4차원 다포체

3. 기하학적 특징

4차원 다포체는 닫힌 4차원 도형으로, 꼭짓점, 모서리, 면, 셀로 구성된다. 셀은 면의 3차원 아날로그이며, 다면체이다. 다면체의 각 모서리가 두 개의 면에 연결되는 것처럼, 4차원 다포체의 각 면은 정확히 두 개의 셀에 연결되어야 한다. 다른 다포체와 마찬가지로, 4차원 다포체의 요소는 4차원 다포체이기도 한 둘 이상의 집합으로 세분될 수 없다.

볼록한 정다포체는 플라톤 다면체의 4차원 아날로그이다. 가장 친숙한 4-다포체는 테서랙트(초입방체)이며, 이는 입방체의 4차원 아날로그이다.

볼록한 정다포체는 동일한 반지름에 대한 4차원 내용물(초부피)의 척도로 크기별로 정렬될 수 있다. 수열에서 각 큰 다포체는 이전 다포체보다 더 "둥글며", 동일한 반지름 내에 더 많은 내용물을 포함한다. 정오포체(4-단순체)는 가장 작은 경우의 한계이고, 정백이십포체는 가장 큰 경우이다. 복잡성은 꼭짓점의 수를 비교하여 측정할 수 있는데, 동일한 정렬을 따른다.

3. 1. 볼록 정다포체

볼록한 정다포체는 플라톤 다면체의 4차원 아날로그이다. 가장 친숙한 4-다포체는 테서랙트 또는 초입방체이며, 이는 입방체의 4차원 아날로그이다.

볼록한 정다포체는 동일한 반지름에 대한 4차원 내용물(초부피)의 척도로 크기별로 정렬될 수 있다. 수열에서 각 큰 다포체는 이전 다포체보다 더 "둥글며", 동일한 반지름 내에 더 많은 내용물을 포함한다. 4-단순체(정오포체)는 가장 작은 경우의 한계이고, 정백이십포체는 가장 큰 경우이다. 복잡성(예: 구성 행렬 또는 단순히 꼭짓점의 수를 비교하여 측정)은 동일한 정렬을 따른다.

4차원에서의 정다포체는 3차원 공간에서 말하는 정다면체에 해당하는 다포체를 말한다. 정의도 정다면체와 비슷하며 개요는 다음과 같다.

• 모든 포가 한 종류의 정다면체로 이루어져 있다.
• 하나의 꼭짓점에 모이는 정다면체의 수가 같다(꼭짓점은 합동이다).

쌍대 관계는 다음과 같다.

• 정팔포체 ⇔ 정십육포체
• 정백이십포체 ⇔ 정육백포체

3. 2. 별모양 정다포체 (슐레플리-헤스 다포체)

널리 사용되는 한국어 명칭은 현재 없다.

3차원의 별모양 정다면체는 4 종류, 4차원의 별모양 정다포체는 10 종류가 있지만, 5차원 이상의 공간에는 별모양 정다포체가 존재하지 않는다.

4. 위상적 특징

3차원 구와 위상동형인 4차원 다포체의 오일러 지표는 0이다. 즉, 꼭짓점(V)-모서리(E)+면(F)-세포(C) = 0 이다.

볼록 4차원 정다포체의 오일러 지표는 다음과 같다.

5. 분류

볼록한 정다포체는 플라톤 다면체의 4차원 형태이다. 가장 익숙한 4차원 다포체는 테서랙트 또는 초입방체이며, 이는 정육면체의 4차원 형태이다.

볼록한 정다포체는 동일한 반지름에 대한 4차원 내용물(초부피)의 척도로 크기별로 정렬될 수 있다. 수열에서 각 큰 다포체는 이전 다포체보다 더 "둥글며", 동일한 반지름 내에 더 많은 내용물을 포함한다.^[1] 5-세포는 가장 작은 경우이고, 120-세포는 가장 큰 경우이다. 복잡성(예: 구성 행렬 또는 단순히 꼭짓점의 수를 비교)은 동일한 정렬을 따른다.

4차원 다포체는 "볼록성" 및 "대칭"과 같은 속성에 따라 분류될 수 있다.

• 4차원 다포체가 ''볼록''하다는 것은 경계(세포, 면, 모서리 포함)가 자기 교차하지 않고, 4차원 다포체의 임의의 두 점을 잇는 선분이 4차원 다포체 또는 그 내부에 포함되는 것을 의미한다. 그렇지 않으면 ''비볼록''이다. 자기 교차하는 4차원 다포체는 비볼록 별 다각형과 케플러-푸앵소 다면체의 별 모양과 유사하여 별 4차원 다포체로도 알려져 있다.
• 4차원 다포체는 깃발에 대해 추이적이면 ''정규''이다. 즉, 모든 셀이 합동인 정다면체이고, 꼭짓점 도형도 합동이며 다른 종류의 정다면체이다.
• 볼록 4차원 다포체는 모든 꼭짓점이 동일하고(꼭짓점-추이) 셀이 정다면체인 대칭군을 가지면 ''준정규''이다. 셀은 동일한 종류의 면을 갖는다는 조건으로 두 개 이상일 수 있다. 토롤드 고셋이 1900년에 식별한 경우는 깎은 오포체, 깎은 육백포체, 엇각 24포체의 3가지뿐이다.
• 4차원 다포체는 모든 꼭짓점이 동일하고, 셀이 균일 다면체인 대칭군을 가지면 ''균일''이다. 균일 4차원 다포체의 면은 정다각형이어야 한다.
• 4차원 다포체는 꼭짓점-추이적이고 모든 모서리 길이가 같으면 ''계단형''이다. 이것은 정규 면을 가진 볼록 존슨의 다면체와 같이 균일하지 않은 셀을 허용한다.
• 볼록인 정규 4차원 다포체는 볼록 정규 4차원 다포체라고 한다.
• 4차원 다포체가 두 개 이상의 저차원 다포체의 데카르트 곱이면 ''각기둥''이다. 각기둥 4차원 다포체는 인수가 균일하면 균일하다. 초입방체는 각기둥(두 개의 정사각형 또는 정육면체와 선분의 곱)이지만, 인수에서 상속된 대칭 외에 다른 대칭을 가지므로 별도로 간주된다.
• 3차원 유클리드 공간을 반복적인 다면체 셀의 격자로 나누는 것은 3차원 공간의 ''타일링 또는 벌집''이다. 이러한 타일링은 무한하며 "4D" 부피를 제한하지 않으며 무한 4차원 다포체의 예이다. 3차원 공간의 ''균일 타일링''은 꼭짓점이 합동이고 공간군과 관련되어 있고 셀이 균일 다면체인 것이다.

• '''볼록 균일 4-다포체''' (64개, 두 개의 무한 부류 포함)
• 47개의 비각기둥 볼록 균일 4-다포체 포함:
• 6개의 볼록 정규 4-다포체
• 각기둥 균일 4-다포체:
• {} × {p,q} : 18개의 다면체 초각기둥 (입방 초각기둥, 정규 초입방체 포함)
• 반각기둥 위에 구성된 각기둥 (무한 부류)
• {p} × {q} : 이중각기둥 (무한 부류)
• '''비볼록 균일 4-다포체''' (10 + 미상)
• 10개의 (정규) 슐래플리-헤스 다포체
• 비볼록 균일 다면체 위에 구성된 57개의 초각기둥
• 비볼록 균일 4-다포체의 총 개수 미상: 노먼 존슨과 다른 협력자들은 별 모양 꼭지점과 Stella4D 소프트웨어를 사용하여 구성된 2191개의 형태(볼록 및 별 모양, 무한 부류 제외)를 확인했다.^[2]

• 다면체 피라미드
• 다면체 쌍각뿔
• 다면체 각기둥

• 28개의 볼록 균일 벌집: 균일 볼록 다면체 테셀레이션, 다음 포함:
• 1개의 정규 테셀레이션, 입방 벌집: {4,3,4}

• 76개의 비토프식 쌍곡 공간의 볼록 균일 벌집, 다음 포함:
• 쌍곡 3차원의 4개의 정규 테셀레이션: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

• 41개의 고유한 쌍대 볼록 균일 4-다포체
• 17개의 고유한 쌍대 볼록 균일 다면체 각기둥
• 무한 부류의 쌍대 볼록 균일 이중각기둥 (불규칙 사면체 세포)
• 27개의 고유한 볼록 쌍대 균일 벌집, 다음 포함:
• 마름모십이면체 벌집
• 디스페노이드 사면체 벌집

• Weaire–Phelan 구조 불규칙 세포를 가진 주기적 공간 채움 벌집

• 11-포체
• 57-포체

• 모든 포가 여러 종류의 정다면체 또는 반정다면체로 이루어져 있다.
• 모든 꼭짓점이 합동이다.

널리 사용되는 한국어 명칭은 현재 없다.

3차원의 별모양 정다면체는 4 종류, 4차원의 별모양 정다포체는 10 종류가 있지만, 5차원 이상의 공간에는 별모양 정다포체가 존재하지 않는다.

'''일양 다포체'''는 3차원에서 말하는 일양 다면체에 해당하는 다포체이다. 4차원 일양 다포체는 현재 1849 종류가 확인되어 있다.

'''준정다포체'''는 3차원에서 준정다면체에 해당하는 다포체로, 일양 다포체 중 변의 형태가 합동인 입체를 말한다. 4차원 준정다포체는 볼록한 것이 5종류가 있다.

3차원 도형을 4차원 방향으로 평행 이동하면, 그대로 각기둥의 4차원 버전이 얻어진다. 또한 4차원 이상에서 나타나는 도형으로 쌍각기둥(duoprism)이 있다. 이것은 2종류의 각기둥이 4차원 공간에서 얽혀 있는 듯한 모양을 하고 있으며, ''n''각기둥 ''m''개와 ''m''각기둥 ''n''개로 이루어진 쌍각기둥을 (''n'' - ''m'')각기둥이라고 부른다.

6. 시각화

4차원 다포체는 추가적인 차원 때문에 3차원 공간에서 볼 수 없다. 이를 시각화하기 위해 여러 기술이 사용된다.

; 직교 투영

직교 투영은 4-다포체의 다양한 대칭 방향을 보여주는 데 사용될 수 있다. 꼭지점-모서리 그래프로 2차원에 그릴 수 있으며, 고체 면을 가시적인 사영 외피로 하여 3차원에 표시할 수 있다.

; 원근 투영

3차원 도형을 평면에 투영할 수 있는 것처럼, 4차원 도형도 3차원 공간 또는 심지어 평면에 투영할 수 있다. 일반적인 투영 중 하나는 슐레겔 다이어그램인데, 이는 3-구 표면의 점을 3차원으로 스테레오그래픽 투영하여 3차원 공간에 그려진 직선 모서리, 면, 세포로 연결한다.

; 단면

다면체를 잘라낸 단면이 절단된 표면을 보여주는 것처럼, 4-다포체를 잘라낸 단면은 3차원의 절단된 "초표면"을 보여준다. 이러한 단면의 연속은 전체적인 모양을 이해하는 데 사용될 수 있다. 추가 차원을 시간과 동일시하여 이러한 단면의 부드러운 애니메이션을 생성할 수 있다.

; 전개도

4-다포체의 전개도는 면으로 연결되고 모두 동일한 3차원 공간을 차지하는 다면체 셀로 구성된다. 이는 다면체의 전개도의 다각형 면이 모서리로 연결되어 모두 동일한 평면을 차지하는 것과 같다.

7. 공식

3차원 구와 위상동형인 4차원 다포체의 오일러 지표는 0이다. χ=V-E+F-C=0.

볼록 4차원 정다포체를 살펴보면 다음과 같다.

오일러의 다면체 정리를 확장한 것으로 Ludwig Schläfli|슈뢰플리^영어의 다포체 공식이 성립한다.^[11]

:$V-E+F-C=0$

여기서 V는 꼭짓점의 수, E는 변의 수, F는 면의 수, C는 세포의 수이다. 우변이 0이 되는 것은 다면체 정리와는 달리, 2차원 공간의 다각형에서 항상

:$V-E=0$

이 되는 것과 마찬가지이다. 홀수 차원에서 2가 되는 것은 공집합과 전체 집합 (모두 전 차원에서 공통적으로 1개)을 고려하지 않기 때문이며, 이를 포함하여 교대 합을 취하면 전 차원에서 공통적으로 0이 된다.

참조

_[1] 서적 Geometries and Transformations
_[2] 서적 Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance https://books.google[...] Springer
_[3] 서적 Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts https://books.google[...] Springer
_[4] 서적 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy Princeton
_[5] 웹사이트 Uniform Polychora https://www.mit.edu/[...] Wheaton College 2005
_[6] 서적 Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance https://books.google[...] Springer
_[7] 서적 Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts https://books.google[...] Springer
_[8] 인용
_[9] 서적 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy Princeton
_[10] 웹사이트 Polyhedral formula PolyhedralFormula
_[11] 서적 4次元図形百科 丸善出版