사영 다형체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

사영 다형체는 자리스키 위상에서 닫힌 사영 공간의 부분 다형체로 정의된다. 사영 다형체는 동차 좌표를 사용하여 정의되며, 동차 다항식들의 공통 영점으로 표현된다. 사영 다형체는 열린 아핀 부분다형체들로 덮여 있으며, 사영 스킴은 Proj 구성을 통해 정의되어 사영 공간에 스킴 구조를 부여한다. 사영 다형체는 완비 다형체와 관련이 있으며, 모든 사영 다형체는 완비 다형체이지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 사영 다형체의 예시로는 두 사영 공간의 곱, 그라스마니안, 깃 다형체 등이 있으며, 동차 좌표환과 힐베르트 다항식, 차수, 단면의 환 등의 불변량을 가진다. 사영 다형체는 사영을 통해 차원을 낮출 수 있으며, 쌍대성 및 선형계, 연접층의 코호몰로지, 매끄러운 사영 다형체, 힐베르트 스킴, 복소 사영 다형체 등과 연관된다. 복소 사영 다형체는 복소 켈러 다양체와 관련되며, GAGA 정리와 저우의 정리, 복소 토리, 코다이라 소멸 정리 등과 관련이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

대수다양체 - 유리 함수
유리 함수는 체 K 위의 n변수 다항식환의 분수체 원소로서 다항식의 비로 표현되는 함수이며, 분모가 0이 되는 지점에서 정의되지 않을 수 있고, 복소해석학에서는 복소수 계수를 갖는 두 다항식의 비율로 정의되어 다양한 수학적 성질과 응용을 가진다.
대수다양체 - 대수 다양체
대수 다양체는 대수기하학에서 연구되는 기하학적 대상이며, 타원 곡선과 그라스마니안이 그 예시이다.
사영기하학 - 무한원점
무한원점은 사영평면에서 z=0인 동차좌표로 표현되는 점들의 집합으로 무한원직선을 구성하며, 유클리드 기하학에는 없지만 사영기하학 등에서 평행선의 교점으로 정의되고 투영기하학에서 소실점과 관련되어 응용되지만 교육적 어려움을 야기한다는 비판도 있다.
사영기하학 - 동차좌표
동차좌표는 $(n+1)$ 개의 수로 이루어진 순서쌍 집합에서 0이 아닌 원소를 제외하고 동치관계를 정의하여 얻는 $n$ 차원 사영 공간의 좌표이며, 데카르트 좌표와 달리 단일 점을 무한히 많은 좌표로 표현하고 컴퓨터 그래픽스, 컴퓨터 비전 등에 응용된다.
대수기하학 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
대수기하학 - 매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C^k로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다.

사영 다형체

2. 다형체와 스킴 구조

2. 1. 다형체 구조

사영 다형체는 자리스키 위상에서 닫힌 사영 공간의 부분 다형체로 정의된다.^[50]^[2]^[37] 사영 공간은 동차 좌표 x_0: \dots: x_n를 사용하여 정의되며, 사영 다형체는 동차 다항식들의 공통 영점으로 표현된다. 주어진 다항식 ''f''가 동차다항식인 경우에만, f([x_0: \dots: x_n]) = 0 이라는 조건이 의미를 갖는다.^[50]^[2]^[37]

사영 다형체 ''X''는 열린 아핀 부분다형체들에 의해 덮여있고, 이러한 아핀 부분다형체는 각각의 좌표환을 갖는 아핀 공간이다. 예를 들어, 사영 공간

\mathbb{P}^n

은 표준 열린 아핀 좌표 조각들 U_i = {[x₀: \dots: x_n], x_i ≠ 0} 로 덮여 있으며, ''X''의 국소적인 연구는 이러한 아핀 다형체의 연구로 귀결된다.

어떤 닫힌 아핀 다형체에서 시작하여, 사영 공간에서 이 아핀 다형체의 폐포는 사영 완비화라고 불리는 사영 다형체가 된다.^[51]^[3]^[38] 예를 들어 아핀 평면에서 y² = x³ + ax + b 로 주어진 아핀 곡선의 사영 완비화는 y²z = x³ + axz² + bz³ 과 같이 주어지는 사영 평면에서의 곡선이다.

2. 2. 사영 스킴

사영 스킴은 Proj 구성을 통해 정의되며, 사영 공간에 스킴 구조를 부여한다.^[53] 예를 들어 ''A''가 환일 때, ''A'' 위의 사영 공간은 다음과 같이 정의된다.^[53]

:

\mathbb{P}^n_A = \operatorname{Proj}A[x_0, \ldots, x_n].

이는 ''n+1''개의 아핀 ''n'' 차원 공간들의 합집합으로 구성된 스킴으로 볼 수 있다.^[52]

''R''이

k[x_0, \ldots, x_n]

의 몫환인 경우, 동차 이데알 ''I''에 의한 표준 전사는 닫힌 몰입을 유도한다.

:

\operatorname{Proj} R \hookrightarrow \mathbb{P}^n_k

사영 다형체와 다르게 이데알 ''I''가 소 이데알이라는 조건은 없으며, 이는 더 유연한 개념으로 이어진다.^[54]

\mathbb{P}^n_k

의 닫힌 부분 스킴은

k[x_0, \ldots, x_n]

의 포화된 동차 이데알 ''I''와 일대일 대응되며, 이는 사영 영점 정리의 세련된 버전으로 볼 수 있다.^[54]

좌표 없는 정의를 통해 유한차원 벡터 공간 ''V'' over ''k''의 사영을 다룰 수 있다.^[55]

:

\mathbb{P}(V) = \operatorname{Proj} k[V]

여기서

k[V] = \operatorname{Sym}(V^*)

는

V^*

의 대칭 대수이다.^[55] 이는 ''V''의 직선들을 매개변수화하며, 선형계와 같은 개념과 연결된다. 사영 다양체 ''X''의 약수 ''D''는 선다발 ''L''에 해당하며,

|D| = \mathbb{P}(\Gamma(X, L))

와 같이 설정하여 ''D''의 완비 선형계로 정의한다.

임의의 스킴 ''S''에 대한 사영 공간은 스킴의 올곱으로 정의할 수 있다.

:

\mathbb{P}^n_S = \mathbb{P}_\Z^n \times_{\operatorname{Spec}\Z} S

스킴 ''X'' → ''S''가 닫힌 몰입과 ''S''로의 사영으로 분해될 때 ''S'' 위에서 사영적이라고 한다.

3. 완비 다형체와의 관계

완비 다형체는 '누락된' 점이 없는 다형체로, 적합성의 판별 기준을 통해 정의된다.^[57] 사영 공간은 완비이므로 모든 사영 다형체는 완비 다형체이다.^[9] 하지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

매끄러운 곡선 ''C''가 완비인 경우에만 사영적이라는 것이 성립한다. 이는 ''C''를 ''k'' 위에서의 함수체 ''k(C)''의 이산 값매김환 집합과 동일시하여 증명된다. 이 집합은 자리스키-리만 공간이라고 하는 자연스러운 자리스키 위상을 갖는다.^[9]
저우 보조 정리에 따르면, 모든 완비 다형체 ''X''에 대해 사영 다형체 ''Z''와 쌍유리 사상 ''Z'' → ''X''가 존재한다.^[9]^[57]

사영 다형체의 일부 성질은 완비성에서 비롯된다. 예를 들어, ''k'' 위의 모든 사영 다형체 ''X''에 대해,

:

\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k

가 성립한다.^[10]^[58] 이는 리우빌 정리의 대수적 유사체이다.

4. 예제 및 기본 불변량

정의에 따르면, 다항식 환의 모든 동차 이데알은 사영 스킴을 생성한다(다형체를 제공하려면 소 이데알이어야 함). 이런 의미에서 사영적 다형체의 예는 많다. 다음 목록은 특히 집중적으로 연구되었기 때문에 주목할 만한 다양한 종류의 사영 다형체를 언급한다.

두 사영 공간의 곱은 사영적이다. 사실 명시적 몰입(세그레 매장이라고 함)이 있다.

결과적으로, ''k''에 대한 사영 다형체의 곱은 다시 사영이다. 플뤼커 매장은 그라스마니안을 사영 다형체로 나타낸다. 일반 선형 군 $\mathrm{GL}_n(k)$ 의 상 삼각 행렬의 부분 군을 법으로 한 몫군과 같은 깃 다형체들은 사영적이며, 이는 대수군 이론에서 중요한 사실이다.^[59]

4. 1. 동차 좌표환과 힐베르트 다항식

사영 다형체 ''X''를 정의하는 소 아이디얼 ''p''가 동차이므로 동차 좌표환 R = k[x₀, ..., x_n] / p 는 등급환이다. 즉, 등급이 매겨진 성분들의 직합으로 표현할 수 있다.

: R = ⊕_{n ∈ N} R_n.

모든 충분히 큰 ''n''에 대해, dim R_n = P(n)과 같은 다항식 ''P''가 존재한다. 이 다항식을 ''X''의 힐베르트 다항식이라고 한다. 이는 ''X''의 외적 기하학을 인코딩하는 불변량이다. ''P''의 차수는 ''X''의 차원 ''r''이고, ''P''의 선행 계수에 '''r!'''을 곱하면 다형체 ''X''의 차수가 된다. ''X''가 매끄러울 때 ''X''의 산술 종수는 (-1)^r(P(0)-1)이다.

예를 들어, Pⁿ의 동차 좌표 환은 k[x₀, …, x_n]이고 힐베르트 다항식은 P(z) = (z + n n) 이다. 산술 종수는 0이다.

동차 좌표 환 ''R''은 정수적으로 닫힌 정역이다. 그래서 사영 다형체 ''X''는 사영 정규라고 한다. 스킴의 정규성과는 달리, 사영적 정규성은 ''R''에 따라 다르다. ''X''의 사영 공간으로의 매장. 사영 다형체의 정규화는 사영적이다; 사실, 그것은 ''X''의 동차 좌표 환의 정수적 폐포의 Proj이다.

4. 2. 차수

사영 다형체

X \subset \mathbb{P}^N

의 차수는 매장을 기준으로 정의되며, 최소 두 가지 방법이 있다. 첫 번째 방법은 유한 집합의 기수를 이용하는 것으로,

\# (X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_d)

로 표현된다. 여기서 ''d''는 ''X''의 차원이고,

H_i

는 "일반 위치"에 있는 초평면이다.^[60] 이 정의는 차수에 대한 직관에 부합하며, ''X''가 초곡면일 경우 ''X''를 정의하는 동차 다항식의 차수와 같다. "일반 위치"는 교차 이론을 통해 구체화될 수 있으며, 교집합이 적절하고 기약 성분의 중복도가 모두 1이어야 한다.^[12]

다른 정의는 ''X''의 힐베르트 다항식의 선행 계수에

(\dim X)!

를 곱한 값으로 차수를 정의한다. 기하학적으로, 이는 ''X''의 차수가 ''X''에 대한 아핀 원뿔의 꼭지점의 중복도임을 의미한다.^[60]^[12]

베주 정리는 교차 이론의 중요한 결과로,

V_1, \dots, V_r \subset \mathbb{P}^N

가 적절히 교차하는 순수 차원의 닫힌 부분 스킴일 때, 교차 중복도를 고려하여 교집합의 차수를 계산하는 방법을 제공한다. 교차 중복도 ''

m_i

''가 교차에서 기약 성분 ''

Z_i

''의 중복도를 나타내는 경우, 베주 정리의 일반화는 다음과 같다.^[61]^[13]

:

\sum_1^s m_i \deg Z_i = \prod_1^r \deg V_i.

교차 중복도 ''

m_i

''는

\mathbb{P}^N

의 초우 환에서 교차 곱

V_1 \cdot \cdots \cdot V_r

에서 ''

Z_i

''의 계수로 정의될 수 있다.

특히,

H \subset \mathbb{P}^N

가 ''X''를 포함하지 않는 초곡면인 경우,

:

\sum_1^s m_i \deg Z_i = \deg(X) \deg(H)

이며, 여기서 ''

Z_i

''는 ''

H

''와 ''

X

''의 스킴 이론적 교점의 기약 성분이고, ''

m_i

''는 해당 성분의 중복도(국소적 환의 길이)이다.

복소 사영 다형체는 콤팩트 복소 다양체로 볼 수 있으며, 다형체의 차수는 주변 복소 사영 공간에서 물려받은 계량과 관련하여 다양체로서의 다형체의 부피이다. 복소 사영 다형체는 부피의 극소화로 특징지어질 수 있다.

4. 3. 단면의 환

''

X

''를 사영 다형체, ''

L

''을 선 다발이라고 할 때, 등급환

R(X, L) = \bigoplus_{n=0}^{\infty} H^0(X, L^{\otimes n})

을 ''

L

''의 단면의 환이라고 한다.^[62]^[14] ''

L

''이 풍부한 경우 이 환의 Proj는 ''

X

''이다. ''

X

''가 정규이고 ''

L

''이 아주 풍부하다면

R(X,L)

은 ''

L

''에 의해 결정된 ''

X

''의 동차 좌표 환의 정수적 폐포이다. 즉,

X \hookrightarrow \mathbb{P}^N

라서

\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)

를 ''

L

''로 당기도록 한다.^[62]

약수(또는

\Q

-약수)는 선다발이 아닌 경우도 포함한다. ''

X

''가 정규라고 가정하면, 이 경우에 얻어지는 환을 일반화된 단면 환이라고 한다.

K_X

가 ''

X

''의 표준 약수이면,

R(X, K_X)

를 ''

X

''의 표준 환라고 한다. 표준 환이 유한생성되면 환의 ''

\text{Proj}

''를 ''

X

''의 표준 모형이라고 한다. 표준 환 또는 표준 모형을 사용하여 ''

X

''의 고다이라 차원을 정의할 수 있다.

4. 4. 사영 곡선

1차원 사영 스킴을 사영 곡선이라고 한다. 사영 곡선 이론의 대부분은 매끄러운 사영 곡선에 관한 것인데, 곡선의 특이점은 정규 함수 환의 정수적 폐포를 국소적으로 취하는 정규화로 해결할 수 있기 때문이다. 매끄러운 사영 곡선은 함수체가 동형인 경우에만 동형이다.^[63]^[15]^[42]

:

\mathbb F_p(t)

의 유한 확장에 대한 연구 또는 동등하게

\mathbb F_p

위의 매끄러운 사영 곡선은 대수적 수론에서 중요한 주제이다.^[63]^[15]^[42]

종수 1인 매끄러운 사영 곡선을 타원 곡선이라고 한다. 리만-로흐 정리의 결과로 이러한 곡선은

\mathbb{P}^2

의 닫힌 부분 다형체로 매장될 수 있다. 일반적으로 모든 (매끄러운) 사영 곡선은

\mathbb{P}^3

에 매장 될 수 있다. (증명은 Secant 다형체#Examples 참조). 반대로,

\mathbb{P}^2

안의 매끄러운 닫힌 3차 곡선은 종수- 차원 공식에 의해 종수 1을 가지므로 타원 곡선이다.

2보다 크거나 같은 종수의 매끄러운 완비 곡선은 유한 사상

C \to \mathbb{P}^1

이 있는 경우 2차 초타원 곡선이라고 한다.^[64]^[16]

4. 5. 사영 초곡면

\mathbb{P}^n

의 여차원이 1인 모든 기약 닫힌 부분 집합은 초곡면이다. 즉, 어떤 동차 기약 다항식의 영점 집합이다.^[65]^[17]^[43]

4. 6. 아벨 다형체

닐스 헨리크 아벨을 기리기 위해 이름붙여진 아벨 다형체는 야코비 다양체처럼 완비이고 군 구조를 갖는 다형체이다. 이는

GL_n(k)

과 같은 아핀 대수적 군과 뚜렷한 대조를 이룬다. 아벨 다형체의 군은 그 이름처럼 항상 가환이다. 더욱이 그들은 풍부한 선다발을 허용하므로 사영적이다. 반면에, 아벨 스킴은 사영적이지 않을 수 있다. 아벨 다형체의 예로는 타원 곡선, 야코비 다양체, K3 곡면이 있다.

5. 사영

$E \subset \mathbb{P}^n$ 를 선형 부분 공간이라 하자. 즉, 어떤 선형 독립 선형 함수 $s_i$ 들에 대해 $E = \{ s_0 = s_1 = \cdots = s_r = 0 \}$ 이다. 그러면 ''' $E$ 로부터의 사영'''은 다음과 같은 사상이다.^[66]

: $\begin{cases}\phi: \mathbb{P}^n - E \to \mathbb{P}^r \\x \mapsto [s_0(x) : \cdots : s_r(x)]\end{cases}$

이 사상은 다음과 같이 기하학적으로 설명할 수 있다.^[66]

''' $E$ '''와 분리되도록 $\mathbb{P}^r \subset \mathbb{P}^n$ 로 본다. 그러면, $\forall x \in \mathbb{P}^n \setminus E,\; \phi(x) = W_x \cap \mathbb{P}^r.$ 여기서 $W_x$ 는 ''' $E$ '''와 $x$ 를 포함하는 가장 작은 선형 공간이다.
$\phi^{-1}(\{ y_i \ne 0 \}) = \{ s_i \ne 0 \}.$ 여기서 $y_i$ 들은 $\mathbb{P}^r$ 에서 동차 좌표이다.
''''' $E$ '''''에서 분리된 임의의 닫힌 부분 스킴 $Z \subset \mathbb{P}^n$ 의 경우, 제한 사상 $\phi: Z \to \mathbb{P}^r$ 은 유한 사상이다.^[67]

사영을 사용하여, 유한 사상을 기준으로,사영 다형체가 매장된 차원으로 낮출 수 있다. 사영 다형체

X \subset \mathbb{P}^n

으로 시작하여,

n > \dim X

이면, ''

X

''에 없는 점으로부터의 사영은

\phi: X \to \mathbb{P}^{n-1}

을 제공한다. 게다가,

\phi

는

\text{Im}\phi

으로 가는 유한 사상이다. 따라서 이 절차를 반복하면 다음과 같은 유한 사상이 존재한다.^[68]

:

X \to \mathbb{P}^d, \quad d = \dim X

이 결과는 뇌터 정규화 보조정리의 사영 버전이다. 동일한 절차를 사용하여, 완전체에 대한 사영 다형체 ''

X

''가 주어지면 ''

X

''에서 초곡면 ''

H\subset \mathbb{P}^{d+1}

''로 가는 유한한 쌍유리 사상이 존재함을 보일 수 있다.^[68] 특히 ''

X

''가 정규이면 ''H''의 정규화이다.

6. 쌍대성 및 선형계

''n''차원 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 은 아핀 ''n'' 공간의 직선을 매개변수화하고, 쌍대 사영 공간은 사영 공간의 초평면들을 매개변수화한다.^[69]^[21] 체 ''k''를 고정하고 $\breve{\mathbb{P}}_k^n = \operatorname{Proj}(k[u_0, \dots, u_n])$ 를 사영 ''n'' 공간이라 하면, 다음과 같은 구조를 가진다.

: $f \mapsto H_f = \{ \alpha_0 x_0 + \cdots + \alpha_n x_n = 0 \}$ , $\mathbb{P}^n_L$ 의 초평면

여기서 $f: \operatorname{Spec} L \to \breve{\mathbb{P}}_k^n$ 는 ''k''의 체 확대 ''L''에 대한 $\breve{\mathbb{P}}_k^n$ 의 ''L'' 점이고 $\alpha_i = f^*(u_i) \in L.$ 이다.

각 ''L''에 대해, 이 구조는 $\breve{\mathbb{P}}_k^n$ 의 ''L''-점 집합과 $\mathbb{P}^n_L$ 의 초평면 집합 사이의 전단사 함수이다. 이 때문에, 쌍대 사영 공간 $\breve{\mathbb{P}}_k^n$ 는 $\mathbb{P}^n_k$ 의 초평면의 모듈라이 공간이라고 불린다.^[69]^[21] $\breve{\mathbb{P}}_k^n$ 의 직선은 연필이라고 불리며, 이는 $\mathbb{P}^1_k$ 에 의해 매개변수화된 $\mathbb{P}^n_k$ 의 초평면의 집합이다.^[69]^[21]

''V''가 유한차원 ''k-''벡터 공간이면, $\mathbb{P}(V^*) = \operatorname{Proj}(\operatorname{Sym}(V))$ 는 $\mathbb{P}(V)$ 의 초평면들의 공간이다.^[69]^[21] ''V''가 선다발의 단면으로 구성되는 경우는 중요한 경우이다. 즉, ''X''를 대수적 다형체, ''L''을 ''X''의 선다발, $V \subset \Gamma(X, L)$ 를 유한 차원 부분 벡터 공간이라 하면, 선형계 ''V''에 의해 결정되는 다음 사상이 있다.^[69]

: $\begin{cases}\varphi_V: X \setminus B \to \mathbb{P}(V^*) \\x \mapsto H_x = \{ s \in V | s(x) = 0 \}\end{cases}$

여기서 기저 궤적이라고 하는 ''B''는 ''V'' 에서 0이 아닌 단면의 약수들의 교집합이다.^[69]^[21]

7. 연접층의 코호몰로지

체(또는 뇌터 환)에 대한 사영 스킴 ''X'' 위의 연접층 $\mathcal F$ 의 코호몰로지는 세르의 정리에 따라 다음을 만족한다.^[70]^[71]^[22]^[23]^[44]

모든 ''p''에 대해 $H^p(X, \mathcal{F})$ 는 유한 차원 ''k''-벡터 공간이다.
$\mathcal{F}$ 에 따라 다른 정수 $n_0$ 가 존재하여 모든 $n \ge n_0$ 와 ''p'' > 0에 대해 $H^p(X, \mathcal{F}(n)) = 0$ 이다. 여기서 $\mathcal F(n) = \mathcal F \otimes \mathcal O(n)$ 는 아주 풍부한 선다발 $\mathcal{O}(1)$ 의 멱으로 꼬인 것이다.

이는 동형사상

H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(\mathbb{P}^r, \mathcal{F}), p \ge 0

을 사용하여

X= \mathbb{P}^n

의 경우로 축소하여 증명할 수 있다. 여기서 오른쪽의

\mathcal{F}

는 0으로 확장하여 사영 공간 위의 층으로 간주된다.^[70]

뇌터 스킴에서 뇌터 환으로의 사영 사상 ''f''에 대해, 더 높은 직상

R^p f_* \mathcal{F}

은 연접층이다. 이는 저우 보조정리를 통해 고유 사상 ''f''에 대해서도 동일하게 성립한다.

뇌터 위상 공간에서 공간의 차원보다 큰 ''i''에 대해 층 코호몰로지 군 ''H ⁱ''는 소멸한다. 따라서

\mathcal{F}

의 오일러 특성

\chi(\mathcal{F}) = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i \dim H^i(X, \mathcal{F})

는 ''X''가 사영일 때 잘 정의된 정수이다.^[72]

\chi(\mathcal{F}(n)) = P(n)

를 만족하는 유리수 계수 다항식 ''P''가 존재하며, 구조층

\mathcal{O}_X

에 이 절차를 적용하면 ''X''의 힐베르트 다항식을 얻을 수 있다.

''X''가 기약이고 ''r''차원일 때, ''X''의 산술 종수는

(-1)^r (\chi(\mathcal{O}_X) - 1)

로 주어지며, 이는 매장과 무관하다.

\mathbb{P}^n

에서 차수 ''d''인 초곡면의 산술 종수는

\binom{d-1}{n}

이다. 특히,

\mathbb{P}^2

안의 차수 ''d''인 매끄러운 곡선은 산술 종수

(d-1)(d-2)/2

를 가지며, 이는 종수-차수 공식이다.

8. 매끄러운 사영 다형체

'' $X$ ''를 모든 기약 성분의 차원이 ''n'' 인 매끄러운 사영 다형체라고 하자. 이 상황에서, 최고 차수의 켈러 미분(즉, 대수적 ''n'' -형식)으로 정의되는 표준 층 '' $\omega_X$ ''는 선다발이다.

==== 세르 쌍대성 ====

세르 쌍대성은 ''X'' 위의 모든 국소 자유 층 $\mathcal{F}$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $H^i(X, \mathcal{F}) \simeq H^{n-i}(X, \mathcal{F}^\vee \otimes \omega_X)'$

여기서 위첨자 프라임은 쌍대 공간을 나타내고 $\mathcal{F}^\vee$ 는 $\mathcal{F}$ 의 쌍대 다발이다. 사영적이지만 반드시 매끄러운 스킴은 아닌 경우로의 일반화는 베르디에 쌍대성으로 알려져 있다. 세르 쌍대성은 코호몰로지 군들 사이의 쌍대성을 나타내며, 리만-로흐 정리의 증명에 중요한 역할을 한다.

==== 리만-로흐 정리 ====

세르 쌍대성은 리만-로흐 정리 증명의 핵심 요소이다.^[73]^[25] ''X''가 매끄럽기 때문에, 주요 약수를 법으로 (Weil) 약수군에서 선다발의 동형 클래스 군으로 가는 군동형사상이 존재한다.

: $\begin{cases}\operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Pic}(X) \\D \mapsto \mathcal{O}(D)\end{cases}$

ω_''X'' 에 해당하는 약수는 표준 약수라고 하며 ''K''로 표시된다. ''l'' ( ''D'' )를 $H^0(X, \mathcal{O}(D))$ 의 차원으로 정의한다. 리만-로흐 정리에 따르면, ''g''가 ''X''의 종수인 경우, ''X''의 임의의 약수 ''D''에 대해,

: $l(D) -l(K - D) = \deg D + 1 - g$

가 성립한다. 세르 쌍대성에 의해 이는 다음과 같다.

: $\chi(\mathcal{O}(D)) = \deg D + 1 - g$ ^[73]^[25]

히르체브루흐-리만-로흐 정리와 그로텐디크-리만-로흐 정리는 리만-로흐 정리를 고차원으로 일반화한 것이다.

8. 1. 세르 쌍대성

세르 쌍대성은 ''X'' 위의 모든 국소 자유 층

\mathcal{F}

에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

H^i(X, \mathcal{F}) \simeq H^{n-i}(X, \mathcal{F}^\vee \otimes \omega_X)'

여기서 위첨자 프라임은 쌍대 공간을 나타내고

\mathcal{F}^\vee

는

\mathcal{F}

의 쌍대 다발이다. 사영적이지만 반드시 매끄러운 스킴은 아닌 경우로의 일반화는 베르디에 쌍대성으로 알려져 있다. 세르 쌍대성은 코호몰로지 군들 사이의 쌍대성을 나타내며, 리만-로흐 정리의 증명에 중요한 역할을 한다.

8. 2. 리만-로흐 정리

세르 쌍대성은 리만-로흐 정리 증명의 핵심 요소이다.^[73]^[25] ''X''가 매끄럽기 때문에, 주요 약수를 법으로 (Weil) 약수군에서 선다발의 동형 클래스 군으로 가는 군동형사상이 존재한다.

:

\begin{cases}\operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Pic}(X) \\D \mapsto \mathcal{O}(D)\end{cases}

ω_''X'' 에 해당하는 약수는 표준 약수라고 하며 ''K''로 표시된다. ''l'' ( ''D'' )를

H^0(X, \mathcal{O}(D))

의 차원으로 정의한다. 리만-로흐 정리에 따르면, ''g''가 ''X''의 종수인 경우, ''X''의 임의의 약수 ''D''에 대해,

:

l(D) -l(K - D) = \deg D + 1 - g

가 성립한다. 세르 쌍대성에 의해 이는 다음과 같다.

:

\chi(\mathcal{O}(D)) = \deg D + 1 - g

^[73]^[25]

히르체브루흐-리만-로흐 정리와 그로텐디크-리만-로흐 정리는 리만-로흐 정리를 고차원으로 일반화한 것이다.

9. 힐베르트 스킴

힐베르트 스킴은 사영 스킴 ''X''의 모든 닫힌 부분 스킴을 매개변수화하는 모듈라이 공간이다. 즉, 힐베르트 스킴의 점들은 ''X''의 닫힌 부분 스킴에 해당한다.^[74]^[26]^[45] 힐베르트 스킴은 주어진 힐베르트 다항식 ''P''를 갖는 닫힌 부분 다양체를 매개변수화한다.^[74]

그로텐디크의 정리에 따르면, 임의의 ''k''-스킴 ''T''에 대해 다음과 같은 전단사 함수가 존재하는 ''k''-스킴 $H_X^P$ 가 존재한다:^[75]^[27]

: $\{\text{사상 }T \to H^P_X \} \ \ \longleftrightarrow \ \ \{\text{힐베르트 다항식 } P\text{를 갖는 } T \text{에 평탄한 } X \times_k T \text{의 닫힌 부분스킴}.\}$

항등 사상 $H_X^P \to H_X^P$ 에 해당하는 $X \times H_X^P$ 의 닫힌 부분 스킴을 ''보편족''이라고 한다.^[76]^[28]^[46]

$P(z) = \binom{z+r}{r}$ 인 경우, 힐베르트 스킴 $H_{\mathbb{P}^n}^P$ 는 $\mathbb{P}^n$ 내의 ''r''-평면의 그라스만 다양체이며, ''X''가 사영 스킴이면 $H_X^P$ 는 ''X''에서 ''r''-평면의 파노 스킴이다.^[76]^[28]^[46]

10. 복소 사영 다형체

이 절에서 모든 대수적 다양체는 복소수 대수적 다양체이다. 복소 사영 다양체 이론의 핵심 특징은 대수적 방법과 해석적 방법의 결합이다. 이러한 이론들 간의 전환은 다음 연결에 의해 제공된다. 모든 복소 다항식은 또한 정칙 함수이므로 모든 복소 다양체 ''X''는 $X(\Complex)$ 로 표시되는 복소 해석 공간을 생성한다. 또한, ''X''의 기하학적 속성은 $X(\Complex)$ 의 기하학적 속성에 의해 반영된다. 예를 들어, 후자는 ''X''가 매끄러울 경우에만 복소 다양체이고, ''X''가 $\Complex$ 위에서 고유할 경우에만 콤팩트하다.

10. 1. 복소 켈러 다양체와의 관계

복소 사영 공간은 켈러 다양체이다.^[77]^[29] 이는 모든 사영 대수적 다형체 ''X''에 대해 X(ℂ)가 콤팩트 켈러 다양체임을 의미한다.^[77]^[29] 그 반대는 일반적으로 참이 아니지만, 고다이라 매장 정리는 켈러 다양체가 사영적인지에 대한 판정법을 제공한다.^[77]^[29]

낮은 차원에서는 다음과 같은 결과가 있다.

(리만) 콤팩트 리만 곡면(즉, 1차원의 콤팩트 복소 다양체)은 사영 다형체이다. 토렐리 정리에 의해 아코비안으로 유일하게 결정된다.
(저우-고다이라) 2개의 대수적 독립인 유리형 함수들을 가진 2차원의 콤팩트 복소 다양체는 사영 다형체이다.^[77]

10. 2. GAGA와 저우의 정리

저우 정리는 해석 기하학에서 대수 기하학으로 나아가는 방법을 제공한다. 이 정리는 복소 사영 공간의 모든 해석적 부분 다형체가 대수적이라고 한다.^[78]^[30]^[31]^[32] 이 정리는 특정 성장 조건을 만족하는 정칙 함수가 필연적으로 대수적이라고 해석할 수 있다. "사영"은 이 성장 조건을 제공한다. 이 정리에서 다음을 추론할 수 있다.

복소 사영 공간 위에서 유리형 함수들은 유리함수이다.
대수 다형체들 사이의 대수적 사상이 해석적 동형사상인 경우, 이는 (대수적) 동형사상이다.
사영 다형체의 모든 정칙 선형 다발은 유일한 대수 선형 다발에 의해 유도된다.^[78]
사영 다형체의 모든 정칙 선다발은 약수의 선다발이다.^[79]

저우의 정리는 세르의 GAGA 정리를 통해 나타낼 수 있다. GAGA정리는

\Complex

위의 사영 스킴 ''

X

''의 연접층을 해당 복소 해석 공간 ''

X^{\text{an}}

''의 연접층에 연관시키는 함자는 범주의 동치이며, 자연 사상

H^i(X, \mathcal{F}) \to H^i(X^\text{an}, \mathcal{F})

들은 모든 ''

i

''와 ''

X

'' 위의 모든 연접층

\mathcal{F}

에 대한 동형사상이다.^[80]

10. 3. 복소 토리 대 복소 아벨 다형체

\Complex

위의 아벨 다형체 ''A''에 연관된 복소 다양체는 조밀한 복소 리 군이며,

\Complex^g / L

형식으로 표시될 수 있다. 이를 복소 토리라고도 하며, ''g''는 토러스의 차원이고 ''L''은 주기 격자이다.^[81]^[33]

균일화 정리에 따르면 모든 1차원 토러스는 타원 곡선에서 발생한다. 바이어슈트라스 타원 함수

\wp

는 특정 미분 방정식을 만족하고 닫힌 몰입을 정의한다.^[81]^[33]

p-진 균일화 정리가 존재한다.

고차원의 경우, 복소 아벨 다형체와 복소수 토리의 개념은 다르며, 극화된 복소 토리만이 아벨 다형체에서 나온다.

10. 4. 코다이라 소멸

코다이라 소멸 정리는 풍부한 선다발의 고차 코호몰로지가 소멸하는 조건을 제시한다.^[82]^[83]^[34]^[35]^[47] 표수 0인 체 위의 매끄러운 사영 다형체 ''X''와 ''X''위의 풍부한 선다발

\mathcal{L}

에 대해, ''i'' > 0인 경우 다음이 성립한다.^[82]^[34]^[47]

:

H^i(X, \mathcal{L}\otimes \omega_X) = 0

세르 쌍대성에 의해, ''i'' < ''n''인 경우

H^i(X, \mathcal L^{-1}) = 0

이다.^[82]^[34]^[47]

이 정리의 첫 번째 증명은 켈러 기하학의 해석학적 방법을 사용했고, 순수 대수적 증명은 나중에 발견되었다.^[82]^[83]^[34]^[35]^[47] 일반적으로 고다이라 소멸은 양수인 표수의 매끄러운 사영 다형체에서 성립하지 않는다.^[82]^[83]^[34]^[35]^[47]

고다이라 소멸 정리는 사라지는 고차 층 코호몰로지에 대한 판정법을 제공하는 다양한 소멸 정리들 중 하나이다.^[83]^[35]^[47] 층의 오일러 특성은 종종 개별 코호몰로지 군보다 더 다루기 쉬우므로, 이는 종종 사영 다형체의 기하학에 중요한 결과를 가져온다.^[83]^[35]^[47]

참조

_[1] 서적 Moduli
_[2] 서적 Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space Springer
_[3] 문서
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적 Linear algebraic groups Springer
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 서적
_[15] 서적 Number theory in Function Fields Springer
_[16] 서적
_[17] 서적
_[18] 서적
_[19] 서적
_[20] 서적
_[21] 서적
_[22] 서적
_[23] 서적
_[24] 서적
_[25] 서적
_[26] 서적
_[27] 문서
_[28] 서적
_[29] 서적
_[30] 서적
_[31] 서적
_[32] 서적
_[33] 서적
_[34] 서적
_[35] 서적 Lectures on vanishing theorems Birkhäuser
_[36] 서적 Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981) Springer
_[37] 서적 Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space Springer
_[38] 문서 この斉次イデアルは {{mvar|I}} の斉次化と呼ばれることがある。
_[39] 문서 この定義は {{harvnb|Eisenbud–Harris|2000|loc=III.2.3}} とは異なるが、ウィキペディアの他の記事と整合的である。
_[40] 문서 cf. the proof of {{harvnb|Hartshorne|1977|loc=Ch II, Theorem 7.1}}
_[41] 서적 Linear algebraic groups Springer
_[42] 서적 Number theory in Function Fields Springer
_[43] 문서 '{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=Ch I, Exercise 2.8}}; その理由は、{{'''P'''^''n''}} の斉次座標環は[[一意分解整域]]であって、そのような環では高さ 1 の任意の素イデアルは単項イデアルだからである。'
_[44] 문서 これは難しくない{{harv|Hartshorne|1977|loc=Ch III. Lemma 2.10}}： $\mathcal{F}$ の{{仮リンク|脆弱分解|en|flasque resolution}} とその射影空間全体への零拡張を考える。
_[45] 문서 To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.
_[46] 문서 "{{harvnb|Eisenbud|Harris|2000|loc=VI 2.2}}"
_[47] 서적 Lectures on vanishing theorems Birkhäuser
_[48] 서적 Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981) Springer
_[49] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Kollár|Moduli|loc=Ch I.}}"
_[50] 서적 Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space Springer
_[51] 문서 This homogeneous ideal is sometimes called the homogenization of ''I''.
_[52] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|1999|loc=pg. 82}}"
_[53] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Section II.5}}"
_[54] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|1999|loc=pg. 111}}"
_[55] 문서 This definition differs from {{괄호 없는 하버드 인용|Eisenbud|Harris|2000|loc=III.2.3}} but is consistent with the other parts of Wikipedia.
_[56] 문서 cf. the proof of {{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch II, Theorem 7.1}}
_[57] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Grothendieck|Dieudonné|1961|loc=5.6}}"
_[58] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch II. Exercise 4.5}}"
_[59] 서적 Linear algebraic groups Springer
_[60] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch. V, Exercise 3.4. (e).}}"
_[61] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Fulton|1998|loc=Proposition 8.4.}}"
_[62] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch. II, Exercise 5.14. (a)}}"
_[63] 서적 Number theory in Function Fields Springer
_[64] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch IV, Exercise 1.7.}}"
_[65] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch I, Exercise 2.8}}; this is because the homogeneous coordinate ring of $\mathbb{P}^n$ is a [[유일 인수 분해 정역|unique factorization domain]] and in a UFD every prime ideal of height 1 is principal."
_[66] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Shafarevich|1994|loc=Ch. I. § 4.4. Example 1.}}"
_[67] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|Oda|2015|loc=Ch. II, § 7. Proposition 6.}}"
_[68] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch. I, Exercise 4.9.}}"
_[69] 문서 "{{괄호 없는 하버드 인용|Fulton|1998|loc=§ 4.4.}}"
_[70] 문서 This is not difficult:{{하버드 인용|Hartshorne|1977}} consider a [[단사층|flasque resolution]] of $\mathcal{F}$ and its zero-extension to the whole projective space.
_[71] 서적
_[72] 서적
_[73] 서적
_[74] 서적
_[75] 문서 To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.
_[76] 서적
_[77] 서적
_[78] 서적
_[79] 서적
_[80] 서적
_[81] 서적
_[82] 서적
_[83] 간행물 Lectures on vanishing theorems Birkhäuser
_[84] 간행물 Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981) Springer

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com