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중점 (기하학)

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목차

1. 개요

중점은 기하학에서 선분이나 도형의 두 끝점으로부터 같은 거리에 있는 점을 의미한다. n차원 공간에서 두 점 A와 B를 잇는 선분의 중점은 각 좌표의 평균으로 계산되며, 2차원 유클리드 공간에서는 데카르트 좌표계를 사용하여 표현할 수 있다. 유클리드 기하학에서는 자와 컴퍼스 작도를 통해 중점을 찾을 수 있으며, 삼각형의 중선, 원의 지름, 타원, 쌍곡선, 사각형, 정다각형 등 다양한 기하학적 도형에서 중점은 중요한 성질을 가진다. 중점의 개념은 아핀 기하학으로 일반화될 수 있으며, 곡선 세그먼트, 측지선 호 등으로 확장될 수도 있다.

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중점 (기하학)
정의
설명선분 위의 한 점으로, 그 선분의 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점이다.
좌표
2차원 좌표 평면x 좌표: (x1 + x2) / 2
y 좌표: (y1 + y2) / 2
n차원 유클리드 공간두 점 P = (p1, p2, ..., pn)과 Q = (q1, q2, ..., qn)의 중점 M = (m1, m2, ..., mn)은 다음과 같다: mi = (pi + qi) / 2 (각 i = 1, 2, ..., n에 대해)
복소평면복소수 z1과 z2의 중점은 (z1 + z2) / 2이다.
성질
중선 정리삼각형의 한 변의 중점과 관련된 정리이다.
파푸스의 중선 정리평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다.
활용
컴퓨터 그래픽스선분을 그리는 알고리즘에서 유용하게 사용된다.
다른 분야다양한 수학적 증명 및 계산에 활용된다.

2. 좌표

''n''차원 유클리드 공간에서 두 점 A와 B의 중점은 각 좌표의 평균으로 계산된다. 데카르트 좌표계를 도입한 2차원 유클리드 공간이나, 직교 좌표계를 사용하는 ''n'' 차원 유클리드 공간에서 두 점의 중점을 구할 수 있다.

2. 1. 2차원 유클리드 공간

데카르트 좌표계를 도입한 2차원 유클리드 공간에서 두 점 (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})의 중점은 다음과 같이 나타낸다.

::\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

2. 2. n차원 유클리드 공간

일반적으로 ''n''차원 유클리드 공간에서 두 점 A = (a_1, a_2, \dots , a_n)과 B = (b_1, b_2, \dots , b_n)의 중점은 다음과 같이 계산된다.

:\frac{A+B}{2}.

즉, 중점의 ''i''번째 좌표 (''i'' = 1, 2, ..., ''n'')는 다음과 같다.

:\frac{a_i+b_i} 2.

직교 좌표계에서 두 점 A, B를 벡터 \boldsymbol{a}=(a_{1}, ..., a_{n}), \boldsymbol{b}=(b_{1}, ..., b_{n})라고 하면 그 중점 '''''m'''''은 다음과 같다.

:\boldsymbol{m} = \frac{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}}{2} = \left(\frac{a_{1} + b_{1}}{2},\ldots,\frac{a_{n} + b_{n}}{2}\right)

3. 작도

유클리드 기하학에서 주어진 두 점의 중점은 작도를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.[1]

# 두 점을 잇는 선분을 긋는다.

# 두 점을 중심으로 하고, 같은 반지름(두 점 사이 거리의 절반보다 커야 함)의 원을 그린다.

# 2단계에서 그린 두 원의 두 교점을 잇는 직선(수직 이등분선)을 긋는다.

# 1단계와 3단계의 교점이 구하는 중점이 된다.

평면에 내장된 선분의 중점은 두 끝점을 중심으로 하는 동일한 반지름의 원호를 사용하여 렌즈를 구성한 다음, 렌즈의 첨점을 연결하여 찾을 수 있다. 첨점을 연결하는 선이 선분과 교차하는 점이 선분의 중점이다. Mohr-Mascheroni 정리에 따르면 컴퍼스만 사용하여 중점을 찾는 것이 가능하다.[1]

4. 기하학적 성질


  • 원의 임의의 지름의 중점은 원의 중심이다. 원의 임의의 현에 수직이고 그 중점을 지나는 임의의 선은 원의 중심도 지난다.
  • 타원의 면적 이등분선 또는 둘레 이등분선인 모든 선분의 중점은 타원의 중심이다. 타원의 중심은 타원의 두 초점을 연결하는 선분의 중점이기도 하다.
  • 쌍곡선의 꼭짓점을 연결하는 선분의 중점은 쌍곡선의 중심이다.
  • 삼각형의 중점 연결선은 삼각형의 두 변의 중점을 연결하는 선분으로, 세 번째 변과 평행하며 그 길이는 세 번째 변 길이의 절반이다.
  • 볼록 사각형의 이중선은 반대편 변의 중점을 연결하는 선분이다.
  • 정다각형은 각 변의 중점에 접선인 내접원을 갖는다. 짝수 개의 변을 가진 정다각형에서 마주보는 꼭짓점 사이의 대각선의 중점은 다각형의 중심이다.

4. 1. 원

M영어이 원의 현 PQ영어의 중점이고, 이 현을 통해 다른 두 현 AB영어와 CD영어가 그려지며, AD영어와 BC영어가 각각 현 PQ영어와 X영어와 Y영어에서 교차할 경우, M영어이 XY영어의 중점이라고 말하는 나비 정리가 있다.

  • 원의 임의의 지름의 중점은 원의 중심이다.
  • 원의 임의의 현에 수직이고 그 중점을 지나는 임의의 선은 원의 중심도 지난다.

4. 2. 타원

타원의 면적 이등분선 또는 둘레 이등분선인 모든 선분의 중점은 타원의 중심이다. 타원의 중심은 타원의 두 초점을 연결하는 선분의 중점이기도 하다.

4. 3. 쌍곡선

쌍곡선의 꼭짓점을 연결하는 선분의 중점은 쌍곡선의 중심이다.

4. 4. 삼각형

삼각형의 변의 수직 이등분선은 그 변에 수직이고 그 중점을 지나는 선이다. 삼각형의 세 변의 세 수직 이등분선은 외심 (세 꼭짓점을 지나는 원의 중심)에서 만난다.

삼각형 변의 중선은 변의 중점과 삼각형의 반대쪽 꼭짓점을 모두 지나는 직선이다. 삼각형의 세 중선은 삼각형의 무게중심에서 만난다. 무게중심은 얇고 균일한 밀도의 금속 시트로 만들어진 경우 삼각형이 균형을 이룰 지점이기도 하다.[1] 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변의 중점에 그은 직선 (중선)의 교점은 그 삼각형의 무게중심이다.[2]

삼각형의 9점 원의 중심은 외심과 수심 사이의 중점에 있다. 이 점들은 모두 오일러 선 위에 있다.

삼각형의 ''중점 연결선''(또는 ''중선'')은 삼각형의 두 변의 중점을 연결하는 선분이다. 중점 연결선은 세 번째 변과 평행하며 그 길이는 세 번째 변 길이의 절반이다.

주어진 삼각형의 중점 삼각형은 주어진 삼각형의 변의 중점에 꼭짓점을 갖는다. 중점 삼각형의 변은 주어진 삼각형의 세 중점 연결선이다. 중점 삼각형은 주어진 삼각형과 동일한 무게 중심과 중선을 공유한다. 중점 삼각형의 둘레는 원래 삼각형의 반둘레 (둘레의 절반)와 같고 면적은 원래 삼각형 면적의 4분의 1이다. 중점 삼각형의 수심 (높이의 교차점)은 원래 삼각형의 외심 (꼭짓점을 지나는 원의 중심)과 일치한다.

모든 삼각형에는 모든 변의 중점에서 삼각형에 내부적으로 접하는 내접 타원이 있으며, 이를 슈타이너 내접 타원이라고 한다. 이 타원은 삼각형의 무게 중심에 중심을 두고 있으며 삼각형에 내접하는 다른 타원보다 면적이 가장 크다.

직각 삼각형에서 외심은 빗변의 중점이다.

이등변 삼각형에서 밑변에서 나온 중선, 높이, 수직 이등분선과 꼭지각의 각의 이등분선은 오일러 선 및 대칭축과 일치하며, 이 일치하는 선들은 밑변의 중점을 통과한다.

4. 5. 사각형

볼록 사각형에서 이중선은 반대편 변의 중점을 연결하는 선분이다.[2] 두 이중선과 대각선의 중점을 연결하는 선분은 "꼭짓점 무게 중심"이라고 불리는 점에서 공점하며, 이 점은 이 세 선분의 중점이다.

볼록 사각형의 네 개의 "몰티튜드"는 반대편 변의 중점을 통과하는 변에 수직인 선이다. 사각형이 원내접 (원에 내접)인 경우, 이 몰티튜드는 모두 "반중심"이라고 하는 공통점에서 만난다.

브라마굽타의 정리는 원내접 사각형이 직교 대각선 (즉, 수직 대각선을 가짐)인 경우, 대각선의 교차점에서 변에 수직인 선은 항상 반대편 변의 중점을 통과한다고 말한다.

바리뇽의 정리는 임의의 사각형 변의 중점이 평행 사변형의 꼭짓점을 형성하며, 사각형이 자기 교차하지 않는 경우 평행 사변형의 면적은 사각형 면적의 절반이라고 말한다.

뉴턴 선은 평행 사변형이 아닌 볼록 사각형에서 두 대각선의 중점을 연결하는 선이다. 볼록 사각형의 반대편 변의 중점을 연결하는 선분은 뉴턴 선 위에 있는 점에서 교차한다.

4. 6. 일반 다각형


  • 정다각형은 각 변의 중점에 접선인 내접원을 갖는다.
  • 짝수 개의 변을 가진 정다각형에서 마주보는 꼭짓점 사이의 대각선의 중점은 다각형의 중심이다.
  • 원내접 다각형 P (모든 꼭짓점이 동일한 원 위에 있는 다각형)의 중점-늘이기 다각형은 동일한 원에 내접하는 또 다른 원내접 다각형이며, P의 꼭짓점 사이의 원호의 중점이 꼭짓점인 다각형이다.[3] 임의의 초기 다각형에 대해 중점-늘이기 연산을 반복하면 모양이 정다각형으로 수렴하는 일련의 다각형이 생성된다.[3][4]

5. 일반화

위에 언급된 선분의 중점에 대한 공식은 암묵적으로 선분의 길이를 사용한다. 하지만 선분 길이가 정의되지 않는 아핀 기하학으로 일반화할 때,[5] 중점은 여전히 정의될 수 있는데, 이는 아핀 불변량이기 때문이다. 선분 ''AB''의 중점 ''M''에 대한 합성 아핀 정의는 직선 ''AB''의 무한대 점, ''P''의 사영 조화 공액이다. 즉, H(''A'',''B''; ''P'',''M'')를 만족하는 점 ''M''이다.[6] 아핀 기하학에 좌표를 도입할 수 있을 때, 중점에 대한 두 정의는 일치한다.[7]

중점은 사영 기하학에서는 자연스럽게 정의되지 않는데, 무한대 점의 역할을 하는 특별한 점이 없기 때문이다(사영 범위의 모든 점은 (동일하거나 다른) 사영 범위의 다른 점으로 사영적으로 매핑될 수 있다). 하지만 무한대 점을 고정하면 해당 사영 직선에 아핀 구조가 정의되고, 위의 정의를 적용할 수 있다.

선분의 중점에 대한 정의는 곡선 세그먼트, 예를 들어 리만 다양체의 측지선 호로 확장될 수 있다. 아핀의 경우와 달리, 두 점 사이의 "중점"이 유일하게 결정되지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다.

참조

[1] 웹사이트 Wolfram mathworld http://mathworld.wol[...] 2010-09-29
[2] 서적 College Geometry Dover Publ. 2007
[3] 논문 Markov chains and dynamic geometry of polygons http://www.rhitt.com[...] 2003-07-01
[4] 간행물 18th Fall Workshop on Computational Geometry http://oa.upm.es/444[...]
[5] 서적 Projective and Euclidean Geometry John Wiley & Sons
[6] 서적 Fundamental Concepts of Geometry Dover
[7] 서적 Projective Geometry Mathematical Association of America


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