아이디얼 유군

3. 성질

대수적 수체의 대수적 정수환의 아이디얼 유군은 유한 아벨 군이다. 하지만 일반적인 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼 유군이 무한 아벨 군일 수도 있다.

아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 얼마나 잘 성립하는지를 측정하는 척도이다. 즉, 데데킨트 정역 $R$에 대해 다음 네 가지 조건은 서로 동치이다.

• $R$는 유일 인수 분해 정역이다.
• $R$는 주 아이디얼 정역이다.
• $R$의 아이디얼 유군이 자명군이다. (즉, 원소가 항등원 하나뿐이다.)
• $R$의 '''유수'''(class number)가 1이다.

3. 1. 이차 형식과의 관계

• (허수 이차 수체)인 경우: 대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_\{\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)\}$의 아이디얼 유군 $\backslash operatorname\{Cl\}(\backslash mathcal\; O\_\{\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)\})$은 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$의 판별식과 같은 판별식 $b^2-4ac$을 갖는 정수 계수 이항 이차 형식 $ax^2+bxy+cy^2$들의 동치류 집합과 표준적인 전단사 함수 관계를 가진다. 즉, 두 집합은 군 동형이다.
• $d>0$ (실수 이차 수체)인 경우: 대수적 정수환 $\backslash mathcal\; O\_\{\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)\}$의 좁은 유군 $\backslash operatorname\{Cl\}\_+(\backslash mathcal\; O\_\{\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)\})$이 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$의 판별식과 같은 판별식을 갖는 정수 계수 이항 이차 형식들의 동치류 집합과 표준적인 전단사 함수 관계를 가진다. 이 경우 아이디얼 유군 $\backslash operatorname\{Cl\}(\backslash mathcal\; O\_\{\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)\})$은 좁은 유군의 크기의 절반일 수 있다.^[3]

아이디얼 유군이 자명한, 즉 유수가 1인 허수 이차 수체 $\backslash mathbb\; Q[\backslash sqrt\{-d\}]$는 유한하며, 가능한 $d$는 총 9개이다.

:''d'' = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163

이 수들을 헤그너 수라고 한다. 이 목록은 카를 프리드리히 가우스가 처음 추측했고, 쿠르트 헤그너가 증명하였으며, 해럴드 스타크가 1967년에 다시 증명했다 (스타크-헤그너 정리). 이는 유수 문제의 특수한 경우이다.

실수 이차 수체 $\backslash mathbb\; Q[\backslash sqrt\; d]$ 가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.^[12]

:''d'' = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, …

유수가 1인 실수 이차 수체가 무한히 많은지는 아직 알려지지 않았다. 계산 결과는 많이 존재하는 것으로 나타나지만, 유수 1을 갖는 수체가 무한히 많은지조차 알려져 있지 않다.^[2]

아이디얼 유군이 자명한 원분체 $\backslash mathbb\; Q[\backslash zeta\_n]$의 수도 유한하며, 다음과 같다.

:''n'' = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84

여기서 $n\backslash equiv2\backslash pmod4$인 경우는 $\backslash mathbb\; Q[\backslash zeta\_n]=\backslash mathbb\; Q[\backslash zeta\_\{n/2\}]$이므로 생략하였다.

정의에 따라 체의 정수환이 주 아이디얼 정역이면 아이디얼 유군은 자명하다(유수가 1이다). 특히, 다음 체들의 정수환은 유클리드 정역이므로 자명한 아이디얼 유군을 가진다.

• 유리수체 $\backslash mathbb\{Q\}$의 정수환인 정수 $\backslash mathbb\{Z\}$
• 가우스 수체 $\backslash mathbb\{Q\}(i)$의 정수환인 가우스 정수 $\backslash mathbb\{Z\}[i]$
• $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{-3\})$의 정수환인 아이젠슈타인 정수 $\backslash mathbb\{Z\}[\backslash omega]$ (여기서 ω는 1의 세제곱근)

6. 류체론과의 관계

유체론은 주어진 대수체의 모든 아벨 확대, 즉 갈루아 군이 가환군인 갈루아 확대를 분류하려는 대수적 정수론의 한 분야이다. 아이디얼 유군은 유체론, 특히 힐베르트 유체 개념과 밀접하게 연관되어 있다.

대수체 ''K''의 힐베르트 유체 ''L''은 ''K''의 최대 비분기 아벨 확장으로 정의할 수 있으며, 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.

• ''K''의 정수환의 모든 아이디얼은 ''L''에서 주 아이디얼이 된다. 즉, ''I''가 ''K'' 정수환의 아이디얼이면, ''I''의 상은 ''L''에서 주 아이디얼이다.
• 힐베르트 유체 ''L''은 ''K''의 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군 Gal(''L''/''K'')는 ''K''의 아이디얼 유군 Cl(''K'')와 동형이다. 즉, Gal(''L''/''K'') ≅ Cl(''K'') 이다.

7. 일반화

수체 및 그 정수환에 국한되지 않고, 환이 특정 조건을 만족하면 아이디얼 유군과 유사한 개념을 일반화하여 생각할 수 있다. 이러한 조건을 만족하는 환을 '''크룰 정역'''(Krull domain^영어)이라고 부른다. 구체적인 조건은 다음과 같다.

# 환 ''A''는 영환이 아니며, 0 이외의 영인자를 가지지 않는다(정역이다).

# ''A''의 소 아이디얼 $\backslash mathfrak\{p\}$가 0 이외의 진 부분 소 아이디얼을 가지지 않는다면(높이가 1이라면), $\backslash mathfrak\{p\}$에서의 국소화 $A\_\{\backslash mathfrak\{p\}\}$는 이산 값매김환이 된다.

# $A=\backslash bigcap\_\{\backslash mathfrak\{p\}\}A\_\{\backslash mathfrak\{p\}\}$가 성립한다. 여기서 $\backslash mathfrak\{p\}$는 ''A''의 높이가 1인 모든 소 아이디얼을 거쳐 움직인다.

# 임의의 0이 아닌 원소 $a\backslash in\; A$에 대해, $a\backslash in\backslash mathfrak\{p\}$를 만족하는 높이 1의 소 아이디얼 $\backslash mathfrak\{p\}$는 유한 개만 존재한다.

이 조건을 만족하는 ''A''를 크룰 정역이라고 한다. 높이가 1인 ''A''의 소 아이디얼 전체 집합을 ''Z''로 표기한다. 아이디얼 $\backslash mathfrak\{a\}$에 대한 $\backslash mathfrak\{p\}$-진 값매김은 $v\_\{\backslash mathfrak\{p\}\}(\backslash mathfrak\{a\}):=\; \backslash inf\backslash \{v\_\{\backslash mathfrak\{p\}\}(a)\backslash mid\; a\backslash in\backslash mathfrak\{a\}\backslash \}$로 정의한다.

분수 아이디얼 $\backslash mathfrak\{a\}$에 대해, 그 인자(divisor^영어) $\backslash mathop\{\backslash mathrm\{div\}\}\backslash mathfrak\{a\}\backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}^\{(Z)\}$는 다음과 같이 정의된다.

$$\backslash mathop\{\backslash mathrm\{div\}\}\backslash mathfrak\{a\}:=\backslash sum\_\{\backslash mathfrak\{p\}\backslash in\; Z\}v\_\{\backslash mathfrak\{p\}\}(\backslash mathfrak\{a\})[\backslash mathfrak\{p\}]$$

여기서 각각의 $[\backslash mathfrak\{p\}]$는 자유 가군의 기저가 되는 형식적인 원소이다. 크룰 정역의 정의에 따라 $\backslash mathop\{\backslash mathrm\{div\}\}\backslash mathfrak\{a\}$는 유한 합이다. 반대로, 임의의 유한 합 $a\_1[\backslash mathfrak\{p\}\_1]+\backslash cdots+a\_m[\backslash mathfrak\{p\}\_m]$는 그것을 인자로 가지는 분수 아이디얼을 유일하게 정의하며, 이를 ''A''의 인자라고 부른다.

크룰 정역 ''A''의 모든 인자로 이루어진 덧셈군을 $\backslash mathrm\{Div\}\backslash ,A$로 표기한다. 이 중 주 인자(principal divisor^영어)는 $\backslash mathop\{\backslash mathrm\{div\}\}(xA)$ (여기서 ''K''는 ''A''의 분수체이고 $x\; \backslash in\; K$) 형태로 표현되는 인자들을 의미하며, 이들의 집합을 $\backslash mathrm\{Prin\}\backslash ,A$로 나타낸다. 이때 몫군 $\backslash mathrm\{Cl\}\backslash ,A\; :=\; \backslash mathrm\{Div\}\backslash ,A/\backslash mathrm\{Prin\}\backslash ,A$를 ''A''의 '''인자류군'''(divisor class group^영어)이라고 한다.^[9] 아이디얼 유군의 경우와 유사하게 인자류군에서도, ''A''의 단원군 $U(A)$, 분수체 ''K''의 곱셈군 $K^*$ 사이에 다음과 같은 완전열이 존재한다.

$$1\backslash longrightarrow\; U(A)\backslash longrightarrow\; K^*\backslash longrightarrow\; \backslash mathop\{\backslash mathrm\{Div\}\}A\backslash longrightarrow\; \backslash mathop\{\backslash mathrm\{Cl\}\}A\backslash longrightarrow\; 1$$

크룰 환 ''A''에 대해, 가산 개의 부정원 $X\_1,\; X\_2,\; \backslash dots$을 갖는 다항식환 $A[X\_1,X\_2,\backslash dots]$ 역시 크룰 환이 된다. 만약 $\backslash mathfrak\{p\}\_1=(X\_1)$이고 $\backslash mathfrak\{p\}\_\{n+1\}=\backslash mathfrak\{p\}\_n+(X\_\{n+1\})$이라고 정의하면, 이들은 무한히 이어지는 소 아이디얼의 포함열 $\backslash mathfrak\{p\}\_1\backslash subsetneq\backslash mathfrak\{p\}\_2\backslash subsetneq\backslash mathfrak\{p\}\_3\backslash subsetneq\backslash cdots$을 형성한다. 구성 방식상 각각의 $\backslash mathfrak\{p\}\_n$은 서로 다른 류(class)에 속하므로, 이 경우 인자류군은 무한군이 될 수 있다.

참조

_[1] 학술 Claborn
_[2] 학술 Neukirch
_[3] 학술 Fröhlich Taylor
_[4] 학술
_[5] 저널 Recherches d'arithmétique http://sites.mathdoc[...] 2023-12-10
_[6] 학술 Neukirch
_[7] 학술 高木
_[8] 학술
_[9] 서적 可換環論 日本評論社 2011-09-30
_[10] 서적 Homogeneous flows, moduli spaces and arithmetic. Proceedings of the Clay Mathematics Institute summer school, Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa, Italy, June 11–July 6, 2007 http://www.claymath.[...] American Mathematical Society 2016-04-11
_[11] 저널 The ideal class groups of two cyclotomic fields 1980
_[12] 서적 Algebraic number theory Springer 1999