단체 집합

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1. 개요

단체 집합은 집합의 범주에서 정의되는 단체 대상이며, 함자 X : Δ^op → Set으로 표현된다. 첨가 단체 집합은 Δ+op → Set 함자로 정의된다. Δ는 단체 범주, Δ+는 첨가 단체 범주이다. 단순 집합 X는 반변 함자 X : Δ → Set이며, 면 맵과 퇴화 맵을 통해 정의된다. 단순 집합은 범주 sSet을 형성하며, 이는 토포스이다. 면 맵과 퇴화 맵은 심플렉스 항등식을 만족하며, 이 항등식은 단순 집합을 정의하는 대안적인 방법을 제공한다. 단체 집합의 범주는 토포스이므로 다양한 연산을 취할 수 있으며, 기하학적 실현과 특이 단체는 위상 공간과의 관계를 정의한다. 단체 집합은 단체 호몰로지, 유리수 계수 다항식 미분 형식 등 다양한 성질을 가지며, 모형 범주 구조를 갖는다. 부분 순서 집합, 범주, 위상 공간의 특이 집합 등이 단체 집합의 예시이며, 신경, 표준 단체, 뿔, 단체 복합체, 구체적 범주 속의 단체 대상 등의 개념과 연관된다. 단체 집합은 분류 공간, 대수적 K-이론, 고차원 범주론 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 대수적 K-이론 연구를 통해 그 중요성이 알려졌다.

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단체 집합
개요
종류	수학적 구조
분야	호모토피 이론
정의
정의	단체 집합은 순서체의 일반화이다.
다른 이름	준위상 공간 완전한 반순서 집합
성질
호모토피 이론	단체 집합의 범주는 위상 공간의 범주와 퀼런 동치이다.
특이 사슬 복합체	단체 집합으로부터 사슬 복합체를 정의할 수 있다.
예
예시	단체 복합체 범주의 신경 특이 사슬 복합체
연산
연산	단체 집합의 모임 단체 복합체
관련 개념
관련 개념	반단체 집합 순환 집합 델타 집합 호모토피론

2. 정의

'''단체 집합'''(單體集合, simplicial set^영어)은 집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 속의 단체 대상으로, 함자

: $X_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to\operatorname{Set}$

이다. 여기서 $\triangle$ 은 단체 범주이다.

'''첨가 단체 집합'''(添加單體集合, augmented simplicial set^영어)은 $\operatorname{Set}$ 속의 첨가 단체 대상으로, 함자

: $X_\bullet \colon\triangle_+^{\operatorname{op}} \to\operatorname{Set}$

이다. 여기서 $\triangle_+$ 는 첨가 단체 범주이다.

$X_{-1}=S$ 인 첨가 단체 집합 $X_\bullet$ 은 조각 범주 $\operatorname{Set}/S$ 위의 단체 대상과 같다.

단순 집합은 단순체와 그 관계로부터 구축되거나 호모토피까지 충실하게 표현될 수 있는 위상 공간을 포착하는 범주론적 모델이다. 이는 위상 공간을 모델링하는 CW 복합체와 유사하지만, 단순 집합은 순수하게 대수적이며 실제 위상을 갖지 않는다는 차이점이 있다.

단순 집합은 유향 멀티그래프의 고차원 일반화이다. 정점("0-단순체")과 정점 사이의 화살표("1-단순체")를 포함하며, 두 정점은 여러 화살표로 연결될 수 있고 정점을 자체적으로 연결하는 유향 루프도 허용된다. 유향 멀티그래프와 달리 단순 집합은 고차 단순체를 포함할 수 있다. 예를 들어, 2-단순체는 세 정점 ''A'', ''B'', ''C''와 세 화살표 ''B'' → ''C'', ''A'' → ''C'', ''A'' → ''B''로 경계가 정해진 2차원 "삼각형" 모양으로 생각할 수 있다.

단순 집합은 단순 무방향 그래프를 일반화하는 추상 단순 복합체와 혼동해서는 안 된다.

단순 집합은 범주론을 사용하여 정의할 수 있다. 단순 범주 Δ의 대상은 비어 있지 않은 전순서 집합이며, 각 대상은 다음 형식과 유일하게 순서 동형이다.

:[''n''] = {0, 1, ..., ''n''} (여기서 ''n'' ≥ 0)

Δ의 사상은 집합들 간의 (비 엄격한) 순서를 보존하는 함수이다.

'''단순 집합''' ''X''는 반변 함자 ''X'' : Δ → '''Set'''이다. 여기서 '''Set'''는 집합의 범주이다. (단순 집합을 반대 범주 Δ^op ''→'' '''Set'''에서 공변 함자로 정의할 수도 있다.)

단순 집합은 범주('''sSet''')를 형성하며, 대상은 단순 집합이고 사상은 이들 사이의 자연 변환이다. 이는 Δ에 대한 전층의 범주이며, 토포스이다.

범주 ''C''에서의 '''심플리셜 대상''' ''X''는 반변 함수 ''X'' : Δ → ''C'' (또는 공변 함수 ''X'': Δ^op → ''C'')이다. ''C''가 집합의 범주이면 심플리셜 집합, 군의 범주이면 심플리셜 군('''sGrp'''), 아벨 군의 범주이면 심플리셜 아벨 군('''sAb''')을 얻는다.

2. 1. 면 및 퇴화 사상

단체 집합 ''X''는 집합 ''X''_''n'' (''n'' = 0, 1, 2, ...)과 이들 집합 사이의 특정 사상으로 구성된다. 여기서 특정 사상은 '''면 사상''' ''d''_''n'',''i'' : ''X''_''n'' → ''X''_''n''−1 (''n'' = 1, 2, 3, ... 및 0 ≤ ''i'' ≤ ''n'') 및 '''퇴화 사상''' ''s''_''n'',''i'' : ''X''_''n''→ ''X''_''n''+1 (''n'' = 0, 1, 2, ... 및 0 ≤ ''i'' ≤ ''n'')을 의미한다. ''X''_''n''의 원소는 ''X''의 ''n''-단체로 생각한다.

사상 ''d''_''n'',''i''는 각 ''n''-단체에 해당 ''i''번째 면을 할당한다. 사상 ''s''_''n'',''i''는 각 ''n''-단체에 주어진 단체에서 ''i''번째 정점을 복제하여 생성되는 퇴화 (''n''+1)-단체를 할당한다.

단체 범주 Δ의 사상은 두 가지 중요한 사상군에 의해 생성되며, 주어진 단체 집합 함자에 따른 이미지는 해당 단체 집합의 면 사상과 퇴화 사상이라고 불린다.

단체 집합 ''X''의 면 사상은

\delta^{n,0},\dotsc,\delta^{n,n}\colon[n-1]\to[n]

사상의 해당 단체 집합 내 이미지이다. 여기서

\delta^{n,i}

는

i

를 "누락시키는" 유일한 (순서 보존) 단사 함수

[n-1]\to[n]

이다. 이러한 면 사상을 각각

d_{n,0},\dotsc,d_{n,n}

으로 표기하며,

d_{n,i}

는 사상

X_n \to X_{n-1}

이다.

단체 집합 ''X''의 퇴화 사상은

\sigma^{n,0},\dotsc,\sigma^{n,n}\colon[n+1]\to[n]

사상의 해당 단체 집합 내 이미지이다. 여기서

\sigma^{n,i}

는

i

를 두 번 "히트시키는" 유일한 (순서 보존) 전사 함수

[n+1]\to[n]

이다. 이러한 퇴화 사상을 각각

s_{n,0},\dotsc,s_{n,n}

으로 표기하며,

s_{n,i}

는 사상

X_n \to X_{n+1}

이다.

정의된 사상은 다음의 '''단체 항등식'''을 만족한다.

#

d_i d_j = d_{j-1} d_i

(''i'' < ''j''인 경우)

#

d_i s_j = s_{j-1}d_i

(''i'' < ''j''인 경우)

#

d_i s_j = \text{id}

(''i'' = ''j'' 또는 ''i'' = ''j'' + 1인 경우)

#

d_i s_j = s_j d_{i-1}

(''i'' > ''j'' + 1인 경우)

#

s_i s_j = s_{j+1} s_i

(''i'' ≤ ''j''인 경우)

3. 연산

단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱, 쌍대곱, 밂 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합이며 다음과 같다.

: $\varnothing_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}$

: $\varnothing_\bullet \colon n \mapsto \varnothing\qquad\forall n \in\triangle$

끝 대상은 한원소 공간이며 다음과 같다.

: $1_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}$

: $1_\bullet \colon n \mapsto \{\bullet\}\qquad\forall n\in\triangle$

여기서 $\{\bullet\}$ 은 한원소 집합이다. 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

3. 1. 범주론적 연산

단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱, 쌍대곱, 밂 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합이다.

:

:

\varnothing_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}

:

\varnothing_\bullet \colon n \mapsto \varnothing\qquad\forall n \in\triangle

끝 대상은 한원소 공간이다.

:

:

1_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}

:

1_\bullet \colon n \mapsto \{\bullet\}\qquad\forall n\in\triangle

(여기서

\{\bullet\}

은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

3. 2. 기하학적 실현과 특이 단체

단체 집합의 범주

\operatorname s(\operatorname{Set})

와 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

사이에는 수반 함자를 이루는 두 개의 함자가 존재한다.^[2]

:

\operatorname s(\operatorname{Set})\, \overset S{\underset

\leftrightarrows} \,\operatorname{Top}

:

|\cdot|\dashv\operatorname{Sing}

여기서

\operatorname{Sing}

을 '''특이 단체 함자'''(特異單體函子, singular simplex functor^영어),

|\cdot|

을 '''기하학적 실현 함자'''(幾何學的實現函子, geometric realization functor^영어)라고 한다.^[2]

위상 공간

Y

가 주어졌을 때, '''특이 단체 집합'''(singular simplicial set^영어)

\operatorname{Sing}(Y)

는 다음과 같다.^[2]

:

\operatorname{Sing}(Y)_n=\hom_{\operatorname{top}}(\triangle^n,Y)

여기서

\triangle^n

은

n

차원 단체이다. 즉, 함자

\operatorname{Sing}(Y)

의

n

차 성분은

Y

의

n

차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.

단체 집합

X

에 대응하는 '''기하학적 실현'''

|X|

는 다음과 같은 위상 공간이다.^[2]

:

|X|=\left(\bigsqcup_nX_n\times\triangle^n\right)/{\sim}

여기서

\triangle^n

은

n

차원 표준 단체이며,

\sim

은

:

(x,S_i(p))\sim(s_i(x),p)\qquad\forall p\in\triangle^n

:

(x,D_i(p))\sim(d_i(x),p)\qquad\forall p\in\triangle^n

로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서

:

d_i\colon\{0,1,\dots,n-1\}\to\{0,1,\dots,n\}

는 상이

\{0,1,\dots,n\}\setminus\{i\}

인 유일한 증가 단사 함수이며,

:

s_i\colon\{0,1,\dots,n\}\to\{0,1,\dots,n-1\}

는

i\in\{0,1,\dots,n\}

를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다.

D_i\colon\triangle^n\to\triangle^{n+1}

및

S_i\colon\triangle^n\to\triangle^{n-1}

는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.

표준 ''n''-단순체는 Δ^''n''으로 표기하며, 첫 번째 (''n'' + 1)개의 음이 아닌 정수의 정렬된 집합 {0, 1, ... ,''n''}을 나타내는 [''n'']에 대한 함자 hom_Δ(-, [''n''])으로 정의된 단순 집합이다. (많은 텍스트에서는 hom([''n''],-)로 쓰이며, hom 집합은 반대 범주 Δ^op에 있는 것으로 이해된다.)^[2]

요네다 보조정리에 의해, 단순 집합 ''X''의 ''n''-단순체는 Δ^''n''에서 ''X''로의 자연 변환과 일대일 대응을 이룬다. 즉,

X_n = X([n])\cong \operatorname{Nat}(\operatorname{hom}_\Delta(-,[n]),X)=\operatorname{hom}_{\textbf{sSet}}(\Delta^n,X)

이다.^[2]

''X''는

\Delta\downarrow{X}

로 표기되는 단순체 범주를 생성하는데, 이 범주의 대상은 사상(즉, 자연 변환) Δ^''n'' → ''X''이고, 사상은 Δ에서 [''n''] ''→'' [''m'']의 사상에서 발생하는 ''X'' 위의 자연 변환 Δ^''n'' → Δ^''m''이다. 즉,

\Delta\downarrow{X}

는 ''X'' 위의 Δ의 슬라이스 범주이다. 다음 동형 사상은 단순 집합 ''X''가 단순체의 쌍대극한임을 보여준다.^[3]

:

X \cong \varinjlim_{\Delta^n \to X} \Delta^n

여기서 쌍대극한은 ''X''의 단순체 범주를 통해 취해진다.

3. 3. 단체 호몰로지

단체 집합

X_\bullet

이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취한다.

:

C_n = \mathbb Z^{\oplus X_n}

이 위에

\partial_{n,i}

및

s_{n,i}

를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면,

C_n

은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체

:

\partial_n \colon C_n \to C_{n-1}

:

\partial_n = \sum_{i=0}^n \partial_{n,i}

의 호몰로지를 단체 집합

X

의 '''단체 호몰로지'''(simplicial homology^영어)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

3. 4. 유리수 계수 다항식 미분 형식

표준 단체

:

\triangle^n=\left\{\vec t\in\mathbb R^{n+1}\colon\sum_{i=0}^nt_i=1\right\}

위의 '''유리수 계수 다항식 미분 형식'''(rational-coefficient polynomial differential form^영어)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.

:

\phi_{i_0,i_1,\dotsc,i_n}\mathrm dt_{i_0}\wedge\mathrm dt_{i_1}\wedge\dotsb\wedge\mathrm dt_{i_n}\qquad(\phi_{i_0,i_1,\dotsc,i_n}\in\mathbb Q[t_0,\dotsc,t_n],\;i_0

이들의 유리수 벡터 공간을

\Omega_{\text{PL}}(n)

으로 표기한다. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.^[8]

4. 성질

단체 집합은 범주론적 성질, 위상수학적 성질, 모형 범주 구조 등 여러 가지 성질을 가진다.

범주론적 성질: 단체 집합의 범주는 그로텐디크 토포스를 이루며, 완비 범주, 쌍대 완비 범주, 데카르트 닫힌 범주이다.
위상수학적 성질: 단체 집합의 기하학적 실현은 CW 복합체이며, 하우스도르프 공간이다. 기하학적 실현 함자는 특정 조건에서 유한 극한을 보존한다.
모형 범주 구조: 단체 집합의 범주는 표준적으로 모형 범주 구조를 가지며, 약한 호모토피 동치, 칸 올뭉치, 칸 복합체 등의 개념이 정의된다.

4. 1. 범주론적 성질

단체 집합의 범주

\operatorname s(\operatorname{Set})

는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

단순 범주 Δ의 대상은 비어 있지 않은 전순서 집합이다. 각 대상은 다음 형식의 대상과 유일하게 순서 동형이다.

:[''n''] = {0, 1, ..., ''n''}

여기서 ''n'' ≥ 0이다. Δ의 사상은 이러한 집합들 간의 (비 엄격한) 순서를 보존하는 함수이다.

'''단순 집합''' ''X''는 반변 함자이다.

:''X'' : Δ → '''Set'''

여기서 '''Set'''는 집합의 범주이다. (또는 동등하게, 단순 집합을 반대 범주 Δ^op ''→'' '''Set'''에서 공변 함자로 정의할 수 있다.) 단순 집합 ''X''가 주어지면, 종종 ''X_n'' 대신 ''X''([''n''])라고 쓴다.

단순 집합은 범주를 형성하며, 일반적으로 '''sSet'''로 표시되는데, 이 범주의 대상은 단순 집합이고 사상은 이들 사이의 자연 변환이다. 이는 Δ에 대한 전층의 범주이다. 따라서 이는 토포스이다.

4. 2. 위상수학적 성질

단체 집합

X

의 기하학적 실현

|X|

는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.^[9]

기하학적 실현 함자

|\cdot|:\operatorname s(\operatorname{Set})\to \operatorname{Top}

는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주

\operatorname{CGHaus}

따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.^[9]

|•|: '''sSet''' ''→'' '''CGHaus'''로 표기되는 '''기하학적 실현'''이라는 함자는 단체 집합 ''X''를 콤팩트 생성 하우스도르프 위상 공간 범주 |•|: '''sSet''' ''→'' '''CGHaus'''에서의 해당 실현으로 변환한다. ''X''의 실현은 ''X''의 모든 ''n-''단순포체를 위상적 ''n-''단순포체(''n'' + 1)-차원 유클리드 공간의 특정 ''n-''차원 부분 집합)로 대체하고, 이 위상적 단순포체들이 ''X''의 단순포체들이 연결되는 방식대로 서로 접착될 때 얻어지는 위상 공간(CW 복합체)이다.

표준 n-단순포체 Δ^''n''에 대한 기하학적 실현 |Δ^''n''|는 다음과 같이 주어지는 일반적인 위치의 표준 위상적 ''n''-단순포체이다.

:

|\Delta^n| = \{(x_0, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}: 0\leq x_i \leq 1, \sum x_i = 1 \}.

이 정의는 모든 단체 집합 ''X''에 대해 다음과 같이 자연스럽게 확장된다.

:|X| = lim_{Δ^''n'' → ''X''} | Δ^''n''|

여기서 쌍대극한은 ''X''의 n-단순포체 범주를 통해 취해진다. 기하학적 실현은 '''sSet'''에서 함자적이다.

기하학적 실현의 대상 범주로 위상 공간 범주 '''Top''' 대신 콤팩트 생성 하우스도르프 공간 범주 '''CGHaus'''를 사용하는 것은 중요하다. '''sSet'''과 달리, '''Top'''과 달리 범주 '''CGHaus'''는 데카르트 닫힌 범주이다. 범주적 곱은 '''Top'''과 '''CGHaus'''에서 다르게 정의되며, '''CGHaus'''의 곱은 기하학적 실현을 통해 '''sSet'''의 곱에 해당한다.

위상 공간 ''Y''의 '''특이 집합'''은 심플리셜 집합 ''SY''이며 다음과 같이 정의된다.

:(''SY'')([''n'']) = hom_{'''T''op'''''}(|Δ^''n''|, ''Y'')는 각 대상 [''n''] ∈ Δ에 대해 성립한다.

모든 순서를 보존하는 사상 φ:[''n'']→[''m'']은 자연스러운 방식으로 |Δ^''n''|→|Δ^''m'|의 연속 사상을 유도하며, 이를 합성하면 ''SY''(''φ'') : ''SY''([''m'']) → ''SY''([''n''])가 얻어진다. 이러한 정의는 대상 위상 공간을 표준 위상적 ''n''-단순체로 "탐색"하는 특이 호몰로지의 표준적인 아이디어와 유사하다. 또한, '''특이 함자''' ''S''는 위에 설명된 기하학적 실현 함자의 오른쪽 수반 함자이다. 즉, 다음과 같다.

:hom_'''Top'''(|''X''|, ''Y'') ≅ hom_'''sSet'''(''X'', ''SY'')

이는 임의의 심플리셜 집합 ''X''와 임의의 위상 공간 ''Y''에 대해 성립한다. ''X''의 기하학적 실현에서 공간 ''Y''로의 연속 사상은 ''X''의 모든 단순체에 해당 표준 위상적 단순체에서 ''Y''로의 연속 사상을 연관시키고, 이러한 사상들이 ''X'' 내의 단순체들이 서로 연결되는 방식과 호환되도록 함으로써 고유하게 지정된다.

4. 3. 모형 범주 구조

단체 집합의 범주

\operatorname s(\operatorname{Set})

는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.

약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다.
올뭉치는 '''칸 올뭉치'''(Kan올뭉치, Kan fibration^영어)이다.
올대상은 '''칸 복합체'''(Kan複合體, Kan complex^영어)이다.

단체 집합

E

,

B

사이의 사상

\pi\colon E\to B

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''칸 올뭉치'''(Kan fibration^영어)라고 한다.

:임의의 단체

\triangle^n

의 뿔

\iota\colon\wedge^n_k\hookrightarrow\triangle^n

및 사상

\tilde f_0\colon\wedge^n_k\to X

및

f\colon\triangle^n\to B

에 대하여, 만약

f\circ\iota=\pi\circ\tilde f_0

라면,

\tilde f\circ \iota = \tilde f_0

이고

\pi\circ \tilde f = f

인

\tilde f\colon\triangle^n\to E

가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.

::

\begin{matrix}\wedge^n_k&\xrightarrow{\tilde f_0}&E\\{\scriptstyle\iota}\downarrow&\nearrow\scriptstyle\exists\tilde f&\downarrow\scriptstyle\pi\\\triangle^n&\xrightarrow[f]{}&B\end{matrix}

이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.

\bullet

이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, '''칸 복합체'''(Kan複合體, Kan complex^영어)는

\bullet

으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

심플렉스 범주 Δ의 사상(맵)은 두 개의 특히 중요한 사상군에 의해 생성되며, 주어진 심플렉스 집합 함자에 따른 이미지는 해당 심플렉스 집합의 '''면 맵'''과 '''퇴화 맵'''이라고 불린다.

심플렉스 집합 ''X''의 ''면 맵''은

\delta^{n,0},\dotsc,\delta^{n,n}\colon[n-1]\to[n]

사상의 해당 심플렉스 집합 내 이미지이다. 여기서

\delta^{n,i}

는

i

를 "누락시키는" 유일한 (순서 보존) 단사 함수

[n-1]\to[n]

이다.

이러한 면 맵을 각각

d_{n,0},\dotsc,d_{n,n}

으로 표기하며,

d_{n,i}

는 맵

X_n \to X_{n-1}

이다. 첫 번째 인덱스가 명확하면

d_{n,i}

대신

d_i

라고 쓴다.

심플렉스 집합 ''X''의 ''퇴화 맵''은

\sigma^{n,0},\dotsc,\sigma^{n,n}\colon[n+1]\to[n]

사상의 해당 심플렉스 집합 내 이미지이다. 여기서

\sigma^{n,i}

는

i

를 두 번 "히트시키는" 유일한 (순서 보존) 전사 함수

[n+1]\to[n]

이다.

이러한 퇴화 맵을 각각

s_{n,0},\dotsc,s_{n,n}

으로 표기하며,

s_{n,i}

는 맵

X_n \to X_{n+1}

이다. 첫 번째 인덱스가 명확하면

s_{n,i}

대신

s_i

라고 쓴다.

정의된 맵은 다음 '''심플렉스 항등식'''을 만족한다.

#

d_i d_j = d_{j-1} d_i

만약 ''i'' < ''j''이면. (이것은 0 ≤ ''i'' < ''j'' ≤ ''n''인 경우

d_{n-1,i} d_{n,j} = d_{n-1,j-1} d_{n,i}

의 축약형이다.)

#

d_i s_j = s_{j-1}d_i

만약 ''i'' < ''j''이면.

#

d_i s_j = \text{id}

만약 ''i'' = ''j'' 또는 ''i'' = ''j'' + 1이면.

#

d_i s_j = s_j d_{i-1}

만약 ''i'' > ''j'' + 1이면.

#

s_i s_j = s_{j+1} s_i

만약 ''i'' ≤ ''j''이면.

반대로, 심플렉스 항등식을 만족하는 맵

d_{n,i} : X_n \to X_{n-1}

및

s_{n,i} : X_n \to X_{n+1}

과 함께 일련의 집합 ''X_n''이 주어지면 이러한 면 맵과 퇴화 맵을 갖는 고유한 심플렉스 집합 ''X''가 존재한다. 따라서 항등식은 심플렉스 집합을 정의하는 대안적인 방법을 제공한다.

심플리셜 집합 범주에 모형 구조를 정의하려면, 올림, 올림공간, 약한 동치 관계를 정의해야 한다. 올림은 칸 올림으로 정의할 수 있다. 심플리셜 집합의 사상은 기하학적 실현이 공간의 약한 호모토피 동치이면 약한 동치로 정의된다. 심플리셜 집합의 사상은 심플리셜 집합의 단사이면 올림공간으로 정의된다. 이러한 사상 클래스를 가진 심플리셜 집합 범주가 모형 범주가 된다는 것은 다니엘 퀼렌의 어려운 정리이며, 실제로 정칙 닫힌 심플리셜 모형 범주의 공리를 만족한다.

5. 예

단체 집합의 예시는 다음과 같다:

부분 순서 집합의 신경: 부분 순서 집합(''S'', ≤)가 주어지면, ''NS''라는 신플렉스 집합을 정의할 수 있다. Δ의 모든 객체 [''n'']에 대해 ''NS''([''n'']) = hom_'''poset'''( [''n''] , ''S'')로 설정한다. 여기서 hom_'''poset'''는 [''n'']에서 ''S''로의 순서를 보존하는 사상의 집합이다. 이 때, 신경 ''NS''의 ''n''-단순체는 ''S''의 요소로 구성된 정렬된 길이-(''n''+1) 시퀀스 (''a''₀ ≤ ''a''₁ ≤ ... ≤ ''a''_''n'')로 나타낼 수 있다.
범주의 신경: 모든 범주 ''C''에 대해 신경 ''NC''를 정의할 수 있다. 여기서 ''NC''([''n''])은 [''n'']에서 ''C''로의 모든 함자의 집합이다. 여기서 [''n'']을 객체 0,1,...,''n''과 ''i'' ≤ ''j''일 때 ''i''에서 ''j''로의 단일 사상을 가진 범주로 간주한다. 이 때, 신경 ''NC''의 ''n''-단순체는 ''C''에서 ''n''개의 합성 가능한 사상의 시퀀스 ''a''₀ → ''a''₁ → ... → ''a''_''n''로 나타낼 수 있다. (특히, 0-단순체는 ''C''의 객체이고, 1-단순체는 ''C''의 사상이다.)

5. 1. 표준 단체와 뿔

자연수

n\in\mathbb N

에 대하여, 단체 집합의 범주에서 '''표준

n

차원 단체'''(standard

n

-simplex^영어)

\triangle^n

는

\hom_{\triangle}(-,\Delta_n)

로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해

:

\hom_{\operatorname s(\operatorname{Set})}(\triangle^n, Y) \cong Y(n)

가 성립한다.

표준

n

차원 단체

\triangle^n

가 주어졌을 때,

k\in\{0,\dots,n\}

에 대하여,

\wedge^n_k

가

\partial\triangle^n

에서

k

번째 면들을 제거한

n-1

차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 '''뿔'''(horn^영어)이라고 한다.

5. 2. 구체적 범주 속의 단체 대상

구체적 범주

\mathcal C \to \operatorname{Set}

가 주어지면,

\mathcal C

속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

5. 3. 단체 복합체

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

(추상적) 단체 복합체 $(\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}$ . 여기서 $\Sigma_0$ 은 꼭짓점들의 집합이며, $\Sigma_i\subseteq\mathcal P(\Sigma_0)$ 는 $i+1$ 개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
꼭짓점 집합 $\Sigma_0$ 위의 전순서 $\le$

그렇다면, 다음을 정의하자.

양의 정수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, 집합 $\Delta_n$ 의 원소 $M$ 은 $\Sigma_0$ 의 원소들로 구성된, 크기 $n+1$ 의 중복집합 $M$ 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 $|M|$ 이 $\textstyle\bigsqcup_{n=0}^\infty\Sigma_n$ 에 속하는 것이다.
꼭짓점 중복집합 $M\in\Delta_n$ 이 주어졌다고 하자. $M$ 에서, $i+1$ 번째로 작은 원소를 $m_i\in\Sigma_0$ 라고 하자 ( $0\le i\le n$ ). 그렇다면, $\partial_n^i(M)$ 및 $s_n^i(M)$ 을 다음과 같이 정의한다.
* $\partial_n^i(M)=M\setminus\{m_i\}\in\Delta_{n-1}$
* $s_n^i(M)=M\sqcup\{m_i\}\in\Delta_{n+1}$

그렇다면,

(\Delta_n,\partial_n^i,s_n^i)_{n,i}

는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체

(\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}

의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

5. 4. 신경 (Nerve)

작은 범주

\mathcal C

가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합

\operatorname{nerve}\mathcal C

가 존재하며, 이를

\mathcal C

의 '''신경'''이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자

:

\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}

를 정의한다.

부분 순서 집합(''S'', ≤)가 주어지면, ''NS''라는 신플렉스 집합을 정의할 수 있다. 즉, Δ의 모든 객체 [''n'']에 대해 ''NS''([''n'']) = hom_'''poset'''( [''n''] , ''S'')로 설정한다. 여기서 hom_'''poset'''는 [''n'']에서 ''S''로의 순서를 보존하는 사상의 집합이다.

구체적으로, 신경 ''NS''의 ''n''-단순체, 즉 ''NS''_''n'' = ''NS''([''n''])의 요소는 ''S''의 요소로 구성된 정렬된 길이-(''n''+1) 시퀀스로 생각할 수 있다. (''a''₀ ≤ ''a''₁ ≤ ... ≤ ''a''_''n'').

모든 범주 ''C''에 대해 유사한 구성을 수행하여 ''C''의 신경 ''NC''를 얻을 수 있다. 여기서 ''NC''([''n''])은 [''n'']에서 ''C''로의 모든 함자의 집합이다. 여기서 [''n'']을 객체 0, 1, ..., ''n''과 ''i'' ≤ ''j''일 때 ''i''에서 ''j''로의 단일 사상을 가진 범주로 간주한다.

구체적으로, 신경 ''NC''의 ''n''-단순체는 ''C''에서 ''n''개의 합성 가능한 사상의 시퀀스로 생각할 수 있다.

''a''₀ → ''a''₁ → ... → ''a''_''n''. (특히, 0-단순체는 ''C''의 객체이고, 1-단순체는 ''C''의 사상이다.)

6. 응용

단순 집합은 원래 분류 공간을 군의 정확하고 편리한 설명에 사용되었다. 이 아이디어는 그로텐디크의 범주의 분류 공간을 고려하는 아이디어에 의해 광범위하게 확장되었으며, 특히 퀼렌의 대수적 K-이론 연구에 의해 확장되었다. 퀼렌은 이 연구를 통해 필즈상을 수상했으며, 무한 심플리셜 집합을 조작하는 놀랍도록 효율적인 방법을 개발했다. 이 방법들은 대수 기하학과 위상 수학의 경계에 있는 다른 분야에서 사용되었다. 예를 들어, 환의 앙드레-퀼렌 호몰로지는 이러한 방식으로 정의되고 연구된 "비가환 호몰로지"이다.

대수적 K-이론과 앙드레-퀼렌 호몰로지는 모두 대수적 데이터를 사용하여 심플리셜 집합을 작성한 다음 이 심플리셜 집합의 호모토피 군을 취하여 정의된다.

심플리셜 방법은 공간이 루프 공간임을 증명하려는 경우에 종종 유용하다. 기본적인 아이디어는 $G$ 가 분류 공간 $BG$ 를 가진 군이면, $G$ 는 루프 공간 $\Omega BG$ 와 호모토피 동치라는 것이다. $BG$ 자체가 군이면, 이 절차를 반복할 수 있으며, $G$ 는 이중 루프 공간 $\Omega^2 B(BG)$ 와 호모토피 동치이다. $G$ 가 아벨 군인 경우, 실제로 이를 무한히 여러 번 반복하여 $G$ 가 무한 루프 공간임을 얻을 수 있다.

$X$ 가 아벨 군이 아니더라도, 위의 아이디어를 사용하여 $X$ 가 무한 루프 공간임을 증명할 수 있도록 충분히 가환적인 합성을 가질 수 있다. 이러한 방식으로, 위상 공간으로 간주되는 환의 대수적 $K$ -이론이 무한 루프 공간임을 증명할 수 있다.

최근 몇 년 동안, 심플리셜 집합은 고차원 범주론과 유도된 대수 기하학에 사용되었다. 준범주는 사상의 합성이 호모토피까지 정의되고 고차원 호모토피의 합성 정보도 유지되는 범주로 생각할 수 있다. 준범주는 약한 칸 조건을 만족하는 심플리셜 집합으로 정의된다.

7. 역사

단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.

단순 집합은 원래 분류 공간을 군의 정확하고 편리한 설명에 사용되었다. 이 아이디어는 그로텐디크의 범주의 분류 공간을 고려하는 아이디어에 의해 광범위하게 확장되었으며, 특히 퀼렌의 대수적 K-이론 연구에 의해 확장되었다. 퀼렌은 이 연구를 통해 필즈상을 수상했으며, 무한 심플리셜 집합을 조작하는 놀랍도록 효율적인 방법을 개발했다. 이 방법들은 대수 기하학과 위상 수학의 경계에 있는 다른 분야에서 사용되었다. 예를 들어, 환의 앙드레-퀼렌 호몰로지는 이러한 방식으로 정의되고 연구된 "비가환 호몰로지"이다.

대수적 K-이론과 앙드레-퀼렌 호몰로지는 모두 대수적 데이터를 사용하여 심플리셜 집합을 작성한 다음 이 심플리셜 집합의 호모토피 군을 취하여 정의된다.

최근 몇 년 동안, 심플리셜 집합은 고차원 범주론과 유도된 대수 기하학에 사용되었다. 준범주는 사상의 합성이 호모토피까지 정의되고 고차원 호모토피의 합성 정보도 유지되는 범주로 생각할 수 있다. 준범주는 약한 칸 조건을 만족하는 심플리셜 집합으로 정의된다.

참조

_[1] 논문 Semi-Simplicial Complexes and Singular Homology 1950
_[2] 서적 2013
_[3] 서적 1999
_[4] 서적 Simplicial homotopy theory Birkhäuser 1999
_[5] 서적 Methods of homological algebra Springer-Verlag
_[6] 저널 Simplicial homotopy theory 1971-04
_[7] 저널 An elementary illustrated introduction to simplicial sets 2012
_[8] 서적 On PL De Rham theory and rational homotopy type American Mathematical Society 1976
_[9] 서적 Calculus of fractions and homotopy theory http://web.math.roch[...] Springer-Verlag 1967

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