도전율

1. 개요

도전율은 물질에 전기장이 가해질 때 전류가 흐르는 정도를 나타내는 물리량이다. 이는 전기장과 전류 밀도의 비례 관계를 통해 정의되며, 비저항의 역수와 같다. 등방성 물질의 경우 스칼라 값을 가지며, 국제단위계에서는 지멘스 매 미터(S/m)로 나타낸다. 옴의 법칙을 장의 관계로 표현하는 데 사용되며, 비데만-프란츠 법칙, 드루데 모형과 같은 관련 법칙 및 모형과 연관된다. 순수 원소의 전기 전도율은 주기성을 보이며, 온도에 따라 변화한다.

2. 정의

어떤 물질에 전기장 $\backslash mathbf\; E$가 걸리면 이에 비례하는 전류밀도 $\backslash mathbf\; J$의 전류가 흐른다. 이때, 물질의 전기 전도율 $\backslash sigma$는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{J\}\; =\; \backslash sigma\; \backslash mathbf\{E\}.$

등방성 물질에서는 전기 전도율이 스칼라이지만, 비등방성 물질에서는 일반적으로 3×3 대칭 텐서이다.

전기 전도율의 역수는 비저항 $\backslash rho$이다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$\backslash sigma=1/\backslash rho$.

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그림 1과 같은 길이 $l$, 단면적 $A$의 균일한 도체의 밑면 간 저항 $R$은 다음과 같다.
:$R=\backslash rho\backslash frac\{l\}\{A\}$

이때의 비례 계수 $\backslash rho$를 저항률 또는 비저항이라고 하며 (포함된 불순물이나 온도에 따라 변화), 그 역수를 전기 전도율 $\backslash sigma$라고 한다. 식으로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash sigma=\backslash frac\{1\}\{\backslash rho\}$

3. 단위

국제단위계에서, 도전율의 단위는 지멘스 매 미터(S/m)이다. 비료 농도를 나타낼 경우 단위가 너무 크므로 밀리 지멘스 매 센티미터(mS/cm)가 사용된다. SI에 따른 기타 단위는 다음과 같다.

* 매옴 매 미터 (Ω⁻¹ m⁻¹)
* 암페어 매볼트 매미터(A V⁻¹ m⁻¹)

IACS (International Annealed Copper Standard^영어)는 전기 저항(또는 전기 전도도)의 기준으로 국제적으로 채택된 소둔 표준 연동(체적 저항률: 1.7241uOhm.m)의 전도율을 100% IACS로 규정한다.

4. 옴의 법칙 (장의 관계)

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전기 전도율을 사용하면 옴의 법칙을 장(위치 벡터 r의 함수)의 관계식으로 표현할 수 있다. 전도체 내의 점 r에서의 전기 전도율을 σ^영어(r), 전장의 세기를 E(r), 전류 밀도를 j(r)라고 하면, 장의 관계식으로서의 옴의 법칙은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash boldsymbol\{j\}(\backslash boldsymbol\{r\})=\backslash sigma(\backslash boldsymbol\{r\})\backslash boldsymbol\{E\}(\backslash boldsymbol\{r\})$

이 식은 그림에서의 무한소 원기둥의 밑면 사이의 전위차와 단면을 흐르는 전류에 의해 유도할 수 있다. 무한소 원기둥의 단면적을 dA, 높이를 dl 이라고 하면, 밑면 사이의 전위차 dV는

:$\backslash mathrm\{d\}V=E(\backslash boldsymbol\{r\})\backslash mathrm\{d\}l$

단면 dA를 흐르는 전류 dI는

:$\backslash mathrm\{d\}I=j(\backslash boldsymbol\{r\})\backslash mathrm\{d\}A$

이다. 이 원기둥의 저항은 (저항률^영어은 정의에 따라 $\backslash rho\; =\; 1/\backslash sigma$ 이므로)

:$R=\backslash frac\{1\}\{\backslash sigma(\backslash boldsymbol\{r\})\}\backslash times\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}l\}\{\backslash mathrm\{d\}A\}$

이다. 여기서 옴의 법칙

:$\backslash mathrm\{d\}I=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}V\}\{R\}$

의 양변에 위 식들을 대입하면,

:$j(\backslash boldsymbol\{r\})\backslash mathrm\{d\}A=\backslash frac\{E(\backslash boldsymbol\{r\})\backslash mathrm\{d\}l\}\{\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}l\}\{\backslash sigma(\backslash boldsymbol\{r\})\backslash mathrm\{d\}A\}\}$

따라서

:$j(\backslash boldsymbol\{r\})=\backslash sigma(\backslash boldsymbol\{r\})E(\backslash boldsymbol\{r\})$

로 유도할 수 있다. 방향을 포함하여 나타내면 처음의 식이 된다.

5. 관련 법칙

비데만-프란츠 법칙과 드루데 모형은 도전율과 관련된 법칙이다.

5.1. 비데만-프란츠 법칙 (Wiedemann-Franz Law)

금속의 열전도율은 전기 전도율에 거의 비례하며, 그 비례 계수는 열역학적 온도에 비례한다.

비데만-프란츠 법칙이라고 불리며, 열역학적 온도를 T, 열전도율을 κ 로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash kappa\}\{\backslash sigma\}\; =LT$

여기서 L은 로렌츠 수라고 불리는 상수이다.

5.2. 드루데 모형 (Drude Model)

도체 내의 전자 등 캐리어를 기체로 간주하고 기체 분자 운동론을 적용한 드루데 모형에서는, 캐리어의 전하 q 와 질량 m, 수밀도 n, 및 완화 시간 τ 에 의해 전도율이 다음과 같이 나타내어진다.

:$\backslash sigma\; =\backslash frac\{nq^2\backslash tau\}\{m\}$

6. 순수 원소의 전기 전도율

원소 기호 아래 첫 번째 값은 20 °C에서의 전기 전도율이고, 두 번째 값은 0 °C에서의 전기 전도율이다. 단위는 MS/m이다. 20 °C 값은 닛케이 킨속(日軽金) 홈페이지의 저항률 데이터의 역수를 사용했고, 0 °C 값은 코트렐(Cottrell)의 "금속학" 데이터를 사용했기 때문에, 0 °C에서의 값이 20 °C에서의 값보다 크지 않은 경우가 있다. 주기성을 보임을 알 수 있다.