데데킨트 정역

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다. 모든 데데킨트 정역은 뇌터 가환환이다.

:가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

크룰-아키즈키 정리에 따르면, $R$가 데데킨트 정역이고, $\backslash operatorname\{Frac\}(R)$가 그 분수체이며, $L/\backslash operatorname\{Frak\}(R)$가 그 유한 차원 확대일 때, $R$의 $L$ 안에서의 정수적 폐포는 데데킨트 정역이다.^[8]

아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 데데킨트 정역 $R$에 대해, 다음 조건들은 서로 동치이다.

• $R$는 유일 인수 분해 정역이다.
• $R$는 주 아이디얼 정역이다.
• $R$의 아이디얼 유군이 자명군이다.
• $R$의 유수가 1이다.

4. 예

• 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이다.
• * 정수환 $\backslash mathbb\; Z$나, 체 $K$에 대한 1변수 다항식환 $K[x]$는 주 아이디얼 정역이므로 데데킨트 정역이다.
• * 모든 체는 데데킨트 정역이다. 체에서는 0이 아닌 진 아이디얼이 없으므로, 이 경우는 자명하다.
• 모든 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이다.
• * 예를 들어, 허수 이차 수체의 정수환 $\backslash mathbb\; Z[\backslash sqrt\{-5\}]$은 데데킨트 정역이지만, $6=2\backslash cdot\; 3=(1+\backslash sqrt\{-5\})(1-\backslash sqrt\{-5\})$이므로 유일 인수 분해 정역이 아니다.
• 단항 아이디얼 정역은 데데킨트 환이다.
• ''K''를 유리수체 '''Q'''의 유한 차 확대체라고 하면, ''K''의 정수환 ''O_K'' (''K''에서의 '''Z'''의 정폐포)는 데데킨트 환이다.

5. 역사

19세기, 고차 다항식 방정식의 정수 해를 구하기 위해 대수적 수의 환을 사용하는 방법이 일반화되었다. 에른스트 쿠머는 1844년에 특정 원분체에서 산술의 기본정리가 성립하지 않음을 발견하였다.^[9] 1847년, 쿠머는 대수적 정수환에서 오늘날 "아이디얼"이라 부르는 대상에 대해서는 유일 인수 분해가 성립함을 보였다.^[9]

정수환 $\backslash mathbb\; Z$는 주 아이디얼 정역이므로 자연수 $n$과 주 아이디얼 $(n)$은 구분되지 않지만, 일반적인 대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_K$에서는 주 아이디얼이 아닌 아이디얼이 존재한다. 따라서 기존의 수(=주 아이디얼)에 모든 아이디얼을 추가하면 유일 소인수 분해가 성립한다. 쿠머는 이러한 대상을 수의 일반화로 보았고, Idealzahl|이데알찰^de이라 불렀다. 이는 ideal|이데알^de(이상적인) + Zahl|찰^de(수)의 합성어이다. 분수 아이디얼 개념도 여기서 유래했다.

리하르트 데데킨트는 쿠머의 "이데알찰"이 대수적 정수환의 부분 집합으로 표현될 수 있음을 보였다.^[10] 데데킨트는 "찰"(수)을 제거하고 Ideal|이데알^de이라 불렀다.

대수적 정수환이 일반적인 (가환)환으로 확장되면서, 모든 정역에서 아이디얼의 유일 소인수 분해가 성립하지 않을 수 있다는 것이 밝혀졌다. 대수적 정수환에서 아이디얼 유일 소인수 분해가 성립하는 정역은 데데킨트 정역이라 불리게 되었다.

가우스는 허수 이차체의 정수환이 PID인 경우가 유한함을 보였고, 더 이상의 값은 없을 것이라고 추측했다. 이는 100년 후 쿠르트 헤그너, 앨런 베이커, 해럴드 스타크에 의해 증명되었다.

6. 아이디얼 유군

''R''을 분수체 ''K''를 가진 정역이라고 하자. 분수 아이디얼은 0이 아닌 ''K''의 ''R''-부분 가군 ''I''이며, $xI\; \backslash subset\; R$을 만족하는 0이 아닌 ''x''가 ''K''에 존재한다.

두 분수 아이디얼 ''I''와 ''J''가 주어졌을 때, 곱 ''IJ''는 모든 유한 합 $\backslash sum\_n\; i\_n\; j\_n,\; \backslash ,\; i\_n\; \backslash in\; I,\; \backslash ,\; j\_n\; \backslash in\; J$의 집합으로 정의된다. 즉, 곱 ''IJ''는 다시 분수 아이디얼이다. 위 곱으로 구성된 모든 분수 아이디얼의 집합 Frac(''R'')는 가환 반군이며 실제로 모노이드이다. 항등원은 분수 아이디얼 ''R''이다.

모든 분수 아이디얼 ''I''에 대해 분수 아이디얼

:$I^*\; =\; (R:I)\; =\; \backslash \{x\; \backslash in\; K\; \backslash mid\; xI\; \backslash subset\; R\backslash \}$

을 정의할 수 있다.

그러면 당연히 $I^*I\; \backslash subset\; R$이 성립한다. 실제로 이것이 등식이 될 필요충분조건은 Frac(''R'') 모노이드의 원소로서 ''I''가 가역원인 것이다. 다시 말해, ''I''가 역원을 가지면 역원은 $I^*$이어야 한다.

'''주 분수 아이디얼'''은 ''K''의 0이 아닌 어떤 ''x''에 대해 $xR$의 형태를 가진다. 각 주 분수 아이디얼은 가역원이며, $xR$의 역원은 단순히 $\backslash frac\{1\}\{x\}R$이다. 우리는 주 분수 아이디얼의 부분군을 Prin(''R'')로 나타낸다.

정역 ''R''이 주 아이디얼 정역(PID)가 될 필요충분조건은 모든 분수 아이디얼이 주 아이디얼인 것이다. 이 경우에 Frac(''R'') = Prin(''R'') = $K^\{\backslash times\}/R^\{\backslash times\}$이며, 두 개의 주 분수 아이디얼 $xR$과 $yR$은 $xy^\{-1\}$이 ''R''의 단위원이 될 때에만 같다.

일반적인 정역 ''R''에 대해, 모든 분수 아이디얼의 모노이드 Frac(''R'')를 주 분수 아이디얼의 부분 모노이드 Prin(''R'')로 나눈 몫을 취하는 것은 의미가 있다. 그러나 이 몫 자체는 일반적으로 모노이드일 뿐이다. 실제로 Frac(''R'')/Prin(''R'')에서 분수 아이디얼 ''I''의 클래스가 가역원이 될 필요충분조건은 ''I'' 자체가 가역원인 것을 쉽게 알 수 있다.

이제 우리는 (DD3)을 이해할 수 있다. 데데킨트 정역(그리고 데데킨트 정역에서만)에서 모든 분수 아이디얼은 가역원이다. 따라서 이들은 Frac(''R'')/Prin(''R'')이 군을 형성하는 정확한 정역 클래스이며, 이는 ''R''의 아이디얼 유군 Cl(''R'')이다. 이 군은 ''R''이 PID일 때에만 자명하므로 일반적인 데데킨트 정역이 PID가 되는 것에 대한 장애물을 정량화하는 것으로 볼 수 있다.

임의의 정역에 대해 피카르 군 Pic(''R'')을 가역 분수 아이디얼 Inv(''R'')을 주 분수 아이디얼의 부분군으로 나눈 군으로 정의할 수 있다. 데데킨트 정역의 경우 이는 물론 아이디얼 유군과 동일하다. 그러나, 뇌터 정역과 크룰 정역을 포함하는 더 일반적인 클래스의 정역에서 아이디얼 유군은 다른 방식으로 구성되며, 다음과 같은 표준 준동형 사상이 있다.

:Pic(''R'') → Cl(''R'')

하지만 이것은 일반적으로 단사 함수도 전사 함수도 아니다. 이는 특이 대수 곡선에서 카르티에 제수와 베유 제수 사이의 구별과 유사한 아핀 유사이다.

L. 클라본(Claborn 1966)의 주목할 만한 정리는 임의의 아벨 군 ''G''에 대해 아이디얼 유군이 ''G''와 동형인 데데킨트 정역 ''R''이 존재한다는 것이다. 나중에 C.R. 리덤-그린은 이러한 ''R''이 2차 체 확장에서 PID의 정수적 폐포로 구성될 수 있음을 보였다.^[1] 1976년에 M. 로젠은 임의의 가산 아벨 군을 타원 곡선의 유리 함수체의 부분환인 데데킨트 정역의 유군으로 실현하는 방법을 보여주었고, 그러한 "타원형" 구성이 일반 아벨 군에 대해 가능해야 한다고 추측했다.^[2] 로젠의 추측은 2008년에 P.L. 클락에 의해 증명되었다.^[3]

대조적으로, 대수적 수론의 기본 정리 중 하나는 수체의 정수환의 유군이 유한하다는 것이다. 그 크기를 유수라고 하며, 이는 가우스부터 현재까지 많은 선구적인 수학자들의 노고에도 불구하고 중요하고 다소 신비로운 불변량이다.

7. 유한 생성 가군

주 이상 정역(PID) 위의 유한 생성 가군에 대한 구조 정리와 유사하게, 데데킨트 정역 위의 유한 생성 가군에 대한 이론이 존재한다.

PID $R$ 위의 유한 생성 가군 $M$에서, 꼬임 부분 가군 $T$는 $R$의 0이 아닌 어떤 $r$에 대해 $rm\; =\; 0$인 $M$의 원소 $m$의 집합이다. 이 경우 다음이 성립한다.

(M1) $T$는 꼬임 가군들의 직합으로 분해되며, 각 가군은 $R$의 0이 아닌 이상 $I$에 대해 $R/I$ 형태이다. 중국인의 나머지 정리에 의해, 각 $R/I$는 소 아이디얼의 거듭제곱인 $R/P^i$ 형태의 부분 가군들의 직합으로 분해된다. 이 분해는 유일하지 않지만, 두 개의 분해

:$T\; \backslash cong\; R/P\_1^\{a\_1\}\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; \backslash oplus\; R/P\_r^\{a\_r\}\; \backslash cong\; R/Q\_1^\{b\_1\}\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; \backslash oplus\; R/Q\_s^\{b\_s\}$

는 인자의 순서만 다르다.

(M2) 꼬임 부분 가군은 직합 인자이다. 즉, $M\; =\; T\; \backslash oplus\; P$인 상보적인 부분 가군 $P$가 존재한다.

(M3PID) $P$는 유일하게 결정된 음이 아닌 정수 $n$에 대해 $R^n$와 동형이다. 특히, $P$는 유한 생성 자유 가군이다.

$M$을 임의의 데데킨트 정역 $R$ 위의 유한 생성 가군이라고 하면, (M1)과 (M2)는 그대로 유지된다. 그러나 (M3PID)에서 PID 위의 유한 생성 비꼬임 가군 $P$가 자유 가군이라는 결론은 $R$이 PID가 아닌 경우에는 거짓이다. 이는 유수군 $Cl(R)$의 비자명성 때문인데, 임의의 데데킨트 정역 위의 비꼬임 유한 생성 가군에서 추가적인 구조는 유수군에 의해 정확히 제어된다. 임의의 데데킨트 정역 위에서는 다음이 성립한다.

(M3DD) $P$는 랭크 1 사영 가군의 직합과 동형이다: $P\; \backslash cong\; I\_1\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; \backslash oplus\; I\_r$. 또한, 랭크 1 사영 가군 $I\_1,\backslash ldots,I\_r,J\_1,\backslash ldots,J\_s$에 대해,

:$I\_1\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; \backslash oplus\; I\_r\; \backslash cong\; J\_1\; \backslash oplus\; \backslash cdots\; \backslash oplus\; J\_s$

가 성립하는 것은 다음 조건이 만족될 때 뿐이다.

:$r\; =\; s$

그리고

:$I\_1\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; I\_r\; \backslash cong\; J\_1\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; J\_s.\backslash ,$

랭크 1 사영 가군은 분수 아이디얼로 식별될 수 있으며, 마지막 조건은

:$[I\_1\; \backslash cdots\; I\_r]\; =\; [J\_1\; \backslash cdots\; J\_s]\; \backslash in\; Cl(R).$

로 다시 표현할 수 있다.

따라서 랭크 $n\; >\; 0$의 유한 생성 비꼬임 가군은 $R^\{n-1\}\; \backslash oplus\; I$로 표현될 수 있으며, 여기서 $I$는 랭크 1 사영 가군이다. $R$ 위의 $P$에 대한 '''슈타이니츠 클래스'''는 $Cl(R)$에서 $I$의 클래스 $[I]$이며, 이는 유일하게 결정된다.^[7]

이러한 결과는 1912년 에른스트 슈타이니츠에 의해 확립되었다.

데데킨트 정역 위의 두 사영 가군이 그로텐디크 군에서 동일한 클래스를 가지면, 추상적으로 동형이다.

참조

_[1] 기타
_[2] 기타
_[3] 기타
_[4] 문서 Krull–Akizuki theorem
_[5] 기타
_[6] 기타
_[7] 기타
_[8] 서적 Algebraic number theory Springer 1999
_[9] 논문 Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren http://resolver.sub.[...] 1847
_[10] 서적 Sur la théorie des nombres entiers algébrique Gauthier-Villars 1877