 비례하는 저항력을 가정하는 점성 감쇠 모델이다. 이 모델은 운동 방정식이 선형 미분 방정식이 되어 수학적인 취급이 간단하다는 장점이 있다.^[19]

그러나 실제 감쇠 요소는 비선형적인 경우가 많으며, 다양한 형태의 감쇠 모델이 존재한다. 대표적인 감쇠 모델의 종류는 다음과 같다.^[19]

'''점성 감쇠''': 감쇠력이 감쇠 요소에 대한 상대 속도에 비례하여 발생하는 감쇠 모델이다. 레이놀즈 수가 작고 층류 상태가 가정될 수 있는 유체에 의한 저항력 등이 이에 해당한다.
'''속도 제곱 감쇠''': 감쇠력이 감쇠 요소에 대한 상대 속도의 제곱에 비례하여 발생하는 감쇠 모델이다. 레이놀즈 수가 커지는 경우의 유체 저항력(항력 등)에 의해 발생한다.
'''쿨롱 마찰 감쇠''': 감쇠력이 감쇠 요소에 대한 상대 속도의 크기와 관계없이 일정한 힘으로 발생하는 감쇠 모델이다. 쿨롱의 마찰 모델이 적용되는 건조 마찰 등에서 나타난다. 감쇠력은 항상 상대 속도와 반대 방향으로 작용하며, 상대 속도가 0일 때 힘의 크기가 불연속적으로 변할 수 있다.
'''히스테리시스 감쇠''': 점탄성을 나타내는 요소(고무 등)에 의해 발생하는 감쇠력이다. 하중과 변형의 관계가 히스테리시스 특성을 보여 에너지 손실이 발생하고, 이것이 운동에 감쇠 효과를 준다.

6. 1. 점성 감쇠

점성 감쇠는 감쇠력이 감쇠 요소에 대한 상대 속도에 비례하여 발생하는 감쇠 모델이다.^[19] 감쇠 진동의 가장 단순한 모델 중 하나는 벽과 질점을 스프링으로 연결한 조화 진동자 모델에 이러한 점성 감쇠 요소를 더한 것이다.

시간을 ''t'', 질점의 질량을 ''m'', 댐퍼의 감쇠 계수를 ''c'', 스프링 상수를 ''k'', 질점의 위치를 ''x''(''t'') (수직 방향으로만 움직일 수 있다고 가정)라고 하면, 이 모델의 운동 방정식은 다음과 같은 선형 미분 방정식으로 표현된다.

:

m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0

여기에 초기 조건으로 초기 위치

x(0) = x_0

와 초기 속도

\dot{x}(0) = v_0

를 부여한다. 위 식에서 위첨자 점은 시간 미분을 의미한다. 이처럼 감쇠력이 속도에 비례하는 모델에서 계수 ''c''를 점성 감쇠 계수(viscous damping coefficient)라고 부른다.^[19]

이 모델은 질점의 수직 방향 위치 ''x''만을 자유도로 가지므로 선형 1자유도 진동계라고도 불린다. 비록 단순화된 모델이지만, 이 계의 해석을 통해 감쇠 진동의 중요한 기초 개념을 이해할 수 있다.^[19]

점성 감쇠 모델의 가장 큰 특징은 운동 방정식이 선형이 되어 수학적인 분석이 상대적으로 간단하다는 점이다. 실제 물리 현상에서는 레이놀즈 수가 작고 층류 상태가 가정될 수 있는 유체에 의한 저항력 등에서 이러한 점성 감쇠와 유사한 특성이 나타난다.^[19]

6. 2. 속도 제곱 감쇠

감쇠력이 감쇠 요소에 대한 상대 속도의 제곱에 비례하여 발생하는 감쇠 모델이다.^[19] 레이놀즈 수가 커지는 경우의 유체 저항력이 이러한 감쇠를 발생시킨다.^[19] 항력 등을 참조할 수 있다.

6. 3. 쿨롱 마찰 감쇠

감쇠력이 감쇠 요소에 대한 상대 속도의 절대값에 관계없이 일정한 힘으로 발생하는 감쇠 모델이다.^[19] 쿨롱의 마찰 모델이 성립한다고 여겨지는 건조 마찰 등에서 주어진다.^[19] 감쇠력이 항상 상대 속도 방향과 반대로 작용한다는 점은 다른 감쇠와 같으므로, 상대 속도 0에서 감쇠력이 불연속이 된다.^[19]

6. 4. 히스테리시스 감쇠

점탄성을 나타내는 요소에 의해 발생하는 감쇠력이다. 하중과 변형의 관계가 히스테리시스를 나타내고, 에너지 손실이 발생하여 운동에 감쇠를 준다. 고무 등의 점탄성 재료에서 두드러지게 나타난다.^[19]

7. 해석역학에 의한 표현

감쇠 진동의 운동 방정식을 제공하는 라그랑지안은 다음 식으로 주어진다^[21]:

: $L(x,\dot{x},t) = \frac{m}{2}e^{2\gamma t}(\dot{x}^2-\omega_0^2x^2).$

단 ''γ'' := ''ζ ω''₀이다. 이때 일반화 운동량 ''p'' 및 해밀토니안 ''H''는

: $p:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}e^{2\gamma t},$

: $H(x,p,t)=\frac{1}{2m}e^{-2\gamma t}p^2 + \frac{m}{2}e^{2\gamma t}\omega_0^2x^2$

가 된다.

더욱이 이 계에 ''W''(''x'', ''P'', ''t'') = ''xP'' exp(''γt'')를 모함수로 하는 정준 변환을 실시한다. 여기서 변환 후의 위치를 ''X'' , 운동량을 ''P''로 나타낸다. 그러면 변환 전후의 변수의 관계 및 변환 후의 해밀토니안 ''K''는

: $p = \frac{\partial W}{\partial x} = Pe^{\gamma t},$

: $X = \frac{\partial W}{\partial P} = xe^{\gamma t},$

: $K(X,P) = H+\frac{\partial W}{\partial t} = \frac{P^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega_0^2X^2+\gamma XP.$

로 표시되며, 해밀토니안 ''K''가 시간 ''t''를 포함하지 않기 때문에 이 계는 시간 변화하지 않는 보존량 ''K''를 갖는 보존계임을 알 수 있다.

: $K(X,P) = \frac{P^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega_0^2X^2+\gamma XP = \text{const.}$

정준 변환 전의 변수 ''x'', ''p''로 표시하면

: $\frac{e^{-2\gamma t}}{2m}p^2 + e^{2\gamma t}\frac{m}{2}\omega_0^2x^2 + \gamma xp = \text{const.}$

단, ''K''는 감쇠 진동계의 에너지를 나타내지 않는다는 것에 주의해야 한다.

8. 진동 사례

감쇠 진동을 설명하는 가장 기본적인 모델 중 하나는 벽에 스프링으로 연결된 질점이 댐퍼(damper)에 의해 저항력을 받는 시스템이다. 이는 조화 진동자 모델에 감쇠 요소를 추가한 것으로, 질량-스프링-댐퍼 시스템이라고도 불린다. 이 모델은 감쇠 진동의 기본적인 특성을 이해하는 데 도움을 주지만, 실제 세계의 감쇠 현상은 더욱 다양하다.^[19]

실제 진동 시스템에서는 다양한 원인과 메커니즘에 의해 감쇠가 발생하며, 감쇠력이 발생하는 방식에 따라 여러 모델로 분류할 수 있다. 대표적인 감쇠 모델은 다음과 같다.^[19]

; 점성 감쇠 (Viscous Damping)

: 감쇠력이 물체의 상대 속도에 비례하여 발생하는 가장 기본적인 모델이다. 이 경우 운동 방정식이 선형 미분 방정식이 되어 수학적으로 다루기 용이하다는 장점이 있다. 레이놀즈 수가 낮은 층류 상태의 유체 속을 움직이는 물체가 받는 저항력이 대표적인 예이다. 이때 속도에 비례하는 감쇠력의 크기를 결정하는 계수를 점성 감쇠 계수(viscous damping coefficient)라고 한다.

; 속도 제곱 감쇠 (Velocity Squared Damping)

: 감쇠력이 상대 속도의 제곱에 비례하는 모델이다. 레이놀즈 수가 높은 난류 상태의 유체 속을 움직이는 물체가 받는 저항력, 즉 항력이 대표적인 예이다. 속도가 빠를수록 저항력이 급격히 증가하는 특징이 있다.

; 쿨롱 마찰 감쇠 (Coulomb Friction Damping)

: 감쇠력이 상대 속도의 방향과 반대이면서 그 크기는 속도와 관계없이 일정한 모델이다. 두 고체 표면 사이의 건조 마찰 (미끄럼 마찰)이 대표적인 예이다. 속도가 0이 되는 지점에서 힘의 크기가 불연속적으로 변하는 특징이 있다.

; 히스테리시스 감쇠 (Hysteretic Damping)

: 점탄성 재료(예: 고무)에서 주로 발생하는 감쇠이다. 재료에 힘을 가했다가 제거할 때 변형과 복원 경로가 달라 에너지 손실이 발생하며, 이로 인해 진동이 감쇠된다. 이 에너지 손실은 변형-응력 그래프에서 히스테리시스 루프의 면적으로 나타난다. 재료 자체의 내부 마찰에 의해 발생한다고 볼 수 있다.

8. 1. 감쇠비 정의

'''감쇠비'''는 일반적으로 그리스 문자 제타(''ζ'')로 표기되는 무차원수 매개변수로,^[7] 2차 선형 상미분 방정식의 주파수 응답을 특징짓는 데 사용된다. 이는 특히 제어 이론이나 조화 진동자 연구에서 중요한 개념이다. 감쇠비는 시스템이 얼마나 감쇠되어 있는지를 나타내는 척도이다.

과다 감쇠 (Overdamped): 감쇠비가 1보다 큰 경우 (''ζ'' > 1). 시스템은 진동 없이 천천히 평형 상태로 돌아간다. 감쇠 효과가 매우 크다.
임계 감쇠 (Critically damped): 감쇠비가 정확히 1인 경우 (''ζ'' = 1). 시스템은 가능한 가장 빠른 시간 내에 진동 없이 평형 상태로 돌아간다.
부족 감쇠 (Underdamped): 감쇠비가 1보다 작은 경우 (0 ≤ ''ζ'' < 1). 시스템은 진폭이 점차 감소하면서 평형점 주위에서 진동한다. ''ζ'' = 0 이면 감쇠가 없는 순수 조화 진동이다.

감쇠비는 시스템의 실제 감쇠 수준이 임계 감쇠에 비해 어느 정도인지를 수학적으로 표현한다. 질량 ''m'', 감쇠 계수 ''c'', 용수철 상수 ''k''를 가진 감쇠 조화 진동자 모델에서 감쇠비는 다음과 같이 정의된다.

:

\zeta = \frac{c}{c_c} = \frac {\text{실제 감쇠}} {\text{임계 감쇠}}

여기서 ''c''는 시스템의 실제 감쇠 계수이고, ''c_c''는 임계 감쇠 계수이다. 이 시스템의 운동 방정식은 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식으로 주어진다.

:

m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0

^[8]

여기서 ''x''는 평형점으로부터의 변위, ''t''는 시간이다. 위 식에서 ''c''와 같이 감쇠력이 속도(d''x''/d''t'')에 비례하여 발생하는 모델에서의 계수 ''c''를 점성 감쇠 계수(viscous damping coefficient)라고 부른다.^[19]

임계 감쇠 계수 ''c_c''는 시스템이 진동과 비진동 응답 사이의 경계에 있을 때의 감쇠 계수 값이며, 다음과 같이 계산된다.

:

c_c = 2 \sqrt{k m}

또는 시스템의 고유 진동수 ''ω_n''을 사용하여 표현할 수 있다.

:

c_c = 2 m \sqrt{\frac{k}{m}} = 2m \omega_n

여기서 고유 진동수 ''ω_n''은 감쇠가 없을 때 시스템이 자연적으로 진동하는 주파수로, 다음과 같다.

:

\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}

감쇠비 ''ζ''는 동일한 단위(힘×시간/거리)를 가진 두 감쇠 계수의 비율이므로 단위가 없는 무차원수이다.

감쇠 진동의 운동 방정식은 종종 다음과 같은 형태로 표현되기도 한다.

:

\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_n\dot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0

여기서 각 기호는 다음과 같다.

$\ddot{x}$ : 가속도 (''x''의 시간에 대한 2차 시간 미분)
$\dot{x}$ : 속도 (''x''의 시간에 대한 1차 시간 미분)
''ζ'': 감쇠비 $\left( \zeta = \frac{c}{c_c} = \frac{c}{2\sqrt{mk}} \right)$ ^[19]
''ω_n'': 비감쇠 고유 각진동수 $\left( \omega_n = \sqrt{k/m} \right)$ ^[19]

이 운동 방정식과 초기 조건(초기 위치 ''x''(0) = ''x''₀, 초기 속도

\dot{x}(0) = v_0

)을 무차원수를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

:

\chi''(\tau) + 2\zeta\chi'(\tau) + \chi(\tau) = 0,

:

\chi(0) = 1, \quad \chi'(0) = \sigma

여기서 사용된 무차원 변수들은 다음과 같다.

$\tau = \omega_n t$ : 무차원 시간
$\chi = x/x_0$ : 무차원 변위 (초기 변위에 대한 비율)
$\sigma = \frac{v_0}{x_0\omega_n}$ : 무차원 초기 속도
$' = \mathrm{d}/\mathrm{d}\tau$ : 무차원 시간 ''τ''에 대한 미분

이 무차원화된 형태를 통해, 감쇠 진동 시스템의 동적 거동은 본질적으로 감쇠비 ''ζ''와 무차원 초기 속도 ''σ''라는 두 개의 파라미터에 의해 결정된다는 것을 알 수 있다. 이는 차원 해석을 통해서도 확인할 수 있는 사실이다.

에너지 적분 관점에서 보면, 감쇠 시스템의 역학적 에너지(운동 에너지 + 위치 에너지)는 시간이 지남에 따라 댐퍼의 감쇠력에 의해 소산되어 감소한다. 시스템의 총 역학적 에너지 ''W''를 다음과 같이 정의하면,

:

W(\dot{x},x) \equiv \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2

에너지의 시간 변화율은 다음과 같다.

:

\frac{dW}{dt} = \frac{\partial W}{\partial \dot{x}}\frac{d\dot{x}}{dt} + \frac{\partial W}{\partial x}\frac{dx}{dt} = (m\ddot{x})\dot{x} + (kx)\dot{x} = (m\ddot{x} + kx)\dot{x}

운동 방정식

m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0

에서

m\ddot{x} + kx = -c\dot{x}

이므로, 이를 대입하면,

:

\frac{dW}{dt} = (-c\dot{x})\dot{x} = -c \dot{x}^2 \leq 0

이 결과는 시스템의 에너지가 항상 감소하거나 일정하며(속도가 0일 때), 그 감소율은 감쇠 계수 ''c''와 속도의 제곱에 비례한다는 것을 보여준다.^[20]

또한, 감쇠비는 진동 시스템의 품질 계수(Q값)와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

Q = \frac{1}{2\zeta}

Q값은 시스템의 에너지 저장 능력 대비 에너지 손실률을 나타내는 척도로, 감쇠비가 작을수록(감쇠가 적을수록) Q값은 커진다. 즉, 진동이 더 오래 지속된다.

8. 2. 감쇠 정현파

'''감쇠 정현파''' 또는 '''감쇠 사인파'''는 시간이 지남에 따라 진폭이 0에 접근하는 정현파이다. 이는 감쇠된 2차 시스템의 "과소 감쇠" 경우 또는 과소 감쇠 2차 미분 방정식에 해당한다.^[6] 감쇠 정현파는 조화 진동자가 공급되는 것보다 더 빠르게 에너지를 잃는 곳이면 어디에서나 과학 및 공학에서 흔히 볼 수 있다.

시간 = 0에서 시작하는 진정한 사인파는 원점(진폭 = 0)에서 시작한다. 코사인파는 사인파와의 위상 차이로 인해 최대값에서 시작한다. 주어진 정현파는 사인파와 코사인파 성분을 모두 갖는 중간 위상을 가질 수 있다. "감쇠 정현파"라는 용어는 초기 위상에 관계없이 이러한 모든 감쇠 파형을 설명한다.

일반적으로 가정되는 가장 일반적인 감쇠 형태는 선형 시스템에서 발견되는 형태로, 지수 감쇠이다. 이 경우 연속적인 피크의 외부 포락선은 지수 감쇠 곡선을 따른다. 즉, 각 연속 곡선의 최대점을 연결하면 결과는 지수 감쇠 함수와 유사하다. 지수 감쇠된 정현파의 일반적인 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

y(t) = A e^{-\lambda t} \cos(\omega t - \varphi)

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$y(t)$ : 시간 ''t''에서의 순간 진폭이다.
$A$ : 포락선의 초기 진폭이다.
$\lambda$ : 감쇠율로, 독립 변수 ''t''의 시간 단위의 역수 단위로 표시된다.
$\varphi$ : ''t'' = 0에서의 위상각이다.
$\omega$ : 각 주파수이다.

기타 중요한 매개변수는 다음과 같다.

주파수: $f = \omega / (2\pi)$ 는 시간 단위당 사이클 수이다. 이는 역 시간 단위 $t^{-1}$ 또는 헤르츠(Hz)로 표현된다.
시간 상수: $\tau = 1 / \lambda$ 는 진폭이 e배만큼 감소하는 데 걸리는 시간이다.
반감기: 지수 진폭 포락선이 2배만큼 감소하는 데 걸리는 시간이다. 이는 $\ln(2) / \lambda$ 와 같으며, 약 $0.693 / \lambda$ 이다.
감쇠비: $\zeta$ 는 주파수에 대한 감쇠율의 무차원 특성으로, 대략 $\zeta = \lambda / \omega$ 이거나 정확하게 $\zeta = \lambda / \sqrt{\lambda^2 + \omega^2} < 1$ 이다.
Q 팩터: $Q = 1 / (2 \zeta)$ 는 감쇠량을 나타내는 또 다른 무차원 특성이다. 높은 ''Q'' 값은 진동에 비해 감쇠가 느리다는 것을 의미한다.

감쇠비

\zeta

가 0 <

\zeta

< 1일 때, 이를 부족 감쇠(under damping)라고 하며, 시스템의 해는 다음과 같다.^[19]

x(t) = C e^{-\zeta\omega_0 t} \cos\left(\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} t-\alpha\right)

여기서

C

와

\alpha

는 초기 조건에 의해 결정되는 상수이다.

C = x_0 \sqrt{1 + \left(\frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)^2}

\alpha = - \tan^{-1}\left(- \frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)

이 해는 정현파의 진폭이 지수 함수적으로 작아지는 운동을 나타내며, 좁은 의미에서는 이 해만을 감쇠 진동이라고 부르기도 한다.^[19]

이때 함수의 각진동수는

\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}

로 주어지며, 이는 감쇠가 없는 경우의 고유 각진동수

\omega_0

보다 작다. 이 감쇠가 있는 계의 고유 진동수를 감쇠 고유 각진동수(

\omega_d

) 또는 감쇠 고유 진동수(

f_d

)라고 부른다.^[19]

\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}

f_d = \frac{\omega_d}{2\pi}

9. 실제 응용

감쇠 현상은 진동 에너지를 다른 형태의 에너지(주로 열에너지)로 변환하여 소산시킴으로써, 시스템의 안정성을 높이거나 원치 않는 진동을 제어하는 데 다양한 분야에서 활용된다.

가장 기본적인 감쇠 모델 중 하나는 질량-스프링-댐퍼 시스템으로, 이는 물체의 운동에 저항하는 힘(감쇠력)이 속도에 비례한다고 가정한다. 이러한 모델은 실제 감쇠 현상을 이해하고 분석하는 기초를 제공하며, 다양한 공학적 문제 해결에 응용된다.^[19]

실제 응용 사례로는 다음과 같은 분야를 들 수 있다.

점성 저항 활용: 유체의 점성을 이용한 댐퍼는 자동차의 현가장치, 건축물의 제진 구조, 자동문의 개폐 속도 조절 등 다양한 기계 시스템에서 충격 흡수 및 진동 제어를 위해 사용된다.^[14]^[19]
전기 시스템 응용: 교류(AC) 전기 회로에서 저항기는 LC 회로 등의 공진 현상을 억제하여 회로를 안정시키는 역할을 한다.^[14]
자기장 활용: 자기장 내에서 도체가 움직일 때 발생하는 와전류를 이용한 와전류 브레이크는 롤러코스터나 고속열차의 비접촉식 제동 장치에 사용된다.^[15]^[16] 또한, 자기장에 따라 점성이 변하는 자기유변 유체를 이용한 댐퍼는 외부 조건에 맞춰 감쇠력을 능동적으로 조절해야 하는 정밀 기기나 차량 등에 적용된다.^[17]^[18]

이처럼 감쇠는 기계, 건축, 전기, 전자 등 공학의 여러 분야에서 시스템의 성능과 안전성을 향상시키는 데 중요한 역할을 한다.

9. 1. 점성 항력

물체가 공기 중에서 떨어질 때, 자유 낙하에 반대하는 주된 힘은 공기 저항이다. 물이나 기름과 같은 유체 속을 통과하며 떨어지는 물체는 더 빠르게 속도가 줄어들며, 결국 중력에 의한 힘과 항력이 균형을 이루어 일정한 속도(정상 상태 속도)에 도달하게 된다. 이러한 현상은 속도에 비례하는 저항력, 즉 점성 항력의 개념으로 설명될 수 있으며, 자동문이나 문이 쾅 닫히는 것을 방지하는 장치 등에 응용된다.^[14]

점성 항력은 감쇠력이 물체의 상대 속도에 비례하여 발생하는 점성 감쇠 모델로 설명될 수 있다. 이 모델은 운동 방정식이 선형이 되어 수학적으로 다루기 쉽다는 장점이 있다. 이러한 감쇠력은 레이놀즈 수가 작고 유체의 흐름이 층류 상태라고 가정할 수 있을 때 주로 발생한다.^[19]

9. 2. 전기 시스템에서의 감쇠

교류 (AC)로 작동하는 전기 시스템은 저항기를 사용하여 LC 공진 회로를 감쇠시킨다. ^[14]

9. 3. 자기 감쇠 및 자기유변 감쇠

운동 에너지는 코일이나 알루미늄 판 등이 자석의 극 사이를 통과할 때 발생하는 전기 와전류에 의해 열에너지로 변환되어 사라진다. 와전류는 전자기 유도 현상의 중요한 부분으로, 물체의 진동 운동 방향과 반대되는 자기 선속을 만들어 저항력을 발생시킨다.^[15] 즉, 자기력에 의한 저항이 시스템의 속도를 줄이는 것이다. 이러한 원리를 이용한 대표적인 예시로 롤러코스터의 와전류 브레이크를 들 수 있다.^[16]

자기유변 댐퍼(MR 댐퍼)는 자기장에 노출되면 점성이 크게 변하는 특성을 가진 자기유변 유체를 이용하는 방식이다. 자기유변 감쇠는 유체의 점성을 이용한 감쇠 방식과 자기력을 이용한 감쇠 방식이 결합된 형태로 볼 수 있다.^[17] ^[18]

10. 로그 감쇠율

부족하게 감쇠된 진동의 경우, 감쇠비(

\zeta

)는 로그 감쇠율

\delta

와 관련이 있다. 감쇠비는 인접하지 않은 두 개의 피크에 대해서도 찾을 수 있다.^[11]

인접한 피크의 경우, 감쇠비와 로그 감쇠율의 관계는 다음과 같다.^[12]

:

\zeta = \frac{\delta}{\sqrt{\delta^2 + \left(2\pi\right)^2}}

여기서 로그 감쇠율

\delta

는 두 개의 연속적인 피크 진폭 ''x''₀와 ''x''₁을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

\delta = \ln\frac{x_0}{x_1}

로그 감쇠율은 오른쪽 그림에서 보듯이 인접하지 않은 피크들을 이용해서도 계산할 수 있다. 예를 들어, 두 개의 연속적인 양의 피크 진폭(

x_1

,

x_3

) 또는 두 개의 연속적인 음의 피크 진폭(

x_2

,

x_4

)을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\delta = \ln\frac{x_1}{x_3}=\ln\frac{x_2}{x_4}=\ln\frac{x_1-x_2}{x_3-x_4}

11. 퍼센트 오버슛

제어 이론에서, 과도응답은 출력이 최종 정상 상태 값을 초과하는 현상을 의미한다.^[13] 계단 응답의 경우, 최대 오버슛(PO)은 응답의 최댓값에서 최종 정상 상태 값(계단 값)을 뺀 후, 그 값을 다시 최종 정상 상태 값으로 나눈 값이다. 단위 계단 응답의 경우, ''오버슛''은 계단 응답의 최댓값에서 1을 뺀 값이다.

최대 오버슛(PO)은 감쇠비 (''ζ'')와 다음의 관계를 갖는다.

: $\mathrm{PO} = 100 \exp \left({-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\right)$

반대로, 주어진 최대 오버슛(PO)을 만드는 감쇠비(''ζ'')는 다음과 같이 계산된다.

: $\zeta = \frac{-\ln\left(\frac{\rm PO}{100}\right)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2\left(\frac{\rm PO}{100}\right)}}$

참조

_[1] 논문 A Dictionary of Mechanical Engineering http://dx.doi.org/10[...] 2019
_[2] 서적 An Introduction to Mechanical Vibrations John Wiley & Sons
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_[4] 논문 Linearized dynamics equations for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review
_[5] 서적 College Physics OpenStax
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_[7] 서적 Introduction to Mechatronics and Measurement McGraw Hill
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_[22] 문서 「機械工学辞典」pp.380-381
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_[24] 문서 「機械振動学」p.12
_[25] 문서 「機械振動学」p.17
_[26] 문서 「機械振動学」p.18
_[27] 문서 「機械振動学」p.19
_[28] 문서 「機械振動学」p.20
_[29] 문서 「機械振動学」p.22
_[30] 문서 「振動のダンピング技術」pp.14-16
_[31] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]
_[32] 웹사이트 대한화학회 화학술어집 https://new.kcsnet.o[...]
_[33] 저널 A Dictionary of Mechanical Engineering http://dx.doi.org/10[...] 2019
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