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대수 구조

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목차

1. 개요

대수 구조는 집합과 그 집합에 정의된 하나 이상의 연산으로 구성된 수학적 구조이다. 대수 구조는 연산의 종류와 연산이 따르는 규칙에 따라 다양한 종류로 분류되며, 집합, 마그마, 반군, 모노이드, 군, 환, 체 등이 있다. 대수 구조는 부호수, 부분 대수, 몫 대수 등의 개념을 가지며, 컴퓨터 과학, 물리학, 화학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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    환은 덧셈에 대해 아벨 군, 곱셈에 대해 모노이드를 이루며 분배 법칙이 성립하는 대수 구조로, 가환환과 비가환환으로 나뉘고 모든 비영 원소가 곱셈 역원을 갖는 비영 가환환을 체라고 한다.
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대수 구조

2. 정의

대수 구조는 집합과 그 집합 위에서 정의된 연산들로 이루어진다. 각 연산은 주어진 개수의 원소를 입력받아 하나의 원소를 출력하며, 특정한 공리(예: 결합 법칙, 교환 법칙, 분배 법칙 등)를 만족해야 한다.[1] 대수 구조의 부호수는 연산의 종류와 각 연산에 필요한 입력 원소의 개수(arity)를 나타내는 정보이다.

2. 1. 부호수

대수 구조의 '''부호수'''(signature영어)는 집합 τ와 공역이 음이 아닌 정수의 집합인 함수 arity: τ → ℕ의 순서쌍이다. arity(α) = n인 원소 α ∈ τ를 형 τ의 '''n항 연산'''이라고 한다.

2. 2. 대수 구조

형 \(\tau\)의 대수 구조 \((S, F)\)는 다음 두 가지로 구성된다.

  • \(S\)는 집합이다.
  • \(F\)는 중복집합 \(\tau\)의 각 원소 \(\alpha \in \tau\)를 함수 \(F_\alpha \colon S^{\times \operatorname{arity}(\alpha)} \to S\)에 대응시키는 함수이다. 여기서 \(S^{\times n}\)은 \(S\)의 \(n\)번 곱집합이며, \(S^{\times 0}\)은 임의의 한원소 집합이다.


대수 구조는 연산들이 만족해야 하는 항등식(identity)에 대한 정보는 포함하지 않는다. 이러한 정보를 포함하는 대상은 대수 구조 다양체라고 한다.

덧셈과 곱셈은 집합의 두 원소를 결합하여 같은 집합의 세 번째 원소를 생성하는 연산의 대표적인 예시이다. 이러한 연산은 여러 대수적 법칙을 따른다. 예를 들어, \(a + (b + c) = (a + b) + c\) 와 \(a(bc) = (ab)c\)는 결합 법칙이고, \(a + b = b + a\) 와 \(ab = ba\)는 교환 법칙이다. 3차원 공간에서 물체의 움직임은 강체 변환이라고 하며, 결합 법칙을 따르지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.[1]

특정 법칙을 따르는 하나 이상의 연산이 있는 집합을 '대수 구조'라고 한다. 만약 새로운 문제가 이러한 대수 구조와 동일한 법칙을 포함하는 경우, 구조의 법칙만 사용하여 증명된 모든 결과를 새로운 문제에 직접 적용할 수 있다.[1]

일반적으로 대수 구조는 둘 이상의 원소를 결합하는 연산(더 높은 이항성 연산), 하나의 인수만 취하는 연산 (단항 연산), 또는 인수가 없는 연산(영항 연산)을 포함하여 임의의 연산 모음을 포함할 수 있다.[1]

보편 대수에서 다양체는 동일한 연산과 동일한 공리를 공유하는 대수 구조의 클래스이며, 모든 공리가 항등식이라는 조건이 있다. 다양체 내의 대수 구조는 항등식 집합에 의해 생성된 동치 관계로 나뉜 용어 대수("완전히 자유 대수")의 몫 대수로 이해될 수 있다.[2]

3. 기본 성질

대수 구조는 부분 대수, 몫 대수 등의 개념을 통해 더 작은 구조나 더 큰 구조로 분해하거나 확장할 수 있다.

3. 1. 부분 대수 (Subalgebra)

형 \tau의 대수 구조 (S,F)의 '''부분 대수'''(subalgebra영어) (T,G)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 형 \tau의 대수 구조이다.

  • T\subset S이다.
  • T의 연산은 S의 연산과 일치한다. 즉, 모든 n항 연산 \alpha\in\tau 및 \vec t\in T^{\times n}에 대하여, F_\alpha(\vec t)=G_\alpha(\vec t)이다.


대수적 구조 (S,F)의 부분 대수들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합 \operatorname{Sub}(S)를 이룬다. 이 부분 순서 집합은 대수적 격자이며, 반대로 모든 대수적 격자는 대수 구조의 부분 대수 격자로 나타낼 수 있다.[5]

3. 2. 몫 대수 (Quotient Algebra)

형 τ의 대수 구조 (S, F) 위에 합동 관계 ∼가 주어졌다고 할 때, S의 ∼에 대한 '''몫 대수'''(quotient algebra영어) (S/∼, F/∼)는 다음과 같은 대수 구조이다.

  • S/∼은 S의 ∼에 대한 동치류들의 집합이다.
  • 각 α∈τ 및 \vec s\in S^{\times\operatorname{arity}(\alpha)}에 대하여, 합동 관계는 연산과 호환되므로, (F/{\sim})_\alpha([\vec t]_\sim)=[F_\alpha(\vec t)]_\sim로 정의할 수 있다. 여기서 [\cdots]_\sim는 ∼에 대한 동치류이다.


주어진 대수 구조 S의 몫 대수들의 부분 순서 집합은 S 위의 합동 관계들의 부분 순서 집합 Cong(S)와 동형이다.[5] Cong(S)는 대수적 격자를 이루며, 반대로 모든 대수적 격자는 어떤 대수 구조의 합동 관계 격자와 동형이다.

Cong(S)가 2개 원소를 가진 격자인 경우, S를 '''단순 대수'''(simple algebra영어)라고 한다. 합동 관계 ∼에 대하여 S/∼이 단순 대수인 경우, ∼을 '''극대 합동 관계'''(maximal congruence relation영어)라고 한다. 단순 대수는 단순군·단순환의 개념을, 극대 합동 관계는 극대 아이디얼의 개념을 일반화한 것이다.

4. 예시

대수 구조는 연산이 정의된 집합으로, 다양한 종류가 있다. 몇 가지 예시는 다음과 같다.



덧셈과 곱셈은 집합의 두 원소를 결합하여 같은 집합의 세 번째 원소를 생성하는 연산의 대표적인 예시이다. 이러한 연산은 여러 대수적 법칙을 따르는데, 예를 들어 결합 법칙과 교환 법칙이 있다.

3차원 공간에서 물체의 움직임은 강체 변환이라고 하며, 결합 법칙은 따르지만 교환 법칙은 만족하지 않는 연산의 예시이다.

일반적으로 대수 구조는 둘 이상의 원소를 결합하는 연산(더 높은 이항성 연산), 하나의 인수만 취하는 연산 (단항 연산) 또는 인수가 없는 연산(영항 연산)을 포함할 수 있다.

4. 1. 집합

집합은 아무런 연산이 정의되어 있지 않은 대수 구조이다.

4. 2. 마그마, 준군, 루프, 반군, 모노이드, 군, 아벨 군

하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조
구조항등원역원결합 법칙교환 법칙
마그마××××
준군××××
루프○△××
반군××○×
모노이드○×○×
군○○○×
아벨 군○○○○



마그마는 하나의 이항 연산이 정의된 집합이다.[4] 준군은 ''a'' × ''x'' = ''b'', ''y'' × ''a'' = ''b''인 ''x''와 ''y''가 유일하게 결정되는 마그마이다.[4] 루프는 항등원 ''e''를 갖는 준군으로, 임의의 원소가 좌·우 역원을 갖는 마그마라고도 할 수 있다.[4] 반군은 결합 법칙을 만족하는 마그마이다.[4] 모노이드는 항등원을 갖는 반군이다.[4] 군은 임의의 원소가 역원을 갖는 모노이드 또는 결합 법칙을 만족하는 루프이다.[4] 아벨 군은 교환 법칙을 만족하는 군이다.[4]

4. 3. 환, 나눗셈환, 가환환, 체

두 개의 이항 연산(덧셈, 곱셈)을 갖는 대수 구조는 다음과 같이 분류할 수 있다.

  • '''환''': 덧셈에 대해 아벨 군이고 곱셈에 대해 반군이며, 분배 법칙을 만족한다.
  • '''나눗셈환''': 자명하지 않은 환으로, 0이 아닌 원소로 나눗셈이 가능하다.
  • '''가환환''': 곱셈 연산이 교환 법칙을 만족하는 환이다.
  • '''체''': 가환인 나눗셈환이다. (즉, 모든 0이 아닌 원소에 대한 곱셈 역원을 포함하는 가환환)[3]

4. 4. 가군, 벡터 공간, 체 위의 대수, 내적 공간

환 R에 대한 가군 (M,+,-,0,r\cdot_{r\in R})은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (덧셈) 이항 연산 +\colon M\times M\to M
  • (덧셈 역원) 일항 연산 -\colon M\to M
  • (덧셈 항등원) 영항 연산 0\in M
  • (스칼라 곱셈) R의 각 원소 r\in R에 대하여, 일항 연산 r\cdot\colon M\to M


만약 R가 무한 집합이라면, 이 경우 R-가군의 연산 집합 역시 무한 집합이다.

  • 가군: 아벨 군 ''M''과 ''M''에 연산자로 작용하는 환 ''R''을 갖는다. ''R''의 원소는 때때로 스칼라라고 불리며, 이항 연산인 ''스칼라 곱셈''은 여러 공리를 만족하는 함수 ''R'' × ''M'' → ''M''이다. 환 연산을 포함하면 이러한 시스템은 최소 세 개의 연산을 갖는다.[4]
  • 벡터 공간: 환 ''R''이 체이거나, 어떤 맥락에서는 나눗셈환인 가군이다.[4]
  • 체 위의 대수: 체 위의 가군으로, 가군 구조와 호환되는 곱셈 연산을 갖는다. 여기에는 덧셈에 대한 분배 법칙과 곱셈에 대한 선형성이 포함된다.[4]
  • 내적 공간: 정부호 쌍선형 형식을 갖는 체 ''F''와 벡터 공간 ''V''.[4]
  • 연산과 작용에 의해 결정되는 구조[4]
  • * 환 위의 가군: 환이 작용하는 아벨 군[4]
  • * 벡터 공간: 체 위의 가군[4]
  • ** 연산이나 이항 연산의 항에 기록된 바와 같이, 가군이나 벡터 공간 등에서 환이나 체가 제공하는 외부적인 작용도 적절한 방법으로 내부적인 1항 연산(단항 연산)으로 간주할 수 있으므로, 가군이나 벡터 공간이나 그 외에도 마찬가지로 작용역을 갖는 구조인 다원환 등이 군이나 환과 마찬가지로(많은 연산에 의해 결정되는 구조) 통일적으로 논할 수도 있다.[4]
  • 더욱 복잡한 것[4]
  • * 다원환(대수): 곱셈이 정의된 가군 또는 벡터 공간[4]
  • * 결합 대수: 곱셈이 결합 법칙을 만족하는 대수[4]
  • * 가환대수: 곱셈이 가환인 결합 대수[4]

5. 응용

대수 구조는 부분 순서 또는 위상과 같은 비대수적 성격의 추가 구조와 함께 사용될 수 있으며, 추가된 구조는 어떤 의미에서 대수 구조와 호환되어야 한다.

5. 1. 물리학


  • 위상군: 군 연산과 호환되는 위상을 가진 군이다.
  • 리 군: 호환되는 매끄러운 다양체 구조를 가진 위상군이다.
  • 순서군, 순서환 및 순서체: 호환 가능한 부분 순서를 가진 각 유형의 구조이다.
  • 아르키메데스 군: 아르키메데스 성질이 성립하는 선형 순서군이다.
  • 위상 벡터 공간: ''M''이 호환 가능한 위상을 갖는 벡터 공간이다.
  • 노름 벡터 공간: 호환되는 노름을 가진 벡터 공간이다. 이러한 공간이 (거리 공간으로서) 완비되면 바나흐 공간이라고 한다.
  • 힐베르트 공간: 내적이 바나흐 공간 구조를 생성하는 실수 또는 복소수를 기반으로 하는 내적 공간이다.
  • 정점 연산자 대수
  • 폰 노이만 대수: 약한 연산자 위상이 장착된 힐베르트 공간의 연산자 *-대수이다.

참조

[1] 서적 Encyclopedia of Mathematics Springer-Verlag
[2] 서적 Universal Algebra Springer 1981
[3] 문서
[4] 문서
[5] 서적 A course in universal algebra http://www.thoralf.u[...] Springer 1981


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