거리 함수

3. 거리의 성질

집합 의 거리는 다음과 같은 함수("거리 함수" 또는 단순히 "거리"라고 부름)로 표현한다.

:$d\; :\; X\; \backslash times\; X\; \backslash to\; [0,\backslash infty)$

여기서 $[0,\backslash infty)$는 음이 아닌 실수의 집합이며 모든 $x,\; y,\; z\; \backslash in\; X$에 대해 다음 3가지 공리가 충족된다.

이 공리들은 거리가 음수가 아니라는 것을 의미한다. 즉, 모든 $x,\; y\; \backslash in\; X$에 대해 $d(x,y)\; \backslash ge\; 0$이다. 왜냐하면 위의 1번, 3번, 2번 공리를 순서대로 적용하면 $0\; =\; d(x,\; x)\; \backslash le\; d(x,\; y)\; +\; d(y,\; x)\; =\; d(x,\; y)\; +\; d(x,\; y)\; =\; 2\; d(x,\; y)$이고, 따라서 $0\; \backslash le\; d(x,\; y)$이기 때문이다. 함수값이 음이 아니라는 조건과 1번 공리는 양의 정부호 함수를 정의한다.

두 점 사이에 다른 점이 들어갈 수 없도록 다음과 같이 삼각 부등식보다 강한 조건을 만족하는 거리를 초거리라고 한다.

: 모든 $x,\; y,\; z\; \backslash in\; X$에 대해 $d(x,\; y)\; \backslash leq\; \backslash max(d(x,\; z),\; d(y,\; z))$.

의 임의의 두 점 와 에 대해, 두 점을 이으면서 그 길이가 에 임의로 가까운 곡선이 존재하는 경우, 를 의 길이 거리라고 부른다.

이러한 조건들은 거리에 대한 직관적인 이해를 반영한다. 예를 들어 구별되는 점 사이의 거리는 양수이고, ''x''에서 ''y''까지의 거리는 ''y''에서 ''x''까지의 거리와 같다. 삼각 부등식은 ''x''에서 ''y''를 거쳐 ''z''까지 가는 거리가 적어도 ''x''에서 ''z''까지 직접 가는 거리만큼 길다는 사실을 나타낸다. 에우클레이데스는 《원론》에서 두 점 사이의 최단 거리는 직선이라고 했는데, 이는 유클리드 기하학에 대한 삼각 부등식이다.

3. 1. 평행이동 불변성

4. 예시

이산 거리, 유클리드 거리, 맨해튼 거리, 노름에서 유도되는 거리, 그래프 거리, 해밍 거리, 레벤시테인 거리, 리만 거리 등 다양한 거리 함수가 존재한다.

• $(p\_n)\_\{n\backslash in\; N\}$이 (국소 볼록 공간인) 위상 벡터 공간 ''E''를 정의하는 반노름의 열이라면, 다음 공식으로 정의되는 거리도 있다.

• 핀슬러 거리는 접다발 위에 정의된 음이 아닌 연속함수 F : TM → [0,+∞)를 이용해 거리를 정의한다.
• 그래프 편집 거리는 그래프 간의 거리를, 바세르시테인 거리는 두 확률 분포 사이의 거리를 정의한다.

• 정수의 모든 공집합이 아닌 유한 중복집합 $X$에 대한 거리: $d(X)=\backslash max\backslash \{x:\; x\; \backslash in\; X\backslash \}-\; \backslash min\backslash \{x:x\; \backslash in\; X\backslash \}$
• 중복집합의 정보 거리^[14]
• 다중 집합의 정규화된 압축 거리^[15]

4. 1. 이산 거리

5. 노름 유도 거리

실벡터공간 또는 복소벡터공간에서 거리 $D$가 평행변환불변이고 절대동차인 경우에만 노름으로 유도된다. 여기서 절대동차라는 것은 모든 스칼라 ''s''와 모든 $x,\; y\; \backslash in\; X$에 대해 $D(sx,\; sy)\; =\; |s|\; D(x,\; y)$임을 의미한다. 이 경우 함수 $\backslash |\; x\; \backslash |\; :=\; D(x,\; 0)$는 $X$에 대한 노름을 정의하고, $\backslash |\; \backslash cdot\; \backslash |$에 의해 유도된 노름 거리는 $D$와 같다.^[1] 벡터 공간의 노름은 절대동차이고 평행변환불변인 거리와 동치이다. 즉, 모든 노름은 거리 함수를 결정하고, 어떤 거리 함수는 노름을 결정한다.^[1]

5. 1. 노름으로부터 거리 유도

• 평행변환불변: d(x, y) = d(x + a, y + a)
• 절대동차성: d(αx, αy) = |α| d(x, y)

5. 2. 거리로부터 노름 유도

• 평행이동 불변: 모든 x, y, a ∈ X에 대해, d(x, y) = d(x + a, y + a)
• 절대동차성: 모든 x, y ∈ X와 모든 스칼라 α에 대해, d(αx, αy) = |α|d(x, y)

6. 일반화된 거리

거리 함수의 공리를 완화하여 얻어지는 다양한 거리 개념은 다음과 같다. 이러한 개념들은 서로 결합될 수도 있으며, 용어는 아직 완전히 표준화되지 않았다. 특히 함수해석학에서 유사거리는 벡터 공간의 반노름에서 오는 경우가 많아 "반거리"라고도 불리지만, 이는 위상수학의 용어와 충돌한다.

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! 용어

! 설명

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| 유사거리(pseudometric)

| 식별불가능자 동일성 공리 대신 모든 ''x''에 대해 ''d''(''x'',''x'')=0라는 조건을 만족하고, 거리에 대한 나머지 공리를 만족하는 함수.

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| 준거리(quasimetric)

| 대칭성을 제외하고 거리에 대한 모든 공리를 만족하는 함수.^[16][17]

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| 메타거리(metametric)

| 동일한 점들 사이의 거리가 0이 아닐 수 있다는 점을 제외하면 모든 거리 공리를 만족하는 거리 개념.

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| 반거리(semimetric)

| 삼각 부등식을 만족할 필요는 없지만, 다음 세 공리를 만족하는 함수 ''d'' : ''X'' × ''X'' → '''R'''.

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| 전거리(premetric)

| 다음 두 가지 조건을 만족하는 함수.

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| 유사준거리(pseudoquasimetric 또는 hemimetric)

| 무차별성 공리와 대칭성 공리를 모두 완화하여, 단순히 삼각 부등식을 만족시키는 준거리.^[27][28]

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| 부분거리(partial metric 또는 p 거리)

| 영역 이론에서 도입된 개념으로, 거리 공리에서 "동일점의 거리는 0이다"라는 공리를 제외한 것.^[11][12]

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| 우카시크-카르모프스키 거리

| 확률 변수 또는 무작위 벡터 사이의 거리를 정의하는 함수.

|}

6. 1. 확장 거리

6. 2. 유사거리

6. 3. 준거리

6. 4. 메타거리

6. 5. 반거리

6. 6. 전거리

6. 7. 유사준거리

6. 8. 부분거리

6. 9. 우카시크-카르모프스키 거리

• ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0
• ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')
• ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'').

7. 거리의 동치

주어진 집합 ''X''와 그 위의 거리 함수 ''d''₁, ''d''₂에 대해, 거리 공간 사이의 항등 사상

:id: (''X'',''d''₁) → (''X'',''d''₂)

가 위상동형사상이면, ''d''₁과 ''d''₂가 '''위상적으로 동치'''라고 한다. 추가로, id가 균등동형사상이면 두 거리 함수가 '''균등 동치'''(uniformly equivalent^영어)라고 한다. (어떤 함수가 균등동형사상이라는 것은 균등연속이면서 그 역함수도 균등연속이라는 뜻이다.)

예를 들어 ''d''가 거리이면 min(''d'', 1) 및 ''d''/(1 + ''d'')는 ''d''와 동치인 거리이다.

8. 일반화된 거리의 중요한 예시

미분기하학의 계량 텐서는 "무한소" 크기의 거리 함수의 제곱으로 생각할 수 있다. 이는 적절한 미분가능성을 가진 다양체의 접공간 위에서 정의된 비퇴화 대칭 쌍선형 형식으로 정의된다. 계량 텐서는 이 문서에서 정의한 거리 함수의 예는 아니지만, 다양체 위의 경로를 따라 계량 텐서의 제곱근을 적분하면 유사반거리 함수가 나온다. 계량 텐서의 내적이 양의 정부호성을 만족하는 경우 이는 리만 다양체가 되며, 경로 적분은 거리 함수를 낳는다.^[29][30]

일반 상대성 이론에서는 준 리만 다양체의 구조를 기술하는 계량 텐서 개념이 등장한다. 비록 "거리"라는 용어가 쓰이긴 하지만, 이러한 다양체의 접공간에는 영벡터가 아니면서 노름이 0인 벡터가 있고 노름의 제곱이 음수가 될 수도 있기 때문에 근본적인 개념이 다르다. 이처럼 식별불가능자 동일성 원리를 만족하지 않는 경우에도 "거리"(metric)라는 용어를 쓰는 관습이 수학 문헌에도 일부 확산되었다.^[29][30]

9. 중복집합에서의 거리

두 원소 사이의 거리 개념을 일반화하여 공집합이 아닌 유한 중복집합의 거리 개념을 정의할 수 있다. 중복집합은 원소가 2번 이상 발생할 수 있도록 집합의 개념을 일반화한 것이다. $Z$가 중복집합 $X$와 $Y$의 요소로 구성된 중복집합일 때, $Z=XY$라고 정의한다. 예를 들어 $X$에 한 번, $Y$에 한 번 나타나는 원소는 $Z$에 두 번 나타난다. 공집합이 아닌 유한 중복집합들의 집합 위의 함수 ''d''가 다음 조건을 만족하면 ''d''를 거리 함수라 한다.^[14]

# $X$의 모든 원소가 동일하면 $d(X)=0$, 그렇지 않으면 $d(X)\; >\; 0$ (양의 정부호성)

# $d(X)$는 $X$의 모든 순열에 대해 불변이다. (대칭성)

# $d(XY)\; \backslash leq\; d(XZ)+d(ZY)$ (삼각 부등식)

조건 1, 2에서 중복집합 $X$가 두 원소 집합이고 조건 3에서 중복집합 $X,\; Y,\; Z$가 각각 한 원소 집합인 경우 보통의 거리 함수에 대한 조건이 된다. 예를 들어 $X$가 $x$ 2개로 구성된 중복집합이면 조건 1에 따라 $d(X)=0$이 된다.

간단한 예시는 정수의 모든 공집합이 아닌 유한 중복집합 $X$에 대한 거리인 $d(X)=\backslash max\backslash \{x:\; x\; \backslash in\; X\backslash \}-\; \backslash min\backslash \{x:x\; \backslash in\; X\backslash \}$이다. 더 복잡한 예시는 중복집합의 정보 거리(information distance)^[14]와 다중 집합의 정규화된 압축 거리(normalized compression distance)이다.^[15]

참조

_[1] 문서 E.g. Steen & Seebach (1995).
_[2] Citation Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems Springer Science+Business Media|Springer
_[3] Citation The Geodesic Problem in Quasimetric Spaces
_[4] Citation The geodesic problem in nearmetric spaces
_[5] 간행물 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications http://citeseerx.ist[...] 2009-04-17
_[6] Citation Metric characterization of random variables and random processes
_[7] citation Lectures and exercises on functional analysis
_[8] 서적 An introduction to geometrical physics
_[9] citation Metric spaces, generalised logic, and closed categories
_[10] 저널 Localic completion of generalized metric spaces I http://www.tac.mta.c[...]
_[11] citation Partial Metric Topology
_[12] citation Partial metric spaces Department of Computer Science, University of Warwick
_[13] 서적 Point Sets
_[14] 저널 Information Distance in Multiples
_[15] 저널 Normalized Compression Distance of Multisets with Applications
_[16] 문서 E.g. Steen & Seebach (1995).
_[17] 콘퍼런스 Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces
_[18] 서적 Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems https://archive.org/[...]
_[19] 저널 Gromov hyperbolic spaces http://www.helsinki.[...]
_[20] 저널 The Geodesic Problem in Quasimetric Spaces
_[21] 저널 The geodesic problem in nearmetric spaces
_[22] 서적 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications
_[23] 서적 Metric characterization of random variables and random processes https://books.google[...]
_[24] 서적 Lectures and exercises on functional analysis
_[25] 서적 An introduction to geometrical physics
_[26] 서적 Geometry of Cuts and Metrics https://archive.org/[...]
_[27] 서적 Metric spaces, generalised logic, and closed categories http://tac.mta.ca/ta[...]
_[28] 저널 Localic completion of generalized metric spaces I http://www.tac.mta.c[...]
_[29] 문서 S. Parrott (1987) Relativistic Electrodynamics and Differential Geometry, page 4, Springer-Verlag
_[30] 문서 Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry, page 9, Springer-Verlag