슐레플리 기호
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1. 개요
슐레플리 기호는 볼록한 정다각형을 나타내는 데 사용되는 재귀적 표기법으로, 정규 다면체, 4차원 다면체 및 더 높은 차원의 정다포체를 설명하는 데 사용된다. 슐레플리 기호는 {p, q, r, ...} 형식으로, 각 숫자는 다포체의 면의 종류와 꼭짓점 주변 면의 개수를 나타낸다. 예를 들어, 정다각형은 {p}로, 정다면체는 {p, q}로, 정 4차원 다면체는 {p, q, r}로 표시된다. 슐레플리 기호는 정다포체의 성질을 간결하게 나타내며, 대칭군, 테셀레이션 등과도 밀접한 관련이 있다.
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| 슐레플리 기호 | |
|---|---|
| 슈레플리 기호 | |
| 정의 | 볼록 정다포체, 유클리드 공간의 벌집, 쌍곡 공간의 벌집을 묘사하는 표기법 정다각형, 정다면체 및 그 고차원 유사체를 일반화하는 데 사용할 수 있음 |
| 역사 | |
| 창시자 | 루트비히 슐래플리 |
| 발명 시기 | 19세기 |
| 표기법 | |
| {p} | p각형을 나타냄 |
| {p, q} | 각 꼭짓점에 q개의 p각형 면이 있는 다면체를 나타냄 |
| {p, q, r} | 각 모서리에 r개의 {p, q} 셀이 있는 4차원 다포체를 나타냄 |
| {p, q, r, s} | 각 면에 s개의 {p, q, r} 초입방체가 있는 5차원 다포체를 나타냄 |
| {p, q, r, ..., w} | 유사한 방식으로 계속됨 |
| 의미 | |
| 정다각형 {p} | 정다각형은 p개의 변을 가짐 |
| 정다면체 {p, q} | 정다면체는 각 꼭짓점에 q개의 정p각형 면을 가짐 정다면체의 면은 모두 합동인 정다각형이며, 각 꼭짓점은 동일한 수의 면을 공유함 |
| 예시 | 정사면체: {3, 3} (각 꼭짓점에 3개의 삼각형 면) 정육면체: {4, 3} (각 꼭짓점에 3개의 사각형 면) 정팔면체: {3, 4} (각 꼭짓점에 4개의 삼각형 면) 정십이면체: {5, 3} (각 꼭짓점에 3개의 오각형 면) 정이십면체: {3, 5} (각 꼭짓점에 5개의 삼각형 면) |
| 확장된 슈레플리 기호 | |
| 형태 | a{p, q} 또는 r{p, q} |
| 역할 | 잘린 다면체 및 깎은 다면체와 같은 파생된 형태를 나타내는 데 사용됨 |
| 활용 | |
| 정다포체 | 정다포체를 정의하고 분류하는 데 사용 |
| 유클리드 공간 벌집 | 유클리드 공간에서 벌집 구조를 나타내는 데 사용 |
| 쌍곡 공간 벌집 | 쌍곡 공간에서 벌집 구조를 나타내는 데 사용 |
| 기타 | |
| 참고 | 슈레플리 기호는 볼록 정다포체, 유클리드 공간의 벌집, 쌍곡 공간의 벌집에만 적용 가능 |
2. 정의
슐레플리 기호는 정다포체를 나타내는 기호 체계로, 재귀적 정의를 사용하여 정의된다.[1] 이는 낮은 차원의 정다포체 정의를 기반으로 더 높은 차원의 정다포체를 정의하는 방식이다.
가장 기본적인 단계는 2차원의 정다각형으로, 변의 개수가 ''p''일 때 {''p''}로 표기한다. 예를 들어, {3}은 정삼각형, {4}는 정사각형이다.
이를 확장하여, 3차원 정다면체는 {''p'',''q''}로 표기하는데, 이는 각 꼭짓점 주변에 ''q''개의 {''p''} 면이 모인다는 의미이다. 예를 들어, 정육면체는 각 꼭짓점 주위에 3개의 정사각형( {4} )이 모이므로 {4,3}이다.
같은 원리로, 4차원 정규 4차원 다면체는 {''p'',''q'',''r''}로 표기하며, 이는 각 모서리 주변에 ''r''개의 {''p'',''q''} 셀(3차원 면)이 모인다는 것을 뜻한다. 예를 들어, 초정육포체는 각 모서리 주위에 3개의 정육면체( {4,3} )가 모이므로 {4,3,3}이다.
일반적으로 ''n''차원 정포체 {''p''1, ''p''2, ..., ''p''''n''−1}는 각 피크(peak) 주변에 ''p''''n''−1개의 {''p''1, ''p''2, ..., ''p''''n''−2} 면을 가진다. 여기서 피크는 다포체의 (''n''−3)차원 요소를 의미한다. 즉, ''n''차원 정다포체의 마지막 숫자 ''p''''n''−1는 (''n''-3)차원 요소 주위에 모이는 (''n''-1)차원 면의 개수를 나타낸다.
이 재귀적 정의는 다음과 같이 공식화될 수 있다.
# 선분의 슐레플리 기호는 {}이다.
# 변이 ''p''개인 정다각형의 슐레플리 기호는 {''p''}이다.
# ''n'' ≥ 3일 때, ''n''차원 정다포체의 슐레플리 기호는 {''p''1, ''p''2, ... ,''p''''n'' - 2, ''q'' }이다. 이는 각 (''n''-3)차원 요소(피크)에 ''q''개의 (''n''-1)차원 면 {''p''1, ''p''2, ... ,''p''''n'' - 2}가 모인다는 것을 의미한다.
볼록하지 않은 별 다각형이나, 꼭짓점 도형 등이 별 모양인 경우, 슐레플리 기호에 ''p''/''q''와 같은 기약 분수 형태의 비정수 표기가 사용될 수 있다. 여기서 ''p''는 꼭짓점(또는 해당 요소)의 수, ''q''는 회전수 또는 밀도를 나타낸다. 예를 들어, {5/2}는 별오각형을 나타낸다.
2. 1. 정다각형
변이 ''p''개인 볼록 정다각형의 슐레플리 기호는 {''p''}이다. 예를 들어, 정삼각형은 {3}, 정사각형은 {4}, 볼록 정오각형은 {5} 등으로 나타낸다.[1]
정규 별 다각형은 볼록하지 않은 다각형으로, 슐레플리 기호 {''p''/''q''}를 사용하여 나타낸다. 여기서 ''p''는 꼭짓점의 수이고, ''q''는 회전수를 의미하는 기약 분수이다. 이는 정다각형 {''p''}의 꼭짓점에서 시작하여 매 ''q''번째 꼭짓점을 연결하여 만들어지는 것과 같다. 다른 관점에서는, 별의 각 변을 그릴 때 ''q''−1개의 꼭짓점을 건너뛰는 것으로 이해할 수도 있다. 예를 들어, {5/2}는 다섯 개의 꼭짓점을 가지고 매 두 번째 꼭짓점을 연결하여 만들어지는 별오각형(오각별)을 나타낸다.
2. 2. 정다면체
각 꼭짓점 주변에 ''q''개의 정규 ''p''각형 면을 갖는 정다면체는 {''p'',''q''}로 표시된다. 예를 들어, 정육면체는 각 꼭짓점 주변에 3개의 정사각형 면을 가지며 {4,3}으로 표시된다.정다면체에는 5개의 볼록 플라톤 다면체와 4개의 비볼록 케플러-푸앵소 다면체가 있다. 각 정다면체의 슐레플리 기호는 다음과 같다.
| 이름 | 슐레플리 기호 |
|---|---|
| 정사면체 | {3,3} |
| 정육면체 | {4,3} |
| 정팔면체 | {3,4} |
| 정십이면체 | {5,3} |
| 정이십면체 | {3,5} |
| 작은 별모양 십이면체 | {5/2,5} |
| 큰 십이면체 | {5,5/2} |
| 큰 별모양 십이면체 | {5/2,3} |
| 큰 이십면체 | {3,5/2} |
2. 3. 정 4차원 다면체
각 모서리 주변에 ''r''개의 {''p'',''q''} 정다면체 셀을 갖는 정규 4차원 다면체는 {''p'',''q'',''r''}로 표시된다.[1] 예를 들어, 정팔포체 (초정육면체)는 각 모서리 주변에 3개의 정육면체 {4,3}을 가지므로 {4,3,3}으로 표시된다.4차원 다면체에서 모서리는 1차원 요소, 면은 2차원 요소, 셀은 3차원 요소이다. 슐레플리 기호 {''p'',''q'',''r''}에서 ''r''은 각 모서리(1차원 요소, 4차원 다면체의 피크) 주변에 모이는 셀({''p'',''q''})의 개수를 나타낸다.
정 4차원 다면체와 그 슐레플리 기호는 다음과 같다.
| 이름 | 슐레플리 기호 |
|---|---|
| 정오포체 | {3,3,3} |
| 정팔포체 (초정육면체) | {4,3,3} |
| 정십육포체 | {3,3,4} |
| 정이십사포체 | {3,4,3} |
| 정백이십포체 | {5,3,3} |
| 정육백포체 | {3,3,5} |
| 대장성형백이십포체 | {5/2,3,3} |
| 장육백포체 | {3,3,5/2} |
| 대성형백이십포체 | {5/2,3,5} |
| 장백이십포체 | {5,3,5/2} |
| 장성형백이십포체 | {5/2,5,5/2} |
| 소성형백이십포체 | {5/2,5,3} |
| 이십면체백이십포체 | {3,5,5/2} |
| 대이십면체백이십포체 | {3,5/2,5} |
| 대장백이십포체 | {5,5/2,3} |
| 대백이십포체 | {5,5/2,5} |
2. 4. 일반적인 정다포체
슐레플리 기호는 재귀적 정의를 사용하여 정의된다.[1]1. 가장 기본적인 정다각형은 변의 개수를 ''p''라고 할 때 {''p''}로 나타낸다. 예를 들어, 정삼각형은 {3}, 정사각형은 {4}, 볼록 정오각형은 {5}이다.
2. 정다면체는 각 꼭짓점 주변에 ''q''개의 {''p''} 면이 모일 때 {''p'',''q''}로 나타낸다. 예를 들어, 정육면체는 각 꼭짓점 주변에 3개의 정사각형({4}) 면이 모이므로 {4,3}으로 표시한다.
3. 정규 4차원 다포체는 각 모서리 주변에 ''r''개의 {''p'',''q''} 셀(3차원 면)이 모일 때 {''p'',''q'',''r''}로 나타낸다. 예를 들어, 초정육면체(테서랙트)는 각 모서리 주변에 3개의 정육면체({4,3}) 셀이 모이므로 {4,3,3}으로 표시한다.
일반적으로 ''n''차원의 정다포체 {''p''1, ''p''2, ..., ''p''''n'' − 1}는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
- 그 다포체의 면((''n''-1)차원 요소)은 슐레플리 기호가 {''p''1, ''p''2, ..., ''p''''n'' − 2}인 정다포체이다.
- 그 다포체의 꼭짓점 도형은 슐레플리 기호가 {''p''2, ''p''3, ..., ''p''''n'' − 1}인 정다포체이다.
이를 다른 방식으로 표현하면, 정다포체 {''p'',''q'',''r'',...,''y'',''z''}는 각 피크 주변에 ''z''개의 {''p'',''q'',''r'',...,''y''} 면을 가진다. 여기서 피크(peak)는 다포체의 차원에 따라 다른 요소를 의미한다.
즉, ''n''차원 정다포체의 슐레플리 기호 {''p''1, ''p''2, ... ,''p''''n'' - 2, ''q'' }는 각 (''n''-3)차원 요소(피크)에 (''n''-1)차원 면 {''p''1, ''p''2, ... ,''p''''n'' - 2}가 ''q''개 모인다는 것을 의미한다. 참고로 다포체의 면의 꼭짓점 도형과, 같은 다포체의 꼭짓점 도형의 면은 동일하며, 그 슐레플리 기호는 {''p''2, ''p''3, ..., ''p''''n'' − 2}이다.
5차원 이상에서는 오직 세 종류의 정다포체만이 존재한다.
- 단순체: {3, 3, 3, ..., 3}
- 교차 다포체(초정팔면체): {3, 3, ..., 3, 4}
- 초정육면체: {4, 3, 3, ..., 3}
4차원 이상에서는 비볼록 정다포체(별 다포체)는 존재하지 않는다.
| 차원 | 이름 | 슐레플리 기호 |
|---|---|---|
| n | n-단순체 | {3, 3, ..., 3} (3이 n-1개) |
| n | n-교차 다포체 (초정팔면체) | {3, 3, ..., 3, 4} (3이 n-2개) |
| n | n-초정육면체 | {4, 3, 3, ..., 3} (3이 n-2개) |
정다포체는 정규 꼭짓점 도형을 갖는다. ''n''차원 정다포체 {''p''1,''p''2,...,''p''''n'' - 1}의 꼭짓점 도형은 ''n''-1차원 정다포체 {''p''2,''p''3,...,''p''''n'' - 1}이다. 예를 들어, 정다면체 {''p'',''q''}의 꼭짓점 도형은 정''q''각형 {''q''}이다.
또한, ''n''차원 공간을 채우는 정규 허니콤(공간 채움 도형)도 슐레플리 기호로 나타낼 수 있다. 예를 들어, ''n''차원 초입방체에 의한 ''n''차원 유클리드 공간 채움 도형의 슐레플리 기호는 {4, 3, 3, ..., 3, 4} (3이 ''n''-2개)이다.
3. 성질
정다포체는 별 다각형 요소를 가질 수 있다. 예를 들어 슐레플리 기호 {5/2}는 오각형의 꼭짓점을 번갈아 연결하여 만든 오각성을 나타낸다.
슐레플리 기호는 각 결손의 값에 따라 다음과 같은 종류의 공간을 채우는 도형을 나타낼 수 있다.
모든 정다포체는 쌍대 다포체를 가지며, 이는 원래 다포체의 슐레플리 기호 요소를 역순으로 나열하여 얻는다. 즉, {''p''1,''p''2,...,''p''''n'' - 1}의 쌍대 다포체는 {''p''''n'' - 1,''p''''n'' - 2,...,''p''1}이다. 만약 슐레플리 기호가 대칭적이라면 (예: {3,5,3}), 해당 다포체는 자기 쌍대이다.
슐레플리 기호는 유클리드 다포체뿐만 아니라 구면 다포체 또는 구면 벌집(구면 테셀레이션)을 설명하는 데에도 사용될 수 있다.[1]
''n''차원 정다포체와 그 슐레플리 기호 {''p''1,''p''2,...,''p''''n'' - 1}는 다음과 같은 일반적인 성질을 갖는다.
특히, 3차원 정다면체와 그 슐레플리 기호 {''p'',''q''}는 다음 성질을 만족한다.
정다면체에는 5개의 볼록 플라톤 다면체와 4개의 비볼록 케플러-푸앵소 다면체가 있다.
위상수학적으로, 정 2차원 테셀레이션은 각도 결손이 0인 다면체와 유사하게 취급될 수 있다. 따라서 슐레플리 기호는 유클리드 또는 쌍곡 공간의 정 테셀레이션에도 정의된다. 예를 들어, 유클리드 평면의 육각형 타일링은 {6,3}으로 표시된다. 이는 각 꼭짓점에서 정육각형 3개가 만나는 구조를 의미한다.
4. 역사와 변형
슐레플리의 연구는 그의 생애 동안 거의 알려지지 않았으며, 다면체를 묘사하기 위한 그의 표기법은 다른 여러 사람들에 의해 독립적으로 재발견되었다. 특히 토럴드 고셋은 슐레플리가 대괄호와 쉼표를 사용한 것과 달리 | ''p'' | ''q'' | ''r'' | ... | ''z'' | 와 같이 수직선을 사용하는 방식으로 슐레플리 기호를 재발견했다.[1]
고셋의 표기 방식은 슐레플리의 방식보다 더 큰 대칭성을 가지는 특징이 있다. 이 표기법에서는 차원의 수가 수직선의 수와 같으며, 기호는 해당 다포체의 면과 꼭짓점 도형에 대한 하위 기호를 정확하게 포함한다. 고셋은 | ''p'' 를 하나의 연산자로 간주했는데, 이 연산자는 | ''q'' | ... | ''z'' | 에 적용되어 꼭짓점 도형이 | ''q'' | ... | ''z'' | 인 ''p''각형 면을 가진 다면체를 생성하는 것으로 이해할 수 있다.
5. 대칭군
슐레플리 기호는 유한 반사 대칭 대칭군과 밀접한 관련이 있다. 이러한 대칭군은 유한 콕서터 군과 정확히 일치하며, 슐레플리 기호와 동일한 지수를 사용하지만 대괄호 `[''p'',''q'',''r'',...]`를 사용하여 표기한다.[1] 이 콕서터 군들은 종종 해당 군이 생성하는 정다포체의 이름을 따서 명명된다. 예를 들어, `[3,3]`은 반사 정사면체 대칭에 대한 콕서터 군이고, `[3,4]`는 반사 정팔면체 대칭, `[3,5]`는 반사 정이십면체 대칭을 나타낸다.
6. 확장 슐레플리 기호
슐레플리 기호를 확장한 확장 슐레플리 기호는 균일 다포체를 나타내는 데 사용될 수 있으며, 때로는 확장된 형태를 포함하여 단순히 슐레플리 기호라고 부르기도 한다.
균일 다포체는 각 면이 한 차원 낮은 균일 다포체(반드시 합동일 필요는 없음)로 이루어져 있고, 모든 꼭짓점 주변의 배열이 합동인 다포체를 말한다. 예를 들어, 3차원 균일 다포체인 균일 다면체에는 정다면체, 준정다면체, 아르키메데스 뿔대, 아르키메데스 반각기둥, 그리고 이를 일반화한 별 다면체 등이 포함된다.
균일 다포체는 모든 꼭짓점 주변이 합동이라는 특징 때문에 확장 슐레플리 기호 외에도 콕서터-딘킨 다이어그램이나 꼭짓점 모양으로도 기술할 수 있다. 다만, 4차원 이상의 균일 다포체의 경우 꼭짓점 모양을 간결하게 표현하기는 어렵다. 3차원 균일 다면체는 와이소프 기호로도 나타낼 수 있으며, 아르키메데스 뿔대와 그 고차원 일반화는 슐레플리 기호의 직적으로도 표현 가능하다.
6. 1. 교대, 쿼터, 스너브
슐레플리의 연구는 그가 살아있는 동안에는 널리 알려지지 않았고, 다면체를 나타내는 그의 표기법은 다른 여러 학자들에 의해 독립적으로 다시 발견되었다. 특히 토럴드 고셋은 슐레플리가 대괄호와 쉼표를 사용한 것과 달리, 수직선(|)을 사용하여 | ''p'' | ''q'' | ''r'' | ... | ''z'' | 와 같은 형태로 슐레플리 기호를 재발견했다.[1]고셋이 사용한 표기법은 더 큰 대칭성을 나타내며, 기호에 사용된 수직선의 수가 다면체의 차원을 의미한다. 또한 이 기호는 다면체의 면과 정점 도형에 대한 정보를 포함하고 있다. 고셋은 | ''p'' 를 일종의 연산자로 보았는데, 이 연산자를 | ''q'' | ... | ''z'' | 에 적용하면, 정점 도형이 | ''q'' | ... | ''z'' | 인 ''p''각형 면을 가진 다면체를 만들 수 있다고 생각했다.
7. 직적
정각기둥 다면체는 더 낮은 차원의 정다각형 다면체의 데카르트 곱(연산자 "×")으로 정의하고 명명할 수 있다.
| 차원 | 도형 | 슐레플리 기호 | 대칭 |
|---|---|---|---|
| 0 | 점 | ( ) | ][ |
| 1 | 선분 | { } | [ ] |
| 2 | 직사각형 | { } × { } | [2] |
| 3 | p각 각기둥 | { } × {p} | [2,p] |
| 4 | 정 {p,q}-면체 각기둥 | { } × {p,q} | [2,p,q] |
| 4 | 정 p-q 이중 각기둥 | {p} × {q} | [p,2,q] |
각기둥의 쌍대 다면체인 쌍각뿔은 복합 기호로 표시할 수 있는데, 이때는 "더하기" 연산자 "+"를 사용한다.
| 차원 | 도형 | 슐레플리 기호 | 대칭 |
|---|---|---|---|
| 2 | 마름모 | { } + { } | [2] |
| 3 | p각 쌍각뿔 | { } + {p} | [2,p] |
| 4 | {p,q}-면체 쌍각뿔 | { } + {p,q} | [p,q] |
| 4 | p-q 이중 쌍각뿔 | {p} + {q} | [p,2,q] |
직교적으로 오프셋된 꼭짓점을 포함하는 피라미드 다면체는 조인 연산자 "∨"를 사용하여 나타낼 수 있다. 조인된 도형 사이의 모든 꼭짓점 쌍은 모서리로 연결된다.
| 차원 | 도형 | 슐레플리 기호 |
|---|---|---|
| 2 | 이등변 삼각형 | ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )] |
| 3 | 이각 이면체 | { } ∨ { } = [( ) ∨ ( )] ∨ [( ) ∨ ( )] |
| 3 | p각뿔 | ( ) ∨ {p} |
| 4 | p-q-면체 피라미드 | ( ) ∨ {p,q} |
| 4 | 5-세포 | ( ) ∨ [( ) ∨ {3}] 또는 [( ) ∨ ( )] ∨ {3} = { } ∨ {3} |
| 4 | 정사각뿔 피라미드 | ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] 또는 [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4} |
연산자를 혼합할 때 연산 순서는 가장 높은 것부터 낮은 것 순으로 ×, +, ∨ 이다.
평행 오프셋 초평면에 꼭짓점을 포함하는 축 다면체는 ‖ 연산자로 표시할 수 있다. 정각기둥은 {''n''}‖{''n''}, 정반각기둥은 {''n''}‖''r''{''n''} 이다.
여러 슐레플리 기호를 { ... } × { ... } × ... × { ... } 와 같이 표기하여, 데카르트 곱을 표현할 수 있다.
8. 테셀레이션
슐레플리 기호 {''p'',''q''}는 정다각형 면으로 이루어진 3차원 다면체뿐만 아니라, 2차원 표면을 빈틈없이 채우는 테셀레이션을 나타내는 데에도 사용된다. 위상수학적으로 정규 테셀레이션은 다면체와 유사한 구조로 볼 수 있지만, 각도 결손이 0이라는 차이점을 가진다.
이러한 유사성 덕분에 슐레플리 기호는 구면, 유클리드 평면, 쌍곡 평면 등 다양한 기하학적 공간에서의 정규 테셀레이션을 분류하고 표현하는 데 유용하게 사용된다. 슐레플리 기호는 각 공간의 기하학적 특성에 따라 가능한 테셀레이션의 종류를 결정하는 데 도움을 준다. 각 공간에서의 구체적인 테셀레이션 종류와 그 슐레플리 기호는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.
8. 1. 구면 테셀레이션
정다각형 면으로 이루어진 정다면체의 슐레플리 기호는 면이 ''p''각형이고 각 꼭짓점에 ''q''개의 면이 만날 때 {''p'',''q''}로 표기한다. 이때 꼭짓점 도형은 ''q''각형이 된다.예를 들어, 정십이 면체는 슐레플리 기호로 {5,3}으로 나타낼 수 있다. 이는 정십이면체가 5각형(5개의 모서리를 가진 다각형) 면으로 이루어져 있으며, 각 꼭짓점 주위에는 3개의 오각형 면이 모여있다는 것을 의미한다.
이러한 슐레플리 기호는 5개의 볼록 플라톤 다면체와 4개의 비볼록 케플러-푸앵소 다면체를 표현하는 데 사용된다.
위상수학적으로 볼 때, 2차원 평면을 빈틈없이 채우는 정규 테셀레이션은 3차원 다면체와 유사한 구조로 간주될 수 있다. 다만, 테셀레이션은 각도 결손이 0이라는 차이가 있다. 이러한 유사성 덕분에 슐레플리 기호는 다면체뿐만 아니라 유클리드 기하학이나 쌍곡 기하학 공간에서의 정규 테셀레이션을 나타내는 데에도 동일한 방식으로 사용될 수 있다. 이러한 개념은 더 높은 차원으로도 확장될 수 있다.
예를 들어, 평면을 정육각형으로 채우는 육각형 타일링은 각 꼭짓점에 3개의 육각형이 만나므로 {6,3}이라는 슐레플리 기호로 표현된다.
8. 2. 유클리드 평면 테셀레이션
정다각형의 슐레플리 기호는 면이 ''p''각형이고 각 꼭짓점 주위에 ''q''개의 면이 모일 때 {''p'',''q''}로 표시한다(꼭짓점 도형은 ''q''각형이다).위상수학적으로, 정 2차원 테셀레이션은 3차원 다면체와 유사하다고 볼 수 있지만, 각도 결손이 0이라는 특징이 있다. 따라서 슐레플리 기호는 다면체와 유사한 방식으로 유클리드 기하학 또는 쌍곡 기하학 공간의 정 테셀레이션(평면 채우기)에도 정의될 수 있다.
유클리드 평면을 빈틈없이 채우는 정다각형 테셀레이션은 다음 세 가지 경우가 있다.
- 정삼각형을 이용한 평면 채움: 각 꼭짓점에 정삼각형 6개가 모이며, 슐레플리 기호는 {3,6}이다.
- 정사각형을 이용한 평면 채움: 각 꼭짓점에 정사각형 4개가 모이며, 슐레플리 기호는 {4,4}이다.
- 정육각형을 이용한 평면 채움(육각형 타일링): 각 꼭짓점에 정육각형 3개가 모이며, 슐레플리 기호는 {6,3}이다.
8. 3. 쌍곡 평면 테셀레이션
정다각형 면으로 이루어진 도형에서 슐레플리 기호 {''p'',''q''}는 각 면이 ''p''각형이고, 각 꼭짓점에 ''q''개의 면이 만나는 것을 의미한다.3차원의 다면체와 2차원의 테셀레이션(평면 타일링)은 위상수학적으로 유사하다고 볼 수 있다. 만약 각도 결손이 0이라면, 이는 유클리드 평면에서의 정 테셀레이션에 해당한다. 예를 들어, 육각형 타일링은 각 꼭짓점에 3개의 육각형이 만나므로 {6,3}으로 표시된다.
이러한 슐레플리 기호는 유클리드 평면뿐만 아니라 쌍곡 평면에서의 정 테셀레이션을 나타내는 데에도 사용될 수 있다. 즉, 슐레플리 기호 {''p'',''q''}는 다양한 쌍곡 평면 테셀레이션을 분류하고 표현하는 방법이 된다.
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