쌍대다면체

3. 자기 쌍대 다면체

위상적으로, 다면체는 쌍대체가 정점, 모서리 및 면 사이의 연결성을 정확히 동일하게 갖는 경우 '''자기 쌍대'''라고 한다. 추상적으로, 그것들은 동일한 Hasse 다이어그램을 갖는다. 기하학적으로, 위상적으로 자기 쌍대일 뿐만 아니라 특정 점, 일반적으로 중심점을 기준으로 하는 극 상호 관계는 유사한 도형이다. 예를 들어, 정사면체의 쌍대는 또 다른 정사면체이며, 원점 대칭이다.^[8]

모든 다각형은 위상적으로 자기 쌍대인데, 그 이유는 모서리 수와 동일한 정점 수를 가지며, 쌍대성에 의해 이러한 것들이 전환되기 때문이다. 그러나 (예를 들어 강체 운동까지) 반드시 자기 쌍대는 아니다. 모든 다각형은 내부 구에 대해 기하학적으로 자기 쌍대인 정다각형 형태를 갖는다. 모든 각도가 합동이고 모든 모서리가 합동이므로 쌍대성에 따라 이러한 합동이 바뀐다. 마찬가지로, 모든 위상적으로 자기 쌍대인 볼록 다면체는 동등한 기하학적으로 자기 쌍대인 다면체인 정규 다면체, 중간 구의 중심에 대해 상호 관계를 가짐으로써 실현될 수 있다.

기하학적으로 자기 쌍대인 다면체는 무한히 많다. 가장 간단한 무한 집합은 뿔이다.^[8] 또 다른 무한 집합인 길쭉한 뿔은 대략적으로 각기둥 위에 놓인 뿔(동일한 수의 변을 가짐)로 설명할 수 있는 다면체로 구성된다. 각기둥 아래에 절두체(꼭대기가 잘린 뿔)를 추가하면 또 다른 무한 집합이 생성되고, 이런 식으로 이어진다. 다른 많은 볼록 자기 쌍대 다면체가 있다. 예를 들어, 7개의 정점을 가진 6개와 8개의 정점을 가진 16개가 있다.^[9]

육각형 면을 가진 자기 쌍대 비볼록 정이십면체는 1900년에 브뤼크너에 의해 확인되었다.^[10][11][12] 비볼록 다면체와 그 쌍대에 대한 특정 정의에 따라 다른 비볼록 자기 쌍대 다면체가 발견되었다.

4. 다양한 다면체의 쌍대

쌍대성은 ''n''차원 공간과 '''쌍대 다면체'''로 일반화될 수 있으며, 2차원에서는 이를 쌍대 다각형이라고 한다. 한 다면체의 꼭짓점은 다른 다면체의 (''n'' - 1)차원 원소 또는 면에 해당하며, (''j'' - 1)차원 원소를 정의하는 ''j''개의 점은 (''n'' - ''j'')차원 원소를 제공하기 위해 교차하는 ''j''개의 초평면에 해당한다.

일반적으로 다면체의 쌍대 면은 다면체의 꼭짓점 도형의 위상적 쌍대가 된다. 정다면체와 균일 다면체의 극 상호 관계의 경우, 쌍대 면은 원래 꼭짓점 도형의 극 상호 관계가 된다. 예를 들어 4차원에서 600-세포의 꼭짓점 도형은 정십이면체이고, 600-세포의 쌍대는 120-세포이며, 그 면은 정십이면체인데, 이는 정십이면체의 쌍대이다.

• 모든 정다각형, {a}.
• 정 사면체: {3,3}
• 일반적으로 모든 정 ''n''-단순체, {3,3,...,3}
• 4차원 정 24-세포, {3,4,3}.
• 큰 120-세포 {5,5/2,5} 및 거대한 별 모양 120-세포 {5/2,5,5/2}

• 아페이로곤: {∞}
• 정사각형 타일링: {4,4}
• 입방 벌집: {4,3,4}
• 일반적으로 모든 정 ''n''차원 유클리드 초입방 벌집: {4,3,...,3,4}.

• 조밀한 쌍곡 타일링: {5,5}, {6,6}, ... {p,p}.
• 준조밀 쌍곡 타일링: {∞,∞}
• 조밀한 쌍곡 벌집: {3,5,3}, {5,3,5}, {5,3,3,5}
• 준조밀 쌍곡 벌집: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3,3,4,3,3}

• 오포체: 자기 자신
• 팔포체: 십육포체
• 십육포체: 팔포체
• 이십사포체: 자기 자신
• 백이십포체: 육백포체
• 육백포체: 백이십포체

4. 1. 정다면체의 쌍대 관계

• 정사면체 ⇔ 정사면체 (자기 쌍대)
• 정육면체 ⇔ 정팔면체
• 정십이면체 ⇔ 정이십면체

4. 2. 준정다면체의 쌍대 (아르키메데스 쌍대)

4. 3. 각기둥과 엇각기둥의 쌍대

5. 4차원 이상의 쌍대다포체

정다면체와 균일 다면체의 극 상호 관계의 경우, 쌍대 면은 원래 꼭짓점 도형의 극 상호 관계가 된다. 예를 들어, 4차원에서 600-세포의 꼭짓점 도형은 정십이면체이고, 600-세포의 쌍대는 120-세포이며, 그 면은 정십이면체인데, 이는 정십이면체의 쌍대이다.

4차원 쌍대 다포체는 다음과 같다.

참조

_[1] 논문 Basic notions about stellation and duality
_[2] 논문
_[3] 논문 Duality
_[4] 논문
_[5] 논문
_[6] 논문 Theorem 3.1
_[7] 논문
_[8] 간행물 ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018 https://books.google[...] Springer
_[9] 웹사이트 Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra http://dmccooey.com/[...]
_[10] 논문 Regular Polyhedra of Index Two 2011-04
_[11] 논문 Faceting the Dodecahedron 1974-07
_[12] 서적 Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte Teubner, Leipzig