교환법칙

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1. 개요
2. 정의
3. 예
- 3.1. 가환 연산
- 3.2. 비가환 연산
4. 역사와 어원
5. 관련 성질
6. 양자역학에서의 비가환 연산자
참조

1. 개요

교환법칙은 수학에서 이항 연산 *가 집합 S의 임의의 두 원소 a, b에 대해 a * b = b * a를 만족할 때 해당 연산이 성립하는 것을 의미한다. 이러한 연산을 가환이라고도 하며, 교환법칙을 만족하지 않는 연산은 비가환이라고 한다. 덧셈과 곱셈은 교환법칙을 만족하는 대표적인 예시이며, 뺄셈, 나눗셈, 행렬 곱셈 등은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 교환법칙은 결합법칙, 분배법칙, 대칭성과 밀접한 관련이 있으며, 양자역학에서는 위치와 운동량과 같이 비가환 연산자를 통해 불확정성 원리를 설명하는 데 사용된다.

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교환법칙
개요
종류	이항 연산의 성질
설명	연산의 순서를 바꾸어도 결과가 같은 성질
예시
덧셈	3 + 4 = 4 + 3
곱셈	2 × 5 = 5 × 2
뺄셈 (반례)	3 − 5 ≠ 5 − 3

2. 정의

수학에서, 집합 ''S''에 이항연산 * 이 정의되어 있을 때, ''S''의 임의의 두 원소 ''a'', ''b''에 대해

:''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''

가 성립하면, 이 연산은 '''교환법칙'''(交換法則, commutative property)을 만족한다고 한다. 이때 연산은 '''가환'''(可換, commutative)이라고도 한다. 교환법칙을 만족하지 않는 연산은 '''비가환'''(非可換, non-commutative)이라고 한다.

이항 연산 $*$ 이 집합 ''S''에 대해 다음을 만족하면 ''교환적''이라고 한다.

$x * y = y * x\qquad\mbox{모든 }x,y\in S에 대해.$

다시 말해, 모든 두 원소가 서로 교환 가능하면 연산은 교환적이다. 위의 속성을 만족하지 않는 연산은 ''비교환적''이라고 한다.

$x$ 가 $y$ 와 ''교환한다'' 또는 $x$ 와 $y$ 가 $*$ 연산 하에서 ''교환한다''라고 말하며, 이는 다음을 만족한다.

$x * y = y * x.$

즉, 연산이 (엄격하게) 비교환적이라도 특정 원소 쌍은 교환할 수 있다.

군론과 집합론에서, 많은 대수 구조는 특정 피연산자가 교환 법칙을 만족할 때 교환적이라고 불린다. 수학적 분석 및 선형대수학과 같은 수학의 상위 분야에서, 잘 알려진 연산(예: 실수 및 복소수에 대한 덧셈 및 곱셈)의 교환성은 증명에서 자주 사용되거나 (암묵적으로) 가정된다.

다음은 집합 위에 이항 연산 가 정의되어 있는 것으로 한다.

의 두 원소 가 연산 하에서 (서로) '''교환한다''' 또는 '''가환이다'''라고 하는 것은 $x * y = y * x$ 를 만족할 때를 말한다.
의 임의의 두 원소 가 연산 하에서 교환할 때, 즉 $x * y = y * x\qquad(\forall x,y\in E)$ 가 성립할 때, 연산 는 '''교환 법칙'''을 만족하거나, '''가환이다'''라고 한다. 가환하지 않은 연산은 '''비가환''' (''non-commutative'')이라고 한다.

더 일반적으로,

의 두 부분 집합 가 $x * y = y * x\qquad(\forall x\in S, y\in T)$ 를 만족할 때, 는 '''원소별 가환''' (''element-wise commute'')이라고 한다.
의 두 부분 집합 가 $x * y = y' * x'\land y * x = x'' * y''\qquad(\forall x\in S, y\in T;\;\exists x',x''\in S, y',y''\in T)$ 를 만족할 때, 는 '''집합으로 가환''' (''commute as set'')이라고 한다.

또는,

binary function|이변수 함수^영어 는, 어느 두 원소 도 교환할 때, 즉 $f(x, y) = f(y, x)\qquad(\forall x,y\in A)$ 가 성립할 때, '''가환''' 또는 symmetry function|대칭 함수^영어라고 한다.
이항 관계 는, 어느 두 원소 도 교환할 때, 즉 $x\mathrel{R}y = y\mathrel{R}x \qquad(\forall x\in A,y\in B)$ 가 성립할 때, 교환 가능 또는 '''대칭'''이라고 한다.

3. 예

자연수에서의 덧셈이나 곱셈은 교환법칙을 만족한다. 예를 들면 다음과 같다.

4 + 5 = 5 + 4
2 × 3 = 3 × 2

뺄셈, 나눗셈, 거듭제곱은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않는다. 예를 들면 다음과 같다.

4 − 5 ≠ 5 − 4
6 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 6
2³ ≠ 3²

교환법칙을 만족하는 연산에는 정수, 유리수, 실수, 복소수에서의 덧셈과 곱셈, 행렬과 벡터의 덧셈, 집합의 교집합과 합집합, 역행렬의 곱셈, 진릿값의 논리합, 논리곱, 배타적 논리합 등이 있다.

교환법칙을 만족하지 않는 연산에는 행렬의 곱셈, 3차원 벡터의 벡터곱, 합성함수, 사상의 합성, 사원수의 곱셈 등이 있다.

3. 1. 가환 연산

자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수에서의 덧셈과 곱셈은 교환법칙을 만족한다. 예를 들어 다음과 같다.

4 + 5 = 5 + 4
2 × 3 = 3 × 2

행렬과 벡터의 덧셈, 집합의 교집합과 합집합, 역행렬의 곱셈, 진릿값의 논리합, 논리곱, 배타적 논리합 등도 교환법칙이 성립하는 연산이다.

덧셈은 모든 벡터 공간과 모든 대수에서 교환 법칙이 성립한다. 합집합과 교집합은 집합에 대한 교환 연산이며, "논리곱"과 "논리합"은 교환 논리 연산이다.

군론이나 집합론에서 특정 연산이 교환 법칙을 만족할 때 "가환"이라고 불린다. 예를 들어, 아벨 군(가환군)은 군 연산이 가환적인 군을 의미한다.

3. 2. 비가환 연산

행렬의 곱셈, 3차원 벡터의 벡터곱, 합성함수, 사상의 합성, 사원수의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.^[4] 나눗셈은

1 \div 2 \neq 2 \div 1

이므로 교환 법칙이 성립하지 않는다.^[4] 뺄셈 역시

0 - 1 \neq 1 - 0

이므로 교환 법칙이 성립하지 않지만,

0 - 1 = - (1 - 0)

이므로 반교환성으로 분류된다.^[4] 거듭제곱은

2^3\neq3^2

이기 때문에 교환 법칙이 성립하지 않는다.^[4]

일부 진리 함수는 피연산자의 순서를 변경할 때 함수의 진리표가 달라지기 때문에 비가환적이다. 예를 들어, (A ⇒ B) = (¬A ∨ B)와 (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B)에 대한 진리표는 다음과 같다.

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

실수에서 실수로의 선형 함수의 함수 합성은 거의 항상 비가환적이다. 예를 들어, $f(x)=2x+1$ 및 $g(x)=3x+7$ 이라고 하면, $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x+7)+1 = 6x+15$ 이고, $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x+1)+7 = 6x+10$ 이다. 이는 선형 사상 및 아핀 변환에서 벡터 공간 자체로의 경우에도 일반적으로 적용된다.

정사각 행렬의 행렬 곱셈은 거의 항상 교환 법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같다.

$\begin{bmatrix}0 & 2 \\0 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 1\end{bmatrix} \neq\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 1\end{bmatrix}$

3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱 (또는 외적)은 반교환 법칙을 따른다. 즉, ''b'' × ''a'' = −(''a'' × ''b'')이다.

4. 역사와 어원

교환 법칙의 암묵적인 사용은 고대 시대로 거슬러 올라간다. 이집트인들은 곱셈 계산을 단순화하기 위해 곱셈의 교환 법칙을 사용했다.^[5]^[6] 유클리드는 그의 저서 ''원론''에서 곱셈의 교환 법칙을 가정했던 것으로 알려져 있다.^[7] 교환 법칙이 명시적인 형태로 나타난 것은 18세기 후반과 19세기 초에 수학자들이 함수 이론을 연구하기 시작하면서부터이다.

''교환적(commutative)''이라는 용어는 1814년 프랑수아 세르부아의 회고록에서 처음 등장했으며,^[8]^[9] 그는 현재 교환 법칙이라고 불리는 성질을 가진 함수를 설명할 때 ''교환적인(commutatives)''이라는 단어를 사용했다. ''교환적(Commutative)''은 프랑스어 형용사 ''commutatif''의 여성형으로, "교환하다" 또는 "바꾸다"를 의미하는 프랑스어 동사 ''commuter''에서 파생되었다.

5. 관련 성질

결합 법칙은 교환 법칙과 밀접한 관련이 있다. 결합 법칙은 동일한 연산자가 두 번 이상 나타나는 식에서 항의 순서가 변경되지 않는 한, 연산 순서가 결과에 영향을 미치지 않는다는 것이다. 반면 교환 법칙은 항의 순서가 결과에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.

대부분의 교환 연산은 결합적이지만, 교환성이 결합성을 의미하지는 않으며, 결합성이 교환성을 의미하지도 않는다. 예를 들어 사원수나 행렬의 곱셈은 항상 결합적이지만 항상 교환적이지는 않다.

대칭성의 몇 가지 형태는 교환 법칙과 직접적으로 연결될 수 있다. 교환 연산이 이진 함수 ''z''=''f''(''x'',''y'')로 표현될 때, 이 함수는 대칭 함수라고 불리며, 3차원 공간에서의 그래프는 ''y''=''x'' 평면에 대해 대칭이다. 예를 들어, 함수 ''f''가 ''f''(''x'',''y'')=''x''+''y''로 정의되면 ''f''는 대칭 함수이다.

대칭 관계는 교환 연산과 유사하며, 관계 ''R''이 대칭이면

a R b \Leftrightarrow b R a

이다.

5. 1. 결합 법칙

결합 법칙은 교환 법칙과 밀접한 관련이 있다. 동일한 연산자가 두 번 이상 나타나는 식의 결합 법칙은 항의 순서가 변경되지 않는 한, 연산이 수행되는 순서가 최종 결과에 영향을 미치지 않는다고 말한다. 반대로, 교환 법칙은 항의 순서가 최종 결과에 영향을 미치지 않는다고 말한다.

실제로 접하는 대부분의 교환 연산은 결합적이다. 그러나 교환성은 결합성을 의미하지 않는다. 반례는 다음과 같은 함수이다.

:

f(x, y) = \frac{x + y}{2},

이 함수는 분명히 교환적이지만(x와 y를 바꾸어도 결과에 영향을 미치지 않음) 결합적이지 않다(예를 들어,

f(-4, f(0, +4)) = -1

이지만

f(f(-4, 0), +4) = +1

이므로). 더 많은 예시는 교환적 비결합 마그마에서 찾을 수 있다. 또한, 결합성은 교환성을 의미하지 않는다. 예를 들어, 사원수 또는 행렬의 곱셈은 항상 결합적이지만 항상 교환적이지는 않다.

5. 2. 분배 법칙

템플릿은 허용되지 않는 문법이므로 제거해야 합니다. 주어진 원본 소스에 내용이 없으므로, 섹션 내용은 작성할 수 없습니다.

5. 3. 대칭성

수학에서 대칭성의 몇 가지 형태는 교환 법칙과 직접적으로 연결될 수 있다. 교환 연산이 이진 함수 ''z''=''f''(''x'',''y'')로 표현될 때, 이 함수는 대칭 함수라고 불리며, 3차원 공간에서의 그래프는 ''y''=''x'' 평면에 대해 대칭이다. 예를 들어, 함수 ''f''가 ''f''(''x'',''y'')=''x''+''y''로 정의되면 ''f''는 대칭 함수이다.

관계에서 대칭 관계는 교환 연산과 유사하며, 관계 ''R''이 대칭이면

a R b \Leftrightarrow b R a

이다.

6. 양자역학에서의 비가환 연산자

에르빈 슈뢰딩거가 정립한 양자역학에서 물리적 변수는 $x$ (의미는 $x$ 를 곱한다) 및 $\frac{d}{dx}$ 와 같은 선형 연산자로 표현된다. 이 두 연산자는 1차원 파동 함수 $\psi(x)$ 에 미치는 영향을 고려하여 교환하지 않음을 알 수 있다. 그들의 함수 합성 $x \frac{d}{dx}$ 및 $\frac{d}{dx} x$ (연산자의 곱이라고도 함)는 다음과 같다.

: $x\cdot {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\psi = x\cdot \psi' \ \neq \ \psi + x\cdot \psi' = {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\left( x\cdot \psi \right)$

베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따르면, 한 쌍의 변수를 나타내는 두 연산자가 교환하지 않으면 그 변수 쌍은 서로 상보적이며, 이는 동시에 정확하게 측정하거나 알 수 없음을 의미한다. 예를 들어, 입자의 $x$ 방향 위치와 선형 운동량은 각각 연산자 $x$ 및 $-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$ 로 표현된다(여기서 $\hbar$ 는 환산 플랑크 상수이다). 이는 상수 $-i \hbar$ 를 제외하면 동일한 예이므로 연산자는 다시 교환하지 않으며, 물리적 의미는 주어진 방향의 위치와 선형 운동량이 상보적이라는 것이다.

참조

_[1] MathWorld Symmetric Relation
_[2] 서적 Krowne
_[3] 서적 Weisstein, Commute
_[4] 웹사이트 User MathematicalOrchid https://math.stackex[...] 2024-01-20
_[5] 서적 Lumpkin
_[6] 서적 Gay & Shute
_[7] 문서 O'Conner & Robertson Real Numbers
_[8] 서적 Cabillón & Miller, Commutative and Distributive
_[9] 문서 O'Conner & Robertson, Servois
_[10] 서적 Mathematics in Victorian Britain https://books.google[...] Oxford University Press
_[11] 학술지 On the real nature of symbolical algebra https://archive.org/[...]
_[12] 문서 Moore and Parker
_[13] 서적 Copi & Cohen
_[14] 서적 Hurley & Watson
_[15] 서적 Axler
_[16] 서적 Gallian
_[17] 서적 Gallian
_[18] 서적 Gallian
_[19] 서적 Gallian
_[20] 문서 O'Conner and Robertson, Real Numbers
_[21] PlanetMath Commutative
_[22] MathWorld Commutative

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