값매김환

3. 성질

모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

• 뇌터 환이다.
• 주 아이디얼 정역이다.
• 체이거나 아니면 이산 값매김환이다.

3. 1. 값매김환의 아이디얼

• 임의의 $\backslash delta\backslash in\backslash Delta$에 대하여, $[-\backslash delta,\backslash delta]\backslash subseteq\backslash Delta$이다. 여기서 $[,]$는 전순서에 대한 닫힌구간이다.

• $D$의 진 아이디얼들과, $\backslash Gamma$의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
• $D$의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과, $\backslash Gamma$의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다.

4. 구성

주어진 전순서 아벨 군 Γ와 잉여체 ''k''에 대해, ''K'' = ''k''((Γ))를 지수가 Γ에서 오는 형식적 멱급수 환으로 정의한다. 즉, ''K''의 원소는 각 함수의 지지 집합(함수 값이 ''k''의 0이 아닌 Γ의 원소 전체)이 ''G''의 정렬 부분 집합인 Γ에서 ''k''로의 함수이다. 덧셈은 점별 합이고, 곱셈은 코시 곱 또는 컨볼루션 곱이다. 이는 멱급수

:$\backslash sum\_\{g\; \backslash in\; G\}\; f(g)\; x^g$ with $x^g\; \backslash cdot\; x^h\; =\; x^\{g+h\}$

로 함수를 볼 때 자연스러운 연산이다.

''f''의 ''K''에서의 값 ν(''f'')는 ''f''의 지지 집합의 최소 원소, 즉 ''f''(''g'')가 0이 아닌 최소의 Γ의 원소 ''g''로 정의된다. ν(''f'')≥0인 ''f''는 (''K''의 0과 함께) 값 군 Γ, 값 ν, 잉여체 ''k''인 ''K''의 부분환 ''D''를 이룬다.

5. 지배와 정수적 폐포

국소환 $(S,\backslash mathfrak\{m\}\_S)$가 $S\; \backslash supseteq\; R$이고 $\backslash mathfrak\{m\}\_S\; \backslash cap\; R\; =\; \backslash mathfrak\{m\}\_R$이면 국소환 $(R,\backslash mathfrak\{m\}\_R)$을 지배한다고 한다. 즉, 포함 관계 $R\; \backslash subseteq\; S$는 국소환 준동형사상이다. 체 ''K''의 모든 국소환 $(A,\; \backslash mathfrak\{p\})$는 ''K''의 어떤 값매김환에 의해 지배된다.^[8]

''A''를 체 ''K''의 부분환으로 하고, $f:\; A\; \backslash to\; k$를 대수적 폐체 ''k'' 안으로의 환 준동형이라고 할 때, ''f''는 ''A''를 포함하는 ''K''의 어떤 값매김환 ''D''에 대한 환 준동형 $g:\; D\; \backslash to\; k$로 확장된다.

정역 ''A''의 정수적 폐포는 ''A''의 분수체 ''K''에서 ''A''를 포함하는 모든 값매김환의 교집합이다.^[12]

6. 예시

값매김환의 예시는 다음과 같다.

• 모든 체는 값매김환이다. 예를 들어 대수다양체 $X$에 대한 유리 함수의 체 $\backslash mathbb\{F\}(X)$가 있다.^[1][2]
• 정역 $\backslash Complex[X]$는 값매김환이 아니다. 일반적인 $f/g\; \backslash in\; \backslash Complex(X)$의 역수는 $g/f\; \backslash not\backslash in\; \backslash Complex[X]$이기 때문이다.
• 멱급수의 체 $\backslash mathbb\{F\}((X))\; =\backslash left\backslash \{\; f(X)\; =\backslash !\; \backslash sum\_\{i>-\backslash infty\}^\backslash infty\; a\_iX^i\; \backslash ,\; :\backslash \; a\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}\; \backslash right\backslash \}$는 값매김 $v(f)\; =\; \backslash inf\backslash nolimits\_\{a\_n\; \backslash neq\; 0\}\; n$를 가진다. 부분환 $\backslash mathbb\{F\}X$ 또한 값매김환이다.
• 소 아이디얼 (''p'')에서 정수 $\backslash Z$의 국소화 $\backslash Z\_\{(p)\}$는 분자가 임의의 정수이고 분모가 ''p''로 나누어지지 않는 유리수로 구성된다. 분수체는 유리수 $\backslash Q$의 체이다.
• 주어진 소수 ''p''에 대한 모든 ''p''-진 정수의 환 $\backslash Z\_p$는 국소환이며, 분수체는 ''p''-진수 $\backslash Q\_p$이다. ''p''-진 정수의 정수적 폐포 $\backslash Z\_p^\{\backslash text\{cl\}\}$ 또한 국소환이며, 분수체는 $\backslash Q\_p^\{\backslash text\{cl\}\}$ (''p''-진수의 대수적 폐포)이다. $\backslash Z\_p$와 $\backslash Z\_p^\{\backslash text\{cl\}\}$ 모두 값매김환이다.
• 순서체 '''k'''의 유한 원소(두 정수 ''n'' < ''x'' < ''m'' 사이에 있는경우)의 집합 ''D''는 값매김환이다. ''x'' ∈ ''D''이고 ''x''⁻¹ ∉ ''D''인 원소 ''x''의 집합은 무한소 원소의 집합이고, ''x'' ∉ ''D''이고 ''x''⁻¹ ∈ ''D''인 원소 ''x''는 무한이다.
• 초실수체 *'''R'''(실수를 포함하는 순서체)의 유한 원소의 환 '''F'''는 *'''R'''의 값매김환이다. '''F'''는 표준 실수의 무한소 양만큼 다른 모든 초실수로 구성되며, 이는 표준 정수 ''n''에 대해 −''n'' < ''x'' < ''n''인 초실수 ''x''와 같다. 잉여류체, 무한소 초실수의 아이디얼에 대한 유한 초실수는 실수에 동형이다.
• 대수 평면 곡선에서 다항식 환 $\backslash Complex[x,\; y]$와 그 환의 기약 다항식 $f$를 고려할때, 환 $\backslash Complex[x,\; y]\; /\; (f)$는 곡선 $\backslash \{(x,\; y)\; :\; f(x,\; y)\; =\; 0\backslash \}$에 대한 다항식 함수의 환이다. $f(P)\; =\; 0$이고 곡선에서 정칙점인 점 $P\; =\; (P\_x,\; P\_y)\; \backslash in\; \backslash Complex\; ^2$을 선택하면, 점에서의 국소환 ''R''은 크룰 차원이 1인 정칙 국소환 또는 이산 값매김환이다.
• 포함 관계 $(\backslash mathbb\{C\}X^2,(X^2))\; \backslash hookrightarrow\; (\backslash mathbb\{C\}X,(X))$를 고려해 보면, 이들은 모두 하한 멱급수 $\backslash mathbb\{C\}((X))$의 부분환이다.
• 임의의 체는 부치환이다.
• 유리 정수환 '''Z'''의 소 아이디얼 (''p'')에서의 국소화 '''Z'''_(''p'')는 분자가 임의의 정수이고 분모가 ''p''로 나누어지지 않는 정수인 유리수로 구성된다. 분수체는 유리수체 '''Q'''이다.
• 매클로린 급수 (0에서의 테일러 급수 전개)를 갖는, 모든 복소 평면 상의 유리형 함수의 환은 부치환이다. 분수체는 평면 전체에서 유리형 함수이다. ''f''가 매클로린 급수를 갖지 않으면 1/''f''가 갖는다.
• 임의로 주어진 소수 ''p''에 대하여, p-진 정수 환 '''Z'''_''p''는, ''p''-진수 '''Q'''_p를 분수체로 갖는 국소환이다. p-진 정수환의 정폐포 '''Z'''_''p''^cl는 또한 국소환이며, 그 분수체는 '''Q'''_''p''^cl(''p''-진수체의 대수적 폐포)이다. '''Z'''_''p''와 '''Z'''_''p''^cl는 모두 부치환이다.
• 순서체'''k'''의 유한한 원소 전체의 집합 ''D''는 부치환이다. ''x'' ∈ ''D''이고 ''x''⁻¹∉''D''인 원소 ''x'' 전체의 집합은 무한소인 원소 전체의 집합이다. ''x''∉''D''이고 ''x''⁻¹∈''D''인 원소 ''x''는 무한대라고 한다.
• 초실수체 *'''R''' (이것은 실수를 포함하는 순서체이다)의 유한 초실수로 이루어진 부분환 ''F''는 *'''R'''의 부치환이다. '''F'''는 보통의 실수와 무한소로 다른 모든 초실수(이것은 어떤 보통의 정수 ''n''에 대해 −''n'' < ''x'' < ''n''인 초실수 ''x''라고 해도 같다)로 이루어져 있다. 유한 초실수를 무한소 초실수의 아이디얼로 나눈 잉여체는 실수체와 동형이다.

6. 1. 체

6. 2. 유리형 함수

6. 3. 정수환의 국소화

6. 4. p진 정수환

6. 5. 형식적 멱급수환

7. 무한대에서의 자리

아핀 다양체 $X$에 대한 함수체에는 $X$의 소수와 관련이 없는 값매김이 존재한다. 이러한 값매김을 '''무한대에서의 자리'''라고 한다. 예를 들어 아핀 선 $\backslash mathbb\{A\}^1\_k$은 함수체 $k(x)$를 갖는다.

:$k\backslash left[\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right]$의 국소화에 관련된 자리는

:$\backslash mathfrak\{m\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)$

에서 최대 아이디얼로, 무한대에서의 자리이다.

참조

_[1] Math Stack Exchange The role of valuation rings in algebraic geometry https://math.stackex[...]
_[2] Math Overflow Does there exist a Riemann surface corresponding to every field extension? Any other hypothesis needed? https://mathoverflow[...]
_[3] 서적
_[4] 간행물
_[5] 문서
_[6] 서적
_[7] 간행물
_[8] 문서
_[9] 서적
_[10] 간행물
_[11] 문서
_[12] 서적
_[13] 문서
_[14] 서적
_[15] 서적