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균등 공간

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목차

1. 개요

균등 공간은 집합 위에 정의되는 구조로, 위상 공간을 일반화하는 개념이다. 이 구조는 측근이라고 불리는 집합들의 모임으로 정의되며, 측근은 집합의 원소들 간의 '가까움'을 나타낸다. 균등 공간은 균등 위상이라는 표준적인 위상을 가지며, 이 위상은 균등 공간의 성질을 연구하는 데 사용된다. 균등 공간은 균등 연속 함수를 통해 다른 균등 공간과 연결되며, 이는 위상 공간에서의 연속 함수와 유사한 역할을 한다. 균등 공간은 거리 공간, 위상군 등 다양한 수학적 구조를 포함하며, 콤팩트 하우스도르프 공간과 같은 특정 조건에서 유일한 균등 구조를 가진다. 균등 공간은 앙드레 베유에 의해 처음 도입되었으며, 수학적 분석과 위상수학 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

균등 공간은 측근(側近, entourage|앙투라주프랑스어) 또는 균등 덮개(均等-, uniform cover영어)를 사용하여 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다. 측근은 위상 공간의 열린집합과 유사하고, 균등 덮개는 위상 공간의 열린 덮개와 유사한 개념이다.

집합 X 위의 '''균등 공간 구조'''는 X\times X의 부분 집합들의 집합 \mathcal E\subseteq\mathcal P(X\times X)로 구성된다. \mathcal E의 원소를 '''측근'''이라고 하며, 이는 부분 순서 집합을 이루고, 특정 조건들을 만족시켜야 한다.

균등 공간 구조가 주어진 집합을 '''균등 공간'''이라고 한다. 주어진 집합 X 위의 균등 공간 구조들은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 위상의 비교와 마찬가지로, 더 엉성하거나 섬세한 균등 공간 구조를 정의할 수 있다.

또한, 집합 X의 '''덮개''' \mathcal C\subseteq\mathcal P(X)는 \bigcup\mathcal C=X가 되는 부분 집합들의 족이다. X의 덮개들의 집합을 \operatorname{Cover}(X)로 표기한다. (\operatorname{Cover}(X),\lesssim)는 원순서 집합을 이룬다.

이러한 개념들을 바탕으로, 균등 공간은 측근이나 균등 덮개를 통해 정의될 수 있다.

2. 1. 측근을 통한 정의

집합 X 위의 균등 공간 구조는 X × X의 부분 집합들의 집합 \mathcal E로 정의되며, 그 원소를 '''측근'''(側近, entourage|앙투라주프랑스어)이라고 한다.[3]

\mathcal E는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • 대각 부분 집합 \operatorname{diag}_X=\{(x,x): x\in X\}는 \mathcal E의 하계이다. 즉, 임의의 측근 E\in\mathcal E에 대하여, E\supseteq\operatorname{diag}_X이다.
  • \mathcal E는 부분 순서 집합 (\mathcal P(X^2),\subseteq) 위의 필터를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • (자명한 측근) X^2\in\mathcal E이다.
  • (상집합성) 임의의 \mathcal E\ni E\subseteq F\subseteq X^2에 대하여, F\in\mathcal E
  • (하향성) 임의의 E,F\in\mathcal E에 대하여, E\cap F\in\mathcal U
  • 만약 E\in\mathcal E라면, F\circ F\subseteq E인 F\in\mathcal E가 존재한다.
  • (역원에 대한 닫힘) 만약 E\in\mathcal E라면, E^{\operatorname{op}}\in\mathcal E이다.


여기서 X 위의 두 이항 관계 E,F\subseteq X^2의 '''합성''' F\circ E은 다음과 같다.

:F\circ E=\{(x,z):(x,y)\in E,\;(y,z)\in F\}

X 위의 이항 관계 E\subseteq X^2의 '''반대 관계'''(opposite relation|오포짓 릴레이션영어) E^{\operatorname{op}}는 다음과 같다.

:E^{\operatorname{op}}=\{(y,x):(x,y)\in E\}

2. 2. 균등 덮개를 통한 정의

uniform cover|균등 덮개영어를 사용한 균등 공간의 정의는 다음과 같다.

균등 공간 (X, \mathfrak C)는 다음의 데이터로 구성된다.[64][63]

  • X는 집합이다.
  • \mathfrak C \subseteq \operatorname{Cover}(X)는 X의 덮개들의 집합이다. \mathfrak C의 원소를 '''균등 덮개'''라고 한다.


이 데이터는 다음 조건을 만족해야 한다.

  • (균등 성형 세분의 존재) 임의의 균등 덮개 \mathcal C \in \mathfrak C에 대해, \mathcal C'^\star \lesssim \mathcal C인 균등 덮개 \mathcal C' \in \mathfrak C가 존재한다.
  • \mathfrak C는 (\operatorname{Cover}(X), \lesssim) 위의 필터이다. 즉, 다음이 성립한다.
  • * (자명한 덮개의 균등성) \{X\} \in \mathfrak C. 즉, 한원소 덮개 \{X\}는 균등 덮개이다.
  • * (상집합성) 임의의 균등 덮개 \mathcal C \in \mathfrak C 및 덮개 \mathcal C' \in \operatorname{Cover}(X)에 대하여, 만약 \mathcal C \lesssim \mathcal C'이라면 \mathcal C' 역시 균등 덮개이다.
  • * (하향성) 임의의 두 균등 덮개 \mathcal C, \mathcal C' \in \mathfrak C에 대하여, \{C \cap C' \colon C \in \mathcal C, \; C' \in \mathcal C'\} \in \mathfrak C이다.


균등 덮개를 통한 정의는 측근을 통한 정의와 동치이다.

2. 3. 기본계

균등 공간 (X, \mathcal E)에서, 측근 집합 \mathcal B \subseteq \mathcal E가 다음 조건을 만족시킨다면, \mathcal B는 균등 공간 구조 \mathcal E의 '''기본계'''라고 한다.

:\mathcal E = \{ E \subseteq X^2 \colon \exists B \in \mathcal B \colon B \subseteq E \}

균등 공간 구조의 기본계는 위상의 기저와 유사한 개념이다.

임의의 균등 공간 (X, \mathcal E)에서, 다음 측근 집합들은 기본계를 이룬다.[64]

  • 대칭 측근들의 집합 \{ E \in \mathcal E \colon E = E^{\operatorname{op}} \}
  • (균등 위상의 곱위상에 대한) 열린 측근들의 집합
  • (균등 위상의 곱위상에 대한) 닫힌 측근들의 집합

3. 성질

모든 균등 공간은 완비 정칙 공간이며, 위상 공간에 대해 다음 두 조건은 서로 동치이다.


  • '''균등화 가능 공간''': 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.
  • 완비 정칙 공간이다.


균등 공간 $(X, \mathcal{E})$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 균등 공간을 '''하우스도르프 균등 공간'''이라고 한다.

균등 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • '''유사 거리화 가능 균등 공간''': 균등 공간 구조와 호환되는 유사 거리 함수가 존재한다.
  • 가산 기본계를 갖는다.


이는 위상군에 대한 버코프-가쿠타니 정리를 일반화한다.

하우스도르프 균등 공간은 균일성이 의사 거리의 ''가산'' 패밀리로 정의될 수 있으면 거리화 가능하다.[38] 실제로, 이러한 균일성은 ''단일'' 의사 거리로 정의될 수 있으며, 공간이 하우스도르프이면 이는 필연적으로 거리이다. 특히, 벡터 공간의 위상이 하우스도르프이고 세미노름의 가산 패밀리로 정의할 수 있다면, 이는 거리화 가능하다.[38]

균등 구조 \mathcal{U}가 의사 거리화 가능할 필요 충분 조건은 \mathcal{U}의 가산 부분 집합 \mathcal{B}\subset\mathcal{U}로, 다음을 만족하는 것이 존재하는 것이다.[38]

  • ${\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~B\subset U}$


또한 \mathcal{U}가 의사 거리화 가능하며, 게다가 \mathcal{U}가 정하는 위상이 하우스도르프이면, \mathcal{U}는 거리화 가능하다.[38]

3. 1. 위상수학적 성질

균등 공간 $(X, \mathcal{E})$에는 "균등 위상"이라는 표준적인 위상이 정의되며, 이 위상에서 임의의 점 $x \in X$의 근방 필터는 다음과 같이 정의된다.

  • $\mathcal{N}_x = \{ E[x,-] \colon E \in \mathcal{E} \}$
  • $E[x,-] = \{ y \colon (x, y) \in E \}$


모든 균등 공간은 (균등 위상을 부여할 때) 완비 정칙 공간이다. 위상 공간에 대해 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • '''균등화 가능 공간'''이다. 즉, 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.
  • 완비 정칙 공간이다.


균등 공간 $(X, \mathcal{E})$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 균등 공간을 '''하우스도르프 균등 공간'''이라고 한다.

균등 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • '''유사 거리화 가능 균등 공간'''이다. 즉, 균등 공간 구조와 호환되는 유사 거리 함수가 존재한다.
  • 가산 기본계를 갖는다.


이는 위상군에 대한 버코프-가쿠타니 정리를 일반화한다.

하우스도르프 균등 공간은 균일성이 의사 거리의 ''가산'' 패밀리로 정의될 수 있으면 거리화 가능이다. 실제로, 이러한 균일성은 ''단일'' 의사 거리로 정의될 수 있으며, 공간이 하우스도르프이면 이는 필연적으로 거리이다. 특히, 벡터 공간의 위상이 하우스도르프이고 세미노름의 가산 패밀리로 정의할 수 있다면, 이는 거리화 가능하다.[38]

균등 구조 \mathcal{U}가 의사 거리화 가능할 필요 충분 조건은 \mathcal{U}의 가산 부분 집합 \mathcal{B}\subset\mathcal{U}로, 다음을 만족하는 것이 존재하는 것이다.[38]

  • ${\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~B\subset U}$


또한 \mathcal{U}가 의사 거리화 가능하며, 게다가 \mathcal{U}가 정하는 위상이 하우스도르프이면, \mathcal{U}는 거리화 가능하다.[38]

3. 2. 범주론적 성질

균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 \operatorname{Unif}는 구체적 범주이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

균등 공간의 범주에서, 균등 공간 구조를 잊고 완비 정칙 공간 \operatorname{CRegTop}의 범주로 가는 망각 함자

:G\colon\operatorname{Unif}\to\operatorname{CRegTop}

가 존재하며, 이는 왼쪽 수반 함자

:F\colon\operatorname{CRegTop}\to\operatorname{Unif}

를 갖는다. 즉, G는 \operatorname{Unif}에 존재하는 모든 극한을 보존하며, 반대로 F는 \operatorname{CRegTop}에 존재하는 모든 쌍대극한을 보존한다.

특히, 임의의 균등 공간들의 족 \{X_i\}_{i\in I}의 범주론적 곱의 균등 위상은 \{X_i\}_{i\in I}의 균등 위상들의 곱위상과 일치한다. 즉, 함자 G는 모든 곱을 보존한다.

함자 F\colon\operatorname{CRegTop}\to\operatorname{Unif}는 주어진 완비 정칙 공간에 이와 호환되는 가장 섬세한 균등 공간 구조를 부여한다. 구체적으로, 완비 정칙 공간 X 위에 부여되는 균등 공간 구조는 다음과 같은 집합족을 기본계로 한다.[62]

:\{E_0\colon E_0,E_1,\dots\in\mathcal T_{X\times X},\;E_0\supseteq E_1\circ E_1\supseteq E_1\supseteq E_2\circ E_2\supseteq\cdots\supseteq\operatorname{diag}(X)\}

3. 3. 균등 연속 함수

두 균등 공간 $(X,\mathcal{E})$, $(Y,\mathcal{F})$ 사이의 균등 연속 함수(uniformly continuous map영어)는 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon X\to Y$이다.

  • 측근의 원상은 측근이다. 즉, 임의의 $F\in\mathcal{F}$에 대하여, $f^{-1}(F)\in\mathcal{E}$이다.


균등 공간들과 균등 연속 함수들은 범주를 이루며, 이를 $\operatorname{Unif}$라고 표기한다.

$\operatorname{Unif}$는 위상 범주이다.[60] 따라서 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며,[60] 망각 함자

:$:\operatorname{Unif}\to\operatorname{Set}$

는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다.[60] 그러나 $\operatorname{Unif}$는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.[61]

$\operatorname{Unif}$의 끝 대상은 한원소 집합 위의 유일한 균등 공간 구조이며, 시작 대상은 공집합 위의 유일한 균등 공간 구조이다.

균등 공간의 범주 $\operatorname{Unif}$는 모든 (집합 크기의) 곱을 갖는다. 구체적으로, 균등 공간들의 족 $\{(X_i,\mathcal{E}_i)\}_{i\in I}$의 곱 균등 공간(product uniform space영어)은 집합으로서 곱집합 $\textstyle\prod_{i\in I}X_i$이며, 그 위의 균등 공간 구조는 다음과 같은 기본계로 생성된다.

:$\mathcal{B}=\left\{\left\{(x_i,y_i)_{i\in I}\colon (x_{i_1},y_{i_1})\in E_1,\dots,(x_{i_n},y_{i_n})\in E_n\right\}\colon n\in\mathbb{N},\;i_1,\dots,i_n\in I,\;E_{i_1}\in\mathcal{E}_{i_1},\dots,E_n\in\mathcal{E}_{i_n}\right\}$

이는 표준적인 사영 함수 $\textstyle\prod_{i\in I}X_i\to X_i$들을 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다.

균등 공간 사이의 균등 연속 함수는 위상 공간 사이의 연속 함수와 마찬가지로 위상적 성질을 보존하며, 균등한 성질도 보존한다.

균등 연속 함수는 앙투라지의 역상이 다시 앙투라지이거나, 동등하게 균등 덮개의 역상이 다시 균등 덮개인 함수로 정의된다. 명시적으로, 균등 공간 사이의 함수 $f : X \to Y$에서 모든 $Y$의 앙투라지 $V$에 대해 $X$의 앙투라지 $U$가 존재하여 $(x_1, x_2) \in U$이면 $(f(x_1), f(x_2)) \in V$이면, $f$를 균등 연속이라고 한다. 즉, $V$가 $Y$의 앙투라지이면 $(f \times f)^{-1}(V)$가 $X$의 앙투라지가 된다. 여기서 $f \times f : X \times X \to Y \times Y$는 $(f \times f)(x_1, x_2) = (f(x_1), f(x_2))$로 정의된다.

모든 균등 연속 함수는 유도된 위상에 대해 연속이다.

균등 사상을 가진 균등 공간은 범주를 형성한다. 균등 공간 사이의 동형 사상을 균등 동형 사상이라고 한다. 명시적으로, 이는 균등 연속 전단사 함수이며, 그 역함수 또한 균등 연속이다. 균등 매립은 균등 공간 사이의 단사 균등 연속 사상 $i : X \to Y$로, 그 역 $i^{-1} : i(X) \to X$도 균등 연속이며, 여기서 이미지 $i(X)$는 $Y$에서 상속된 부분 공간 균등성을 갖는다.

거리 구조가 정하는 위상의 정의를 자연스럽게 일반화하여, 균등 구조가 정하는 위상을 정의할 수 있다. 균등 공간에서는 균등 연속성을 정의할 수 있다. 후술하듯이 유사 거리로부터 정해지는 균등 구조의 경우에는, 이 개념은 유사 거리 공간에서의 균등 연속성의 개념과 일치한다. 균등 연속인 함수는 반드시 연속이다.

일양 공간의 구체적인 예를 제시하기 위한 준비 단계로, 일양 공간의 생성 개념과 관련된 개념을 정의한다. 이러한 개념들은 위상 공간의 경우와 마찬가지로 정의할 수 있다. 여기서 "최소"는 포함 관계를 대소 관계로 보았을 때의 최소를 의미한다. 또한 "최소인 것이 존재하면"이라고 단정하는 것은, 위상 공간의 경우와는 달리, $X$와 $\mathcal{S}$의 선택에 따라 $\mathcal{S}\subset \mathcal{U}$가 되는 최소의 일양 구조가 존재하지 않는 경우가 있기 때문이다.[16][17] 그러나 $\mathcal{S}$가 전일양 구조라면 이러한 문제는 발생하지 않는다. 전일양 구조는 다음 정리를 만족한다. 이상의 사실의 계로서 다음이 따른다. 위의 계의 특수한 경우로서 다음의 일양 구조를 정의할 수 있다.

$ \mathcal{U}:=\{U \subset X\times X \mid \exists B\in\mathcal{B}~:~B\subset U\} $

라고 하면, $\mathcal{U}$는 대각선에 의한 $X$상의 균등 구조가 된다.[22]

균등 연속성은 유사 거리 집합을 사용하여 특징지을 수 있다. 이 특징짓기를 통해 위에서 언급한 균등 연속성의 정의는 유사 거리 공간에서의 균등 연속성의 정의를 자연스럽게 일반화한 것임을 확인할 수 있다.

집합 $X$에서 균등 공간 $(Y,\mathcal{U})$로의 사상 전체의 집합 $F(X,Y)$에 균등 구조가 들어가는 것을 살펴본다. 이 균등 구조가 $F(X,Y)$에 정의하는 위상에서의 넷의 수렴을 넷의 균등 수렴이라고 한다. 여기서는 균등 수렴의 몇 가지 관련 개념을 함께 다루기 위해, $X$의 부분 집합의 집합 $\mathcal{S}$를 생각하고, "$\mathcal{S}$의 원소에 관한 균등 수렴"이라는 개념을 도입한다. 구체적으로는 $\mathcal{S}$로 다음과 같은 3가지를 생각한다.

# $\mathcal{S}=\{X\}$

# $\mathcal{S}=\{X$의 한 점 집합$\}$

# $\mathcal{S}=\{X$의 콤팩트 부분 집합$\}$

마지막 경우에 관해서는 $X$에 위상 구조가 들어가 있다고 가정한다. 일반적인 균등 수렴은 첫 번째 경우이며, 두 번째는 점별 수렴, 세 번째는 콤팩트 수렴이다. 특히, $\mathcal{S}$의 원소에 관한 균등 수렴(의 균등 구조, 위상 구조)에서,

# $\mathcal{S}=\{X\}$일 때, 단순히 균등 수렴(의 균등 구조, 위상 구조)이라고 한다.

# $\mathcal{S}=\{X$의 한 점 집합$\}$일 때, 점별 수렴(의 균등 구조, 위상 구조)이라고 한다.

# $\mathcal{S}=\{X$의 콤팩트 부분 집합$\}$일 때 콤팩트 수렴(의 균등 구조, 위상 구조)이라고 한다.

$\mathcal{S}$의 원소에 관한 균등 수렴의 균등 구조는 다음과 같이 의사 거리에 의해 특징지을 수 있다. 따라서 특히 의사 거리 공간에서는 우리가 생각하는 균등 수렴의 개념이 일반적인 균등 수렴의 개념과 일치하는 것을 알 수 있다.

콤팩트 수렴에 관해서는 다음이 성립한다.

균등 수렴의 균등 구조는 다음의 성질을 만족한다.

위의 2에서의 균등 연속성은, $\Phi$에는 $F(X,Y)$에 균등 수렴의 균등 구조를 넣은 것을 $\Phi$에 제한한 균등 구조를 넣고, $F(\Phi,Y)$에는 $\Phi$에서 $Y$로의 사상 전체의 집합에 들어가는 균등 수렴에 관한 균등 구조를 넣었을 때의 것이다.

4. 예시

유사 거리 공간에서 정의되는 균등 구조와 위상군에서 정의되는 균등 구조를 구체적인 예로 들 수 있다. 특히, 위상 벡터 공간을 덧셈에 대해 위상군으로 간주하면 균등 구조가 자연스럽게 정의된다. 이러한 균등 구조는 완비성과 같이 해석학에서 중요한 성질을 정의할 수 있게 해주므로 유용하다.

밀착 위상과 이산 위상에 대응하는 밀착 균등 구조와 이산 균등 구조도 존재하며, 이들이 정의하는 위상은 각각 밀착 위상, 이산 위상과 일치한다.

이 외에도 다음과 같은 예를 들 수 있다.


  • 위상군에는 왼쪽, 오른쪽, 양측 균등 공간 구조를 정의할 수 있으며, 이는 원래 위상과 일치한다.[23]
  • 콤팩트 하우스도르프 공간에는 그 위상과 같은 위상을 유도하는 유일한 균등 공간 구조가 존재한다.[56]

4. 1. 자명한 균등 공간

집합 X 위에 다음과 같은 균등 공간 구조를 부여할 수 있으며, 이를 '''이산 균등 공간'''이라고 한다.[1][2]

:\mathcal E=\{E\subseteq X^2\colon E\supseteq \operatorname{diag}_X\}

이로부터 유도되는 위상은 이산 위상이다. 이는 X 위에 존재하는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다.

집합 X 위에 다음과 같은, 하나의 측근만을 갖는 균등 공간 구조를 부여할 수 있으며, 이를 '''비이산 균등 공간'''(indiscrete uniform space영어)이라고 한다.[1][2]

:\mathcal E=\{X^2\}

이로부터 유도되는 위상은 비이산 위상이다. 이는 X 위에 존재하는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다.

X를 집합으로 하고, \Delta_X=\{(x,x)\in X\times X\}를 X \times X의 대각선이라고 할 때, 대각선을 포함하는 모든 부분 집합의 집합

:\{U \subset X\times X \mid U\supset \Delta_X\}

는 균등 구조의 공리를 만족한다. 이 균등 구조를 '''이산 균등 구조'''()라고 한다. 이산 균등 구조가 정하는 위상은 이산 위상과 일치한다.

이산 균등 구조는 이산 거리

: d(x,y)=

\begin{cases}

0 & \text{if } x=y\\

1 & \text{otherwise}

\end{cases}

로부터 정해지는 균등 구조와 일치한다. 그러나 X상에 이산 위상을 정하는 거리라 하더라도, 그 거리로부터 정해지는 균등 구조가 이산 균등 구조가 아닌 경우가 존재한다.

이산 위상을 생성하지만, 이산 균등 구조를 생성하지는 않는 거리 함수의 예
집합거리 함수설명
\mathbb{Z} (정수 집합) d(x,y)=>\arctan(x)-\arctan(y)| 이 거리 함수로부터 정해지는 위상 구조가 이산 위상이라는 것은 명백하지만, 이 거리 함수로부터 정해지는 균등 구조는 이산 균등 구조가 아니다. x \rightarrow \infty일 때, \arctan(x)는 유한 극한을 가지므로, 임의의 \varepsilon > 0에 대해,



== 각주 ==

[63][64][25][26]


4. 2. 거리 함수로부터 정의되는 균등 공간 구조

집합 X 위의 유사 거리들의 집합 D가 주어졌을 때, 각 유사 거리 d \in D에 대하여, d\colon X^2\to\mathbb R가 균등 연속 함수가 되는 가장 작은 균등 공간 구조를 정의할 수 있다.[28] 이 균등 구조를 '''유사 거리의 집합''' D'''에 의해 정해지는''' X'''상의 균등 구조'''라고 한다.[27]

이 균등 구조는 다음과 같이 구체적으로 나타낼 수 있다. d \in D, r\in \mathbb{R}_{>0}에 대하여,

:U_{d,r}:=\{(x,y)\in X\times Y \mid d(x,y)

라고 하면, \mathcal{S}_d=\{U_{d,r}\mid r\in \mathbb{R}_{>0}\}는 X상의 전균등 구조가 된다.[28] 전균등 구조의 합집합은 전균등 구조이므로, \mathcal{S}=\{U_{d,r}\mid d\in D, r\in \mathbb{R}_{>0}\}도 전균등 구조이며, \mathcal{S}가 생성하는 균등 구조는 D가 정하는 균등 구조와 일치한다.[29]

거리 공간 (M, d)는 균등 공간으로 간주될 수 있는데, 유사 거리 정의에 의해 M에 균등 구조가 자연스럽게 주어지기 때문이다. 이 균등성의 기본 엔투라지 시스템은 다음과 같은 집합으로 구성된다.

: U_a \triangleq d^{-1}([0,a]) = \{(m, n) \in M \times M : d(m,n) \leq a\}.

이 균등 구조는 M에 대한 일반적인 거리 공간 위상을 생성한다.

4. 3. 위상군

위상군에는 왼쪽, 오른쪽, 양측 균등 공간 구조를 정의할 수 있으며, 이는 원래 위상과 일치한다.[23]

(G,\mathcal{O})를 위상군이라고 하자. G의 단위원 e의 열린 근방 O\in \mathcal{O}_e에 대해,

:O_L=\{(x,y)\in G^2 \mid x^{-1}y\in O\}, O_R=\{(x,y)\in G^2 \mid xy^{-1}\in O\}

로 정의하면,

:\mathcal{B}_L=\{O_L \mid O\in\mathcal{O}_e\}, \mathcal{B}_R=\{O_R \mid O\in\mathcal{O}_e\}

는 모두 균등 구조의 기저가 된다. \mathcal{B}_L, \mathcal{B}_R를 기저로 하는 균등 구조 \mathcal{L}, \mathcal{R}을 각각 G의 '''왼쪽 균등 구조'''(left unifomity[23]), '''오른쪽 균등 구조'''(right unifomity[23])라고 한다.

위상군 G (특히, 모든 위상 벡터 공간)는 집합 V \subseteq G \times G를 어떤 근방 U가 G의 항등원에 대해 \{(x, y) : x \cdot y^{-1} \in U\}를 포함하는 경우에만 엔투라지로 정의하면 균등 공간이 된다. G에 대한 이 균등 구조를 G에 대한 ''오른쪽 균등성''이라고 한다.

더욱이 \mathcal{L}\cup\mathcal{R}를 준기저로 하는 균등 구조 \mathcal{T}가 존재하며, 이를 '''양측 균등 구조'''(two-sided unifomity[23])라고 한다.

이들 세 가지 균등 구조(\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{T})가 결정하는 위상 구조는 원래의 위상 구조와 일치한다.[23]

\mathcal{L}, \mathcal{R}는 각각 좌불변, 우불변인 유사 거리의 집합에 의해 특징지을 수 있다.

4. 4. 잉여류 공간

위상군 G의 부분군 H\le G에 대하여, 왼쪽 잉여류 공간 G/H 위에는 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.

:\mathcal B=\left\{(gH,hH)\in(G/H)^2\colon\exists U\ni1_G\colon hg^{-1}\in U\right\}

여기서 U는 항등원 1_G\in G의 임의의 근방이다. 이로부터 정의되는 균등 위상은 몫공간 위상과 일치한다.

모든 위상군 G 및 그 부분군 H \subseteq G에 대해, 왼쪽 잉여류 G / H의 집합은 다음과 같이 정의된 균등성 \Phi에 대한 균등 공간이다. 집합 \tilde{U} = \{(s,t) \in G/H \times G/H : \ \ t \in U \cdot s\}, (U는 G의 항등원의 근방)는 균등성 \Phi에 대한 엔투라지의 기본 시스템을 형성한다. G / H에 대한 해당 유도 위상은 자연 사상 g \to G / H.에 의해 정의된 몫 위상과 같다.[1]

4. 5. 콤팩트 하우스도르프 공간

콤팩트 하우스도르프 공간 X에는 그 위상과 같은 위상을 유도하는 유일한 균등 공간 구조가 존재한다. 이 경우 측근은 곱공간 X\times X에서 대각 부분 집합 \operatorname{diag}_X\subseteq X\times X의 근방으로 주어진다.[56]

(X,\mathcal{O})를 콤팩트 위상 공간이라고 할 때, X의 균등 구조 \mathcal{U} 가운데 \mathcal{U}가 정하는 위상이 \mathcal{O}와 일치하는 것은 (만약 존재한다면) 유일하다.[56]

5. 역사

앙드레 베유가 1937년에 거리 공간의 개념을 추상화하여 균등 공간을 처음 도입하였다.[65][66][67] 이후 니콜라 부르바키가 측근을 사용한 정의를 도입하였다.[68]

앙드레 베유가 1937년 균등 구조에 대한 최초의 명시적인 정의를 내리기 전까지, 완비성과 같은 균등 개념은 거리 공간을 사용하여 논의되었다. 니콜라 부르바키는 저서 ''일반 위상수학''에서 근방을 사용하여 균등 구조의 정의를 제공했으며, 존 터키는 균등 덮개 정의를 제시했다. 베유는 또한 유사 거리의 집합을 사용하여 균등 공간을 특징지었다.

참조

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[17] 문서 離散一様構造があるので、\mathcal{S}を含む一様構造は少なくとも１つ必ず存在する。しかし\mathcal{S}を含む一様構造の中で最小のものが存在するとは限らない。
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[47] 문서 例えば(X,d)を完備な擬距離空間とし、{{Math|''u''{{sub|''0''}}∈''X''}}を任意の点とし、さらに{{Mvar|u{{sub|1}}}}を{{Mvar|X}}に属さない任意の点とするとき、\bar{X}:=X\cup\{u_1\}とし、\bar{X}上の距離\bar{d}を
[48] 문서 "#Schechter p.511"
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[63] 서적 Introduction to uniform spaces Cambridge University Press 1990
[64] 서적 Topological and uniform spaces Springer-Verlag 1987
[65] 서적 Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale Hermann & Cie. 1937
[66] 서적 Handbook of the History of General Topology Springer-Verlag 1998
[67] 저널 Histoire des espaces complets 1984-01
[68] 서적 Topologie générale. Chapitres 1 à 4 Hermann 1971
[69] 서적 Foundations of topology: an approach to convenient topology Kluwer Academic Publishers 2002


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