사차원 벡터

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1. 개요

사차원 벡터는 로런츠 변환에 따라 변환되는 값으로, 특수 상대성 이론과 전자기학 등에서 널리 사용된다. 사차원 벡터는 시간 성분과 세 개의 공간 성분으로 구성되며, 위치, 속도, 운동량, 힘, 전류, 포텐셜 등 다양한 물리량을 나타내는 데 활용된다. 4차원 벡터는 선형대수학의 성질을 가지며, 내적을 통해 로렌츠 불변량을 계산할 수 있다. 또한, 4차원 기울기와 같은 미적분 연산자를 정의하여 시공간에서의 물리 현상을 기술하는 데 사용된다.

2. 정의

사차원 벡터 $X^\mu=(X^0,X^1,X^2,X^3)$ 는 로런츠 변환 $\Lambda^\mu_\nu$ 아래에서 다음과 같이 변환되는 값이다.

: $X^\mu\mapsto X'^\mu=\Lambda^\mu_\nu X^\nu$ .

로런츠 군의 표현론에 따르면, 로런츠 군의 표현은 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$ 의 표현 두 개로 나타낼 수 있는데, 이때 사차원 벡터 표현은 $(1/2,1/2)$ 에 해당한다. $(m,n)$ -표현은 $(2m+1)(2n+1)$ 차원이므로, 사차원 벡터는 이름 그대로 네 개의 차원을 가진다.

좌표 변환에 대해, 위에 정의된 4차원 위치 벡터와 마찬가지로 작동하는 벡터를 4차원 벡터라고 부른다. 좌표 변환에 대한 작동 방식에는 반변성과 공변성의 두 가지가 있지만, 둘 다 4차원 벡터라고 부른다.

2. 1. 표기법

이 문서에서 사용되는 표기법은 다음과 같다.

소문자 굵은 글씨는 3차원 벡터이다.
모자 기호(^)는 3차원 단위 벡터이다.
대문자 굵은 글씨는 4차원 벡터(4-기울기 제외)이다.
텐서 지표 표기법을 사용한다.
위 첨자는 반변 성분을 나타낸다.
아래 첨자는 공변 성분을 나타낸다.
라틴 문자는 공간 성분(''i'' = 1, 2, 3)을 나타낸다.
그리스 문자는 공간 및 시간 성분(''α'' = 0, 1, 2, 3)을 나타낸다.
합 규약을 사용하여 반복되는 첨자에 대한 합을 나타낸다.

'''사차원 벡터''' ''A''는 "시간형" 성분과 세 개의 "공간형" 성분을 가진 벡터이며, 다음과 같은 다양한 표기법으로 나타낼 수 있다.^[3]

\begin{align}\mathbf{A} & = \left(A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3\right) \\& = A^0\mathbf{E}_0 + A^1 \mathbf{E}_1 + A^2 \mathbf{E}_2 + A^3  \mathbf{E}_3 \\& = A^0\mathbf{E}_0 + A^i \mathbf{E}_i \\& = A^\alpha\mathbf{E}_\alpha\end{align}

여기서 ''A^α''는 크기 성분이고 '''E'''_α는 기저 벡터 성분이다.

시간 성분과 공간 성분의 분리는, 예를 들어 내적에서 로런츠 불변량을 계산하거나, 지표를 올리고 내리는 것과 같이 다른 텐서 양과의 사차원 벡터의 축약을 결정할 때 유용하다.

공변 벡터와 반변 좌표 사이의 관계는 민코프스키 계량 텐서 ''η''를 통해 이루어지며, 이는 다음과 같이 지표를 올리고 내린다.

A_{\mu} =  \eta_{\mu \nu} A^{\nu} \,,

그리고 다양한 동등 표기법에서 공변 성분은 다음과 같다.

\begin{align}\mathbf{A} & = (A_0, \, A_1, \, A_2, \, A_3) \\& = A_0\mathbf{E}^0 + A_1 \mathbf{E}^1 + A_2 \mathbf{E}^2 + A_3  \mathbf{E}^3 \\& = A_0\mathbf{E}^0 + A_i \mathbf{E}^i \\& = A_\alpha\mathbf{E}^\alpha\\\end{align}

2. 2. 실수 기저에서의 4차원 벡터

사차원 벡터 '''A'''는 "시간형" 성분과 세 개의 "공간형" 성분을 가진 벡터이며, 다음과 같은 다양한 표기법으로 나타낼 수 있다.^[3]

표기법	$\begin{align}$

여기서 ''A^α''는 크기 성분이고 '''E'''_α는 기저 벡터 성분이다. ''A^α''가 단독으로 보일 때는 엄밀히 벡터의 *성분*을 지칭한다.위 첨자는 반변 성분을 나타낸다. 여기서 표준 관례는 라틴 문자가 공간 성분에 대한 값을 가지도록 하는 것이므로, ''i'' = 1, 2, 3이고, 그리스 문자는 공간 ''및 시간'' 성분에 대한 값을 가지므로, ''α'' = 0, 1, 2, 3이며, 이는 합 규약과 함께 사용된다.특수 상대성 이론에서 공간형 기저 '''E'''₁, '''E'''₂, '''E'''₃와 성분 ''A''¹, ''A''², ''A''³는 종종 데카르트 기저와 성분이다.

\begin{align}\mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_x, \, A_y, \, A_z\right) \\& = A_t \mathbf{E}_t + A_x \mathbf{E}_x + A_y \mathbf{E}_y + A_z  \mathbf{E}_z \\\end{align}

구면 좌표계와 같이 다른 기저와 성분을 사용할 수도 있다.

\begin{align}\mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_\phi\right) \\& = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_\phi \mathbf{E}_\phi \\\end{align}

또는 원통 좌표계를 사용 할 수도 있다.

\begin{align}\mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_z) \\& = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_z \mathbf{E}_z \\\end{align}

다른 직교 좌표계 또는 일반적인 곡선 좌표계를 사용할 수 있다. 좌표 레이블은 항상 첨자로 표시되며, 수치 값을 갖는 지표가 아니다. 일반 상대성 이론에서는 국소 기저에서 국소 곡선 좌표를 사용해야 한다.

기저는 열 벡터로 나타내는 것이 일반적이다.

\mathbf{E}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad\mathbf{E}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad\mathbf{E}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad\mathbf{E}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

따라서:

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}

공변 벡터와 반변 좌표 사이의 관계는 민코프스키 계량 텐서 ''η''를 통해 이루어지며, 이는 다음과 같이 지표를 올리고 내린다.

A_{\mu} =  \eta_{\mu \nu} A^{\nu} \,,

그리고 다양한 동등 표기법에서 공변 성분은 다음과 같다.

\begin{align}\mathbf{A} & = (A_0, \, A_1, \, A_2, \, A_3) \\& = A_0\mathbf{E}^0 + A_1 \mathbf{E}^1 + A_2 \mathbf{E}^2 + A_3  \mathbf{E}^3 \\& = A_0\mathbf{E}^0 + A_i \mathbf{E}^i \\& = A_\alpha\mathbf{E}^\alpha\\\end{align}

내려진 지표는 공변임을 나타낸다. 종종 계량은 직교 좌표계의 경우와 같이 대각선이지만, 일반적인 곡선 좌표계에서는 그렇지 않다.

기저는 행 벡터로 나타낼 수 있다.

\mathbf{E}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad\mathbf{E}^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad\mathbf{E}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad\mathbf{E}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

따라서:

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix}

3. 로런츠 변환

4차원 벡터는 로런츠 변환에 따라 변환되는 양으로 정의된다.

두 개의 관성 또는 회전된 좌표계가 주어지면, 사차원 벡터는 로런츠 변환 행렬 '''Λ'''에 따라 변환된다. 인덱스 표기법에서 공변 및 반변 성분은 각각 다음과 같이 변환된다.^[4]^[5]^[6]^[7]

: ${A'}^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu A^\nu \,, \quad{A'}_\mu = \Lambda_\mu {}^\nu A_\nu$

좌표 변환 $x^\mu \to {x'}^\mu$ 에 대해,

: $A^\mu\to{A'}^\mu=\frac{\partial {x'}^\mu}{\partial x^\nu}A^\nu$

와 같이 변환되는 벡터 를 '''반변 벡터'''(''contravariant vector''^영어)라고 한다. 반변 벡터임을 명시하기 위해 아래 첨자는 위첨자로 표기한다. 반변 벡터의 예시로, 위치 벡터나 속도 벡터가 있다.

같은 좌표 변환에 대해,

: $B_\mu \to {B'}_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial {x'}^\mu}B_\nu$

와 같이 변환되는 벡터 를 '''공변 벡터'''(''covariant vector''^영어)라고 한다. 공변 벡터의 아래 첨자는 아래 첨자로 표기한다. 예를 들어 정전위의 공간 미분으로 정의되는 전장은 공변 벡터이다.

반변 벡터와 공변 벡터는, 계량 텐서 를 사용하여 서로 변환할 수 있다.

: $x_\mu=g_{\mu\nu}x^\nu \,,$

: $x^\mu=g^{\mu\nu}x_\nu \,.$

4차원 벡터의 내적은 계량 텐서를 사용하여 정의되며, 이 내적은 로런츠 변환에 대해 불변하는 로런츠 불변량이다.

3. 1. 임의의 축에 대한 순수 회전

두 좌표계가 단위 벡터로 정의된 축을 기준으로 고정된 각도 '''θ'''만큼 회전했을 때, 부스트 없이 로런츠 행렬 '''Λ'''의 성분은 다음과 같다.^[4]

:

\begin{align}\Lambda_{00} &= 1 \\\Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= 0 \\\Lambda_{ij} &= \left(\delta_{ij} - \hat{n}_i \hat{n}_j\right) \cos\theta - \varepsilon_{ijk} \hat{n}_k \sin\theta + \hat{n}_i \hat{n}_j\end{align}

여기서 ''δ_ij''는 크로네커 델타, ''ε_ijk''는 3차원 레비-치비타 기호이다. 사차원 벡터의 공간 성분은 회전하지만, 시간 성분은 변하지 않는다.

''z''축만을 중심으로 회전하는 경우, 로렌츠 행렬의 공간 부분은 ''z''축을 중심으로 하는 회전 행렬로 축소된다.

:

\begin{pmatrix}{A'}^0 \\ {A'}^1 \\ {A'}^2 \\ {A'}^3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\0 & \sin\theta &  \cos\theta & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3\end{pmatrix}\ .

3. 2. 임의의 방향으로의 순수 부스트

상대적인 3-속도 '''v'''로 움직이는 두 좌표계의 경우, 로렌츠 인자를 사용하여 로런츠 행렬 '''Λ'''의 성분을 다음과 같이 표현할 수 있다.^[5]

\begin{align}\Lambda_{00} &= \gamma, \\\Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= -\gamma \beta_{i}, \\\Lambda_{ij} = \Lambda_{ji} &= (\gamma - 1)\frac{\beta_{i}\beta_{j}}{\beta^2} + \delta_{ij} = (\gamma - 1)\frac{v_i v_j}{v^2} + \delta_{ij}, \\\end{align}

여기서

\boldsymbol{\beta} = (\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3) = \frac{1}{c}(v_1,\,v_2,\,v_3) = \frac{1}{c}\mathbf{v} \,,

로렌츠 인자는

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}} \,,

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

x 방향으로만 부스트하는 경우, 로렌츠 행렬은 다음과 같이 쌍곡선 함수를 사용하여 표현할 수 있다.^[6]^[7]

\begin{pmatrix}A'^0 \\ A'^1 \\ A'^2 \\ A'^3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\

\sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3\end{pmatrix}

여기서 래피디티 는

\gamma = \cosh \phi

이다.

이는 4차원 시공간에서의 쌍곡선 회전을 나타낸다.

4. 성질

사차원 벡터는 선형성 성질에서 유클리드 벡터와 동일하다.

사차원 벡터는 성분별로 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱이 가능하다.

덧셈:

:

\mathbf{A} + \mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + \left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 + B^0, A^1 + B^1, A^2 + B^2, A^3 + B^3\right)

스칼라 곱:

:

\lambda\mathbf{A} = \lambda\left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) = \left(\lambda A^0, \lambda A^1, \lambda A^2, \lambda A^3\right)

뺄셈:

:

\mathbf{A} + (-1)\mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + (-1)\left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 - B^0, A^1 - B^1, A^2 - B^2, A^3 - B^3\right)

4. 1. 민코프스키 텐서

민코프스키 텐서를 두 사차원 벡터 '''A'''와 '''B'''에 적용하여 결과를 내적 표기법으로 나타내면, 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.^[3]

:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} B^{\nu}  \mathbf{E}_{\mu} \cdot \mathbf{E}_{\nu} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu}

특수 상대성 이론에서 기저 벡터의 내적은 유클리드 공간에서와 같이 크로네커 델타가 아닌 민코프스키 계량 텐서이다. 이를 행렬 형태로 다시 쓰는 것이 편리하다.

:

\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_{00} & \eta_{01} & \eta_{02} & \eta_{03} \\ \eta_{10} & \eta_{11} & \eta_{12} & \eta_{13} \\ \eta_{20} & \eta_{21} & \eta_{22} & \eta_{23} \\ \eta_{30} & \eta_{31} & \eta_{32} & \eta_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix}

이 경우 위에서

\eta_{\mu \nu}

는 민코프스키 계량 텐서의 정사각 행렬에서 행

\mu

와 열

\nu

의 항목이다. 민코프스키 텐서는 유클리드 계량이 아니다. 왜냐하면 부정부호(계량 부호수 참조)이기 때문이다. 텐서가 '''A''' 또는 '''B'''의 성분을 올리고 내릴 수 있기 때문에 다른 많은 표현식을 사용할 수 있다. '''A'''의 공변/반변 성분과 '''B'''의 공변/반변 성분에 대해 다음과 같다.

:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} = A_{\nu} B^{\nu} = A^{\mu} B_{\mu}

따라서 행렬 표기법으로 다음과 같다.

:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}= \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} B_0 & B_1 & B_2 & B_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}

'''A'''와 '''B''' 각각의 공변 성분은 다음과 같다.

:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{\mu} \eta^{\mu \nu} B_{\nu}

위와 유사한 행렬 표현식.

민코프스키 텐서를 자기 자신과 함께 사차원 벡터 '''A'''에 적용하면 다음과 같다.

:

\mathbf{A \cdot A} = A^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu

경우에 따라 벡터 길이의 제곱 또는 그 음수로 간주될 수 있다.

5. 4차원 벡터 미적분학

특수 상대성 이론(일반 상대성 이론 제외)에서, 불변량인 스칼라 ''λ''에 대한 사차원 벡터의 미분은 그 자체로 사차원 벡터이다. 사차원 벡터의 미분 ''d'''''A'''를 구하고 이를 스칼라의 미분 ''dλ''로 나누는 것도 유용하다.

: $\underset{\text{differential}}{d\mathbf{A}} = \underset{\text{derivative}}{\frac{d\mathbf{A}}{d\lambda}} \underset{\text{differential}}{d\lambda}$

여기서 반변 성분은 다음과 같다.

: $d\mathbf{A} = \left(dA^0, dA^1, dA^2, dA^3\right)$

공변 성분은 다음과 같다.

: $d\mathbf{A} = \left(dA_0, dA_1, dA_2, dA_3\right)$

상대론적 역학에서, 사차원 벡터의 미분을 구하여 고유 시간의 미분으로 나누는 경우가 많다.^[1]

5. 1. 4-기울기

편미분이 선형 연산자라는 점을 고려하면 편시간 미분 ∂/∂t와 공간 기울기 ∇로부터 사차원 기울기를 형성할 수 있다. 표준 기저를 사용하여 지수 표기법과 약식 표기법으로 반변 성분은 다음과 같다.

:

\boldsymbol{\partial} = \left(\frac{\partial }{\partial x_0}, \, -\frac{\partial }{\partial x_1}, \, -\frac{\partial }{\partial x_2}, \, -\frac{\partial }{\partial x_3} \right) = (\partial^0, \, - \partial^1, \, - \partial^2, \, - \partial^3) = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_1\partial^1 - \mathbf{E}_2\partial^2 - \mathbf{E}_3\partial^3 = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_i\partial^i = \mathbf{E}_\alpha \partial^\alpha = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} , \, - \nabla \right) = \left(\frac{\partial_t}{c},- \nabla \right) = \mathbf{E}_0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} - \nabla

기저 벡터는 기저 벡터의 미분을 취하는 것과 이 사차원 벡터의 성분을 단순히 나타내는 것 사이의 혼동을 막기 위해 성분 앞에 위치한다. 공변 성분은 다음과 같다.

:

\boldsymbol{\partial} = \left(\frac{\partial }{\partial x^0}, \, \frac{\partial }{\partial x^1}, \, \frac{\partial }{\partial x^2}, \, \frac{\partial }{\partial x^3} \right) = (\partial_0, \, \partial_1, \, \partial_2, \, \partial_3) = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^1\partial_1 + \mathbf{E}^2\partial_2 + \mathbf{E}^3\partial_3 = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^i\partial_i = \mathbf{E}^\alpha \partial_\alpha = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} , \, \nabla \right) = \left(\frac{\partial_t}{c}, \nabla \right) = \mathbf{E}^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla

이것은 연산자이므로 "길이"가 없지만, 연산자와 자기 자신과의 내적을 평가하면 다른 연산자가 생성된다.

:

\partial^\mu \partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{{\partial_t}^2}{c^2} - \nabla^2

이를 달랑베르 연산자라고 한다.

6. 기본 4차원 벡터

민코프스키 공간에서 시간과 공간의 위치를 나타내는 점을 "사건"이라고 하며, 이를 4-위치 또는 위치 사차원 벡터라고 부른다. 4-위치는 기준틀에서 네 개의 좌표 집합으로 표현된다.^[8]^[9]^[10]^[11]

: $\mathbf{R} = (ct, \mathbf{r})$

여기서 '''r'''은 3차원 공간의 위치 벡터이다. 만약 '''r'''이 좌표 시간 ''t''의 함수, 즉 '''r''' = '''r'''(''t'')이면, ''t''가 변함에 따라 일련의 사건들이 된다. ''R''⁰ = ''ct'' 정의는 모든 좌표가 동일한 물리적 차원(길이)과 단위(SI, 미터)를 갖도록 보장한다.
변위 사차원 벡터는 두 사건을 연결하는 벡터로 정의된다.

: $\Delta \mathbf{R} = (c\Delta t, \Delta \mathbf{r})$

물리적 현상을 고려할 때, 보통 미분 방정식이 자연스럽게 발생한다. 그러나 함수의 공간 및 시간 미분을 고려할 때, 이러한 미분이 어떤 기준 틀에 대해 취해지는지가 불분명하다. 고유 시간 $\tau$ 에 대한 시간 미분은 불변량이므로, 임의의 사차원 벡터의 고유 시간에 대한 미분은 그 자체로 사차원 벡터임을 보장한다.

상대성 이론에서 중요한 사차원 벡터는 미분 $\frac{d}{d\tau}$ 를 적용하여 정의할 수 있다. 시간을 $x^0$ , 공간의 3성분을 $x^i$ 라 하면, 4차원 위치 벡터는 다음과 같다.

: $x^\mu=(ct,\boldsymbol{x})=(ct,x,y,z)$ 혹은 $x^\mu=(\boldsymbol{x},ct)=(x,y,z,ct)$

이는 시간과 공간이 결합된 시공간 상의 한 점을 나타내는 위치 벡터가 된다. 이때 $x^\mu$ 가 가리키는 점을 사건(event)이라고 부른다. 상수 c는 진공 중의 광속으로, 시간을 길이의 차원으로 환산하는 역할을 한다.

시간 성분을 몇 번째에 둘지는 표기법을 일관되게 사용하는 한 자유이다. 다만 관례적으로는 위에 언급한 순서로 표기된다. 공간 성분을 제1, 2, 3이라고 부르기 때문에, 시간 성분을 전자는 제0성분, 후자는 제4성분이라고 부른다. 시간 성분에 허수 단위 i를 곱하여, $x^4=ict$ 나 $x_4=ict$ 로 하는 경우도 있다.

6. 1. 4-위치

민코프스키 공간에서 시간과 공간의 위치를 나타내는 점을 "사건"이라고 하며, '''4-위치''' 또는 '''위치 사차원 벡터'''라고 부른다. 4-위치는 기준틀에서 네 개의 좌표 집합으로 표현된다.

:

\mathbf{R} = (ct, \mathbf{r})

여기서 '''r'''은 3차원 공간의 위치 벡터이다. '''r'''이 좌표 시간 ''t''의 함수, 즉 '''r''' = '''r'''(''t'')이면, ''t''가 변함에 따라 일련의 사건들이 된다. ''R''⁰ = ''ct'' 정의는 모든 좌표가 동일한 물리적 차원(길이)과 단위(SI, 미터)를 갖도록 보장한다.^[8]^[9]^[10]^[11]

'''변위 사차원 벡터'''는 두 사건을 연결하는 벡터로 정의된다.

:

\Delta \mathbf{R} = (c\Delta t, \Delta \mathbf{r})

미분 사차원 위치의 세계선에 대해, 노름 표기법을 사용하면 다음과 같다.

:

\|d\mathbf{R}\|^2 = \mathbf{dR \cdot dR} = dR^\mu dR_\mu = c^2d\tau^2 = ds^2 \,

여기서 미분 선 요소 d''s''와 미분 고유 시간 증가 d''τ''를 정의한다.

:

\|d\mathbf{R}\|^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,

따라서,

:

(c d\tau)^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,

물리적 현상을 고려할 때, 보통 미분 방정식이 자연스럽게 발생한다. 그러나 함수의 공간 및 시간 미분을 고려할 때, 이러한 미분이 어떤 기준 틀에 대해 취해지는지가 불분명하다. 고유 시간

\tau

에 대한 시간 미분은 불변량이므로, 임의의 사차원 벡터의 고유 시간에 대한 미분은 그 자체로 사차원 벡터임을 보장한다.

좌표 시간 ''t''를 관성 기준 틀에서 사용하면, 고유 시간 미분과 좌표 시간 미분 간의 관계는 위의 미분 불변 시공간 간격을 (''cdt'')²로 나누어 얻을 수 있다.

:

\left(\frac{cd\tau}{cdt}\right)^2 = 1 - \left(\frac{d\mathbf{r}}{cdt}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{cdt}\right) = 1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{u})^2} \,

여기서 '''u''' = ''d'''''r'''/''dt''는 좌표 ''x'', ''y'', ''z''와 좌표 시간 ''t''와 동일한 틀에서 측정된 물체의 좌표 3-속도이며,

:

\gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}

는 로렌츠 인자이다. 이는 좌표 시간과 고유 시간의 미분 간의 유용한 관계를 제공한다.

:

dt = \gamma(\mathbf{u})d\tau \,

이 관계는 로렌츠 변환의 시간 변환에서도 찾을 수 있다.

상대성 이론에서 중요한 사차원 벡터는 미분

\frac{d}{d\tau}

를 적용하여 정의할 수 있다. 시간을 , 공간의 3성분을 라고 하면, 4차원 위치 벡터는 다음과 같다.

:

x^\mu=(ct,\boldsymbol{x})=(ct,x,y,z)

혹은

x^\mu=(\boldsymbol{x},ct)=(x,y,z,ct)

는 시간과 공간이 결합된 시공간 상의 한 점을 나타내는 위치 벡터가 된다. 이때 가 가리키는 점을 사건( )이라고 부른다. 상수 는 진공 중의 광속으로, 시간을 길이의 차원으로 환산하는 역할을 한다.

시간 성분을 몇 번째에 둘지는, 표기법을 일관되게 사용하는 한 자유이다. 다만 관례적으로는 위에 언급한 순서로 표기된다. 공간 성분을 제1, 2, 3이라고 부르기 때문에, 시간 성분을 전자는 제0성분, 후자는 제4성분이라고 부른다. 시간 성분에 허수 단위 를 곱하여, 나 로 하는 경우도 있다.

7. 운동학

사차원 벡터는 운동학에서 입자의 운동 상태를 나타내는 데 사용된다. 사차원 속도와 사차원 가속도 등을 정의할 수 있다.

7. 1. 4-속도

입자의 사차원 속도는 다음과 같이 정의된다.^[8]^[9]^[10]^[11]

:

\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau} = \frac{d\mathbf{X}}{dt}\frac{dt}{d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(c, \mathbf{u}\right),

여기서

\tau

는 입자의 고유 시간,

\mathbf{X}

는 4-위치, ''t''는 좌표 시간, ''c''는 광속, '''u'''는 좌표 3-속도,

\gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}

는 로렌츠 인자이다.

기하학적으로 '''U'''는 입자의 세계선에 접하는 정규화된 벡터이다. 사차원 위치의 미분을 사용하여 사차원 속도의 크기를 얻을 수 있다.

:

\|\mathbf{U}\|^2 = U^\mu U_\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX_\mu}{d\tau} = \frac{dX^\mu dX_\mu}{d\tau^2} = c^2 \,,

간단히 말해, 모든 물체의 사차원 속도의 크기는 항상 고정된 상수(광속)이다.

:

\| \mathbf{U} \|^2 = c^2

사차원 속도의 단위는 SI에서 m/s이고 기하 단위계에서는 1이다. 사차원 속도는 공변 반대 벡터이다.

7. 2. 4-가속도

4차원 가속도는 4차원 속도를 고유 시간으로 미분한 값으로 다음과 같이 주어진다.

:

\mathbf{A} = \frac{d\mathbf{U} }{d \tau} = \gamma(\mathbf{u}) \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a} \right).

여기서 '''a''' = ''d'''''u'''/''dt''는 좌표 3차원 가속도이다. '''U'''의 크기는 상수이므로, 4차원 가속도는 4차원 속도에 수직이며, 4차원 가속도와 4차원 속도의 민코프스키 내적은 0이다.

:

\mathbf{A}\cdot\mathbf{U} = A^\mu U_\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} U_\mu = \frac{1}{2} \, \frac{d}{d\tau} \left(U^\mu U_\mu\right) = 0 \,

이는 모든 세계선에 대해 참이다. 4차원 가속도의 기하학적 의미는 민코프스키 공간에서 세계선의 곡률 벡터이다.

8. 동역학

사차원 운동량과 사차원 힘은 고전역학의 운동량과 힘을 특수 상대성이론에 맞게 확장한 개념이다.

8. 1. 4-운동량

불변 질량 ''m''₀을 가진 질량 입자의 경우, 사차원 운동량은 다음과 같이 주어진다.

:

\mathbf{P} = m_0 \mathbf{U} = m_0\gamma(\mathbf{u})(c, \mathbf{u}) = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)

여기서 움직이는 입자의 총 에너지는 다음과 같다.

:

E = \gamma(\mathbf{u}) m_0 c^2

그리고 총 상대론적 운동량은 다음과 같다.

:

\mathbf{p} = \gamma(\mathbf{u}) m_0 \mathbf{u}

사차원 운동량과 자신과의 내적을 취하면 다음과 같다.

:

\|\mathbf{P}\|^2 = P^\mu P_\mu = m_0^2 U^\mu U_\mu = m_0^2 c^2

그리고 또한:

:

\|\mathbf{P}\|^2 = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p}

이것은 에너지-운동량 관계식으로 이어진다.

:

E^2 = c^2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + \left(m_0 c^2\right)^2 \,.

이 마지막 관계는 상대론적 역학에서 유용하며, 상대론적 양자 역학 및 상대론적 양자장론에서 필수적이며, 모두 입자 물리학에 적용된다.

4차원 운동량은 시간 성분이 에너지 이고, 공간 성분이 운동량이다.

:

p^\mu = \left( \frac{E}{c},\boldsymbol{p} \right)

특히 그 절대값은 질량이며, 통상 음수 또는 0이다.

:

p^2=-\frac{E^2}{c^2}+\boldsymbol{p}^2=-m^2c^2

8. 2. 4-힘

4차원 힘은 뉴턴의 제2법칙에서 3차원 운동량의 시간에 대한 미분으로 3차원 힘과 유사하게 정의된다.

:

\mathbf{F} = \frac {d \mathbf{P}} {d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt}, \frac{d\mathbf{p}}{dt}\right) = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{P}{c}, \mathbf{f}\right)

여기서 ''P''는 입자를 움직이는 데 전달되는 일률, '''f'''는 입자에 작용하는 3차원 힘이다. 불변 질량 ''m''₀인 입자의 경우, 이는 다음과 같다.

:

\mathbf{F} = m_0 \mathbf{A} = m_0\gamma(\mathbf{u})\left( \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a}\right) \right)

4차원 힘에서 파생된 불변량은 다음과 같다.

:

\mathbf{F}\cdot\mathbf{U} = F^\mu U_\mu = m_0 A^\mu U_\mu = 0

9. 열역학

상대론적 열전도 현상을 기술하기 위해 4차원 열 흐름, 4차원 바리온 수 흐름, 4차원 엔트로피 벡터 등이 사용된다.

9. 1. 4-열 흐름

4-열 흐름 벡터는 유체의 국소 좌표계에서 3차원 열 흐름 벡터장 '''q'''와 유사하게 정의된다.^[12]

:

\mathbf{Q} = -k \boldsymbol{\partial} T = -k\left( \frac{1}{c}\frac{\partial T}{\partial t}, \nabla T\right)

여기서 ''T''는 절대 온도, ''k''는 열전도율이다.

9. 2. 4-바리온 수 흐름

바리온의 플럭스는 다음과 같이 정의된다.^[13]

:

\mathbf{S} = n\mathbf{U}

여기서

n

은 바리온 유체의 국소 정지 좌표계에서의 수밀도를 나타내며 (바리온에 대해서는 양수, 반입자에 대해서는 음수),

\mathbf{U}

는 위에서 언급한 (유체의) 사차원 속도장이다.

9. 3. 4-엔트로피

사차원 엔트로피 벡터는 다음과 같이 정의된다.^[14]

:

\mathbf{s} = s\mathbf{S} + \frac{\mathbf{Q}}{T}

여기서 s^영어는 바리온당 엔트로피이고, T^영어는 유체의 국소 정지 프레임에서 절대 온도이다.^[15]

10. 전자기학

전자기학에서 사차원 전류는 $\mathbf{J} = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)$ 로 정의된다.^[16] 여기서 '''j'''는 전류 밀도, ''ρ''는 전하 밀도이다. 전자기 4-포텐셜은 $\mathbf{A} = \left( \frac{\phi}{c}, \mathbf{a} \right)$ 로 정의된다. 여기서 '''a'''는 벡터 포텐셜, ''ϕ''는 스칼라 포텐셜이다. 4-포텐셜은 게이지 선택에 따라 달라진다.

전자기장에 대한 파동 방정식은 다음과 같다.

진공에서는 $(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = 0$
4-전류원과 로렌츠 게이지 조건 $(\boldsymbol{\partial} \cdot \mathbf{A}) = 0$ 을 사용하면, $(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J}$

10. 1. 4-전류

전자기 사차원 전류(더 정확하게는 사차원 전류 밀도)^[16]는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{J} = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)

여기서 '''j'''는 전류 밀도, ''ρ''는 전하 밀도이다.

4차원 전류 밀도: 시간 성분이 전하 밀도 ''ρ''이고, 공간 성분이 전류 밀도 '''j'''이다.

::

J^\mu = (\rho c,\boldsymbol{j})

10. 2. 4-포텐셜

전자기 4-포텐셜(또는 더 정확하게는 4-EM 벡터 포텐셜)은 스칼라 포텐셜과 벡터 포텐셜을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{A} = \left( \frac{\phi}{c}, \mathbf{a} \right)

4-포텐셜은 고유하게 결정되지 않으며, 이는 게이지 선택에 따라 달라지기 때문이다.

전자기장에 대한 파동 방정식에서 4-전류원과 로렌츠 게이지 조건을 사용하면 다음과 같다.

진공에서: $(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = 0$
4-전류원과 로렌츠 게이지 조건 $(\boldsymbol{\partial} \cdot \mathbf{A}) = 0$ 을 사용하면: $(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J}$

4차원 포텐셜은 시간 성분이 스칼라 포텐셜 이고, 공간 성분이 벡터 포텐셜 ''''''이다.

:

A^\mu = \left( \frac{\phi}{c},\boldsymbol{A} \right)

11. 파동

이 섹션에서는 파동과 관련된 4차원 벡터에 대해 다룬다.

'''4-주파수'''는 광자 평면파를 설명하는 데 사용되는 4차원 벡터이다. 4-주파수는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbf{N} = \nu\left(1 , \hat{\mathbf{n}} \right)$

여기서 $\nu$ 는 파동의 주파수이고 $\hat{\mathbf{n}}$ 은 파동의 진행 방향의 단위 벡터이다. 4-주파수의 노름(norm)은 항상 0이다.

: $\|\mathbf{N}\| = N^\mu N_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0$

시간과 공간에 대한 역수량은 각각 각진동수와 각파수이며, 이들은 '''4-파수 벡터''' 또는 '''파동 4차원 벡터'''의 성분을 이룬다.

: $\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{\mathbf{k}}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_p} \hat{\mathbf{n}}\right) \,.$

파동 4차원 벡터는 SI 단위계에서 상호 유도 단위 역미터를 가진다.^[17]

드 브로이 관계식은 4-파수 벡터가 물질파뿐만 아니라 빛의 파동에도 적용됨을 보여준다.

: $\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right) = \hbar \left(\frac{\omega}{c},\vec{k} \right) ~.$

여기서 $E = \hbar \omega$ 와 $\vec{p} = \hbar \vec{k}$ 을 얻으며, $\hbar$ 는 플랑크 상수를 $2\pi$ 로 나눈 값이다.

4-파수 벡터의 노름의 제곱은 다음과 같다.

: $\| \mathbf{K} \|^2 = K^\mu K_\mu = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,$

드 브로이 관계식에 의해 에너지-운동량 관계의 물질파 유사체를 얻을 수 있다.

: $\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 ~.$

11. 1. 4-주파수

광자 평면파는 다음과 같이 정의되는 4-주파수로 설명할 수 있다.

:

\mathbf{N} = \nu\left(1 , \hat{\mathbf{n}} \right)

여기서

\nu

는 파동의 주파수이고

\hat{\mathbf{n}}

은 파동의 진행 방향의 단위 벡터이다.

:

\|\mathbf{N}\| = N^\mu N_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0

따라서 광자의 4-주파수는 항상 영 벡터이다.

11. 2. 4-파수 벡터

시간 와 공간 ''''''에 대한 역수량은 각각 각진동수 와 각파수 ''''''이다. 이들은 '''사파수 벡터''' 또는 '''파동 사차원 벡터'''의 성분을 이룬다.

\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{\mathbf{k}}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_p} \hat{\mathbf{n}}\right) \,.

파동 사차원 벡터는 SI 단위계에서 상호 유도 단위 역미터를 가진다.^[17]

거의 단색광의 파동 묶음은 다음과 같이 설명할 수 있다.

\mathbf{K} = \frac{2\pi}{c}\mathbf{N} = \frac{2\pi}{c} \nu\left(1,\hat{\mathbf{n}}\right) = \frac{\omega}{c} \left(1, \hat{\mathbf{n}}\right) ~.

드 브로이 관계식은 사파수 벡터가 물질파뿐만 아니라 빛의 파동에도 적용됨을 보여주었다.

\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right) = \hbar \left(\frac{\omega}{c},\vec{k} \right) ~.

여기서

E = \hbar \omega

와

\vec{p} = \hbar \vec{k}

을 얻으며, 는 플랑크 상수를 로 나눈 값이다.

노름의 제곱은 다음과 같다.

\| \mathbf{K} \|^2 = K^\mu K_\mu = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,

그리고 드 브로이 관계식에 의해:

\| \mathbf{K} \|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \| \mathbf{P} \|^2 = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 \,,

우리는 에너지-운동량 관계의 물질파 유사체를 가진다.

\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 ~.

질량이 없는 입자의 경우, 일 때 다음을 얻는다.

\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,

또는 . 이것은 위의 경우와 일치한다; 단위 벡터

\ \hat{\mathbf{n}} ~.

에 의해 정의된 파동 전파 방향에서, 모듈러스가 인 광자의 3-파수 벡터의 경우를 보자.

파수: 시간 성분이 각진동수 이고, 공간 성분이 파수 ''''''이다.

::

k^\mu=\left( \frac{\omega}{c},\boldsymbol{k} \right)

12. 양자 이론

양자역학에서 4차원 벡터는 4-확률 전류와 4-운동량 연산자 등에서 찾아볼 수 있다. 4-확률 전류는 고전적인 4-전류와 유사하게 정의되며, 확률 밀도 함수와 확률 전류 벡터로 구성된다.^[18] 4-운동량의 경우, 에너지는 에너지 연산자로, 운동량은 운동량 연산자로 대체되어 상대론적 파동 방정식에 사용된다.

12. 1. 4-확률 전류

양자역학에서, 4차원 확률 전류 또는 확률 4-전류는 4-전류와 유사하다.^[18]

:

\mathbf{J} = (\rho c, \mathbf{j})

여기서 ''ρ''^영어는 시간 성분에 해당하는 확률 밀도 함수이고, '''j'''^영어는 확률 전류 벡터이다. 비상대론적 양자역학에서, 이 전류는 밀도와 전류에 대한 표현식이 양의 정부호이고 확률적 해석을 허용할 수 있기 때문에 항상 잘 정의된다. 상대론적 양자역학과 양자장론에서는 특히 상호작용이 관련될 때 항상 전류를 찾을 수 있는 것은 아니다.

4-운동량에서 에너지를 에너지 연산자로, 운동량을 운동량 연산자로 대체하면 상대론적 파동 방정식에 사용되는 4-운동량 연산자를 얻을 수 있다.

12. 2. 4-스핀

4-스핀은 입자의 정지 좌표계에서 스핀 의사벡터를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{S} = (0, \mathbf{s})

양자역학에서 이 벡터의 세 성분 모두를 동시에 측정할 수는 없으며, 오직 하나의 성분만 측정 가능하다. 시간 유사 성분은 입자의 정지 좌표계에서는 0이지만, 다른 좌표계에서는 0이 아니다.

노름 제곱은 스핀 크기의 (음의) 제곱이며, 양자역학에 따르면 다음과 같다.

:

\|\mathbf{S}\|^2 = -|\mathbf{s}|^2 = -\hbar^2 s(s + 1)

이 값은 관측 가능하며 양자화되어 있고, 는 스핀 양자수이다.

13. 다른 표현법

파울리 행렬을 기저로 사용하여 사차원 벡터 ''A''를 정의할 수 있으며, 다음과 같이 다양한 등가 표기법을 사용할 수 있다.^[19]

:''A'' = (''A''⁰, ''A''¹, ''A''², ''A''³)

: = ''A''⁰'''σ'''₀ + ''A''¹'''σ'''₁ + ''A''²'''σ'''₂ + ''A''³'''σ'''₃

: = ''A''⁰'''σ'''₀ + ''A''ⁱ'''σ'''_i

: = ''A''^α'''σ'''_α

또는 명시적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:''A'' = ''A''⁰ + ''A''¹ + ''A''² + ''A''³

: =

이 공식에서 사차원 벡터는 실제 값의 열 또는 행 벡터가 아닌 에르미트 행렬(행렬 전치와 복소 켤레)로 표현된다. 행렬의 행렬식은 사차원 벡터의 모듈러스이므로 행렬식은 불변량이다.

: |''A''| =

: = (''A''⁰ + ''A''³)(''A''⁰ - ''A''³) - (''A''¹ - i ''A''²)(''A''¹ + i ''A''²)

: = (''A''⁰)² - (''A''¹)² - (''A''²)² - (''A''³)²

기저 벡터로 파울리 행렬을 사용하는 것은 클리포드 대수의 한 예인 물리적 공간 대수에서 사용되는 방법이다. 시공간 대수는 또 다른 클리포드 대수의 예시이며, 여기서 감마 행렬은 기저를 형성할 수 있다. (감마 행렬은 디랙 방정식에도 나타나기 때문에 디랙 행렬이라고도 불린다.)

파인만 슬래시 표기법은 감마 행렬과 수축된 사차원 벡터 '''A'''에 대한 약식 표기법이다.

:'''A''' = A_αγ^α = A₀γ⁰ + A₁γ¹ + A₂γ² + A₃γ³

감마 행렬과 수축된 사차원 운동량은 상대론적 양자역학과 상대론적 양자장론에서 중요한 요소이다. 디랙 방정식 및 기타 상대론적 파동 방정식에서는 다음과 같은 형태의 항이 나타난다.

:'''P''' = P_αγ^α = P₀γ⁰ + P₁γ¹ + P₂γ² + P₃γ³ = E^영어/c γ⁰ - p_xγ¹ - p_yγ² - p_zγ³

여기서 에너지 E^영어와 운동량 성분 (p_x, p_y, p_z)는 각 연산자로 대체된다.

참조

_[1] 서적 Introduction to Special Relativity (2nd edn.) Clarendon Press Oxford
_[2] 서적 Physics of the Lorentz Group Morgan & Claypool Publishers 2015-11-01
_[3] 서적 Relativity DeMystified Mc Graw Hill (BSA)
_[4] 서적 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics https://archive.org/[...] McGraw Hill
_[5] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[6] 서적 Dynamics and Relativity Wiley
_[7] 서적 Relativity DeMystified Mc Graw Hill (ASB)
_[8] 웹사이트 Details for IEV number 113-07-19: "position four-vector" https://www.electrop[...] 2024-09-08
_[9] 서적 Quantum Field Theory
_[10] 서적 Gravitation
_[11] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory
_[12] 논문 Relativistic heat conduction
_[13] 서적 Gravitation https://archive.org/[...] W.H. Freeman & Co
_[14] 서적 Gravitation https://archive.org/[...] W.H. Freeman & Co
_[15] 서적 Gravitation https://archive.org/[...] W.H. Freeman & Co
_[16] 서적 Introduction to Special Relativity https://books.google[...] Oxford Science Publications
_[17] 웹사이트 Details for IEV number 113-07-57: "four-wave vector" https://www.electrop[...] 2024-09-08
_[18] 서적 Quantum leap: from Dirac and Feynman, across the universe, to human body and mind https://books.google[...] World Scientific Publishing Company
_[19] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co

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