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수반 함자

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목차

1. 개요

수반 함자는 두 범주 사이의 함자 관계를 설명하는 추상적인 개념으로, 다양한 수학 분야와 응용 분야에서 활용된다. 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자로 구성되며, 보편 사상, Hom-집합, 쌍대단위원과 단위원을 통해 정의할 수 있다. 수반 함자는 연속성, 합성, 모나드와 코모나드 생성 등의 성질을 가지며, 자유-망각 수반, 곱-지수 수반, 대각-극한 수반 등 다양한 예시가 존재한다. 수반 함자의 개념은 사회적 형평성 증진, 데이터 기반 정책 결정, 수학 교육 등 다양한 분야에서 활용될 수 있다.

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수반 함자

2. 정의

수반 함자는 두 범주 간의 관계를 정의하는 여러 동치인 방법들이 존재한다.

범주론에서 '''수반'''(隨伴, adjunction영어) 또는 '''수반 함자'''(隨伴函子, adjoint functor영어)는 어떤 의미에서 서로 "반대"되는 한 쌍의 함자이다. 수반 함자의 개념은 1950년대에 대니얼 칸에 의해 도입되었다.

2. 1. 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의

두 범주 \mathcal C와 \mathcal D 사이의 두 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D와 G\colon\mathcal D\to\mathcal C가 주어졌을 때, F와 G 사이의 '''수반'''(adjunction영어) (\epsilon,\eta)는 다음과 같은 두 자연 변환의 순서쌍이다.

:\epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}

:\eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF

여기서 \operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C 및 \operatorname{id}_{\mathcal D}\colon\mathcal D\to\mathcal D는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:\operatorname{id}_F=\epsilon F\circ F\eta

:\operatorname{id}_G=G\epsilon\circ\eta G

여기서 \operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F 및 \operatorname{id}_G\colon G\Rightarrow G는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

:\begin{matrix}

F&\xrightarrow{F\eta}&FGF\\

&{\scriptstyle\operatorname{id}_F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\epsilon F\\

&&F

\end{matrix}

\qquad\begin{matrix}

G&\xrightarrow{\eta G}&GFG\\

&{\scriptstyle\operatorname{id}_G}\searrow&\downarrow\scriptstyle G\epsilon\\

&&G

\end{matrix}

이 경우, F를 G의 '''왼쪽 수반 함자'''(-隨伴函子, left-adjoint functor영어)라고 하고, G를 F의 '''오른쪽 수반 함자'''(-隨伴函子, right-adjoint functor영어)라고 하며, \epsilon은 '''쌍대단위원'''(雙對單位元, counit영어), \eta는 '''단위원'''(單位元, unit영어)이라고 한다. 이는 기호로

:F\dashv G

또는

:F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G

와 같이 쓴다.

2. 2. 보편 사상을 통한 정의

두 범주 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ 사이의 두 함자 $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$, $G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 사이의 수반은 보편 사상을 통해 정의될 수 있다.

함자 $F\colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$가 각 대상 $X$ in $\mathcal{C}$에 대해 $F$에서 $X$로의 보편적 사상이 존재하면 '''왼쪽 수반 함자'''이다. 풀어서 설명하면, 각 대상 $X$ in $\mathcal{C}$에 대해 대상 $G(X)$ in $\mathcal{D}$와 사상 $\epsilon_X\colon F(G(X)) \to X$가 존재하여 모든 대상 $Y$ in $\mathcal{D}$와 모든 사상 $f\colon F(Y) \to X$에 대해, $\epsilon_X \circ F(g) = f$를 만족하는 유일한 사상 $g\colon Y \to G(X)$가 존재한다는 것을 의미한다.

이 경우, $G$가 모든 사상 $f\colon X' \to X$ in $\mathcal{C}$에 대해 $\epsilon_X \circ F(G(f)) = f \circ \epsilon_{X'}$를 만족하는 유일한 방법으로 함자 $G\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$로 변환될 수 있다. 그러면 $F$는 $G$의 '''왼쪽 수반'''이라고 불린다.

마찬가지로, 함자 $G\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$는 각 대상 $Y$ in $\mathcal{D}$에 대해, $Y$에서 $G$로의 보편적 사상이 존재하면 '''오른쪽 수반 함자'''이다. 풀어서 설명하면, 각 대상 $Y$ in $\mathcal{D}$에 대해, 대상 $F(Y)$ in $\mathcal{C}$와 사상 $\eta_Y\colon Y \to G(F(Y))$가 존재하여 모든 대상 $X$ in $\mathcal{C}$와 모든 사상 $g\colon Y \to G(X)$에 대해, $G(f) \circ \eta_Y = g$를 만족하는 유일한 사상 $f\colon F(Y) \to X$가 존재한다는 것을 의미한다.

이 경우, $F$는 $g\colon Y \to Y'$ in $\mathcal{D}$에 대해 $G(F(g)) \circ \eta_Y = \eta_{Y'} \circ g$를 만족하는 유일한 방법으로 함자 $F\colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$로 변환될 수 있다. 그러면 $G$는 $F$의 '''오른쪽 수반'''이라고 불린다.

$F$가 $G$의 왼쪽 수반인 것은 $G$가 $F$의 오른쪽 수반인 것과 필요충분조건이다.

2. 3. 사상 집합을 통한 정의

adjunction|수반영어은 국소적으로 작은 범주 \mathcal C와 \mathcal D 사이의 함자

:\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal D\to\operatorname{Set}

:\hom_{\mathcal C}(-,G(-))\colon\mathcal \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal D\to\operatorname{Set}

사이의 자연 동형

:\Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-))

이다.

쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 쌍대단위원 \epsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}과 단위원 \eta\colon\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF의 순서쌍이 주어졌을 때,

:\Phi_{X,Y}\colon(F(X)\xrightarrow fY)\longmapsto(X\xrightarrow{\eta_X}GF(X)\xrightarrow{G(f)}G(Y))\qquad(X\in\operatorname{ob}(\mathcal C),\;Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D))

는 자연 동형을 이룬다. 반대로, 자연 동형 \Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-))이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상

:\epsilon_Y=\Phi_{G(Y),Y}^{-1}(\operatorname{id}_{G(Y)})\qquad(Y\in\operatorname{ob}(\mathcal D))

:\eta_X=\Phi_{X,F(X)}(\operatorname{id}_{F(X)})\qquad(X\in\operatorname{ob}(\mathcal C))

들은 F와 G의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.

3. 성질

완비 범주이며 국소적으로 작은 범주이고, 정멱 범주이며, 쌍대 생성 집합을 갖는 범주 \mathcal D와 국소적으로 작은 범주 \mathcal C가 주어졌다고 하자.

'''특수 수반 함자 정리'''(special adjoint functor theorem영어)에 따르면, 함자 G\colon\mathcal D\to\mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[9]

3. 1. 프레이드 수반 함자 정리

Freyd adjoint functor theorem|프레이드 수반 함자 정리영어에 따르면, 완비 범주이며 국소적으로 작은 범주인 \mathcal D에서 범주 \mathcal C로 가는 함자 G\colon\mathcal D\to\mathcal C에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[9]

  • G는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
  • G는 모든 작은 극한을 보존하며, '''해집합 조건'''을 만족시킨다.


여기서 '''해집합 조건'''(解集合條件, solution set condition영어)은 다음과 같다. \mathcal C의 임의의 대상 X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 \mathcal D의 대상들의 집합 \{\tilde X_i\}_{i\in I} 및 사상들의 집합 \{f_i\colon X\to G(\tilde X_i)\}_{i\in I}이 존재한다.

:\mathcal D의 임의의 대상 \tilde Y 및 사상 g\colon X\to G(\tilde Y)에 대하여, g= G(\tilde g)\circ f_i를 만족시키는 i\in I 및 \tilde g\colon\tilde X_i\to\tilde Y가 존재한다.

:\begin{matrix}

X&\overset g\to&G(\tilde Y)\\

{\scriptstyle f_i}\downarrow&&\|\\

G(\tilde X_i)&\underset{G(\tilde g)}\to&G(\tilde Y)

\end{matrix}

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍 F\colon\mathcal C\leftrightarrows\mathcal D\colon G가 존재한다면, 대상 X\in\mathcal C에 대하여

:I=\{0\}

:\tilde X_0=F(X)

:f\colon X\to G(F(X))=G(\tilde X_0)

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

4. 예시

수반 함자는 다양한 수학적 구성에서 나타나며, "가장 효율적인" 해를 찾는 방법과 관련이 깊다. 몇 가지 예를 통해 이 개념을 살펴보자.


  • 자유군: 집합을 군으로 변환하는 "가장 효율적인" 방법은 자유군을 이용하는 것이다. 자유군은 주어진 집합의 원소들을 생성원으로 가지며, 군의 공리 외에 다른 추가적인 관계는 갖지 않는다.
  • rng에 항등원 추가: rng(곱셈 항등원이 없을 수 있는 환)을 환으로 변환하는 "가장 효율적인" 방법은 '1'이라는 원소를 추가하고, 링의 공리를 만족하는 데 필요한 최소한의 원소들만 추가하는 것이다.
  • 텐서곱: 환 ''R''과 오른쪽 ''R''-가군 ''M''이 주어졌을 때, ''M''과의 텐서곱은 ''R''-가군을 아벨 군으로 보내는 함자를 만든다. 이 함자의 오른쪽 수반 함자는 주어진 아벨 군에 대해 Hom 집합을 구성하는 함자이다.
  • 극한과 쌍대극한: 범주론에서 극한 함자는 대각 함자의 오른쪽 수반이고, 쌍대극한 함자는 대각 함자의 왼쪽 수반이다. 이는 곱, 쌍대곱, 커널, 코커널 등 다양한 구성에 적용된다.
  • 갈루아 연결: 부분 순서 집합 사이의 수반 함자 쌍을 갈루아 연결이라고 한다. 이는 갈루아 이론에서 중요한 역할을 하며, 폐포 연산자와 관련이 있다.
  • 확률론: 확률론에서 기댓값은 디랙 델타 함수와 수반 관계를 갖는다.[2]
  • 스톤-체흐 콤팩트화: 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 포함 함자는 스톤-체흐 콤팩트화를 왼쪽 수반 함자로 갖는다.
  • 층의 직접상과 역상: 위상 공간 사이의 연속 사상은 층의 범주 사이의 함자를 유도하며, 이 때 역상 함자는 직접상 함자의 왼쪽 수반이다.
  • 양화: 범주론적 논리에서 양화사는 풀백 함자의 수반으로 나타난다.


자유-망각 수반, 곱-지수 수반, 대각-극한 수반에 대한 내용은 이미 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으므로, 여기서는 간단하게 언급만 하고 넘어가겠다.

4. 1. 자유-망각 수반

대수 구조 다양체의 범주 \mathcal V에서, 자유 대수 함자는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자를 이룬다. 예를 들어, 집합에서 군으로 가는 자유군 함자는 군에서 집합으로 가는 망각 함자의 왼쪽 수반이다.[2]

자유군의 구성은 수반에 의한 구성의 일반적인 예시이며, 이해하기 쉬운 사례이다.

함자 ''F'' : '''Grp''' ← '''Set'''는 각 집합 ''Y''에 ''Y''의 원소들로 생성된 자유군을 대응시키고, 함자 ''G'' : '''Grp''' → '''Set'''는 군 ''X''에 그 기저 집합(underlying set)을 대응시키는 망각 함자라고 할 때, ''F''는 ''G''의 왼쪽 수반이다.

  • '''"종" 보편 사상''': 각 군 ''X''에 대해, 군 ''FGX''는 ''X''의 원소들로 생성된 자유군이다. 군 준동형 \varepsilon_X:FGX\to X를 ''FGX''의 생성원을 대응하는 ''X''의 원소로 보내는 것으로 정의한다. 이는 자유군의 보편성에 의해 항상 존재한다. 이때 (GX,\varepsilon_X)는 ''F''에서 ''X''로의 보편 사상이다. 왜냐하면, 자유군 ''FZ''에서 ''X''로의 군 준동형은 \varepsilon_X:FGX\to X를 통하여, 유일한 ''Z''에서 ''GX''로의 사상을 경유하여 분해되기 때문이다.

  • '''"시" 보편 사상''': 각 집합 ''Y''에 대해, ''GFY''는 ''Y''로 생성된 자유군 ''FY''의 기저 집합이다. 사상 \eta_Y:Y\to GFY는 생성원의 포함으로 주어진다. 각 (FY,\eta_Y)는 ''Y''에서 ''G''로의 보편 사상이다. 왜냐하면, ''Y''에서 ''GW''의 기저 집합으로의 사상은 \eta_Y:Y\to GFY를 통하여, ''FY''에서 ''W''로의 유일한 군 준동형을 경유하여 분해되기 때문이다.

  • '''hom 집합 수반''': 자유군 ''FY''에서 군 ''X''로의 군 준동형은 정확히 집합 ''Y''에서 집합 ''GX''로의 사상에 대응한다. 즉, ''FY''에서 ''X''로의 사상은 생성원에 대한 작용에 의해 완전히 결정된다. 이 대응이 자연 동형이라는 것도 직접 확인할 수 있다.

  • '''여단위-단위 수반''': ε와 η가 자연스럽다는 것은 직접 확인할 수 있다. 여단위-단위 수반 (\varepsilon,\eta):F\dashv G임을 보이는 것은 다음과 같다.

  • '''첫 번째 여단위-단위 항등식''' 1_F = \varepsilon F\circ F\eta는 각 집합 ''Y''에 대해, 합성

:FY\xrightarrow{\;F(\eta_Y)\;}FGFY\xrightarrow{\;\varepsilon_{FY}\,}FY

가 항등 사상이라는 것이다. 중간의 군 ''FGFY''는 자유군 ''FY''의 단어들로 생성된 자유군이다. (괄호로 묶인 단어는 독립된 생성원을 나타낸다.) 사상 F(\eta_Y)는 ''FY''에서 ''FGFY''로의 군의 단사 준동형이고, ''FY''의 생성원 ''y''를 ''FGFY''의 생성원인 길이 1의 단어 (''y'')로 보낸다. 사상 \varepsilon_{FY}는 ''FGFY''에서 ''FY''로의 군의 준동형이고, 생성원을 대응하는 ''FY''의 단어로 보낸다 (즉 "괄호를 푼다"). 이 합성 사상은 ''FY''의 항등 사상이다.

  • '''두 번째 여단위-단위 항등식''' 1_G = G\varepsilon \circ \eta G는 각 군 ''X''에 대해, 합성

: GX\xrightarrow{\;\eta_{GX}\;}GFGX\xrightarrow{\;G(\varepsilon_X)\,}GX 

가 항등 사상이라는 것이다. 중간의 집합 ''GFGX''는 ''FGX''의 기저 집합이다. 사상 \eta_{GX}는 집합 ''GX''에서 집합 ''GFGX''로의 "생성원들의 포함" 사상이다. 사상 G(\varepsilon_X)는 집합 ''GFGX''에서 집합 ''GX''로의 사상으로, ''FGX''의 생성원을 ''X''의 원소로 보낸다 ("괄호를 푼다")라는 군의 준동형의 기저 집합이다. 이 합성 사상은 ''GX''의 항등 사상이다.

자유 대상은 모두 망각 함자의 왼쪽 수반의 예가 된다. 여기서 망각 함자는 대수적 대상을 그 기저 집합으로 사상한다. 이러한 대수적인 자유 함자에 대해서는, 상기의 자유군에 상세히 기술한 것과 유사한 것이 일반적으로 성립한다.

4. 2. 곱-지수 수반

데카르트 닫힌 범주 \mathcal C의 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 곱 함자

:-\times X\colon\mathcal C\to\mathcal C

:-\times X\colon Y\mapsto Y\times X

는 지수 대상 함자

:(-)^X\colon\mathcal C\to\mathcal C

:(-)^X\colon Y\mapsto Y^X

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

:-\times X\dashv(-)^X

집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 '''텐서곱'''이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 \otimes이다.)

4. 3. 대각-극한 수반

범주 \mathcal C에서 극한 함자는 대각 함자의 오른쪽 수반 함자이다. 예를 들어, 곱 범주는 대각 함자의 오른쪽 수반이며, 이는 곱의 보편적 성질을 나타낸다. 마찬가지로, 쌍대극한 함자는 대각 함자의 왼쪽 수반이다.

범주 \mathcal C와 \mathcal J가 주어졌고, 모든 함자 D\colon\mathcal J\to\mathcal C의 극한이 존재한다고 가정하면, 극한 함자

:\varprojlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C

는 다음 대각 함자의 오른쪽 수반 함자이다.

:\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^{\mathcal J}

:\Delta\colon X\mapsto(J\mapsto X)

즉,

:\Delta\dashv\varprojlim

이다.

예를 들어, \mathcal C가 곱을 갖는 범주라고 하면, 다음과 같이 표현 가능하다.

:(-)^2\colon\mathcal C^2\to\mathcal C

:(-)^2\colon X\mapsto X\times X

:\Delta\colon\mathcal C\to\mathcal C^2

:\Delta\colon X\mapsto(X,X)

는 서로 수반 함자를 이룬다.

:\Delta\dashv(-)^2

마찬가지로, 범주 \mathcal C와 \mathcal J가 주어졌고, 모든 함자 D\colon\mathcal J\to\mathcal C의 쌍대극한이 존재한다고 하면, 쌍대극한 함자

:\varinjlim\colon\mathcal C^{\mathcal J}\to\mathcal C

는 대각 함자의 왼쪽 수반 함자이다.

:\varinjlim\dashv\Delta

만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면 다음과 같이 표현 가능하다.

:\varinjlim\dashv\Delta\dashv\varprojlim


4. 4. 기타 예시


  • '''환에 항등원 추가하기.''' 이 예시는 위의 동기 부여 섹션에서 논의되었다. 환 ''R''이 주어지면, ''R''x'''Z'''를 취하고 (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1)로 정의되는 '''Z'''-쌍선형 곱을 정의하여 곱셈 항등원을 추가할 수 있다.[2]
  • '''반군에 항등원 추가하기.''' 마찬가지로 반군 ''S''가 주어지면, 항등원을 추가하고 모노이드를 얻을 수 있다. 분리 집합 ''S'' \sqcup {1}을 취하고 ''S''에 대한 연산을 확장하고 1이 항등원이 되도록 이진 연산을 정의한다. 이 구성은 모노이드를 밑에 있는 반군으로 보내는 함자에 대한 왼쪽 수반 함자인 함자를 제공한다.[2]
  • '''환 확대.''' ''R''과 ''S''가 환이고, ρ : ''R'' → ''S''가 환 준동형 사상이라고 가정한다. 그러면 ''S''는 (왼쪽) ''R''-가군으로 볼 수 있으며, ''S''와의 텐서 곱은 함자 ''F'' : ''R''-'''Mod''' → ''S''-'''Mod'''를 생성한다. 그러면 ''F''는 함자 ''G'' : ''S''-'''Mod''' → ''R''-'''Mod'''에 대한 왼쪽 수반 함자이다.[2]
  • '''텐서 곱.''' ''R''이 환이고 ''M''이 오른쪽 ''R''-가군이면, ''M''과의 텐서 곱은 함자 ''F'' : ''R''-'''Mod''' → '''Ab'''를 생성한다. 모든 아벨 군 ''A''에 대해 ''G''(''A'') = hom'''Z'''(''M'',''A'')로 정의된 함자 ''G'' : '''Ab''' → ''R''-'''Mod'''는 ''F''의 오른쪽 수반 함자이다.[2]
  • '''모노이드와 군에서 환으로.''' 정수 모노이드 환 구성은 모노이드에서 환으로 가는 함자를 제공한다. 이 함자는 주어진 환을 해당 밑에 있는 곱셈 모노이드로 연결하는 함자에 대한 왼쪽 수반 함자이다. 마찬가지로, 정수 군 환 구성은 군에서 환으로 가는 함자를 생성하며, 주어진 환을 해당 단위군에 할당하는 함자에 대한 왼쪽 수반 함자이다. 또한 체 ''K''에서 시작하여 환의 범주 대신 ''K''-대수의 범주를 고려하여 ''K''에 대한 모노이드 및 군 환을 얻을 수 있다.[2]
  • '''분수체.''' 주입 사상을 갖는 정역의 범주 '''Dom'''m을 고려한다. 체에서 '''Dom'''m로의 망각 함자 '''Field''' → '''Dom'''m은 왼쪽 수반 함자를 가지며, 각 정역에 해당 분수체를 할당한다.[2]
  • '''다항식 환'''. '''Ring'''*을 단위원을 갖는 가환 환과 점이 있는 범주(A가 환이고, a ∈ A이며 사상이 특별한 원소를 보존하는 쌍 (A,a))라고 한다. 망각 함자 G:'''Ring'''* → '''Ring'''은 왼쪽 수반 함자를 가집니다. 즉, 각 환 R에 R[x]가 R에서 계수를 갖는 다항식 환인 쌍 (R[x],x)를 할당한다.[2]
  • '''아벨화'''. 아벨 군의 범주에서 군의 범주로의 포함 함자 ''G'' : '''Ab''' → '''Grp'''를 고려한다. 그것은 각 군 ''G''에 몫군 ''G''ab=''G''/[''G'',''G'']를 할당하는 아벨화라는 왼쪽 수반 함자를 가집니다.[2]
  • '''Grothendieck 군'''. K-이론에서 출발점은 위상 공간에 대한 벡터 다발의 범주가 직합 아래에서 가환 모노이드 구조를 갖는다는 것을 관찰하는 것이다. 각 다발(또는 동치류)에 대한 가법 역원을 공식적으로 추가하여 이 모노이드, 즉 Grothendieck 군에서 아벨 군을 만들 수 있다. 또는 각 군에 대해 밑에 있는 모노이드(역원을 무시함)를 취하는 함자가 왼쪽 수반 함자를 갖는다는 것을 관찰할 수 있다. 이것은 위에 있는 세 번째 섹션의 논의와 일치하는 일회성 구성이다. 즉, 음수의 구성을 모방할 수 있다. 그러나 존재 정리의 다른 옵션이 있다. 유한한 대수적 구조의 경우, 존재 자체는 보편 대수, 또는 모형 이론을 참조할 수 있다. 자연스럽게 범주론에 적응된 증명도 있다.[2]
  • '''Frobenius 상호 법칙''' 군의 표현론에서: 유도 표현을 참조하십시오. 이 예시는 일반 이론을 약 반세기 정도 앞섰다.[2]
  • '''좌 및 우 수반 함자를 갖는 함자.''' ''G''를 모든 위상 공간에 밑에 놓인 집합을 연관시키는(즉, 위상을 잊어버리는) 위상 공간에서 집합으로 가는 함자라고 하자. ''G''는 집합 ''Y''에 대한 이산 공간을 생성하는 좌 수반 ''F''와 ''Y''에 대한 자명 위상을 생성하는 우 수반 ''H''를 갖는다.[2]
  • '''현수 및 루프 공간.''' 주어진 위상 공간 ''X''와 ''Y''에 대해, ''X''의 현수 ''SX''에서 ''Y''로 가는 사상의 호모토피류의 공간 [''SX'', ''Y'']는 ''X''에서 ''Y''의 루프 공간 Ω''Y''로 가는 사상의 호모토피류의 공간 [''X'', Ω''Y'']와 자연스럽게 동형이다. 따라서 현수 함자는 호모토피 범주에서 루프 공간 함자에 좌 수반이며, 이는 호모토피 이론에서 중요한 사실이다.[2]
  • '''스톤-체흐 컴팩트화.''' '''KHaus'''를 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주라고 하고, ''G'' : '''KHaus''' → '''Top'''을 위상 공간의 범주로의 포함 함자라고 하자. 그러면 ''G''는 스톤-체흐 컴팩트화인 좌 수반 ''F'' : '''Top''' → '''KHaus'''를 갖는다. 이 수반 쌍의 단위는 모든 위상 공간 ''X''에서 스톤-체흐 컴팩트화로의 연속 사상을 생성한다.[2]
  • '''층의 직접상 및 역상.''' 위상 공간 사이의 모든 연속 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y''는 ''X''에 대한 (집합, 또는 아벨 군, 또는 환의) 층의 범주에서 ''Y''에 대한 해당 층의 범주로 가는 함자 ''f'' ∗, 즉 ''직접상 함자''를 유도한다. 또한, 아벨 군의 층의 범주에서 ''X''에 대한 아벨 군의 층의 범주로 가는 함자 ''f'' −1, 즉 ''역상 함자''를 유도한다. ''f'' −1는 ''f'' ∗에 좌 수반이다. 여기서 더 미묘한 점은 코히어런트 층에 대한 좌 수반이 층(집합)에 대한 것과 다르다는 것이다.[2]
  • '''소버화.''' 스톤 쌍대성에 대한 문서는 위상 공간의 범주와 소버 공간의 범주 사이의 수반 관계를 설명하는데, 이는 소버화로 알려져 있다. 특히, 이 문서에는 무점 위상수학에서 활용되는 소버 공간과 공간 로컬의 유명한 쌍대성을 위한 또 다른 수반 관계에 대한 상세한 설명도 포함되어 있다.[2]

모든 부분 순서 집합은 범주로 볼 수 있다(부분 순서 집합의 원소가 범주의 대상이 되고, ''x'' ≤ ''y''인 경우에만 ''x''에서 ''y''로 가는 단 하나의 사상이 존재한다). 두 부분 순서 집합 사이의 수반 함자 쌍을 갈루아 연결이라고 부른다(또는 반변일 경우 ''반단조'' 갈루아 연결). 여러 가지 예는 해당 문서를 참조하십시오. 물론 갈루아 이론의 경우가 대표적이다. 모든 갈루아 연결은 폐포 연산자와 해당 닫힌 원소 간의 순서를 보존하는 역 사상을 발생시킨다.[2]

갈루아 군의 경우와 마찬가지로 실제 관심은 종종 대응 관계를 쌍대성 (즉, ''반단조'' 순서 동형사상)으로 개선하는 데 있다. 카플란스키가 이와 같은 방식으로 갈루아 이론을 다룬 것은 여기서 일반적인 구조를 인식하는 데 영향을 미쳤다.[2]

부분 순서의 경우 수반의 정의가 상당히 축소되지만 몇 가지 주제를 제공할 수 있다.[2]

  • 수반은 쌍대성이나 동형사상이 아닐 수 있지만, 그 상태로 승격될 가능성이 있다.[2]
  • 폐포 연산자는 해당 모나드 (cf. 쿠라토프스키 폐포 공리)와 마찬가지로 수반의 존재를 나타낼 수 있다.[2]
  • 윌리엄 로비어[3]의 매우 일반적인 언급은 ''구문과 의미론''이 수반된다는 것이다. ''C''를 모든 논리 이론(공리화)의 집합으로 하고, ''D''를 모든 수학적 구조의 멱집합으로 한다. ''C''에 있는 이론 ''T''에 대해, ''G''(''T'')를 공리 ''T''를 만족하는 모든 구조의 집합으로 한다. 수학적 구조의 집합 ''S''에 대해, ''F''(''S'')를 ''S''의 최소 공리화로 한다. 그러면 ''S''가 ''G''(''T'')의 부분 집합이면 ''F''(''S'')가 논리적으로 ''T''를 함축한다고 말할 수 있다. "의미론 함자" ''G''는 "구문 함자" ''F''의 오른쪽 수반이다.[2]
  • 나눗셈은 (일반적으로) 곱셈을 ''역''하려는 시도이지만, 이것이 불가능한 상황에서 우리는 종종 ''수반''을 구성하려고 시도한다. 아이디얼 몫은 환 아이디얼에 의한 곱셈에 수반되고, 함의는 명제 논리에서 논리적 결합에 수반된다.[2]
  • '''동치.''' 만약 ''F'' : ''D'' → ''C''가 범주 동치라면, 역 동치 ''G'' : ''C'' → ''D''를 가지며, 두 함자 ''F''와 ''G''는 수반 쌍을 형성한다. 이 경우 단위와 코단위는 자연 동형 사상이다.[2]
  • '''수반의 연속.''' 범주에 연결 성분 집합을 할당하는 함자 π0는 집합에 해당 집합 위의 이산 범주를 할당하는 함자 ''D''의 왼쪽 수반이다. 또한, ''D''는 각 범주에 객체 집합을 할당하는 객체 함자 ''U''의 왼쪽 수반이며, 마지막으로 ''U''는 각 집합에 해당 집합의 비이산 범주[4]를 할당하는 ''A''의 왼쪽 수반이다.[2]
  • '''지수 객체'''. 데카르트 닫힌 범주에서 –×''A''로 주어지는 자기 함자 ''C'' → ''C''는 오른쪽 수반 –''A''를 갖는다. 이 쌍은 종종 커링과 언커링이라고 불리며, 많은 특별한 경우에 연속적이며 동형 사상을 형성한다.[2]
  • '''양화.''' 만약 \phi_Y가 어떤 속성을 표현하는 단항 술어라면, 충분히 강력한 집합론은 속성을 충족하는 항들의 집합 Y=\{y\mid\phi_Y(y)\}의 존재를 증명할 수 있다. 부분 집합 T\subset Y와 T를 Y로 주입하는 연관된 사상은 엄격하게 더 제한적인 속성을 표현하는 술어 \phi_T(y)=\phi_Y(y)\land\varphi(y)로 특징지어진다.[2]

: 양화사가 술어 논리에서 하는 역할은 명제를 형성하고, 잠재적으로 더 많은 변수를 가진 공식을 닫아 정교한 술어를 표현하는 것이다. 예를 들어, X와 Y의 종류의 두 개의 열린 변수를 가진 술어 \psi_f를 고려해 보자. 양화사를 사용하여 X를 닫으면 집합

:: \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}

:을 형성할 수 있다. 이것은 \psi_f와 관련된 x가 있고, 그 자체가 속성 \phi_{S}로 특징지어지는 모든 Y의 원소 y의 집합이다. 두 집합의 교집합 \cap과 같은 집합론적 연산은 술어의 논리곱 \land에 직접 대응된다. 범주론적 논리는 토포스 이론의 한 분야인데, 양화사는 풀백 함자의 수반자로 식별된다. 이러한 실현은 집합론을 사용한 명제 논리에 대한 논의와 유사하게 볼 수 있지만, 일반적인 정의는 더 풍부한 범위의 논리를 만든다.[2]



: 따라서 풀백이 있는 범주에서 객체 Y를 고려해 보자. 임의의 사상 f:X\to Y는 함자를 유도한다.

:: f^{*} : \text{Sub}(Y) \longrightarrow \text{Sub}(X)

:이 함자는 부분 객체의 선주문인 범주에 적용된다. 부분 객체 T of Y (기술적으로: T\to Y의 단사 사상 클래스)을 풀백 X\times_Y T로 매핑한다. 이 함자가 왼쪽 또는 오른쪽 수반자를 가지면 각각 \exists_f와 \forall_f라고 한다.[5] 둘 다 \text{Sub}(X)에서 \text{Sub}(Y)로 매핑한다. 대략적으로, f를 통해 표현되는 관계를 양화할 도메인 S\subset X가 주어지면, 함자/양화사는 X\times_Y T에서 X를 닫고 이에 의해 지정된 Y의 부분 집합을 반환한다.[2]



: '''예시''': 집합과 함수의 범주인 \operatorname{Set}에서, 정규 부분 객체는 부분 집합(또는 오히려 그들의 정규 주입)이다. f를 따라 T의 주입의 풀백 f^{*}T=X\times_Y T는 f와 T를 Y에 주입하는 것에 대해 모든 것을 아는 가장 큰 집합으로 특징지어진다. 따라서 (전단사적으로) 역상 f^{-1}[T]\subseteq X가 된다.[2]

: S \subseteq X에 대해, 왼쪽 수반자를 파악해 보자. 이것은 다음과 같이 정의된다.

:: {\operatorname{Hom}}(\exists_f S,T)

\cong

{\operatorname{Hom}}(S,f^{*}T),

: 이것은 여기서 다음과 같은 의미를 가진다.

:: \exists_f S\subseteq T

\leftrightarrow

S\subseteq f^{-1}[T].



: f[S] \subseteq T 를 생각해 보자. 우리는 S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]를 볼 수 있다. 반대로, x\in S에 대해 x\in f^{-1}[T]도 가지고 있다면 분명히 f(x)\in T 이다. 따라서 S \subseteq f^{-1}[T] 는 f[S] \subseteq T 를 의미한다. 우리는 역상 함자 f^{*}의 왼쪽 수반자가 직접상에 의해 주어짐을 결론 내린다. 다음은 이 결과를 특징짓는 것으로, 논리적 해석과 더 일치한다. \exists_f 에 따른 S의 이미지는 f^{-1} [\{y\}] \cap S가 공집합이 아닌 y의 전체 집합이다. 이것은 f[S]의 여집합에 있는 정확히 그러한 y\in Y를 무시하기 때문에 작동한다. 따라서

::

\exists_f S

= \{ y \in Y \mid \exists (x \in f^{-1}[\{y\}]).\, x \in S \; \}

= f[S].



: 이것을 우리의 동기 \{y\in Y\mid\exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}에 비유하여 놓아라.[2]

: 역상 함자의 오른쪽 수반자는 (여기서 계산하지 않고) 다음과 같이 주어진다.

::

\forall_f S

= \{ y \in Y \mid \forall (x \in f^{-1} [\{y\}]).\, x \in S \; \}.



: Y의 부분 집합 \forall_f S는 f에 대한 \{y\}의 역상이 S 안에 완전히 포함되는 속성을 가진 y의 전체 집합으로 특징지어진다. 집합을 결정하는 술어가 위와 같다는 점에 유의하라. 단, \exists가 \forall로 대체된다는 점이 다르다.[2]



: ''참고: 멱집합.''[2]

확률론의 쌍대성은 수반으로 이해될 수 있다. 즉, 기댓값은 아핀 변환과 교환 가능하며, 기댓값은 어떤 의미에서 실수에 대한 분포에 대한 실수 값을 갖는 근사값을 찾는 문제에 대한 최적의 "해결책"이다.[2]

\R을 기반으로 하는 범주를 정의하는데, 대상은 실수이고 사상은 "어떤 점에서의 아핀 함수"이다. 즉, 아핀 함수 f(x) = ax + b와 실수 r에 대해 사상 (r, f): r \to f(r)를 정의한다.[2]

유한 기댓값을 갖는 \R에 대한 확률 분포 집합인 M(\R)을 기반으로 하는 범주를 정의한다. M(\R)에 대한 사상을 "분포에서 평가된 아핀 함수"로 정의한다. 즉, 아핀 함수 f(x) = ax + b와 모든 \mu\in M(\R)에 대해 사상 (\mu, f): \mu \to \mu\circ f^{-1}을 정의한다.[2]

그러면, 디랙 델타 함수는 함자 \delta: x\mapsto \delta_x를 정의하고, 기댓값은 또 다른 함자 \mathbb E: \mu \mapsto \mathbb E[\mu]를 정의하며, 이들은 수반 관계를 갖는다: \mathbb E \dashv \delta. (다소 당황스럽게도, \mathbb E는 "망각" 함자이고 \delta는 "자유" 함자임에도 불구하고 왼쪽 수반이다.)[2]

참조

[1] 논문 Higher-Dimensional Algebra II: 2-Hilbert Spaces
[2] 간행물 Adjoint Functors https://www.ams.org/[...] 1958
[3] 문서 Lawvere, F. William, "Adjointness in foundations" http://www.tac.mta.c[...]
[4] 웹사이트 Indiscrete category http://ncatlab.org/n[...]
[5] 서적 Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag
[6] 논문 Higher-Dimensional Algebra II: 2-Hilbert Spaces http://www.arxiv.org[...]
[7] 문서 Adjointness in foundations http://www.tac.mta.c[...]
[8] 서적 Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag
[9] 서적 Categories for the working mathematician Springer 1998


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