정다포체

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1. 개요
2. 분류 및 설명
3. 역사
4. 공간 채움 (테셀레이션)
5. 구성
6. 자연에서의 정다포체
참조

1. 개요

정다포체는 모든 차원에서 규칙성을 가지는 기하학적 도형을 의미하며, 단순체, 초입방체, 교차 다포체 등 세 가지 기본 유형이 존재한다. 2차원에서는 정다각형, 3차원 및 4차원에서는 정다면체와 정4차원 다포체가 존재하며, 5차원 이상에서는 기본 유형만 존재한다. 정다포체는 대칭성에 따라 세분화되며, 슐레플리 기호를 사용하여 표기한다. 또한, 쌍대 관계를 가지며, 정다포체의 개념은 별 다포체, 무한 다포체, 복소 다포체, 추상 다포체 등으로 확장된다. 정다포체는 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 전개도, 투영, 단면 등을 통해 구성 및 시각화될 수 있으며, 자연에서도 다양한 형태로 나타난다.

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다포체 - 단체 (수학)
단체는 n+1개의 꼭짓점을 가지며, 꼭짓점 집합이 유일한 면에 속하는 n차원 폴리토프이며, 위상수학에서는 중심 좌표나 단위 분할로 정의되는 표준적인 형태를 가지는 도형이다.

정다포체
정의
설명	의 슐레플리 기호를 갖는 정오각형 면을 가진 다면체이다. 의 슐레플리 기호를 갖는 정십이면체는 정오각형 면 12개, 꼭짓점 20개, 모서리 30개를 가진다.
일반화
설명	더 일반적으로, 차원 유클리드 공간, 구 또는 쌍곡 공간에 존재하는 볼록한 -폴리토프는 모든 면이 정규이면 정규이다. 이러한 정규 폴리토프는 의 슐레플리 기호로 표현되며, 면 는 인 정규 셀이다.
정규 폴리토프 종류
종류	} } } }
대칭
대칭 차수	정규 -폴리토프는 모든 -면 ()에 대해 자체 동형사상을 가진다. 즉, 폴리토프의 대칭 그룹은 가장 높은 차수의 대칭을 가진다.
쌍대성
설명	모든 정규 폴리토프는 또한 쌍대적이다. 정규 폴리토프의 쌍대는 또한 정규 폴리토프이다. 슐레플리 기호는 단순히 역순으로 작성된다. 따라서 } (테서랙트)은 } (정24포체)의 쌍대이다.

2. 분류 및 설명

정다포체는 주로 차원에 따라 분류되며, 모든 차원에서 단순체, 초입방체(측정 다포체), 정축체(교차 다포체)의 세 가지 종류가 존재한다.

단순체: 점, 선분, 정삼각형, 정사면체 등을 고차원으로 일반화한 것이다.
초입방체 (측정 다포체): 점, 선분, 정사각형, 정육면체 등을 고차원으로 일반화한 것이다.
정축체 (교차 다포체): 점, 선분, 정사각형, 정팔면체 등을 고차원으로 일반화한 것이다.

1차원 공간에서 선분은 1-단순체, 1-초입방체, 1-정축체 역할을 모두 수행한다. 2차원에는 정다각형이 무한히 많으며, 3차원과 4차원에는 예외적인 정다면체와 4차원 정다포체가 존재한다. 5차원 이상에서는 단순체, 초입방체, 정축체만이 유일한 정다포체이다.

정다포체는 대칭에 따라 더 세분화될 수 있는데, 예를 들어 정육면체와 정팔면체는 같은 대칭을 공유하며, 정십이면체와 정이십면체도 마찬가지이다. 이처럼 같은 대칭을 갖는 두 정다포체는 서로 쌍대 관계이다.

2. 1. 슐레플리 기호

슐레플리가 개발한 슐레플리 기호는 정다포체를 간결하게 나타내는 표기법이다.

''n''개의 변을 가진 볼록 정다각형은 {''n''}으로 표기한다. 예를 들어 정삼각형은 {3}, 정사각형은 {4}이다. 중심을 ''m''번 감아 도는 정''n''변 별 다각형은 분수 값 {''n''/''m''}으로 표기하며, 여기서 ''n''과 ''m''은 서로소이다. 따라서 정별 오각형은 {5/2}이다.
면이 {''n''}이고, 한 꼭짓점에 ''p''개의 면이 만나는 정다면체는 {''n'', ''p''}로 표기한다. 9개의 정다면체는 {3, 3}, {3, 4}, {4, 3}, {3, 5}, {5, 3}, {3, 5/2}, {5/2, 3}, {5, 5/2}, {5/2, 5}이다. {''p''}는 다면체의 ''꼭짓점 도형''이다.
세포가 {''n'', ''p''}이고, 한 모서리에 ''q''개의 세포가 만나는 정4차원 다포체는 {''n'', ''p'', ''q''}로 표기한다. 4차원 다포체의 꼭짓점 도형은 {''p'', ''q''}이다.
정5차원 다포체는 {''n'', ''p'', ''q'', ''r''}로 표기한다.

2. 2. 쌍대성

정다포체의 쌍대는 또한 정다포체이다. 쌍대 다포체의 슐레플리 기호는 원래 기호를 거꾸로 쓴 것과 같다. 예를 들어 {3, 3}은 자기 쌍대이고, {3, 4}는 {4, 3}의 쌍대이며, {4, 3, 3}은 {3, 3, 4}의 쌍대이다.

정다포체의 꼭짓점 도형은 쌍대 다포체의 면의 쌍대이다. 예를 들어, {3, 3, 4}의 꼭짓점 도형은 {3, 4}이며, 이의 쌍대는 {4, 3} — {4, 3, 3}의 세포이다.

어떤 차원에서도 측도 다면체와 교차 다면체는 서로 쌍대이다.

슐레플리 기호가 회문인 경우(즉, 앞뒤로 똑같이 읽히는 경우), 해당 다포체는 자기 쌍대이다. 자기 쌍대 정다포체는 다음과 같다.

모든 정다각형, {a}.
모든 정 ''n''-단순체, {3,3,...,3}
4차원의 정 24포체, {3,4,3}.
4차원의 큰 120포체 ({5,5/2,5})와 큰 별모양 120포체 ({5/2,5,5/2}).
모든 정 ''n''차원 초입방체 벌집, {4,3,...,3,4}. 이것들은 무한 다포체로 취급될 수 있다.
쌍곡선 테셀레이션 및 벌집(2차원에서 p>4인 테셀레이션 {p,p}, {4,4,4}, {5,3,5}. {3,5,3}, 3차원에서 {6,3,6}, {3,6,3} 및 4차원에서 {5,3,3,5}, 5차원에서 {3,3,4,3,3}).

2. 3. 정단체

정단체는 점, 선분, 정삼각형, 사면체 등을 고차원으로 일반화한 것이다. n-단체는 n+1개의 꼭짓점을 갖는다.

1-단순체에서 4-단순체의 그래프
--	--	--	--
선분	삼각형	사면체	오포체

점 ''A''에서 시작하여 거리 ''r''만큼 떨어진 곳에 점 ''B''를 표시하고 연결하면 선분이 된다. 직교하는 차원에서 두 점으로부터 거리 ''r''만큼 떨어진 곳에 점 ''C''를 표시하고, ''A''와 ''B''에 연결하면 정삼각형이 된다. 세 번째, 직교하는 차원에서 세 점 모두에서 거리 ''r''만큼 떨어진 곳에 점 ''D''를 표시하고 연결하면 정 사면체가 된다. 더 높은 차원에서도 이와 같은 방식으로 진행한다.

이것들은 '''정단순체''' 또는 '''단순체'''라고 불린다. 차원 순서대로 이름은 다음과 같다.

:0. 점

:1. 선분

:2. 정삼각형 (정삼각형)

:3. 정 사면체

:4. 정 오포체 ''또는'' 4-단순체

:5. 정 육포체 ''또는'' 5-단순체

:... ''n''-단순체는 ''n''+1개의 꼭짓점을 갖는다.

2. 4. 측도 다포체 (초입방체)

측도 다포체는 점, 선분, 정사각형, 정육면체 등을 고차원으로 일반화한 것이다. 예를 들어 다음과 같다.

0차원: 점
1차원: 선분
2차원: 정사각형
3차원: 정육면체
4차원: 초정육면체 (정팔포체) 또는 4-입방체
5차원: 오포체 (정십이포체) 또는 5-입방체

n-입방체는 2ⁿ개의 꼭짓점을 갖는다.

2-입방체에서 4-입방체까지의 그래프
--	--	초정육면체
정사각형	정육면체	초정육면체
정사각형	정육면체	--

2. 5. 정축체 (직교다면체)

정축체는 점, 선분, 정사각형, 정팔면체 등을 고차원으로 일반화한 것이다. ''n''-정축체는 ''2n''개의 꼭짓점을 갖는다.^[4] 점 ''O''에서 시작하여, ''O''에서 거리 ''r''만큼 떨어진, 2''r''만큼 떨어진 점 ''A''와 ''B'' 방향으로 선을 연장한다.^[4] ''AB''에 직교하는 ''O''를 중심으로 하는 길이 2''r''의 선 ''COD''를 그린다.^[4] 끝점을 연결하여 정사각형 ''ACBD''를 형성한다.^[4] ''AB''와 ''CD''에 직교하는 (즉, 위아래로) 같은 길이의 ''EOF'' 선을 그리고, 'O'를 중심으로 한다.^[4] 끝점을 정사각형에 연결하여 정팔면체를 형성한다.^[4] 고차원으로 갈수록 이 과정을 반복한다.^[4]

차원에 따른 정축체의 이름은 다음과 같다.

차원	이름	꼭짓점 개수
0	점	0
1	선분	2
2	정사각형	4
3	정팔면체	6
4	16-포털 (4-정축체)	8
5	정삼십이포체 (5-정축체)	10
n	n-정축체	2n

2-정축체에서 4-정축체의 그래프
정사각형
정팔면체
16-포털

정팔면체
--

2. 6. 콕서터 군에 의한 분류

정다포체는 등거리변환군(콕서터 군)에 의해 분류할 수 있다. 유한 콕서터 군은 콕서터에 의해 분류되었으며, 이는 정다포체의 분류를 의미한다.

A_n형식: 정규 단순체를 나타낸다.
B_n형식: 측도 다포체와 교차 다포체를 나타낸다.
예외적인 형식 I₂(n): 정다각형을 나타낸다 (n = 3, 4, ...).
예외적인 형식 H₃: 정십이면체와 정이십면체를 나타낸다.
예외적인 형식 H₄: 120-포체와 600-포체를 나타낸다.
예외적인 형식 F₄: 24-포체를 나타낸다.

정규 다포체와 선형 콕서-킨 다이어그램을 가진 콕서 군 사이에는 일대일 대응이 존재한다.

3. 역사

고대 그리스 수학자들은 정다각형과 정다면체에 대한 초기 수학적 기록을 남겼다. 피타고라스는 최소 3개의 정다면체를 알고 있었고, 테아이테토스는 5개 모두를 설명했다. 유클리드는 그의 저서 《유클리드 원론》에서 5개의 정다면체에 대한 수학적 설명을 제시했다.

정다면체
정사면체			정십이면체	정이십면체

19세기, 루드비히 슐레플리는 고차원 정다포체를 연구하여 4차원에 6개의 4차원 정볼록 다포체가 있음을 밝혔다. 슐레플리는 이 도형들을 "폴리스켐"이라 불렀고, 라인홀트 호페가 "다포체"라는 용어를 도입했다. 슐레플리가 발견한 6개의 4차원 정다포체 중 5개는 플라톤 다면체와 유사하다. 4-단순체는 사면체, 초입방체(테서랙트)는 정육면체, 4-직교체(16-포체)는 팔면체, 120-포체는 십이면체, 600-포체는 정이십면체와 유사하다. 나머지 하나인 24-포체는 초입방체와 16-포체 사이의 과도기적 형태로 볼 수 있다.

5차원 이상에서는 정단순체, 측정 다포체, 교차 다포체의 세 가지 정다포체만 존재한다.

아서 케일리와 루드비히 슐레플리 같은 수학자들은 테서랙트와 24-포체 같은 4차원 이상의 정다포체 이론을 개발했다.^[1]

20세기에는 정다포체에 대한 정의가 확장되었다. 정다포체는 깃발에 대한 대칭 그룹이 추이적인 다포체로 정의된다. 또한, 고전 정다포체의 대칭 군은 콕서터 군으로 일반화되었고, 체스판의 대칭 군과 같은 정규 테셀레이션의 대칭 군도 포함하게 되었다.

3. 1. 별 모양 정다포체

별 모양 정다포체는 자기 교차를 허용하는 정다포체이다. 요하네스 케플러는 1619년에 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체를 연구하여 이 두 다면체가 정규적이라는 것을 깨달았다. 루이 푸앵소는 1809년에 큰 십이면체와 큰 이십면체를 발견했고, 오귀스탱 코시는 1812년에 목록이 완성되었음을 증명했다. 이러한 다면체를 통칭하여 케플러-푸앵소 다면체라고 한다.

케플러-푸앵소 다면체
작은 별모양 십이면체	큰 별모양 십이면체	큰 십이면체	큰 이십면체

3. 2. 무한 다포체 (아페이로토프)

20세기 초, 코세터(Coxeter)와 페트리(Petrie)는 세 개의 무한 구조 {4, 6}, {6, 4}, {6, 6}을 발견했다. 이들은 모든 꼭짓점, 모서리, 면이 동일하고 모든 각도가 같으며, 자유 모서리가 없다는 정규 다면체의 정의를 만족하는 것처럼 보여 정규 왜 다면체라고 불렀다. 오늘날에는 무한 다면체 또는 아페이로헤드라(apeirohedra)라고 불린다. 평면의 정규 타일링인 {4, 4}, {3, 6}, {6, 3} 역시 무한 다면체로 간주될 수 있다.

1960년대에 브란코 그룬바움(Branko Grünbaum)은 기하학 커뮤니티에 ''폴리스트로마''라고 부르는 보다 추상적인 유형의 정규 다포체를 고려할 것을 촉구했다. 그는 폴리스트로마 이론을 개발하여, 무한히 많은 면을 가진 정규 다포체인 정규 아페이로토프라고 부르는 새로운 객체의 예시를 보여주었다. 왜 아페이로곤의 간단한 예는 지그재그인데, 이는 모든 모서리의 길이가 같고, 모든 각도가 같으며, 그림에 느슨한 끝이 없다는(영원히 도달할 수 없기 때문에) 정규 다각형의 정의를 만족하는 것처럼 보인다. 그 이후로 다른 정규 아페이로곤과 더 높은 아페이로토프가 계속 발견되었다.^[1]

(n-1)차원의 공간 채움을 n차원의 정다포체로 간주할 수도 있다. 이들은 무한의 세포를 갖는다. 3차원에는 특수한 무한 면의 정다포체로서, 꼬인 정다면체가 있는데, 어떤 공간 채움으로부터 몇 개의 면을 제거한 듯한 모양을 하고 있으며, 꼭짓점에서는 면이 지그재그로 연결되어 있다. 3종류가 있다. 그 외의 차원에 꼬인 정다포체가 존재하는지는 알려져 있지 않다.^[2]

3. 3. 복소 다포체

복소수는 실수 부분과 -1의 제곱근의 배수인 허수 부분으로 이루어져 있다. 복소 힐베르트 공간은 x, y, z 등의 좌표를 복소수로 가지는데, 이는 차원의 수를 효과적으로 두 배로 늘리는 것이다. 이러한 유니타리 공간에서 구성된 다포체를 '''복소 다포체'''라고 한다.^[2]

3. 4. 추상 다포체

추상 다포체는 면의 평면성 여부와 관계없이 점 또는 꼭짓점의 조합 집합으로 정의되는 다포체이다. 1994년까지 그룬바움(Grünbaum)은 다포체를 점이나 꼭짓점의 조합 집합으로 추상적으로 고려했으며, 면이 평면인지 여부는 고려하지 않았다. 그와 다른 사람들이 이러한 아이디어를 다듬으면서, 이러한 집합은 '''추상 다포체'''라고 불리게 되었다.

추상 다포체는 부분적으로 정렬된 집합(poset)으로 정의되며, 그 요소는 다포체의 면(꼭짓점, 모서리, 면 등)으로, ''포함 관계''에 따라 정렬된다. 이러한 집합에는 고전적인 정다포체(예: 플라톤 다면체)가 충족하는 속성과 유사한 특정 제한이 가해진다. 그러나 제한은 정규 테셀레이션, 반입방체, 11-세포, 57-세포 등과 같은 객체까지 정규 다포체의 예시로 할 수 있을 만큼 느슨하다.

기하학적 다포체는 추상 요소에서 기하학적 실현의 해당 면으로 일대일 매핑이 있는, 추상 다포체의 ''실현''으로 이해된다. 따라서 모든 기하학적 다포체는 적절한 추상 poset으로 설명될 수 있지만, 모든 추상 다포체가 적절한 기하학적 실현을 갖는 것은 아니다.

이 이론은 그 이후로 주로 맥멀린(McMullen)과 슐티(Schulte)에 의해 더 발전되었지만, 다른 연구자들도 기여했다.

4. 공간 채움 (테셀레이션)

(n-1)차원의 공간 채움을 n차원의 정다포체로 간주할 수도 있다. 3차원에서는 3개, 4차원에서는 1개, 5차원에서는 3개가 존재하며, 그 이상의 차원에서는 1종류가 존재한다. 이들은 무한의 세포를 갖는다. 3차원에는 특수한 무한 면의 정다포체인 꼬인 정다면체가 있는데, 어떤 공간 채움에서 몇 개의 면을 제거한 듯한 모양을 하고 있으며, 꼭짓점에서는 면이 지그재그로 연결되어 있다. 꼬인 정다면체는 3종류가 있으며, 그 외의 차원에 꼬인 정다포체가 존재하는지는 알려져 있지 않다.

쌍곡 공간상에도 공간 채움이 존재하며, 이것도 (n+1)차원의 정다포체의 일종이라고 할 수 있다. 3차원에서는 무한, 4차원에서는 13개, 5차원에서는 11개, 6차원에서는 5종이 각각 존재하며, 그 이상의 차원에는 존재하지 않는다.

5. 구성

정다각형은 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있다. 예를 들어, 정삼각형, 정사각형, 정오각형 등은 쉽게 작도할 수 있지만, 변의 개수가 7, 9, 11개인 정다각형은 작도가 불가능하다.^[3] 유클리드의 《원론》에는 5개의 플라톤 다면체 (정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)에 대한 작도법이 나와 있다.^[3]

정다면체는 전개도를 이용하여 구성할 수 있다. 예를 들어, 정이십면체의 전개도는 다음과 같다.

이 전개도를 판지나 금속판 등에 그려서 오리고 접으면 정이십면체를 만들 수 있다. 정육면체는 11개, 정십이면체는 90만 개가 넘는 전개도를 가진다.^[4]

고차원 정다포체는 4차원 입체경, 전개도, 투영, 단면 등의 방법을 사용하여 시각화하고 이해할 수 있다. 4차원 입체경은 3차원의 깊이를 수평 상대 변위로, 4차원의 깊이를 수직 상대 변위로 표현한다.^[1] 초입방체(테서랙트)의 전개도는 다음과 같다.

thumb의 전개도]]

테서랙트를 3차원 공간에 투영하면 다음과 같은 슐레겔 다이어그램을 얻을 수 있다.

thumb)]]

24-포체의 잘린 단면을 애니메이션으로 나타내면 다음과 같다.

right의 잘린 단면의 애니메이션]]

가상 현실 기술을 통해 고차원 정다포체를 탐험하는 것도 가능하다. 예를 들어, 일리노이 대학교 어배너-섐페인 (UIUC)에서는 정십이면체로 테셀레이션된 쌍곡 공간을 가상 현실로 체험할 수 있는 시스템을 갖추고 있다.

thumb, {5,3,4}, 쌍곡 공간의 3차원 공간으로 투영]]

6. 자연에서의 정다포체

각 정다면체는 자연 상태에서 다양한 형태로 나타난다.^[1]

참조

_[1] 서적 Hypergraphics: Visualizing Complex Relationships In Arts, Science, And Technololgy Taylor & Francis 2019
_[2] 문서 Coxeter (1974)
_[3] 웹사이트 Euclid's Elements http://www.dform.com[...]
_[4] 웹사이트 Some interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron are available http://www.progonos.[...]
_[5] 웹사이트 Instructions for building [[origami]] models may be found https://web.archive.[...]
_[6] 웹사이트 Some of these may be viewed at http://www.weimholt.[...]
_[7] 웹사이트 Other examples may be found on the web http://mathworld.wol[...]

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