호프 올뭉치

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1. 개요
2. 정의 및 구성
3. 일반화
4. 역사
5. 응용
참조

1. 개요

호프 올뭉치는 노름을 가진 나눗셈 대수를 사용하여 구성되는 올다발로, 특히 3차원 구(S³)가 2차원 구(S²) 위에 올다발을 이루는 경우를 말한다. 이는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수 대수를 사용하여 정의되며, S¹ → S¹, S³ → S², S⁷ → S⁴, S¹⁵ → S⁸의 형태로 나타난다. 호프 올뭉치는 위상수학, 특히 호모토피 이론에서 중요한 개념이며, 양자역학, 자기 홀극, 유체 역학, 트위스터 공간, 로봇 공학 등 다양한 분야에 응용된다.

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호프 올뭉치
정의
설명	수학에서, 특히 미분기하학과 위상수학에서 호프 올뭉치는 S³에서 S²로의 올뭉치(fiber bundle)이며, 올(fiber)은 S¹이다.
비고	프랑크푸르트 대학교의 하인츠 호프가 1931년에 발견했다.
의미	호프 올뭉치는 구체적인 올뭉치의 한 예시이며, 추상적인 호프 올뭉치(Hopf fibrations)라는 무한한 가족의 첫 번째 구성원이다.
상세 정보
표기	p : S³ → S²
올	각 점에서의 올은 원(S¹)이다.
중요성	이 올뭉치는 3차원 구면을 2차원 구면으로 분할하는 방법이다.
시각화
설명	3차원 공간(R³)에서 2차원 구면(S²)을 시각화하는 데 어려움이 있으므로, 호프 올뭉치를 R³에서 시각화하기는 더욱 어렵다.
방법	먼저 복소수 공간 (Cⁿ⁺¹)에서 복소사영공간(CPⁿ)으로의 사영을 고려한다. n=1일 때, 이는 S³에서 S²로의 사영과 동형이다.
같이 보기
관련 항목	호프 불변량
관련 개념	세레 올뭉치
참고 문헌
참고 문헌	Hopf, Heinz (1931), Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Mathematische Annalen, 104 (5): 637–665, doi:10.1007/BF01458062, S2CID 122248604

2. 정의 및 구성

'''호프 올뭉치'''는 고차원 구를 저차원 구로 사영하는 특별한 사상(map)으로, 위상수학 분야에서 중요한 개념이다.^[1]^[2] 이 사상을 통해 고차원 구는 저차원 구 위의 각 점에 대응하는 더 낮은 차원의 구(이를 '올(fiber)'이라 한다)들로 분해되는 구조, 즉 올다발 구조를 형성한다.

호프 올뭉치는 노름을 가진 나눗셈 대수 $X$ 를 사용하여 구성할 수 있다. $X$ 는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수 중 하나이며, 각각의 차원 $n = \dim X$ 는 1, 2, 4, 8에 해당한다. 어떤 나눗셈 대수를 사용하느냐에 따라 다음과 같은 종류의 호프 올뭉치가 존재한다.

$\mathbb S^0\hookrightarrow\mathbb S^1\twoheadrightarrow\mathbb S^1$ (실수 기반)
$\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2$ (복소수 기반)
$\mathbb S^3\hookrightarrow\mathbb S^7\twoheadrightarrow\mathbb S^4$ (사원수 기반)
$\mathbb S^7\hookrightarrow\mathbb S^{15}\twoheadrightarrow\mathbb S^8$ (팔원수 기반)

여기서

\mathbb S^k

는 k차원 구를 나타낸다. 예를 들어, 복소수 기반의 호프 올뭉치는 3차원 구

\mathbb S^3

를 2차원 구

\mathbb S^2

위로 사영하며, 각 올은 1차원 구(원)

\mathbb S^1

이 된다. 호프 올뭉치의 구체적인 구성 방법과 기하학적 의미는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

2. 1. 기본 구성

노름을 가진 나눗셈 대수

X

와 그 차원

n := \dim X

가 주어졌다고 하자. 즉,

X

는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수 대수 가운데 하나이고 각각의 경우

n=1,2,4,8

이다.

X

의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구

\mathbb S^{2n-1}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\mathbb S^{2n-1}=\{(x_1,x_2) \in X^2 \mid |x_1|^2+|x_2|^2=1\}

이 초구 위에 다음과 같은 동치관계

\sim

을 정의한다.

:

(x_1,x_2)\sim(\lambda x_1,\lambda x_2)

(단,

\lambda\in X

,

|\lambda|=1

)

이 동치관계에 대한 몫공간은

n

차원 초구

\mathbb S^n

과 위상동형이다.

:

\mathbb S^n\cong\mathbb S^{2n-1}/{\sim}

이는

\mathbb S^{2n-1}

이 밑공간

\mathbb S^n

위에 올다발 구조를 가지며, 그 올(fiber)이

\mathbb S^{n-1}

임을 의미한다. 이를 '''호프 올뭉치'''라고 한다. 나눗셈 대수의 종류에 따라 다음과 같은 호프 올뭉치들이 존재한다.

$\mathbb S^0\hookrightarrow\mathbb S^1\twoheadrightarrow\mathbb S^1$ (실수)
$\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2$ (복소수)
$\mathbb S^3\hookrightarrow\mathbb S^7\twoheadrightarrow\mathbb S^4$ (사원수)
$\mathbb S^7\hookrightarrow\mathbb S^{15}\twoheadrightarrow\mathbb S^8$ (팔원수)

가장 기본적인 호프 올뭉치는 복소수(

n=2

)의 경우로, 3차원 구

\mathbb S^3

에서 2차원 구

\mathbb S^2

로 가는 올다발

p: \mathbb S^3 \to \mathbb S^2

이다. 이를 구체적으로 정의하기 위해 먼저

n

-구를 정의하자. ''n''차원 구

\mathbb S^n

는

(n+1)

차원 유클리드 공간

\mathbb R^{n+1}

에서 원점으로부터 거리가 1인 점들의 집합이다. 즉,

:

\mathbb S^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_{n+1}) \in \mathbb R^{n+1} \mid x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n+1}^2 = 1\}

예를 들어, 3-구

\mathbb S^3

는

\mathbb R^4

에서

x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1

을 만족하는 점

(x_1, x_2, x_3, x_4)

들의 집합이다.

복소수를 사용하여 호프 올뭉치

p: \mathbb S^3 \to \mathbb S^2

를 정의할 수 있다.

\mathbb R^4

를

\mathbb C^2

와,

\mathbb R^3

를

\mathbb C \times \mathbb R

와 다음과 같이 동일시한다.

:

(x_1, x_2, x_3, x_4) \leftrightarrow (z_0, z_1) = (x_1 + ix_2, x_3+ix_4)

:

(x_1, x_2, x_3) \leftrightarrow (z, x) = (x_1 + ix_2, x_3)

여기서

i

는 허수 단위이다. 이 정의에 따르면,

$\mathbb S^3$ 는 $\mathbb C^2$ 안에서 $|z_0|^2 + |z_1|^2 = 1$ 을 만족하는 점 $(z_0, z_1)$ 들의 부분 집합이다.
$\mathbb S^2$ 는 $\mathbb C \times \mathbb R$ 안에서 $|z|^2 + x^2 = 1$ 을 만족하는 점 $(z, x)$ 들의 부분 집합이다.

(복소수

z = x + iy

에 대해

|z|^2 = z z^* = x^2 + y^2

이며,

z^*

는

z

의 켤레 복소수이다.)

이제 호프 올뭉치 사상

p: \mathbb S^3 \to \mathbb S^2

를 다음과 같이 정의한다.

:

p(z_0, z_1) = (2z_0z_1^*, |z_0|^2 - |z_1|^2)

여기서 첫 번째 성분

2z_0z_1^*

는 복소수이고, 두 번째 성분

|z_0|^2 - |z_1|^2

는 실수이다.

\mathbb S^3

위의 점

(z_0, z_1)

은

|z_0|^2 + |z_1|^2 = 1

을 만족하므로, 이 점이

p

에 의해 사영된 점

p(z_0, z_1) = (z, x)

는

\mathbb S^2

위에 놓인다. 이는 다음 계산으로 확인할 수 있다.

:

|z|^2 + x^2 = |2z_0z_1^*|^2 + (|z_0|^2 - |z_1|^2)^2

:

= (2z_0z_1^*)(2z_0^*z_1) + (|z_0|^4 - 2|z_0|^2|z_1|^2 + |z_1|^4)

:

= 4|z_0|^2|z_1|^2 + |z_0|^4 - 2|z_0|^2|z_1|^2 + |z_1|^4

:

= |z_0|^4 + 2|z_0|^2|z_1|^2 + |z_1|^4

:

= (|z_0|^2 + |z_1|^2)^2 = 1^2 = 1

또한,

\mathbb S^3

위의 두 점

(z_0, z_1)

과

(w_0, w_1)

이

\mathbb S^2

위의 같은 점으로 사영될 필요충분조건, 즉

p(z_0, z_1) = p(w_0, w_1)

일 필요충분조건은

(w_0, w_1) = (\lambda z_0, \lambda z_1)

를 만족하는 절댓값 1인 복소수

\lambda

(즉,

|\lambda|=1

)가 존재하는 것이다. 이는

\lambda

가

p

의 정의에 포함된 두 성분에서 상쇄되기 때문이다.

첫 번째 성분: $2(\lambda z_0)(\lambda z_1)^* = 2(\lambda z_0)(\lambda^* z_1^*) = 2 \lambda \lambda^* z_0 z_1^* = 2|\lambda|^2 z_0 z_1^* = 2z_0 z_1^*$
두 번째 성분: $|\lambda z_0|^2 - |\lambda z_1|^2 = |\lambda|^2 |z_0|^2 - |\lambda|^2 |z_1|^2 = |z_0|^2 - |z_1|^2$

절댓값이 1인 복소수

\lambda

들의 집합은 복소평면에서 단위원을 이루며, 이는 1차원 구

\mathbb S^1

과 위상동형이다. 따라서

\mathbb S^2

의 각 점

m

에 대해, 그 역상

p^{-1}(m)

은 원

\mathbb S^1

과 위상동형이다 (

p^{-1}(m) \cong \mathbb S^1

). 이는

\mathbb S^3

가 서로 겹치지 않는 원형 올(circular fiber)들의 분리 집합으로 구성됨을 의미한다.

호프 사상을 이용한

\mathbb S^3

의 직접적인 매개변수화는 다음과 같다.^[3]

복소수 좌표

(z_0, z_1)

사용 시:

:

z_0 = e^{i\,\frac{\xi_1+\xi_2}{2}}\sin\eta

:

z_1 = e^{i\,\frac{\xi_2-\xi_1}{2}}\cos\eta

유클리드 좌표

(x_1, x_2, x_3, x_4)

사용 시:

:

x_1 = \cos\left(\frac{\xi_1+\xi_2}{2}\right)\sin\eta

:

x_2 = \sin\left(\frac{\xi_1+\xi_2}{2}\right)\sin\eta

:

x_3 = \cos\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta

:

x_4 = \sin\left(\frac{\xi_2-\xi_1}{2}\right)\cos\eta

여기서

\eta

는

0

부터

\pi/2

까지,

\xi_1

는

0

부터

2\pi

까지,

\xi_2

는

0

부터

4\pi

까지 변한다.

\eta=0

또는

\eta=\pi/2

인 경우는 각각

\mathbb S^3

위의 특정 원에 해당하며, 그 외의

\eta

값에 대해서는

(\xi_1, \xi_2)

가

\mathbb S^3

위의 평평한 토러스를 매개변수화한다.

위 매개변수를 호프 사상

p(z_0, z_1) = (2z_0z_1^*, |z_0|^2 - |z_1|^2)

에 대입하여

\mathbb S^2

위의 점

(z, x)

를 구하면 다음과 같다.

:

z = 2z_0z_1^* = 2 (e^{i\,\frac{\xi_1+\xi_2}{2}}\sin\eta) (e^{-i\,\frac{\xi_2-\xi_1}{2}}\cos\eta) = 2 e^{i\xi_1} \sin\eta \cos\eta = e^{i\xi_1} \sin(2\eta)

:

x = |z_0|^2 - |z_1|^2 = \sin^2\eta - \cos^2\eta = -\cos(2\eta)

이는

\mathbb S^2

위의 점을 나타낸다. 여기서

\xi_1

은 경도 방향의 각도,

2\eta

는 위도 방향의 각도(천정점에서

\pi

라디안)와 관련된다. 고정된

(\eta, \xi_1)

값은

\mathbb S^2

위의 한 점에 대응하고, 이 점의 역상인

\mathbb S^3

위의 원은

\xi_2

매개변수에 의해 결정된다. 원본 소스의 마지막 부분에서 제시된

\mathbb S^2

매개변수화

(z', x', y') = (\cos(2\eta), \sin(2\eta)\cos\xi_1, \sin(2\eta)\sin\xi_1)

와 비교하면, 위에서 계산된

(z, x)

는

(x'+iy', -z')

에 해당한다. 즉, 좌표계 설정 방식에 따라 표현이 달라질 수 있다.

2. 2. 복소 사영 공간을 이용한 기하학적 해석

복소 사영 직선

\mathbb{CP}^1

을 사용하여 호프 올뭉치에 대한 기하학적 해석을 얻을 수 있다.

\mathbb{CP}^1

은 복소 벡터 공간

\mathbb{C}^2

의 모든 1차원 벡터 부분 공간들의 집합으로 정의된다. 또는,

\mathbb{C}^2 \setminus \{0\}

의 점

(z_0, z_1)

에 대해, 0이 아닌 모든 복소수

\lambda

에 대해

(z_0, z_1)

을

(\lambda z_0, \lambda z_1)

과 동일시하는 동치 관계에 의한 몫 공간으로 정의할 수도 있다.

\mathbb{C}^2

안의 모든 복소수 직선에는 단위 노름(unit norm)을 갖는 원(

S^1

)이 존재하므로, 몫 사상을 단위 노름의 점들로 이루어진 3차원 구

S^3

에 제한하면,

S^3

는

\mathbb{CP}^1

위로 올뭉치화된다. 즉, 호프 사상

p: S^3 \to \mathbb{CP}^1

이 정의된다.

\mathbb{CP}^1

은 2차원 구

S^2

와 미분 동형이다. 실제로

\mathbb{CP}^1

은 복소 평면

\mathbb{C}

의 일점 컴팩트화인 리만 구

\mathbb{C}_\infty = \mathbb{C} \cup \{\infty\}

(무한대 점을 추가하여 얻음)와 동일시될 수 있다. 호프 사상

p

에 대한 공식은 복소 사영 직선과 3차원 공간 속의 일반적인 2차원 구 사이의 명시적인 미분 동형을 정의한다. 다른 관점에서는, 점

(z_0, z_1) \in S^3

을 리만 구

\mathbb{C}_\infty

위의 점인 비율

z_1 / z_0

으로 대응시킬 수 있다.

호프 올뭉치는 올다발 구조를 정의하며, 이때 올 사상은

p

이다. 이는 호프 올뭉치가 "국소 곱 구조"를 가진다는 것을 의미하는데, 구체적으로 밑공간인 2차원 구

S^2

의 모든 점은 그 점의 역상이 위상동형이 되는 근방

U

를 갖는다는 뜻이다. 즉,

p^{-1}(U)

는

U

와 올(fiber)인 원

S^1

의 곱공간

U \times S^1

과 위상동형 관계(

p^{-1}(U) \cong U \times S^1

)에 있다. 이러한 성질을 가진 올다발을 국소 자명하다고 부른다.

호프 올뭉치의 경우,

S^2

에서 단일 점

m

을 제거하고, 동시에

S^3

에서 그 점에 해당하는 올인 원

p^{-1}(m)

을 제거하는 것만으로 국소 자명성을 보일 수 있다. 따라서

U = S^2 \setminus \{m\}

으로 잡을 수 있으며,

S^2

의 모든 점은 이러한 형태의 근방을 가지므로 호프 올뭉치는 국소적으로 자명한 구조를 가진다.

2. 3. 회전을 이용한 기하학적 해석

호프 올뭉치에 대한 또 다른 기하학적 해석은 일반적인 3차원 공간에서 2차원 구의 회전을 고려하여 얻을 수 있다. SO(3)는 이중 덮개를 가지며, Spin(3)는 S³와 미분동형이다. 스핀 군은 회전을 통해 S²에 추이적으로 작용한다. 한 점의 안정자는 원군과 동형이다. 안정자의 원소는 주어진 점을 움직이지 않게 하는 회전 각도이며, 모두 그 점과 구의 중심을 연결하는 축을 공유한다. 따라서 S³는 S² 위에 있는 주 원 다발이고, 이것이 호프 올뭉치이다.

이것을 더 명확하게 하기 위해 두 가지 접근 방식이 있다. 그룹 Spin(3)는 Sp(1) 그룹(단위 사원수의 그룹) 또는 SU(2)와 식별될 수 있다.

첫 번째 접근 방식에서는 R⁴의 벡터

(x_1, x_2, x_3, x_4)

를 다음과 같이 사원수

q \in \mathbf{H}

로 해석한다.

:

q = x_1+\mathbf{i}x_2+\mathbf{j}x_3+\mathbf{k}x_4.\,\!

그러면 S³는 versor(노름이 1인 사원수)로 식별된다. 즉,

q \in \mathbf{H}

에 대해

|q|^2 = 1

이며,

|q|^2 = q q^*

이고, 이는

x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2

와 같다.

반면에, R³의 벡터

(y_1, y_2, y_3)

는 순수 사원수

p

로 해석될 수 있다.

:

p = \mathbf{i}y_1+\mathbf{j}y_2+\mathbf{k}y_3. \,\!

잘 알려진 바와 같이, 다음 사상은 R³에서의 회전이다.

:

p \mapsto q p q^* \,\!

여기서

q

는 versor이다. 이 변환은 등거리 변환이고(

|q p q^*|^2 = q p q^* q p^* q^* = q p p^* q^* = |p|^2

) 방향을 보존한다. 사실, 이것은 versor 그룹을 R³의 회전 그룹 SO(3)와 식별하는데, versor

q

와

-q

가 동일한 회전을 결정한다는 점(즉, 2대1 대응)을 제외하면 동일하다. 위에서 언급했듯이, 회전은 S²에 추이적으로 작용하며, 주어진 순수 사원수

p

를 고정하는 versor

q

의 집합은

q = u + v p

의 형태를 가지며, 여기서

u

와

v

는

u^2 + v^2 = 1

을 만족하는 실수이다. 이것은 원 부분군이다. 구체적으로,

p = \mathbf{k}

를 선택하면, 호프 올뭉치는 versor

\omega

를

\omega \mathbf{k} \omega^*

로 보내는 사상으로 정의할 수 있다.

\mathbf{k}

를 고정하는 versor의 원에 속하는 모든 사원수

\omega q

는 동일한 점으로 사상된다.

이 올뭉치를 보는 또 다른 방법은 모든 versor

\omega

가

\{1, \mathbf{k}\}

로 생성된 평면을

\{\omega, \omega\mathbf{k}\}

로 생성된 새로운 평면으로 이동시킨다는 것이다.

\mathbf{k}

를 고정하는 versor의 원에 속하는 모든 사원수

\omega q

는 동일한 효과를 갖는다. 이러한 동일한 효과를 갖는 versor들을 하나의 올(fiber)로 묶으면, 이 올은

\omega \mathbf{k} \omega^*

가 나타내는 180° 회전들의 집합인 S²에 일대일로 대응될 수 있다.

이 접근 방식은 사원수

q = x_1 + \mathbf{i} x_2 + \mathbf{j} x_3 + \mathbf{k} x_4

를

2 \times 2

행렬과 식별함으로써 SU(2)를 이용한 구성과 관련된다.

:

\begin{bmatrix} x_1+\mathbf i x_2 & x_3+\mathbf i x_4 \\ -x_3+\mathbf i x_4 & x_1-\mathbf i x_2 \end{bmatrix}.\,\!

이 식별을 통해 versor 그룹은 SU(2)와 동일시되고, 순수 사원수는 왜곡 에르미트 행렬

2 \times 2

와 동일시된다.

3. 일반화

노름을 가진 나눗셈 대수 $X$ 와 그 차원 $n := \dim X$ 가 주어졌다고 하자. $X$ 는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수 대수 중 하나이며, 각각의 차원은 $n=1, 2, 4, 8$ 이다. 이 나눗셈 대수 $X$ 를 이용하여 초구 $\mathbb S^{2n-1}$ 를 $X$ 의 원소 두 개의 순서쌍으로 정의하고, 특정 동치관계 $\sim$ 을 통해 몫공간을 만들면 $n$ 차원 초구 $\mathbb S^n$ 을 얻을 수 있다.

구체적으로, $\mathbb S^{2n-1}$ 은 $X^2$ 의 부분집합으로 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbb S^{2n-1}=\{(x_1,x_2)|1=|x_1|^2+|x_2|^2;x_1,x_2\in X\}\subset X^2$

여기에 다음과 같은 동치관계를 정의한다.

: $(x_1,x_2)\sim(\lambda x_1,\lambda x_2)$ (단, $\lambda\in X$ 이고 $|\lambda|=1$ )

이 동치관계에 대한 몫공간은 $n$ 차원 초구와 위상동형이다.

: $\mathbb S^n\cong\mathbb S^{2n-1}/{\sim}$

이는 $\mathbb S^{2n-1}$ 이 $\mathbb S^n$ 위에 올다발 구조를 이루며, 그 올(fiber)은 $\mathbb S^{n-1}$ 임을 의미한다. 이를 호프 올뭉치라고 부른다. 이 정의에 따라 각 나눗셈 대수에 해당하는 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.

$\mathbb S^0\hookrightarrow\mathbb S^1\twoheadrightarrow\mathbb S^1$ (실수)
$\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2$ (복소수)
$\mathbb S^3\hookrightarrow\mathbb S^7\twoheadrightarrow\mathbb S^4$ (사원수)
$\mathbb S^7\hookrightarrow\mathbb S^{15}\twoheadrightarrow\mathbb S^8$ (팔원수)

더 일반적으로, 결합 나눗셈 대수

\mathbb K

(실수, 복소수, 사원수, 차원

\dim K = k

)에 대하여,

\mathbb K

-사영 공간

\mathbb{KP}^n

위에 다음과 같은 주다발을 정의할 수 있다.

:

\mathbb S^{k-1} \hookrightarrow \mathbb S^{k(n+1)-1} \twoheadrightarrow \mathbb{KP}^n

이 주다발의 올(fiber)은

\mathbb S^{k-1}

이다.

또한, 두 나눗셈 대수의 포함 관계

\mathbb K \subsetneq \mathbb L

가 주어졌을 때 (

\dim\mathbb L/\dim\mathbb K=p

,

\dim\mathbb L=l

), 다음과 같은 형태의 올다발을 정의할 수 있다.

:

\mathbb{KP}^{p-1} \hookrightarrow \mathbb{KP}^{p(n+1)-1} \twoheadrightarrow \mathbb{LP}^n

이러한 올다발은 실수, 복소수, 사원수 사이의 포함 관계(실수 ⊂ 복소수, 복소수 ⊂ 사원수, 실수 ⊂ 사원수)에 대해 정의될 수 있다. 예를 들어, 복소수 ⊂ 사원수 관계에서는 올이

\mathbb S^2=\mathbb{CP}^1

인 올다발

\mathbb{CP}^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n

이 정의되며, 이는 주다발이 아니다. 반면, 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 이러한 올뭉치를 정의할 수 없다.^[11]

호프 올뭉치를 올다발

p: S^3 \to \mathbb{CP}^1

로 간주하면 다른 방식의 일반화도 가능하다. 첫째, 밑공간인 복소 사영 공간

\mathbb{CP}^1

을 더 높은 차원의 사영 공간

\mathbb{CP}^n

으로 대체할 수 있다. 둘째, 복소수 대신 다른 나눗셈 대수(실수, 사원수, 또는

n=1

경우 팔원수)를 사용하여 유사한 올뭉치 구조를 만들 수 있다.

3. 1. 실수 호프 올뭉치

실수 사영 공간을 이용하여 호프 올뭉치와 유사한 구조를 실수 체계 위에서 구성할 수 있다.

일반적으로, 결합 나눗셈 대수

\mathbb K

(차원

\dim K = k

)에 대하여,

\mathbb K

-사영 공간 위에 다음과 같은 주다발을 정의할 수 있다.

:

\mathbb S^{k-1} \hookrightarrow \mathbb S^{k(n+1)-1} \twoheadrightarrow \mathbb{KP}^n

실수

\mathbb R

의 경우(

k=1

), 이 주다발은 다음과 같다.

:

\mathbb S^0 \hookrightarrow \mathbb S^n \twoheadrightarrow \mathbb{RP}^n

여기서 올(fiber)은 0차원 초구

\mathbb S^0 = \{+1, -1\}

이고, 이는 두 개의 점으로 이루어진 이산 공간이다. 이 올뭉치는 두 원소로 구성된 2차 순환군

\mathbb S^0 \cong \mathbb Z_2

를 구조군으로 가지는 주다발이다.

구체적인 예로, 원

S^1

을 2차원 유클리드 공간

\mathbb R^2

의 부분 집합으로 생각하고, 서로 대척점에 있는 점들을 동일시하면 실수 사영 직선

\mathbb{RP}^1

을 얻는다. 이 과정은 섬유가

S^0 = \{1, -1\}

인 올다발

S^1 \to \mathbb{RP}^1

을 정의한다. 밑공간(base space)인

\mathbb{RP}^1

은 원

S^1

과 미분 동형이다.

더 일반적으로, ''n''-차원 초구

S^n

은 섬유가

S^0

인 실수 사영 공간

\mathbb{RP}^n

위에 올뭉치 구조를 가진다. 즉,

S^n

은

\mathbb{RP}^n

을 밑공간으로 하고

S^0

를 올으로 하는 올다발을 이룬다.

다른 나눗셈 대수와의 포함 관계에서도 실수 사영 공간이 나타나는 경우가 있다. 예를 들어, 실수가 복소수에 포함되는 관계(

\mathbb R \subsetneq \mathbb C

)에서는 다음과 같은 올다발이 정의된다.

:

\mathbb{RP}^1\hookrightarrow\mathbb{RP}^{2n+1}\twoheadrightarrow\mathbb{CP}^n

여기서

\mathbb S^1

은

\mathbb{RP}^1

과 미분 동형이므로

\mathbb S^1

대신

\mathbb{RP}^1

으로 표기하기도 한다. 이는 원군

\mathbb U(1)

에 대한 주다발이다.

또한, 실수가 사원수에 포함되는 관계(

\mathbb R \subsetneq \mathbb H

)에서는 다음과 같은 올다발이 정의된다.

:

\mathbb{RP}^3\hookrightarrow\mathbb{RP}^{4n+3} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n

이는 SO(3) (

\mathbb{RP}^3 \cong \operatorname{SO}(3)

)에 대한 주다발이다.

반면, 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 이러한 올뭉치를 정의할 수 없다.^[11]

3. 2. 복소수 호프 올뭉치

결합 나눗셈 대수 중 복소수

\mathbb C

를 사용하여 호프 올뭉치를 구성할 수 있다. 이는 복소 사영 공간

\mathbb{CP}^n

에 대한 주다발로 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{CP}^n

이 올뭉치에서 올(fiber)은 원

\mathbb S^1

이며, 이는 원군

\operatorname U(1)

과 같다. 따라서 이 올뭉치는

\operatorname U(1)

을 구조군으로 가지는 주다발이다.

호프 작도(Hopf construction)는 복소 사영 공간 CPⁿ 위에 이러한 원 다발 p : S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ을 정의하는 한 방법이다. 이 다발은 복소 벡터 공간 Cⁿ⁺¹에서 원점을 제외한 공간을 단위 구 S²ⁿ⁺¹로 제한하고, 이를 복소수 스칼라 곱셈의 작용으로 나누어 얻는 과정으로 이해할 수 있다. 다르게 표현하면, 이는 Cⁿ⁺¹ 위의 자명한 선 다발을 단위 구 S²ⁿ⁺¹에 제한한 것과 같다.

3. 3. 사원수 호프 올뭉치

사원수

\mathbb H

를 이용하여 사영 공간을 만들고, 이를 통해 사원수 버전의 호프 올뭉치를 구성할 수 있다.

구체적으로, 초구

\mathbb S^{4n+3}

를 사원수 벡터 공간

\mathbb H^{n+1}

에 포함된 것으로 간주하고, 여기에 단위 사원수(즉, 3차원 초구

\mathbb S^3

)의 곱셈 작용을 통해 동치 관계를 정의하면 사원수 사영 공간

\mathbb{HP}^n

을 얻는다. 이 과정은 다음과 같은 올다발 구조를 정의한다.

:

\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb S^{4n+3} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n

여기서 올(fiber)은

\mathbb S^3

이고, 이는 리 군 SU(2)와 동형이다. 따라서 이 올다발은 SU(2)를 구조군으로 갖는 주다발이다.

특히

n=1

인 경우, 사원수 사영 직선

\mathbb{HP}^1

은 4차원 초구

\mathbb S^4

와 위상동형이다. 따라서 다음과 같은 올다발을 얻는다.

:

\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb S^7 \twoheadrightarrow \mathbb S^4

이것이 가장 잘 알려진 사원수 호프 올뭉치이다.

더 나아가, 다른 나눗셈 대수와의 포함 관계를 통해 관련된 올다발들을 생각할 수 있다.

복소수 $\mathbb C$ 와 사원수 $\mathbb H$ 의 관계 ( $\mathbb C \subset \mathbb H$ ):

:

\mathbb S^2=\mathbb{CP}^1\hookrightarrow\mathbb{CP}^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n

여기서 올인

\mathbb S^2 = \mathbb{CP}^1

은 리 군 구조를 가지지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 일반적인 올다발이다. 특히

n=1

일 때 얻어지는

\mathbb S^2 \hookrightarrow \mathbb{CP}^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^4=\mathbb{HP}^1

관계는 물리학에서 트위스터 공간 이론과 관련이 있다.

실수 $\mathbb R$ 과 사원수 $\mathbb H$ 의 관계 ( $\mathbb R \subset \mathbb H$ ):

:

\mathbb{RP}^3\hookrightarrow\mathbb{RP}^{4n+3} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n

여기서 올인 실수 사영 공간

\mathbb{RP}^3

은 리 군 SO(3)와 동형이므로, 이는 SO(3)를 구조군으로 갖는 주다발이다.

팔원수의 경우, 비결합성 때문에 유사한 방식으로 올뭉치를 정의하기 어렵다.^[11]

3. 4. 팔원수 호프 올뭉치

팔원수를 사용하여 유사한 호프 올뭉치 구성을 시도할 수 있다. 예를 들어, 구

S^{15}

에서

S^8

로 가는 올뭉치를 만들 수 있으며, 이때 올(fiber)은

S^7

이 된다. 여기서

S^8

은 팔원수 사영 직선

\mathbb{OP}^1

으로 볼 수 있다.^[5]^[6]

그러나 팔원수를 이용한 구성에는 제약이 따른다. 모든 경우에 호프 올뭉치를 만들 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, 구

S^{31}

은 올

S^{15}

를 가지면서

S^{16}

위로 올뭉치를 형성하지는 않는다. 또한, 케일리 평면이라고도 불리는 팔원수 사영 평면

\mathbb{OP}^2

를 정의할 수는 있지만, 구

S^{23}

은 올

S^7

을 가지면서

\mathbb{OP}^2

위로 올뭉치를 형성하지 않는다.^[5]^[6] 실수, 복소수, 사원수의 경우와 달리, 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 호프 올뭉치를 정의할 수 없다.^[11]

4. 역사

1931년 하인츠 호프는 3차원 초구 $\mathbb S^3$ 에서 2차원 구 $\mathbb S^2$ 로 가는 호프 올뭉치 $\mathbb S^1\hookrightarrow\mathbb S^3\twoheadrightarrow\mathbb S^2$ 를 처음으로 발견하였다.^[12] 이후 그는 1935년에 이를 다른 차원으로 확장하는 경우에 대한 연구 결과를 발표했다.^[13]

5. 응용

호프 올뭉치는 물리학, 특히 양자역학과 자기 홀극 이론 등 현대 물리학의 여러 분야에서 중요한 개념으로 등장한다.^[14]^[15] 또한 로봇 공학 분야에서도 응용 사례를 찾을 수 있다.^[8]^[9]^[10]

호프 올뭉치의 구조를 이해하는 한 가지 방법은 입체 투영을 이용하는 것이다. 3차원 구 ''S''³를 3차원 유클리드 공간 '''R'''³으로 입체 투영하면, 호프 올뭉치의 각 섬유(fiber)는 '''R'''³에서 기하학적으로 완벽한 원으로 나타난다. 이를 빌라르소 원이라고 부른다. 다만, 투영 중심점을 지나는 섬유는 예외적으로 '''R'''³에서 직선(무한대를 통과하는 원으로 간주)으로 투영된다.

이러한 입체 투영을 통해, 2차원 구 ''S''²의 특정 위도에 해당하는 섬유들은 3차원 구 ''S''³ 내에서 토러스(원환면)를 형성하며, 이는 다시 '''R'''³ 공간을 채우는 중첩된 토러스 구조로 투영된다. 각 섬유는 이 토러스 위에서 서로 연결된 빌라르소 원으로 나타나며, 두 개의 연결된 원은 '''R'''³에서 호프 링크를 형성하기도 한다.

호프 올뭉치는 위상수학적으로 중요한 성질을 가지는데, 호프는 이 올뭉치를 나타내는 호프 사상(Hopf map)이 호프 불변량 1을 가지며, 따라서 영-호모토피가 아님을 증명했다. 이는 호프 사상이 호모토피 군 π₃(''S''²)을 생성하며 무한한 차수를 가짐을 의미한다. 이러한 수학적 특성은 호프 올뭉치가 다양한 물리적, 공학적 시스템의 위상학적 구조를 설명하는 데 사용될 수 있는 기초를 제공한다.

5. 1. 양자역학

양자역학에서 리만 구는 블로흐 구로 알려져 있다. 호프 올뭉치는 이러한 양자역학적 2준위계(two-level system) 또는 큐비트(qubit)의 위상학적 구조를 설명하는 데 사용된다. 마찬가지로, 얽힌 2준위계 쌍의 위상학 역시 호프 올뭉치와 관련이 있다. 또한, 호프 올뭉치는 디랙 단극자의 섬유 번들 구조와 동등하다.^[7]

5. 2. 자기 홀극

자기 홀극의 전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치 구조를 가진다.^[15] 또한, 호프 올뭉치는 디랙 홀극의 섬유 다발 구조와 동등하다.^[7]

5. 3. 유체 역학

호프 올뭉치를 3차원 공간의 벡터장으로 다루면, 특정 조건에서 유체가 3차원 공간에서 호프 올뭉치의 투영된 원을 따라 흐르는 상황에 대한 나비에-스토크스 방정식의 해를 찾을 수 있다. 이 해는 압축성이 있고 점성이 없는 유체에 해당한다. 속도의 크기, 밀도, 압력은 각 지점에서 나비에-스토크스 방정식을 만족하도록 정할 수 있으며, 이 모든 값은 중심에서 멀어질수록 0에 가까워진다. 변수 ''a''를 내부 고리까지의 거리라고 할 때, 속도, 압력, 밀도장은 다음과 같은 수식으로 표현된다.

:

\mathbf{v}(x,y,z) = A \left(a^2+x^2+y^2+z^2\right)^{-2} \left( 2(-ay+xz), 2(ax+yz) , a^2-x^2-y^2+z^2 \right)

:

p(x,y,z) = -A^2B \left(a^2+x^2+y^2+z^2\right)^{-3},

:

\rho(x,y,z) = 3B\left(a^2+x^2+y^2+z^2\right)^{-1}

여기서 ''A''와 ''B''는 임의의 상수이다. 이와 비슷한 형태의 장은 자기유체역학에서 솔리톤 해로 발견되기도 한다.^[4]

5. 4. 트위스터 공간

두 나눗셈 대수의 포함 관계

\mathbb K \subsetneq \mathbb L

가 주어졌을 때, 특정 올다발을 정의할 수 있다. 예를 들어 복소수

\mathbb C

와 사원수

\mathbb H

의 포함 관계

\mathbb C \subsetneq \mathbb H

에 대해서는 다음과 같은 올다발 구조를 생각할 수 있다.

:

\mathbb S^2=\mathbb{CP}^1\hookrightarrow\mathbb{CP}^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{HP}^n

이때 올(fiber)에 해당하는 구

\mathbb S^2

(또는 복소 사영 직선

\mathbb{CP}^1

)는 리 군 구조를 가지지 않기 때문에, 이 올다발은 주다발이 아닌 일반적인 올다발이다.

특히

n=1

인 경우, 이 올다발은 다음과 같이 구체화된다.

:

\mathbb S^2 \hookrightarrow \mathbb{CP}^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^4=\mathbb{HP}^1

이 관계는 물리학에서 중요한 의미를 가지는데, 전체 공간인 복소 사영 공간

\mathbb{CP}^3

은 트위스터 공간으로, 밑 공간(base space)인 4차원 구

\mathbb S^4

(또는 사원수 사영 직선

\mathbb{HP}^1

)는 콤팩트화된 4차원 시공간으로 해석될 수 있다. 따라서 이 특정 호프 올뭉치는 콤팩트화된 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 기하학적 관계를 나타낸다고 볼 수 있다.

5. 5. 로봇 공학

호프 올뭉치는 로봇 공학 분야에서도 응용된다. SO(3)에서 확률적 로드맵 알고리즘을 이용한 움직임 계획 시 균일한 샘플을 생성하는 데 활용되며,^[8] 자동 제어 기술이 적용된 쿼드로터에도 적용된 사례가 있다.^[9]^[10]

참조

_[1] 문서 This partition of the
_[2] 웹사이트 quaternionic Hopf Fibration https://ncatlab.org/[...]
_[3] 웹사이트 Benjamin H. Smith's Hopf fibration notes http://www.math.mcgi[...] 2016-09-14
_[4] 간행물 Topological solitons in magnetohydrodynamics http://www.jetp.ac.r[...] 2011-08-03
_[5] 서적 Manifolds all of whose Geodesics are Closed Springer-Verlag
_[6] 문서 sci.math.research 1993 thread "Spheres fibred by spheres" https://groups.googl[...]
_[7] 논문 Historical note on fiber bundles 2015-06
_[8] 논문 Generating Uniform Incremental Grids on SO (3) Using the Hopf Fibration 2010
_[9] 논문 Control of Quadrotors Using the Hopf Fibration on SO(3) https://link.springe[...] Springer International Publishing 2020
_[10] 논문 Accurate High-Maneuvering Trajectory Tracking for Quadrotors: A Drag Utilization Method https://ieeexplore.i[...] 2022
_[11] 저널 On quotients of Hopf fibrations http://hdl.handle.ne[...]
_[12] 저널 Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche http://www.digizeits[...]
_[13] 저널 Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension http://pldml.icm.edu[...]
_[14] 저널 Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations
_[15] 저널 The Hopf fibration — seven times in physics http://www.itp.uni-h[...]

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