일반선형군

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1. 개요

일반선형군은 체 F 위의 벡터 공간 V의 자기 동형 사상, 즉 전단사 선형 변환의 집합으로, GL(V) 또는 Aut(V)로 표기한다. V가 유한 차원 n을 가지면 GL(V)와 GL(n, F)는 군 동형 사상 관계에 있다. 실수 일반선형군은 리 군이며, 연결 성분과 리 대수를 갖는다. 복소수 일반선형군은 연결 공간이며, 유니타리 군을 극대 콤팩트 부분군으로 갖는다. 유한체 위의 일반선형군은 유한군이며, 그 크기는 (qⁿ - 1)(qⁿ - q) ... (qⁿ - qⁿ⁻¹)으로 계산된다. 일반선형군은 특수선형군, 대각 부분군, 고전군 등의 부분군과 사영 선형군, 아핀 군, 일반 반선형군 등의 관련 군을 갖는다. 무한 일반선형군은 대수적 K-이론에서 중요한 역할을 하며, 갈루아가 1832년 일반 방정식의 갈루아 군을 연구하는 과정에서 처음 구성했다.

2. 정의

체 $K$에 대한 벡터 공간 $V$의 일반선형군 $\operatorname{GL}(V)$는 $V$에서 $V$로의 가역 선형 변환들의 집합이며, 함수의 합성을 연산으로 갖는 군이다. $V$가 유한 차원 $n$을 갖는 경우, $\operatorname{GL}(V)$는 $n \times n$ 가역행렬들의 군으로 표현될 수 있으며, $\operatorname{GL}(n; K)$ 또는 $\operatorname{GL}_n(K)$로 표기한다.

행렬식을 사용하여 일반선형군을 정의할 수 있다. 체 $F$ 위에서, 행렬식이 0이 아닌 행렬들의 집합이 $\operatorname{GL}(n, F)$를 이룬다. 가환환 $R$ 위에서는, 행렬식이 $R$에서의 단원인 행렬들의 군으로 $\operatorname{GL}(n, R)$을 정의할 수 있다.

2. 1. 벡터 공간의 일반선형군

체 $K$에 대한 벡터 공간 $V$의 '''일반선형군''' $\operatorname{GL}(V)$는 가역 선형 변환 $M\colon V\to V$들의, 함수의 합성에 대한 군이다.

만약 $V$가 유한 차원 $V=K^n$일 경우, $\operatorname{GL}(V)$를 $\operatorname{GL}(n;K)$라고 쓴다. 이는 $n\times n$ $K$-가역행렬들의 군으로 여길 수 있다.

''V''가 체 ''F''상의 벡터 공간이라면, GL(''V'') 또는 Aut(''V'')로 표기되는 ''V''의 일반 선형군은 ''V''의 모든 자기 동형 사상의 군, 즉, 함수 합성 연산을 갖춘 모든 전단사 선형 변환 ''V'' → ''V''의 집합이다. ''V''가 유한 차원 ''n''을 갖는다면, GL(''V'')와 GL(''n'', ''F'')는 군 동형 사상이다. 이 동형 사상은 자연스럽지 않으며, ''V''에서 기저를 선택하는 것에 의존한다. ''V''의 기저 (''e''₁, ..., ''e''_''n'')와 GL(''V'')의 자기 동형 사상 ''T''가 주어지면, 모든 기저 벡터 ''e''_''i''에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

T(e_i) = \sum_{j=1}^n a_{ji} e_j

여기서 ''F''의 상수 ''a''_''ij''가 있다; ''T''에 해당하는 행렬은 ''a''_''ji''에 의해 주어진 항목을 갖는 행렬이다.

체 $F$를 가환체로 한다.^[13] $F$ 선형 공간 $V$ 상의 '''일반 선형군'''은 $V$ 상의 선형 사상 전체 End(''V'')^[14] 중 전단사인 사상 전체가 사상의 합성에 관해 이루는 군을 말하며, GL(''V'') 또는 Aut(''V'')^[15]로 표기한다.

또는 $n$ 차원 $F$ 선형 공간 $V$의 기저 $B$ = (''v''₁, …, ''v''_''n'')를 하나 선택하여 고정하고, 수 벡터 공간 $F$^''n''의 원소 (''a''₁, …, ''a''_''n'')와 선형 공간 $V$의 원소 ''a''₁''v''₁ + … + ''a''_''n''''v''_''n''를 동일시함으로써, $n$차 정사각 행렬 전체 M_''n''(''F'') 중 가역인 행렬 전체가 행렬의 곱셈에 관해 이루는 군을 일반 선형군이라고 하는 경우가 많다. 이 경우에는 GL_''n''(''F'') 또는 GL(''n'', ''F'')로 표기한다. 행렬식이 0이 아닌 행렬 전체라고 바꿔 말할 수도 있다.

:

\operatorname{GL}(V)= \{\, f \in \operatorname{End}(V) \mid \exists g \in \operatorname{End}(V) \ f \circ g = \operatorname{id}_V = g \circ f \,\}

:

\begin{align}\operatorname{GL}_n(F)&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \exists B \in \operatorname{M}_n(F) \ AB = I_n = BA \,\} \\&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \det A \neq 0 \,\}\end{align}

어느 정의든 같은 대상을 정의한다고 생각해도 좋다. 실제로, $n$ 차원 $F$ 선형 공간 $V$ 상의 일반 선형군 GL(''V'')와 $n$ 차 정칙 행렬 전체 GL_''n''(''F'') 사이에는 다음으로 정의되는 동형 사상이 있다.

:

\operatorname{GL}(V) \to \operatorname{GL}_n(F),\ f \mapsto A = (a_{ij})

:

f(v_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j

2. 2. 행렬 표현

체

F

의 벡터 공간

V

가 유한 차원

n

을 갖는다면,

\operatorname{GL}(V)

와

\operatorname{GL}(n, F)

는 군 동형 사상이다.^[13]

V

의 기저

(e_1, \dots, e_n)

와

\operatorname{GL}(V)

의 자기 동형 사상

T

가 주어지면, 모든 기저 벡터

e_i

에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

T(e_i) = \sum_{j=1}^n a_{ji} e_j

여기서

a_{ji}

는

F

의 상수이다.

T

에 해당하는 행렬은

a_{ji}

에 의해 주어진 항목을 갖는 행렬이다. 즉,

n

차원

F

선형 공간

V

의 기저

B = (v_1, \dots, v_n)

를 하나 선택하여 고정하고, 수 벡터 공간

F^n

의 원소

(a_1, \dots, a_n)

와 선형 공간

V

의 원소

a_1v_1 + \dots + a_nv_n

를 동일시함으로써,

n

차 정사각 행렬 전체

\operatorname{M}_n(F)

중 가역 행렬인 행렬 전체가 행렬의 곱셈에 관해 이루는 군을 일반 선형군이라고 할 수 있다.^[14]

이때, 일반 선형군

\operatorname{GL}_n(F)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\operatorname{GL}_n(F)&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \exists B \in \operatorname{M}_n(F) \ AB = I_n = BA \,\} \\&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \det A \neq 0 \,\}\end{align}

이는 행렬식이 0이 아닌 행렬 전체와 같다.^[15]

n

차원

F

선형 공간

V

상의 일반 선형군

\operatorname{GL}(V)

와

n

차 정칙 행렬 전체

\operatorname{GL}_n(F)

사이에는 다음으로 정의되는 동형 사상이 있다.

:

\operatorname{GL}(V) \to \operatorname{GL}_n(F),\ f \mapsto A = (a_{ij})

:

f(v_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j

2. 3. 가환환 위의 일반선형군

가환환 ''R''에 대해 군 GL(''n'', ''R'')은 계수 ''n''의 자유 ''R''-가군 ''M''의 자기 동형 사상 군으로 해석될 수 있다. 또한 임의의 ''R''-가군에 대해 GL(''M'')을 정의할 수 있지만, 일반적으로 이것은 GL(''n'', ''R'')과 동형이지 않다 (어떤 ''n''에 대해서도).

3. 성질

체 ''F'' 상에서, 행렬이 가역 행렬이 될 필요충분조건은 그 행렬식이 0이 아닌 것이다. 따라서, 일반선형군 는 0이 아닌 행렬식을 가진 행렬의 군으로 정의할 수 있다.^[2]

가환환 ''R'' 상에서는, ''R'' 위의 행렬이 그 행렬식이 ''R''에서 가역적인 단원일 경우에만 가역적이다. 따라서, 일반선형군 은 행렬식이 단원인 행렬의 군으로 정의할 수 있다.^[2]

비가환환 ''R'' 상에서는, 행렬식이 잘 정의되지 않으므로, 일반선형군 은 행렬환 의 단위군으로 정의할 수 있다.^[2]

3. 1. 실수 일반선형군

실수 일반선형군

\operatorname{GL}(n;\mathbb R)

은

n^2

차원 실수 리 군이다. 그 리 대수

\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)

는

n\times n

실수 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 실수 일반선형군

\operatorname{GL}(n;\mathbb R)

은 콤팩트 공간 또는 연결 공간이 아니며, 행렬식이 양수인 성분과 음수인 성분, 이렇게 두 개의 연결 성분을 갖는다. 단위원을 포함하는, 행렬식이 양수인 부분공간

\operatorname{GL}^+(n;\mathbb R)

은 정규 부분군을 이루며, 이에 대한 몫군은

\mathbb Z/2

이다.

일반 선형군 GL(''n'', '''R''')^영어은 실수 체 위의 실수 리 군이며, 차원은 ''n''²이다. 모든 ''n''×''n''^영어 실수 행렬의 집합 M_''n''('''R''')이 차원이 ''n''²인 실 벡터 공간을 형성한다는 점을 통해 알 수 있다. 부분 집합 GL(''n'', '''R''')^영어은 행렬식이 0이 아닌 행렬로 구성된다. 행렬식은 다항식 사상이므로 GL(''n'', '''R''')^영어은 M_''n''('''R''')의 열린 아핀 부분 다양체이며, 따라서^[2] 동일한 차원의 매끄러운 다양체이다.

GL(''n'', '''R''')^영어의 리 대수는

\mathfrak{gl}_n

로 표기하며, 교환자를 리 브래킷으로 사용하는 모든 ''n''×''n''^영어 실수 행렬로 구성된다.

다양체로서 GL(''n'', '''R''')^영어는 연결 공간이 아니며, 양의 행렬식을 가진 행렬과 음의 행렬식을 가진 행렬의 두 개의 연결 성분을 갖는다. 항등 성분은 GL⁺(''n'', '''R''')^영어로 표기하며, 양의 행렬식을 가진 실수 ''n''×''n''^영어 행렬로 구성된다. 이것 또한 차원이 ''n''²인 리 군이며, GL(''n'', '''R''')^영어과 동일한 리 대수를 갖는다.

극 분해는 가역 행렬에 대해 유일하며, GL(''n'', '''R''')^영어과 O(''n'')과 양의 정부호 대칭 행렬의 집합의 데카르트 곱 사이의 위상 동형 사상이 있음을 보여준다. 유사하게, GL⁺(''n'', '''R''')^영어과 SO(''n'')과 양의 정부호 대칭 행렬의 집합의 데카르트 곱 사이의 위상 동형 사상이 있음을 보여준다. 후자는 수축 가능하므로, GL⁺(''n'', '''R''')^영어의 기본군은 SO(''n'')의 기본군과 동형이다.

이 위상 동형 사상은 또한 군 GL(''n'', '''R''')^영어이 비콤팩트임을 보여준다.^[3] GL(''n'', '''R''')^영어의 극대 콤팩트 부분군은 직교군 O(''n'')이고, GL⁺(''n'', '''R''')^영어의 극대 콤팩트 부분군은 특수 직교군 SO(''n'')이다. SO(''n'')과 마찬가지로 군 GL⁺(''n'', '''R''')^영어은 단일 연결이 아니며 (1=''n'' = 1^영어인 경우 제외), 1=''n'' = 2^영어에 대해서는 '''Z'''와 동형이거나 ''n'' > 2^영어에 대해서는 '''Z'''₂와 동형인 기본군을 갖는다.

3. 2. 복소수 일반선형군

복소수 일반선형군

\operatorname{GL}(n;\mathbb C)

은 복소

n^2

차원 (실수

2n^2

차원) 리 군이다. 그 리 대수

\mathfrak{gl}(n;\mathbb C)

는

n\times n

복소 행렬들의 리 대수이다.

다양체로서, 복소 일반선형군

\operatorname{GL}(n;\mathbb C)

은 연결 공간이며, 콤팩트하지 않다. 그 기본군은 다음과 같다.

:

\pi_1(\operatorname{GL}(n,\mathbb C)\cong\mathbb Z

복소수 체 위의 일반 선형군 GL(''n'', '''C''')^영어는 복소수 차원이 ''n''²인 ''복소수'' 리 군이다. 실수 리 군(실수화를 통해)으로서, 차원은 2''n''²이다. 모든 실수 행렬의 집합은 실수 리 부분군을 형성한다. 이는 포함 관계

:GL(''n'', '''R''') < GL(''n'', '''C''') < GL(''2n'', '''R''')

에 해당하며, 실수 차원은 각각 ''n''², 2''n''², 4''n''² = (2''n'')²이다. 복소수 ''n''차원 행렬은 선형 복소 구조를 보존하는 실수 2''n''차원 행렬로 특징지을 수 있으며, 구체적으로는 ''J''² = −''I''인 행렬 ''J''와 교환하며, 여기서 ''J''는 허수 단위 ''i''를 곱하는 것에 해당한다.

GL(''n'', '''C''')^영어에 해당하는 리 대수는 교환자를 리 괄호로 사용하는 모든 ''n''×''n'' 복소수 행렬로 구성된다.

실수 경우와 달리, GL(''n'', '''C''')^영어는 연결 공간이다. 이는 부분적으로 복소수의 곱셈군 '''C'''^∗가 연결되어 있기 때문이다. 군 다양체 GL(''n'', '''C''')^영어는 콤팩트하지 않으며, 대신 그 극대 콤팩트 부분군은 유니타리 군 U(''n'')이다. U(''n'')과 마찬가지로, 군 다양체 GL(''n'', '''C''')^영어는 단순 연결되어 있지 않지만 기본군은 '''Z'''와 동형이다.

3. 3. 유한체 일반선형군

유한체 ℱ_q 위의 일반선형군 GL(n; ℱ_q)는 GL(n;q)로 쓰기도 하며, 유한군이다. 그 크기는 다음과 같다.

:(qⁿ - 1)(qⁿ - q)(qⁿ - q²) ... (qⁿ - qⁿ⁻¹)

p가 소수일 때, GL(n, p)는 군 '''Z'''_pⁿ의 자기 동형 사상 군이다.('''Z'''_pⁿ은 아벨 군이므로 내부 자기 동형 사상 군은 자명하다.)

GL(n, q)의 차수는 다음과 같다.

:

\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)=(q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2)\ \cdots\ (q^n - q^{n-1}).

이는 행렬의 가능한 열을 세어 나타낼 수 있다. 첫 번째 열은 영 벡터가 아니어야 하고, 두 번째 열은 첫 번째 열의 배수가 아니어야 하며, 일반적으로 k번째 열은 처음 k − 1열의 선형 덮개에 속하지 않는 벡터일 수 있다. q-아날로그 표기법으로는

[n]_q!(q-1)^n q^{n \choose 2}

이다.

예를 들어 GL(3, 2)는 차수가 168( = (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4))이며, 파노 평면과 그룹 '''Z'''₂³의 자기 동형 사상 군이다. 이 그룹은 PSL(2, 7)과도 동형이다.

원소 1개 체의 철학에서는 대칭군을 원소 1개 체 위의 일반 선형군으로 해석한다(S_n ≅ GL(n, 1)).

이원체 '''F'''₂ 상의 2차 정칙 행렬 전체 GL₂('''F'''₂)는 3차 대칭군과 동형이며, 다음 6개의 행렬로 구성된다.

:

\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)= \left \{\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix},\\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix},\\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix},\\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right \}

q원체 '''F'''_''q''^영어 위의 일반선형군 GL_''n''('''F'''_''q'')^영어의 위수는 다음과 같다.^[16]

:

\vert \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q) \vert= (q^n -1)(q^n - q) \dotsm (q^n - q^{n - 1})= q^{n(n - 1)/2} \prod_{m = 1}^n (q^m - 1)

특히 주대각 성분이 모두 1인 위쪽 또는 아래쪽 삼각 행렬로 구성된 부분군 U는 위수가 ''q''^{''n''(''n'' − 1)/2}^영어이므로, 유한체의 위수 q를 나누는 소수 p에 관한 실로 부분군이다.

일반선형군은 브뤼아 분해된다. 즉, B를 보렐 부분군|en|Borel subgroup^한국어(상 또는 하 삼각 행렬로 구성된 부분군), W를 바일 군(치환 행렬로 구성된 부분군)이라 할 때, 일반선형군 G = GL_n(''F'')는 양쪽 잉여류로 다음과 같이 분해된다.

: G = BWB = ∪_{w ∈ W} BwB

일반선형군은 BN 쌍을 갖는다. G의 대각 행렬로 구성된 부분군 T^[17]의 G에서의 정규화 부분군을 N = N_G(T)라고 하면, N은 단항 행렬로 구성된 부분군이고, (B, N)은 BN 쌍을 이룬다.

4. 부분군

행렬식이 1인 모든 행렬의 군은 특수선형군(SL)이라고 불리며, 일반선형군의 정규 부분군이다.^[5] 특수선형군은 다항식 방정식을 만족하는 대수적 다양체를 이룬다. 행렬식은 군 준동형 사상 det: GL(''n'', ''F'') → ''F''^× (여기서 ''F''^×는 ''F''의 곱셈군)을 정의하며, 이 사상의 커널이 특수선형군이다. 제1 동형 정리에 따라 GL(''n'', ''F'')/SL(''n'', ''F'')는 ''F''^×와 동형이며, GL(''n'', ''F'')는 SL(''n'', ''F'')와 ''F''^×의 반직접곱으로 표현할 수 있다.

''F''가 실수체('''R''') 또는 복소수체('''C''')인 경우, SL(''n'', ''F'')는 GL(''n'', ''F'')의 리 부분군이며 차원은 $n^2 - 1$ 이다. SL(''n'', ''F'')의 리 대수는 트레이스가 0인 ''F'' 위의 모든 $n \times n$ 행렬로 구성되며, 리 괄호는 교환자로 주어진다. SL(''n'', '''R''')은 '''R'''^''n''의 부피와 방향을 보존하는 선형 변환의 군으로 특징지을 수 있다.

가역 대각 행렬의 집합은 (''F''^×)^''n''과 동형인 일반선형군의 부분군을 형성한다. 실수체와 복소수체에서 이는 공간의 크기 조절(팽창과 수축)에 해당한다. 항등 행렬에 상수를 곱한 '''스칼라 행렬'''들의 집합은 ''F''^×와 동형인 부분군을 형성하며, 이는 군의 중심이자 정규 아벨 부분군이다.

고전군은 벡터 공간 ''V'' 상의 특정 쌍선형 형식을 보존하는 GL(''V'')의 부분군이다. 여기에는 직교군(O(''V'')), 심플렉틱 군(Sp(''V'')), 유니타리 군(U(''V'')) 등이 포함되며, 이들은 리 군의 중요한 예시이다.

4. 1. 특수선형군

행렬식이 1인 모든 행렬의 군이다. 이들은 하위 대수적 다양체에 속한다는 점에서 특별하다. 즉, 다항식 방정식을 만족한다 (행렬식이 성분에 대한 다항식이므로). 이러한 유형의 행렬은 두 행렬의 곱의 행렬식이 각 행렬의 행렬식의 곱이므로 군을 형성한다. SL^영어(''n'', ''F'')는 GL^영어(''n'', ''F'')의 정규 부분군이다.^[5]

''F''^×를 ''F''의 곱셈군(0 제외)으로 표기하면, 행렬식은 다음과 같은 군 준동형 사상이다.

:det: GL^영어(''n'', ''F'') → ''F''^×.

이는 전사이며, 커널은 특수선형군이다. 따라서 제1 동형 정리에 의해 GL^영어(''n'', ''F'')/SL^영어(''n'', ''F'')는 ''F''^×와 동형이다. 사실, GL^영어(''n'', ''F'')는 다음과 같이 반직접곱으로 표현할 수 있다.

:GL^영어(''n'', ''F'') = SL^영어(''n'', ''F'') ⋊ ''F''^×

특수선형군은

n \ne 2

이거나 ''k''가 유한체의 원소인 체가 아닌 경우 GL^영어(''n'', ''F'') (체 또는 나눗셈환 ''F'')의 도출군(교환자 부분군이라고도 함)이다.^[5]

''F''가 '''R''' 또는 '''C'''일 때, SL^영어(''n'', ''F'')는 GL^영어(''n'', ''F'')의 리 부분군이며 차원은

n^2 - 1

이다. SL^영어(''n'', ''F'')의 리 대수는 ''F'' 위의 모든

n \times n

행렬로 구성되며 트레이스는 0이다. 리 괄호는 교환자에 의해 주어진다.

특수선형군 SL^영어(''n'', '''R''')은 '''R'''^''n''의 ''부피와 방향을 보존하는'' 선형 변환의 군으로 특징지을 수 있다.

군 SL^영어(''n'', '''C''')는 단일 연결되어 있지만, SL^영어(''n'', '''R''')은 그렇지 않다. SL^영어(''n'', '''R''')은 GL^영어⁺(''n'', '''R''')과 동일한 기본군을 가지며, 즉

n = 2

인 경우 '''Z'''이고

n > 2

인 경우 '''Z'''₂이다.

4. 2. 대각 부분군

가역 대각 행렬의 집합은 (''F''^×)^''n''과 동형인 의 부분군을 형성한다. 체 '''R'''(실수)과 '''C'''(복소수)에서, 이는 공간의 크기 조절, 즉 팽창과 수축에 해당한다.

'''스칼라 행렬'''은 항등 행렬에 상수를 곱한 대각 행렬이다. 모든 0이 아닌 스칼라 행렬의 집합은 ''F''^×와 동형인 의 부분군을 형성한다. 이 군은 의 중심이다. 특히, 정규 아벨 부분군이다.

4. 3. 고전군

고전군은 벡터 공간 ''V'' 상의 어떤 종류의 쌍선형 형식을 보존하는 GL(''V'')|GL(V)^영어의 부분군이다. 여기에는 다음이 포함된다.

'''직교군'''(O(''V'')|O(V)^영어)은 ''V''상의 비퇴화 이차 형식을 보존한다.
'''심플렉틱 군'''(Sp(''V'')|Sp(V)^영어)은 ''V''상의 심플렉틱 형식(비퇴화 교대 형식)을 보존한다.
'''유니타리 군'''(U(''V'')|U(V)^영어)은 F = '''C'''|F = '''C'''^영어일 때, ''V''상의 비퇴화 에르미트 형식을 보존한다.

이러한 군들은 리 군의 중요한 예시를 제공한다.

5. 관련 군

사영 선형군 PGL(''n'', ''F'')와 사영 특수 선형군 PSL(''n'', ''F'')는 GL(''n'', ''F'')과 SL(''n'', ''F'')을 중심(항등 행렬의 상수배로 구성됨)으로 나눈 몫군이다. 이들은 관련된 사영 공간에 대한 유도된 작용이다.^[1]

아핀 군 Aff(''n'', ''F'')는 GL(''n'', ''F'')의 군 확장이며, ''F''^''n''에서의 평행이동 군에 의해 확장된다. 이는 다음과 같은 반직접곱으로 표현될 수 있다.

:Aff(''n'', ''F'') = GL(''n'', ''F'') ⋉ ''F''^''n''

여기서 GL(''n'', ''F'')는 자연스러운 방식으로 ''F''^''n''에 작용한다. 아핀 군은 벡터 공간 ''F''^''n''을 밑으로 하는 아핀 공간의 모든 아핀 변환들의 군으로 볼 수 있다. 특수 아핀 군은 반직접곱 SL(''n'', ''F'') ⋉ ''F''^''n''에 의해 정의되는 부분군이며, 푸앵카레 군은 로렌츠 군 O(1, 3, ''F'') ⋉ ''F''^''n''과 관련된 아핀 군이다.

일반 반선형군 ΓL(''n'', ''F'')은 모든 가역 반선형 변환의 군이며, GL을 포함한다. 반선형 변환은 "스칼라 곱셈 하에서 체 자기 동형 사상을 제외하고" 선형인 변환, 즉 "왜곡을 제외하고" 선형인 변환을 의미한다. 이는 다음과 같은 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

:ΓL(''n'', ''F'') = Gal(''F'') ⋉ GL(''n'', ''F'')

여기서 Gal(''F'')는 ''F''의 갈루아 군(소체 위에서)이며, 항목에 대한 갈루아 작용으로 GL(''n'',''F'')에 작용한다. ΓL(''n'', ''F'')의 주요 관심사는 연관된 사영 반선형군 PΓL(''n'', ''F'') (PGL(''n'', ''F'')를 포함)이 사영 공간의 공선형 변환군이며, ''n'' > 2인 경우 반선형 사상은 사영 기하학에서 중요하게 사용된다.^[1]

5. 1. 사영 선형군

사영 선형군 PGL(''n'', ''F'')와 사영 특수 선형군 PSL(''n'', ''F'')는 GL(''n'', ''F'')과 SL(''n'', ''F'')을 중심(항등 행렬의 상수배로 구성됨)으로 나눈 몫군이다. 이들은 관련된 사영 공간에 대한 유도된 작용이다.

5. 2. 아핀 군

아핀 군 Aff(''n'', ''F'')는 GL(''n'', ''F'')의 군 확장이며, ''F''^''n''에서의 평행이동 군에 의해 확장된다. 이는 다음과 같은 반직접곱으로 표현될 수 있다.

:Aff(''n'', ''F'') = GL(''n'', ''F'') ⋉ ''F''^''n''

여기서 GL(''n'', ''F'')는 자연스러운 방식으로 ''F''^''n''에 작용한다. 아핀 군은 벡터 공간 ''F''^''n''을 밑으로 하는 아핀 공간의 모든 아핀 변환들의 군으로 볼 수 있다.

일반 선형 군의 다른 부분군에 대해서도 유사한 구성을 가질 수 있다. 예를 들어, 특수 아핀 군은 반직접곱 SL(''n'', ''F'') ⋉ ''F''^''n''에 의해 정의되는 부분군이며, 푸앵카레 군은 로렌츠 군 O(1, 3, ''F'') ⋉ ''F''^''n''과 관련된 아핀 군이다.

5. 3. 일반 반선형군

일반 반선형군 ΓL(''n'', ''F'')은 모든 가역 반선형 변환의 군이며, GL을 포함한다. 반선형 변환은 "스칼라 곱셈 하에서 체 자기 동형 사상을 제외하고" 선형인 변환, 즉 "왜곡을 제외하고" 선형인 변환을 의미한다. 이는 다음과 같은 반직접 곱으로 나타낼 수 있다.

:ΓL(''n'', ''F'') = Gal(''F'') ⋉ GL(''n'', ''F'')

여기서 Gal(''F'')는 ''F''의 갈루아 군(소체 위에서)이며, 항목에 대한 갈루아 작용으로 GL(''n'',''F'')에 작용한다.^[1]

ΓL(''n'', ''F'')의 주요 관심사는 연관된 사영 반선형군 PΓL(''n'', ''F'') (PGL(''n'', ''F'')를 포함)이 사영 공간의 공선형 변환군이며, ''n'' > 2인 경우 반선형 사상은 사영 기하학에서 중요하게 사용된다는 것이다.^[1]

6. 무한 일반선형군

'''무한 일반 선형군''' 또는 '''군의 직접 극한'''인 '''안정 일반 선형군'''은 GL(''n'', ''F'') → GL(''n'' + 1, ''F'')^영어의 포함 관계의 직접 극한이며, 이는 왼쪽 위 블록 행렬로 나타낼 수 있다. 이는 GL(''F'') 또는 GL(∞, ''F'')^영어로 표기하며, 유한 개의 위치에서만 항등 행렬과 다른 가역 무한 행렬로 해석할 수도 있다.^[12]

이는 대수적 K-이론에서 K₁을 정의하는 데 사용되며, 실수상에서는 보트 주기성에 의해 잘 이해된 위상을 갖는다.

이는 힐베르트 공간 상의 (유계) 가역 연산자 공간과 혼동해서는 안 되는데, 이는 더 큰 군이며, 위상적으로 훨씬 간단하며, 즉 수축 가능성을 갖는다. 쿠이퍼의 정리를 참조하라.

7. 역사

에바리스트 갈루아는 1832년 그의 마지막 편지에서 소수체(prime field) 위의 일반선형군 $GL(\nu, p)$ 를 처음으로 구성하였다. 그는 $p^\nu$ 차수 일반 방정식의 갈루아 군을 연구하면서 이 군을 사용하였고, 그 차수를 계산하였다.^[4]

참조

_[1] 문서 rings are assumed to be associative and unital
_[2] 문서 Since the Zariski topology is coarser than the metric topology; equivalently, polynomial maps are continuous
_[3] 문서 A maximal compact subgroup is not unique, but is essentially unique, hence one often refers to “the” maximal compact subgroup
_[4] 논문 Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier http://visualiseur.b[...] 2009-02-04
_[5] 서적 Matrix groups American Mathematical Society
_[6] 서적 Semigroups of Matrices World Scientific
_[7] 서적 Groups St Andrews 2005 Cambridge University Press
_[8] 서적 The q-theory of Finite Semigroups Springer Science & Business Media
_[9] 서적 Noetherian Semigroup Algebras Springer Science & Business Media
_[10] 서적 An Introduction to Algebraic Geometry and Algebraic Groups Oxford University Press
_[11] 서적 Algebraic Monoids, Group Embeddings, and Algebraic Combinatorics Springer
_[12] 서적 Introduction to algebraic K-theory Princeton University Press
_[13] 문서 F としては有理数 Q、実数 R、複素数 C などを例に考えればよい
_[14] 문서 V 上の自己準同型写像 (endomorphism) の意
_[15] 문서 V 上の自己同型写像 (automorphism) の意
_[16] 문서 U の元 u は冪単 (unipotent) ―つまり 1 − u がべき零行列―なので慣習的に U を使う
_[17] 문서 Torusの意

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