초등대수학

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1. 개요

초등대수학은 수학적 표현을 위한 표기법, 변수, 표현식 단순화, 등식, 대수 방정식 풀이 등 기본적인 개념을 다루는 학문이다. 대수 표기법은 계수, 항, 변수, 상수 등의 용어를 사용하여 수식을 작성하고, 변수를 통해 미지수를 나타내며, 산술 연산을 대수 변수에 적용한다. 대수식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 지수 등의 기본 연산을 통해 단순화되며, 등식은 두 식의 같음을 나타내고 방정식 풀이를 통해 미지수의 값을 찾는다. 선형 방정식, 이차 방정식, 지수 및 로그 방정식, 근호 방정식, 연립 일차 방정식 등이 초등대수학에서 다루는 주요 방정식 유형이다.

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초등대수학 - 이차 방정식
이차 방정식은 최고차항이 2차인 대수 방정식으로, $ax^2 + bx + c = 0$ 형태로 표현되며 근의 공식으로 해를 구하고 판별식에 따라 실근 또는 허근을 가지며 여러 분야에 응용된다.
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초등대수학
기본 정보
대수 타일로 표현된 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
학문 분야	대수학
역사
기원	고대
주요 개념
변수	변수
방정식	방정식
함수	함수
그래프	그래프
관련 분야
대수기하학	대수기하학
미적분학	미적분학
선형대수학	선형대수학

2. 대수 표기법

1 – 지수
2 – 계수
3 – 항
4 – 연산자
5 – 상수항
$c$ – 상수
$x$ $y$ – 변수]]

'''계수'''는 변수를 곱하는 숫자 값 또는 숫자 상수를 나타내는 문자이다(연산자는 생략됨).^[70]
'''항'''은 더하기 및 빼기 연산자에 의해 다른 항과 분리될 수 있는 계수, 변수, 상수 및 지수를 가리킨다.^[70]
문자는 변수와 상수를 나타낸다. 관례에 따라 알파벳 시작 부분의 문자(예: $a, b, c$ )는 일반적으로 상수를 나타내는 데 사용되며, 알파벳의 끝 부분(예: $x, y$ , z|z^영어)는 변수를 나타내는 데 사용된다.^[71] 일반적으로 이탤릭체로 작성된다.^[72]

대수 연산은 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 지수와 같은 산술 연산^[73]과 같은 방식으로 작동하며,^[74] 대수 변수 및 용어에 적용된다. 곱셈 기호는 일반적으로 생략되며 두 변수 또는 항 사이에 공백이 없거나 계수가 사용될 때 암시된다. 예를 들어,

3 \times x^2

는

3x^2

로 쓰여지고,

2 \times x \times y

는

2xy

로 쓰여질 수 있다.^[75]

일반적으로 가장 높은 거듭제곱(지수)을 가진 항은 왼쪽에 기록된다. 예를 들어,

x^2

은 x|x^영어의 왼쪽에 쓴다. 계수가 1이면 일반적으로 생략된다(예:

1x^2

는

x^2

으로 쓴다).^[76] 마찬가지로 지수(제곱)가 1일 때(예:

3x^1

는

3x

로 쓴다).^[77] 지수가 0이면 결과는 항상 1이다(예:

x^0

은 1|1^영어로 다시 작성된다).^[78] 하지만

0^0

은 정의되지 않았으므로 표현식에 나타나지 않아야 하며 변수가 지수에 나타날 수 있는 표현식을 단순화하는 데 주의해야 한다.

2. 1. 대체 표기법

위 첨자를 사용할 수 없는 환경에서는 플레인 텍스트나 TeX 마크업 언어에서처럼 캐럿 기호 "^"를 사용하여 지수를 나타낸다. 예를 들어 x²는 "x^2"와 같이 표기한다.^[79]^[80] Ada,^[81] Fortran,^[82] Perl,^[83] Python,^[84] Ruby와 같은 프로그래밍 언어에서는 이중 별표 ""를 사용하여 x²를 "x2"로 나타낸다. 또한, 많은 프로그래밍 언어와 계산기에서는 곱셈 기호를 명시적으로 나타내기 위해 단일 별표 "*"를 사용해야 하므로,^[86] 예를 들어 3x는 "3*x"로 표기한다.

3. 개념

초등대수학은 일반적인(지정되지 않은) 숫자를 나타내는 변수라는 문자를 도입하여 산술^[87]을 확장한다. 이는 여러 가지 이유로 유용하다.

변수를 사용하여 원의 지름과 원주의 관계를 보여주는 예시. 임의의 원에서 원주를 지름으로 나누면 상수 원주율 $\pi$ (약 3.14)와 같다.

'''변수는 값이 아직 알려지지 않은 숫자를 나타낼 수 있다.''' 예를 들어, 오늘의 온도 C가 전날의 온도 P보다 20도 높으면, 이 문제는 대수적으로 $C = P + 20$ 과 같이 설명할 수 있다.^[88]
'''변수를 사용하면 관련된 양의 값을 지정하지 않고 일반적인 문제를 설명할 수 있다.'''^[89] 예를 들어, 5분은 300초라고 구체적으로 말할 수 있다. 보다 일반적인 설명은 초의 수 $s = 60 \times m$ (여기서 m은 분)으로 나타낼 수 있다.
'''변수를 사용하면 변할 수 있는 수량 간의 수학적 관계를 설명할 수 있다.'''^[90] 예를 들어, 원의 둘레 ''c''와 지름 ''d'' 사이의 관계는 $\pi = c /d$ 로 설명된다.
'''변수를 사용하면 몇 가지 수학적 속성을 설명할 수 있다.''' 예를 들어, 덧셈의 기본 속성은 함께 더해지는 숫자의 순서가 중요하지 않다는 교환법칙이다. 교환성은 대수적으로 $(a + b) = (b + a)$ 로 표현된다.^[91]

3. 1. 변수

초등 대수학에서는 숫자를 나타내기 위해 변수라는 문자를 사용한다.^[87] 변수는 다음과 같은 여러 가지 이유로 유용하다.

'''변수는 아직 값이 알려지지 않은 숫자를 나타낼 수 있다.''' 예를 들어, 오늘의 기온 C가 어제의 기온 P보다 20도 더 높다면, C = P + 20 으로 나타낼 수 있다.^[88]
'''변수를 사용하면 관련된 수량의 값을 지정하지 않고도 일반적인 문제를 설명할 수 있다.'''^[89] 예를 들어, 5분은 5m = 60 × 5 = 300초라고 구체적으로 말할 수 있다. 더 일반적인 설명으로는 m분을 초로 나타내면 s = 60 × m 와 같이 표현할 수 있다.
'''변수를 사용하면 변할 수 있는 수량 간의 수학적 관계를 설명할 수 있다.'''^[90] 예를 들어, 원의 둘레 c와 지름 d 사이의 관계는 $\pi = c /d$ 로 나타낼 수 있다.

'''변수를 사용하면 몇 가지 수학적 속성을 설명할 수 있다.''' 예를 들어, 덧셈의 기본 속성은 함께 더해지는 숫자의 순서가 중요하지 않다는 교환법칙이다. 교환법칙은 $(a + b) = (b + a)$ 로 나타낼 수 있다.^[91]

3. 2. 표현식 단순화

산술 연산의 기본 속성(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱)을 기반으로 대수 표현식을 평가하고 단순화할 수 있다.

더해진 항은 계수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, $x + x + x$ 는 $3x$ 로 단순화할 수 있다. (여기서 3은 수치 계수이다.)
곱해진 항은 지수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, $x \times x \times x$ 는 $x^3$ 으로 표현된다.
동류항은 함께 더해진다.^[92] 예를 들어, $2x^2 + 3ab - x^2 + ab$ 는 $x^2 + 4ab$ 로 쓰여진다. 왜냐하면 $x^2$ 을 포함하는 항끼리, $ab$ 를 포함하는 항끼리 더해졌기 때문이다.
분배 법칙을 사용하여 괄호를 "곱할" 수 있다. 예를 들어, $x (2x + 3)$ 은 $(x \times 2x) + (x \times 3)$ 으로 쓸 수 있고, 이는 다시 $2x^2 + 3x$ 로 쓸 수 있다.
표현식은 인수분해될 수 있다. 예를 들어, $6x^5 + 3x^2$ 는 두 항을 $3x^2$ 로 나누어 $3x^2 (2x^3 + 1)$ 로 쓸 수 있다.

3. 3. 등식

등식은 등호 (=)를 사용하여 두 식이 같음을 나타낸다.^[93] 예를 들어, 직각삼각형의 세 변의 길이 간의 관계를 나타내는 피타고라스 정리는 다음과 같은 등식으로 표현된다.^[94]

:

c^2 = a^2 + b^2

여기서

c

는 빗변(직각의 반대편)의 길이를 나타내고,

a

와

b

는 다른 두 변의 길이를 나타낸다. 이 식은 빗변 길이의 제곱이 다른 두 변 길이의 제곱의 합과 같다는 것을 의미한다.

방정식은 등호를 사용하여 두 표현식이 같다는 것을 나타내는 것이다.^[27] 항등식은 관련된 모든 변수에 대해 항상 참인 방정식 (예:

a + b = b + a

)을 말하며, 조건 방정식은 일부 변수 값에 대해서만 참이 되는 방정식(예:

x^2 - 1 = 8

은

x = 3

과

x = -3

일 때만 참)이다. 방정식을 참으로 만드는 변수 값을 해라고 하며, 방정식 풀이를 통해 찾을 수 있다.

부등식은 방정식의 한쪽이 다른 쪽보다 크거나 작음을 나타내는 식으로,

a > b

는

a

가

b

보다 크다는 것을,

a < b

는

a

가

b

보다 작다는 것을 의미한다.

3. 3. 1. 평등의 속성

평등은 등가 관계이므로 다음과 같은 속성을 가진다.^[95]

반사적: $b = b$
대칭적: $a = b$ 이면 $b = a$
추이적: $a = b$ 이고 $b = c$ 이면 $a = c$

또한, 두 기호가 동일한 대상에 사용되면, 첫 번째 기호에 대한 참인 명제에서 다른 것으로 대체되어도 그 명제는 참으로 유지된다. 이는 다음을 의미한다.

$a = b$ 이고 $c = d$ 이면 $a + c = b + d$ 이고 $ac = bd$ 이다.
$a = b$ 이면 $a + c = b + c$ 이고 $ac = bc$ 이다.
더 일반적으로, 어떤 함수 f^영어 에 대해, $a=b$ 이면 $f(a) = f(b)$ 이다.

3. 3. 2. 부등식의 속성

만약 $a < b$ 이고 $b < c$ 이면 $a < c$ 이다.^[96]
만약 $a < b$ 이고 $c < d$ 이면 $a + c < b + d$ 이다.^[97]
만약 $a < b$ 이고 $c > 0$ 이면 $ac < bc$ 이다.
만약 $a < b$ 이고 $c < 0$ 이면 $bc < ac$ 이다.

부등식을 반대로 하면,

<

와

>

를 바꿀 수 있다.^[98] 예를 들어,

$a < b$ 는 $b > a$ 와 같다.

3. 4. 치환

치환은 표현식의 용어를 바꾸어 새로운 표현식을 만드는 것이다. 예를 들어,

a \times 5

라는 표현식에서

a

에 3을 대입하면

3 \times 5

라는 새로운 표현식이 만들어지는데, 이는 15를 의미한다.

명제의 항을 치환하면 새로운 명제가 만들어진다. 원래의 명제가 항의 값에 관계없이 참이면, 치환을 통해 만들어진 명제도 참이다. 예를 들어,

a^2 := a \times a

가

a

와 그 자신의 곱으로

a^2

을 정의하는 것이라면,

a

에 3을 대입하면

3^2

가

3 \times 3 = 9

를 의미한다는 것을 알 수 있다.

때로는 명제가 항의 값에 관계없이 항상 참인지 알 수 없는 경우도 있다. 이럴 때 치환을 통해 가능한 값에 대한 제한을 찾거나, 명제가 어떤 조건에서 성립하는지 알아낼 수 있다. 예를 들어,

x + 1 = 0

이라는 명제에서

x

에 1을 대입하면

1 + 1 = 2 = 0

이 되는데, 이는 거짓이다. 따라서

x + 1 = 0

이라면

x

는 1이 될 수 없다.

4. 대수 방정식 풀기

대수 방정식을 푸는 핵심은 방정식의 양변에 같은 연산을 적용하여 변수를 분리하고, 그 값을 구하는 것이다.^[99]

일차 방정식: 변수가 하나만 있는 일차 방정식은 상수와 지수가 없는 단일 변수만 포함하며, 방정식의 양변에 같은 연산을 하여 변수를 분리함으로써 해를 구할 수 있다.
두 개의 변수가 있는 선형 방정식: 두 변수를 가진 선형 방정식은 무한히 많은 해를 가질 수 있다. 이 경우, 해를 구하기 위해서는 두 개의 관련 방정식이 필요하다.^[34]
연립 일차 방정식: 소거법이나 대입법을 사용하여 여러 개의 변수를 가진 방정식을 풀 수 있다.
근호 방정식: 제곱근, 세제곱근 등의 근호 기호를 포함하는 방정식으로, 지수 형식으로 변환하여 해를 구할 수 있다.^[40]

4. 1. 일차 방정식

변수가 하나만 있는 선형 방정식은 지수가 없는 상수와 단일 변수만 포함한다.^[99] 예를 들어 다음과 같은 문제를 생각해보자.

: 아이의 나이를 두 배로 늘리고 4를 더하면 결과는 12이다. 아이는 몇 살인가?

: 이 문제는 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다.

: Equation|이퀘이션^영어:

2x + 4 = 12

여기서 x|엑스^영어는 아이의 나이를 나타낸다.

이러한 종류의 방정식을 풀기 위해서는 방정식의 양쪽에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나누는 과정을 통해 방정식의 한쪽에서 변수를 분리해야 한다. 변수가 분리되면, 방정식의 다른 쪽은 변수의 값이 된다.^[33]

위 문제의 풀이 과정은 다음과 같다.

풀이 방정식	$2x + 4 = 12$
양쪽에서 4를 뺀다.	$2x + 4 - 4 = 12 - 4$
간소화	$2x = 8$
양변을 2로 나눈다.	$\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}$
답	$x = 4$

따라서 아이의 나이는 4살이다.

변수가 하나인 선형 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

ax+b=c

같은 절차(양쪽에서 b|비^영어를 빼고, a|에이^영어로 나누기)를 따르면 일반 해는 다음과 같다.

:

x=\frac{c-b}{a}

4. 2. 두 개의 변수가 있는 선형 방정식

4. 3. 이차 방정식

이차 방정식은 지수가 2인 항을 포함하는 방정식이다. 예를 들어

x^2

과 같이 지수가 2인 항을 포함하고, 지수가 더 높은 항은 포함하지 않는다.^[36] 이름은 사각형을 의미하는 라틴어 "quadrus"에서 유래했다.^[37]

일반적으로 이차 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[104]

:

ax^2 + bx + c = 0

여기서 a는 0이 아니다(0이면 방정식은 2차가 아니라 선형이 된다). 따라서 이차 방정식에는 2차 항인

ax^2

항이 포함되어야 한다.

a \neq 0

이므로, 방정식을 a로 나누고 표준 형식으로 재정렬할 수 있다.

:

x^2 + px + q = 0

여기서

p = \frac{b}{a}

이고

q = \frac{c}{a}

이다. 이를 완전 제곱이라는 과정을 통해 풀면 근의 공식이 도출된다.

:

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},

여기서 기호 "±"는 다음 두 가지가 이차 방정식의 해임을 나타낸다.

:

x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{and}\quad x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

이차 방정식은 인수분해를 사용하여 풀 수도 있다(인수분해의 역 과정은 다항식 전개이지만, 두 일차항의 경우 때때로 포일이라고 한다). 인수분해의 예는 다음과 같다.

:

x^{2} + 3x - 10 = 0,

위 식은 다음과 같다.

:

(x + 5)(x - 2) = 0.

영곱 성질에 따라

x = 2

또는

x = -5

가 해가 되는데, 이는 두 인수 중 적어도 하나가 0과 같아야 하기 때문이다. 모든 이차 방정식은 복소수 체계에서 두 개의 해를 갖지만, 실수 체계에서는 해가 없을 수도 있다. 예를 들어,

:

x^{2} + 1 = 0

은 제곱해서 −1이 되는 실수가 없으므로 실수 해가 없다. 때때로 이차 방정식은 다음과 같이 중복도 2의 근을 갖는다.

:

(x + 1)^2 = 0.

이 방정식의 경우 −1은 중복도 2의 근이다. 즉, 방정식이 다음과 같이 인수분해된 형태로 다시 쓰일 수 있으므로 −1이 두 번 나타난다.

:

[x-(-1)][x-(-1)]=0.

모든 이차 방정식은 복소수에서 정확히 두 개의 해를 가지며(두 해가 서로 같을 수도 있음), 이는 실수, 허수, 실수와 허수의 합을 포함하는 범주이다. 복소수는 이차 방정식과 이차 공식의 가르침에서 처음 등장한다. 예를 들어, 이차 방정식

:

x^2+x+1=0

은 다음과 같은 해를 갖는다.

:

x=\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}  \quad \quad \text{및} \quad \quad x=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}.

\sqrt{-3}

은 어떤 실수도 아니므로, 이 두 해는 모두 복소수이다.

4. 4. 지수 및 로그 방정식

지수 방정식은

a > 0

일 때,

a^x = b

와 같은 형태를 가지는 방정식이며, 해는 다음과 같다.^[105]

:

x = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}

(

b > 0

일 때). 기본적인 대수 기법을 사용하여 주어진 방정식을 위와 같은 형태로 바꾼 후 해를 구한다. 예를 들어,

:

3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10

에서 양변에 1을 빼고 3으로 나누면,

:

2^{x - 1} = 3

이 되므로,

:

x - 1 = \log_2 3

:

x = \log_2 3 + 1.

과 같이 해를 구할 수 있다.

Graph showing a logarithm curves, which crosses the ''x''-axis where ''x'' is 1 and extend towards minus infinity along the ''y''-axis. — 밑이 2인 로그 함수의 그래프는 x축 (가로축) 1에서 교차하고 (2, 1), (4, 2), (8, 3)의 좌표를 갖는 점을 통과한다.

로그 방정식은

a > 0

일 때,

log_a(x) = b

형태의 방정식이며, 해는 다음과 같다.

:

x = a^b.

예를 들어,

:

4\log_5(x - 3) - 2 = 6

에서 양변에 2를 더하고 4로 나누면,

:

\log_5(x - 3) = 2

가 되므로,

:

x - 3 = 5^2 = 25

:

x = 28.

과 같이 해를 구할 수 있다.

4. 5. 근호 방정식

근호 방정식은 제곱근,

\sqrt{x},

세제곱근,

\sqrt[3]{x}

, 및 ''n''제곱근,

\sqrt[n]{x}

을 포함하는 근호 기호를 포함하는 방정식이다. ''n''제곱근은 지수 형식으로 다시 쓸 수 있으며,

\sqrt[n]{x}

는

x^{\frac{1}{n}}

과 동일하다. 일반 지수(거듭제곱)와 결합하면

\sqrt[2]{x^3}

(

x

의 세제곱의 제곱근)은

x^{\frac{3}{2}}

로 다시 쓸 수 있다.^[40] 따라서 근호 방정식의 일반적인 형식은

\sqrt[n]{x^m}=a

(

x^\frac{m}{n}=a

와 동일)이며, 여기서

m

과

n

은 정수이다. 이 방정식은 다음과 같은 실수 해를 갖는다.

$n$ 이 홀수	$n$ 이 짝수 및 $a \ge 0$	$n$ 및 $m$ 이 짝수 그리고 $a<0$	$n$ 이 짝수, $m$ 이 홀수, 그리고 $a<0$
$x = \sqrt[n]{a^m}$	$x = \pm \sqrt[n]{a^m}$	$x=\pm \sqrt[n]{a^m}$	실수 해 없음

예를 들어, 다음과 같은 경우:

: $(x + 5)^{2/3} = 4$

그러면

: $\begin{align}x + 5 & = \pm (\sqrt{4})^3,\\x + 5 & = \pm 8,\\x & = -5 \pm 8,\end{align}$

따라서

: $x = 3 \quad \text{또는}\quad x = -13$

4. 6. 연립 일차 방정식

두 개의 변수가 있는 선형 방정식은 무한히 많은 해를 가질 수 있다.^[100] 예를 들어, 아버지가 아들보다 22살 많은 경우, 아버지의 나이를 y^영어, 아들의 나이를 x^영어라고 하면, y^영어 = x^영어 + 22 와 같은 방정식으로 표현할 수 있다. 이 방정식만으로는 아버지와 아들의 나이를 정확하게 알 수 없다.

두 개의 변수를 가진 선형 방정식을 풀기 위해서는 두 개의 관련된 방정식이 필요하다. 예를 들어, "10년 후에는 아버지의 나이가 아들의 두 배이다."라는 조건이 추가되면, y^영어 = 2x^영어 + 10 이라는 방정식을 얻을 수 있다.

이제 두 개의 방정식

y^영어 = x^영어 + 22
y^영어 = 2x^영어 + 10

을 얻었으며, 소거법^[101]을 통해 연립 방정식을 풀 수 있다. 두 식을 연립하면 0 = x^영어 - 12 가 되고, 따라서 x^영어= 12임을 알 수 있다. 즉 아들의 나이는 12살이고 아버지의 나이는 34살이다. 10년 후 아들은 22살, 아버지는 44살이 되어 아버지의 나이가 아들의 나이의 두 배가 된다.

이 외에도 #소거법이나 #대입법을 사용하여 문제를 해결할 수 있다.

4. 6. 1. 소거법

두 변수를 갖는 선형 연립 방정식을 푸는 방법 중 하나는 소거법이다. 소거법의 예시는 다음과 같다.

:

\begin{cases}4x + 2y&= 14 \\2x - y&= 1.\end{cases}

두 번째 방정식의 각 항에 2를 곱하면 다음과 같다.

:

4x + 2y = 14

:

4x - 2y = 2.

두 방정식을 더하면:

:

8x = 16

이것은 다음과 같이 단순화된다.

:

x = 2.

x = 2

라는 사실을 알고 있으므로, 원래 두 방정식 중 하나를 사용하여 (x 대신 2를 사용함으로써)

y = 3

임을 추론할 수 있다. 이 문제에 대한 전체 해는 다음과 같다.

:

\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}

이것이 이 특정 시스템을 해결하는 유일한 방법은 아니다. x보다 먼저 y를 해결할 수도 있었다.

4. 6. 2. 대입법

선형 연립 방정식을 푸는 방법으로 소거법을 사용할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 연립 방정식이 있다고 하자.

:

\begin{cases}4x + 2y&= 14 \\2x - y&= 1.\end{cases}

두 번째 방정식의 각 항에 2를 곱하면 다음과 같다.

:

4x + 2y = 14

:

4x - 2y = 2.

두 방정식을 더하면 다음과 같다.

:

8x = 16

이를 단순화하면 다음과 같다.

:

x = 2.

x = 2

라는 것을 알고 있으므로, 원래 두 방정식 중 하나에 x 대신 2를 대입하여

y = 3

임을 알 수 있다. 따라서 이 연립 방정식의 해는 다음과 같다.

:

\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}

이것이 이 연립 방정식을 푸는 유일한 방법은 아니며,

y

를 먼저 구할 수도 있다.

4. 7. 다른 유형의 연립 일차 방정식

연립 일차 방정식을 푸는 또 다른 방법은 대입법이다. 예를 들어 다음과 같은 연립 일차 방정식이 있다.

:

\begin{cases}4x + 2y &= 14\\ 2x - y &= 1.\end{cases}

두 방정식 중 하나를 사용하여 y|y^영어에 대한 식을 유도할 수 있다. 두 번째 방정식을 사용하면,

:

2x - y = 1

양변에서

2x

를 빼면,

:

\begin{align}2x - 2x - y & = 1 - 2x  \\

y & = 1 - 2x

\end{align}

−1을 곱하면,

:

y = 2x - 1.

원래 연립 방정식의 첫 번째 방정식에서 이 y|y^영어 값을 대입하면,

:

\begin{align}4x + 2(2x - 1) &= 14\\4x + 4x - 2 &= 14 \\8x - 2 &= 14 \end{align}

양변에 ''2''를 더하면,

:

\begin{align}8x - 2 + 2 &= 14 + 2 \\8x &= 16 \end{align}

따라서,

:

x = 2

이 값을 방정식 중 하나에 대입하면,

:

\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}

를 얻는다. 이것은 앞의 방법으로 얻은 해와 같다.

이 방법만이 이 연립 방정식을 푸는 유일한 방법은 아니다. x|x^영어를 풀기 전에 y|y^영어를 먼저 풀 수도 있다.

4. 7. 1. 불능 시스템

교차하지 않는 이차 방정식(빨간색)과 일차 방정식(파란색)의 그래프, 따라서 공통 해가 없다.

해가 없는 연립 방정식을 불능이라고 한다. 예를 들어 다음과 같은 경우가 있다.

:

\begin{cases}\begin{align} x + y &= 1 \\0x + 0y &= 2\,. \end{align} \end{cases}

두 번째 방정식은 0≠2이므로 해가 없고, 따라서 이 시스템은 해가 없다.

다음 시스템과 같이 바로 불능 시스템인지 알 수 없는 경우도 있다.

:

\begin{cases}\begin{align}4x + 2y &= 12 \\

2x - y &= -4\,. \end{align}\end{cases}

두 번째 방정식의 양변에 2를 곱하여 첫 번째 방정식에 더하면

0x+0y = 4

가 되어, 이 방정식은 명백히 해가 없다.

4. 7. 2. 부정 시스템

무한히 많은 해를 갖는 연립 방정식은 부정 시스템이라고 불린다. 예를 들어, 다음 연립 방정식은 부정 시스템이다.

:

\begin{cases}\begin{align}4x + 2y & = 12 \\ -2x - y & = -6 \end{align}\end{cases}

두 번째 방정식에서 y|y^영어를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

y = -2x + 6

이 값을 첫 번째 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

\begin{align}4x + 2(-2x + 6) = 12 \\ 4x - 4x + 12 = 12 \\ 12 = 12 \end{align}

이 등식은 참이지만, x|x^영어의 값을 구할 수는 없다. 실제로

y = -2x + 6

를 만족하는 모든 x|x^영어에 대해 해가 존재하므로, 이 시스템은 무한히 많은 해를 갖는다.

4. 7. 3. 과잉 결정 시스템과 부족 결정 시스템

미지수가 방정식의 수보다 많은 선형 연립방정식을 부정 방정식이라고 한다. 이러한 시스템은 해가 존재한다면 유일한 해가 아닌 무한히 많은 해를 갖는다. 이러한 시스템의 예는 다음과 같다.

:

\begin{cases}\begin{align}x + 2y & = 10\\y - z  & = 2 .\end{align}\end{cases}

이 문제를 풀려고 할 때, 해가 존재한다면 일부 변수를 다른 변수의 함수로 표현하게 되지만, 해가 있다면 무한히 많기 때문에 ''모든'' 해를 수치적으로 표현할 수는 없다.

변수의 수보다 방정식의 수가 더 많은 시스템은 과잉 결정 시스템이라고 한다. 과잉 결정 시스템이 해를 갖는다면, 필연적으로 일부 방정식은 다른 방정식의 선형 결합이다.

참조

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