에탈 코호몰로지

3. 동기

복소 대수 다양체의 경우, 기본군이나 코호몰로지 군과 같은 대수적 위상수학의 불변량은 매우 유용하게 사용된다. 이러한 유용성 때문에, 유한체와 같이 복소수가 아닌 다른 체 위에서 정의된 대수 다양체에 대해서도 비슷한 호모토피나 호몰로지 이론을 구축하려는 시도가 있었다. 특히 앙드레 베유는 이러한 종류의 코호몰로지 이론이 베유 추측을 증명하는 데 사용될 수 있을 것이라고 제안하며 그 필요성을 강조했다.

장피에르 세르는 연접층의 코호몰로지를 계산할 때는 기존의 자리스키 위상만으로도 충분하며, 복소 다양체의 경우 이 코호몰로지가 더 세밀한 복소 위상에서의 코호몰로지와 일치함을 보였다. 하지만 정수 계수 층과 같은 상수층의 코호몰로지를 계산할 때 자리스키 위상은 문제가 있었다. 자리스키 위상은 너무 '거칠어서' (즉, 열린 집합이 너무 적어서) 기약 다양체 위에서의 상수층에 대한 고차 코호몰로지 군이 모두 자명하게 사라져 버리는 등, 원하는 정보를 얻기 어려웠다.

자리스키 위상의 이러한 한계를 극복하기 위해 새로운 접근법이 필요했다. 알렉산더 그로텐디크는 '열린 집합'의 개념을 확장하는 혁신적인 아이디어를 제시했다. 그는 일반적인 위상 공간의 열린 부분집합 대신, 대수 다양체로 들어오는 에탈 사상(대략적으로 말해 분기되지 않은 유한 덮개)들을 '열린 집합'과 유사한 것으로 간주하는 에탈 위상을 도입했다. 이는 기존의 열린 부분집합들보다 훨씬 많은 '열린' 대상들을 제공하여 더 세밀한 구조를 포착할 수 있게 한다.

이 에탈 위상을 기반으로 정의된 에탈 코호몰로지는, 많은 노력을 거쳐, 마침내 상수 계수를 가진 코호몰로지 이론을 성공적으로 구축하게 해주었다. 특히, 기저 체의 표수와 서로소인 정수 ''n''에 대해 '''Z'''/''n'''''Z''' (n으로 나눈 나머지들의 군) 계수를 갖는 코호몰로지 군들이 유의미한 정보를 제공하는 것으로 밝혀졌다.

4. 정의

'''에탈 코호몰로지'''는 작은 에탈 위치의 층 코호몰로지이다. 즉, 아벨 군 값을 갖는, 작은 에탈 위치 $X\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}$ 위의 에탈 층 $\backslash mathcal\; F\backslash colon\; X\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash operatorname\{Ab\}$의 '''에탈 코호몰로지 군''' $H^i\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}(X,\backslash mathcal\; F)$는 단면 함자(section functor^영어)

:$\backslash Gamma\backslash colon\backslash operatorname\{Sh\}(X\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\},\backslash operatorname\{Ab\})\backslash to\backslash operatorname\{Ab\}$

:$\backslash Gamma\backslash colon\backslash mathcal\; F\backslash mapsto\backslash mathcal\; F(\backslash operatorname\{id\}\_X)$

의 $i$번째 오른쪽 유도 함자이다.

:$\backslash operatorname\; H^i\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}(X,\backslash mathcal\; F)=R^i\backslash Gamma(\backslash mathcal\; F)$

특히,

:$\backslash operatorname\; H^0\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}=\backslash Gamma$

이다.

스킴 $X$ 및 아벨 군 $G$가 주어졌을 때, $X$의 $G$ 계수를 갖는 '''에탈 코호몰로지 군''' $H^i\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}(X,G)$는 상수층 $\backslash underline\; G$의 에탈 코호몰로지 군 $H^i\_\{\backslash operatorname\{\backslash acute\; et\}\}(X;\backslash underline\; G)$이다.

작은 에탈 코호몰로지 대신에, 큰 에탈 위치 위의 층 코호몰로지인 큰 에탈 코호몰로지를 생각할 수도 있다. 그러나 작은 에탈 층 $\backslash mathcal\; F\backslash colon(\backslash operatorname\{\backslash acute\; Et\}/X)^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash operatorname\{Ab\}$의 코호몰로지를 큰 에탈 위치에서 계산할 경우, 이는 작은 에탈 위치에서 계산한 코호몰로지와 일치하며, 반대로 큰 에탈 층의 코호몰로지를 작은 에탈 위치에서 계산하여도 서로 일치한다.^[7] 즉, 코호몰로지를 계산하려면 편리한 대로 작은 위치나 큰 위치를 사용할 수 있으며, 보통 작은 에탈 위치가 더 다루기 편리하므로 작은 에탈 위치를 사용한다.

4. 1. L진 코호몰로지

5. 성질

에탈 코호몰로지는 다양한 대수적, 기하학적 대상과 관련하여 여러 중요한 성질을 지닌다.

• 만약 ''F''가 연접층(또는 '''$\backslash mathbb\; G\_m$''')이라면, ''F''의 에탈 코호몰로지는 자리스키 위상으로 계산된 세르 연접층 코호몰로지와 동일하다. 특히 ''X''가 복소다양체인 경우, 이는 일반적인 복소 위상으로 계산된 층 코호몰로지와 같다.
• 아벨 다형체와 곡선의 경우, ℓ-adic 코호몰로지에 대한 기본적인 설명이 존재한다. 아벨 다형체의 첫 번째 ℓ-adic 코호몰로지 군은 테이트 가군의 쌍대이며, 곡선의 경우 야코비안의 첫 번째 코호몰로지 군과 관련된다. 이는 베유가 이 두 경우에 대해 베유 추측의 더 기본적인 증명을 제시할 수 있었던 이유를 설명한다.

5. 1. 특이 코호몰로지와의 관계

5. 2. 갈루아 코호몰로지와의 관계

• ''X'' 위의 에탈 층은 ''K''의 절대 갈루아 군 ''G'' = Gal(''K''^sep/''K'')가 연속적으로 작용하는 집합(또는 아벨 군)에 해당한다. 여기서 ''K''^sep은 ''K''의 분해 가능 폐포이다.
• 이 경우, 에탈 층의 코호몰로지는 군 ''G''의 군 코호몰로지, 즉 체 ''K''의 갈루아 코호몰로지와 동일하다.

5. 3. 콤팩트 지지를 갖는 코호몰로지 및 푸앵카레 쌍대성

6. 대수 곡선에 대한 에탈 코호몰로지 군의 계산

대수다양체의 에탈 코호몰로지 군을 계산하는 주요 초기 단계는 대수적으로 닫힌 체 ''k'' 위의 완비 연결 매끄러운 대수 곡선 ''X''에 대해 계산하는 것이다. 임의의 다형체의 에탈 코호몰로지 군은 올화의 스펙트럼 열과 같은 대수적 위상수학의 일반적인 기법과 유사한 방법을 사용하여 제어할 수 있다. 곡선의 경우 계산은 다음과 같이 여러 단계를 거친다. $\backslash mathbb\; G\_m$은 영이 아닌 함수의 층을 나타낸다.

에탈 층의 완전열

:$1\backslash to\; \backslash mathbb\{G\}\_m\backslash to\; j\_*\backslash mathbb\{G\}\_\{m,K\}\backslash to\; \backslash bigoplus\_\{x\backslash in\; |X|\}i\_\{x*\}\backslash mathbb\{Z\}\backslash to\; 1$

은 코호몰로지 군의 긴 완전열을 제공한다.

:$\backslash begin\{align\}$

0 &\to H^0(X, \mathbb{G}_m)\to H^0(X, j_*\mathbb{G}_{m,K})\to \bigoplus\nolimits_{x\in |X|}H^0(X, i_{x*}\mathbb{Z}) \to \\

&\to H^1(X, \mathbb{G}_m)\to H^1(X, j_*\mathbb{G}_{m,K})\to \bigoplus\nolimits_{x\in |X|}H^1(X, i_{x*}\mathbb{Z}) \to \\

&\to \cdots

\end{align}

여기서 ''j''는 일반점의 포함 사상이고, ''i_x''는 닫힌 점 ''x''의 포함 사상이며, $\backslash mathbb\{G\}\_\{m,K\}$는 $\backslash text\{Spec\; \}\; K$ (''X''의 일반점)에 대한 층 $\backslash mathbb\; G\_m$이고, $\backslash mathbb\{Z\}\_x$는 ''X''의 각 닫힌 점에 대한 $\backslash mathbb\{Z\}$의 복사본이다. 군 $H^i(X,\; i\_\{x*\}\backslash mathbb\{Z\})$는 $i>0$일 때 사라지고 ($i\_\{x*\}\backslash mathbb\{Z\}$는 마천루 층이기 때문), $i=0$일 때는 $\backslash mathbb\{Z\}$이므로 그 합은 단순히 ''X''의 제수군 $\backslash operatorname\{Div\}(X)$이다. 더욱이, 첫 번째 코호몰로지 군 $H^1(X,\; j\_*\backslash mathbb\{G\}\_\{m,K\})$는 힐베르트 정리 90에 의해 사라지는 갈루아 코호몰로지 군 $H^1(K,\; K^*)$와 동형이다. 따라서 에탈 코호몰로지 군의 긴 완전열은 다음과 같은 완전열을 제공한다.

:$K\backslash to\; \backslash operatorname\{Div\}(X)\backslash to\; H^1(X,\; \backslash mathbb\{G\}\_m)\backslash to\; 1$

여기서 $\backslash operatorname\{Div\}(X)$는 ''X''의 제수군이고 ''K''는 그 함수체이다. 특히 $H^1(X,\; \backslash mathbb\{G\}\_m)$는 피카르 군 $\backslash operatorname\{Pic\}(X)$이다 (그리고 $\backslash mathbb\{G\}\_m$의 첫 번째 코호몰로지 군은 에탈 위상과 자리스키 위상에 대해 동일하다). 이 단계는 곡선뿐만 아니라 임의의 차원(점을 여차원 1인 부분다양체로 대체)의 다형체 ''X''에 대해서도 작동한다.

위의 동일한 긴 완전열은 $i\; \backslash ge\; 2$이면 코호몰로지 군 $H^i(X,\; \backslash mathbb\{G\}\_m)$이 $H^i(X,\; j\_*\backslash mathbb\{G\}\_\{m,K\})$와 동형이고, 이는 갈루아 코호몰로지 군 $H^i(K,\; K^*)$와 동형임을 보여준다. 첸의 정리에 따르면 대수적으로 닫힌 체 위의 일변수 함수체 ''K''의 브라우어 군은 사라진다. 이는 차례로 모든 갈루아 코호몰로지 군 $H^i(K,\; K^*)$가 $i\; \backslash ge\; 1$에 대해 사라짐을 의미하며, 따라서 모든 코호몰로지 군 $H^i(X,\; \backslash mathbb\{G\}\_m)$은 $i\; \backslash ge\; 2$이면 사라진다.

요약하면, $\backslash mathbb\; G\_m$의 코호몰로지 군은 다음과 같다.

• $H^0(X,\; \backslash mathbb\{G\}\_m)\; =\; k^*$ (''k''는 기저 체)
• $H^1(X,\; \backslash mathbb\{G\}\_m)\; =\; \backslash operatorname\{Pic\}(X)$
• $H^i(X,\; \backslash mathbb\{G\}\_m)\; =\; 0$ for $i\; \backslash ge\; 2$

• $H^0(X,\; \backslash mu\_n)\; =\; \backslash mu\_n(k)$ (체 ''k'' 안의 ''n''번째 단위근의 군)
• $1\backslash to\; H^1(X,\; \backslash mu\_n)\backslash to\; \backslash operatorname\{Pic\}(X)\backslash xrightarrow\{\backslash times\; n\}\; \backslash operatorname\{Pic\}(X)\backslash to\; H^2(X,\; \backslash mu\_n)\backslash to\; 1$ (완전열)

• $H^1(X,\; \backslash mu\_n)$은 $\backslash operatorname\{Pic\}(X)$의 ''n''-꼬임 점들의 군 $\backslash operatorname\{Pic\}\_n(X)$이다.
• $H^2(X,\; \backslash mu\_n)\; =\; \backslash mathbb\{Z\}/n\backslash mathbb\{Z\}$
• $H^i(X,\; \backslash mu\_n)\; =\; 0$ for $i\; \backslash ge\; 3$

7. 응용

에탈 코호몰로지는 다양한 분야에 응용된다. 예를 들어 들리뉴와 조지 루스틱은 이를 사용하여 리 유형의 유한 군 표현을 구성했다 (Deligne–Lusztig 이론). 여기서는 주로 대수 곡선의 국소 제타 함수 연구에 대한 응용을 다룬다.

'''정리.''' ''X''가 유한체 $\backslash mathbb\; F\_p$ 위에 정의된 종수 ''g''의 곡선이라고 하자. 그러면 ''n'' ≥ 1에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash \#X\; \backslash left\; (\backslash mathbf\; F\_\{p^n\}\; \backslash right\; )\; =\; p^n\; +\; 1\; -\backslash sum\_\{i=1\}^\{2g\}\; \backslash alpha\_i^n.$

여기서 $\backslash alpha\_i$는 $|\backslash alpha\_i|=\backslash sqrt\; p$를 만족하는 특정 대수적 수이다.

이 정리는 대수 곡선 위의 점의 개수를 계산하는 강력한 도구를 제공한다. 예를 들어, 종수가 0인 곡선인 사영 직선 $\backslash mathbf\; P^1(\backslash mathbf\; F\_\{p^n\})$은 $p^n\; +\; 1$개의 점을 가지는데, 위 공식에서 ''g'' = 0을 대입하면 이 결과와 일치함을 알 수 있다. 또한, 이 공식은 임의의 곡선 위의 점의 개수가 사영 직선의 점의 개수와 비교적 가깝다는 것(차이가 $2g\; p^\{n/2\}$ 이내)을 보여준다. 특히, 이것은 타원 곡선에 대한 Hasse의 정리를 일반화한 결과이다.

이러한 점 개수 계산은 렙셰츠 고정점 정리와 깊은 관련이 있다. 렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 위상 공간 ''X'' 위의 사상 ''f'' : ''X'' → ''X''의 고정점 개수는 다음과 같이 코호몰로지 군에 대한 ''f''의 작용의 대각합을 이용하여 계산할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{i=0\}^\{2\; \backslash dim(X)\}\; (-1)^i\; \backslash operatorname\{Tr\}\; \backslash left\; (f|\_\{H^i(X)\}\; \backslash right\; ).$

이 공식은 일반적인 위상 공간에서는 잘 성립하지만, 대수적 다양체에 대해서는 그대로 적용하기 어려운 경우가 많다. 그러나 에탈 코호몰로지에 대해서는 이 공식이 성립하며 (증명이 간단하지는 않다), 이를 통해 유한체 위의 점 개수를 계산할 수 있다.

유한체 $\backslash mathbf\; F\_\{p^n\}$ 위에서 정의된 곡선 ''X''의 점들은 정확히 프로베니우스 사상 ''F''의 ''n''번째 거듭제곱인 $F^n$에 의해 고정되는 점들이다. 곡선 ''X''의 에탈 코호몰로지 베티 수는 각각 $H^0(X)$에서 1, $H^1(X)$에서 2''g'', $H^2(X)$에서 1이다. 따라서 렙셰츠 고정점 정리를 $f\; =\; F^n$에 적용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash \#X\; \backslash left\; (\backslash mathbf\; F\_\{p^n\}\; \backslash right\; )\; =\; \backslash operatorname\{Tr\}\; \backslash left\; (F^n|\_\{H^0(X)\}\; \backslash right\; )-\; \backslash operatorname\{Tr\}\; \backslash left\; (F^n|\_\{H^1(X)\}\; \backslash right\; )\; +\; \backslash operatorname\{Tr\}\; \backslash left\; (F^n|\_\{H^2(X)\}\; \backslash right\; ).$

이것이 위 정리의 또 다른 형태이다. 정리에서 등장하는 $\backslash alpha\_i$의 절댓값에 대한 조건, 즉 $|\backslash alpha\_i|=\backslash sqrt\; p$는 베유 추측의 일부인 1차원 리만 가설 유사체에 해당한다.

이러한 아이디어는 전체적으로 모티브의 틀에 들어맞는다. 형식적으로 [''X''] = [점] + [선] + [1-부분]이며, [1-부분]은 $\backslash sqrt\; p$와 같은 점들을 갖는다고 해석될 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 "Étale" https://kotobank.jp/[...]
_[2] 서적 Etale cohomology theory World Scientific 2011
_[3] 서적 Introduction to étale cohomology Springer-Verlag 1994
_[4] 서적 Etale cohomology and the Weil conjecture Springer-Verlag 1988
_[5] 서적 Cohomologie étale (Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 4½) http://www.math.corn[...] Springer 1977
_[6] 저널 Étale cohomology of schemes and analytic spaces 2011
_[7] 서적 Étale cohomology http://press.princet[...] Princeton University Press 1980