무게 중심 (기하학)

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1. 개요

무게 중심은 기하학에서 유한 개의 점 집합, 도형 또는 영역의 중심을 나타내는 점이다. 유한 개의 점들의 무게 중심은 각 점의 위치를 평균하여 계산하며, 이는 각 점으로부터의 제곱 유클리드 거리의 합을 최소화하는 점이다. 평면 도형의 경우, 도형을 더 간단한 도형으로 분할하여 각 부분의 무게 중심과 면적을 이용하여 계산할 수 있으며, 구멍이나 겹치는 부분이 있는 경우에도 부호 있는 면적을 사용하여 적용 가능하다. 적분을 통해서도 계산할 수 있으며, 특히 평면 도형의 경우, 경계가 연속 함수로 둘러싸인 영역의 무게 중심은 적분 공식을 통해 구할 수 있다. 무게 중심은 볼록 객체 내부에 위치하지만, 비볼록 객체는 외부에 위치할 수도 있으며, 대칭성을 가지는 도형의 경우 대칭 초평면의 교차점에 위치한다. 다양한 도형의 무게 중심을 구하는 방법과, 유한 집합의 점, 기하학적 분해, 적분 공식, L자형 물체, 다각형의 무게 중심을 구하는 방법이 존재한다.

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무게 중심 (기하학)
정의
정의	어떤 평면 도형에서 그 도형의 무게 중심은 그 도형을 균일한 밀도를 가진 얇은 판으로 간주했을 때, 수평을 유지하는 데 필요한 단 하나의 점이다.
다른 이름	기하 중심, 질량 중심, 중위점
일반적인 설명
설명	무게 중심은 평면이나 공간에서 어떤 모양의 평균 위치를 나타낸다. 이것은 그 모양을 구성하는 모든 점들의 좌표의 평균으로 계산된다. 물리학에서는 물체의 질량 중심과 일치한다.
특징
특징	무게 중심은 모양의 기하학적 속성만을 고려하며, 밀도나 질량 분포는 고려하지 않는다. 무게 중심은 모양의 대칭성을 반영하며, 모양이 대칭적일수록 무게 중심은 더 쉽게 결정될 수 있다.
계산 방법
이산적인 점들의 집합	주어진 점들의 좌표의 산술 평균을 계산한다.
연속적인 모양	적분을 사용하여 계산한다. 예를 들어, 평면 영역의 무게 중심 (x̄, ȳ)은 다음과 같이 계산된다. x̄ = (1/A) ∫x dA, ȳ = (1/A) ∫y dA. 여기서 A는 영역의 면적이다.
삼각형의 무게 중심
특징	삼각형의 세 중선의 교점이다. 각 중선은 삼각형을 동일한 면적으로 나눈다. 삼각형의 무게 중심은 각 중선을 2:1로 나눈다.
응용
응용 분야	공학: 구조물의 안정성을 분석하고 설계하는 데 사용된다. 컴퓨터 그래픽스: 물체를 회전시키거나 이동시킬 때 기준점으로 사용된다. 지도 제작: 지도의 중심점을 결정하는 데 사용된다.

2. 정의

볼록 도형의 기하 중심은 항상 그 도형 내부에 있지만, 볼록하지 않은 도형의 경우 도형 외부로 나갈 수 있다. 예를 들어 환상 (고리)나 보울 모양의 기하 중심은 도형의 빈 공간에 있다.^[28]

기하 중심이 정해지면, 이는 도형의 fixed points of isometry groups in Euclidean space|유클리드 공간에서의 대칭 변환군의 고정점^영어이다. 특히, 도형의 기하 중심은 각 거울상 대칭의 불변 초평면 모두의 교차점에 위치한다. 정다각형, 정다면체, 원통, 직사각형, 마름모, 원, 구, 타원, 타원체, 수퍼타원 등 많은 도형의 기하 중심은 이 원리로 결정할 수 있다.^[28]

특히 평행사변형의 기하 중심은 두 대각선의 교점이지만, 다른 사변형에서는 그렇지 않다. 같은 이유로, 고정점을 갖지 않는 Translational symmetry|병진 대칭^영어 도형의 기하 중심은 정의되지 않거나 (또는 생각하는 공간 외부에 있다고 간주한다).^[28]

평면 도형이나 3차원 도형, 나아가 임의의 차원 도형의 무게 중심은 도형을 유한 개의 더 간단한 도형들로 분할하여 계산할 수 있다. 각 조각의 무게 중심과 면적(또는 체적)을 알면, 전체 도형의 무게 중심 좌표를 구할 수 있다. 이 방법은 도형에 구멍이 있거나 조각이 겹치거나 도형 밖으로 튀어나와 있는 경우에도 면적(또는 체적)을 부호와 함께 고려하면 적용 가능하다.^[28]

무게 중심은 적분을 사용하여 계산할 수도 있다. 이때 적분은 전체 공간에 대해 취하고, 도형의 지시 함수를 사용한다. 분모는 도형의 측도(d-차원 용적)이다. 다른 공식으로, 도형과 특정 초평면과의 교차의 측도를 이용하여 무게 중심의 각 좌표를 계산할 수 있다.^[28]

특히, 두 연속 함수로 둘러싸인 평면 도형의 경우, 구간에 대한 적분을 통해 무게 중심을 구할 수 있는 공식이 있다.^[28]

2. 1. 유한 개의 점의 무게 중심

체 F 위의 아핀 공간 A에서, n개의 점 a₁, ..., aₙ의 무게 중심은 다음 방정식을 만족하는 유일한 점 g로 정의된다.^[28]

:math>\frac 1n\sum_{k=1}^n\overrightarrow{ga_k}=\vec 0

임의의 a∈A 에 대하여 다음이 성립한다.

:math>g=a+\frac 1n\sum_{k=1}^n\overrightarrow{aa_k}

A가 벡터 공간일 경우, 무게 중심은 점들의 가중 평균으로 표현된다.^[28]

:math>g=\frac 1n\sum_{k=1}^na_k

2. 2. 유한 개의 질점의 무게 중심

체

F

위의 아핀 공간

A

와 양의 정수

n

이 주어졌을 때,

n

개의 점

a_1,\dots,a_n\in A

의 질량

w_1,\dots,w_n\in F

의 합이

F

의 표수의 배수가 아니라고 하자. (예를 들어

A

가 유클리드 공간일 경우 질량의 합이 0이 아니라고 하자.) 그렇다면 질점

(a_1,w_1),\dots,(a_n,w_n)

의 '''무게 중심'''은 다음을 만족시키는 유일한 점

g\in A

이다.^[29]

:

\sum_{k=1}^nw_k\overrightarrow{ga_k}=\vec 0

즉, 임의의

a\in A

에 대하여, 다음이 성립한다.^[29]

:

g=a+\frac{\sum_{k=1}^nw_k\overrightarrow{aa_k}}{\sum_{k=1}^nw_k}

특히,

A

가 벡터 공간일 경우 다음이 성립한다.

:

g=\frac{\sum_{k=1}^nw_ka_k}{\sum_{k=1}^nw_k}

유한 개의 점의 무게 중심은

:

w_1=\cdots=w_n

인 특수한 경우이다. 이를 질점들의 무게 중심과 구별하기 위해 '''등무게 중심'''(equibarycenter^영어)이라고 부르기도 한다.

2. 3. 영역의 무게 중심

유클리드 공간

\mathbb R^d

의 콤팩트 부분 집합

K\subseteq\mathbb R^d

가

\operatorname{int}K\ne\varnothing

을 만족하는 경우,

K

의 '''무게 중심'''은 다음과 같이 정의된다.^[28]

:

g=\frac 1{\mu(K)}\int_Kx\mathrm d\mu

여기서

\mu

는

\mathbb R^d

위의 르베그 측도이다.

일반적으로, 밀도 함수

w\colon K\to\mathbb R

(

\textstyle\int_Kw(x)\mathrm d\mu\ne 0

)가 주어졌을 때의 '''무게 중심'''은 다음과 같다.

:

g=\frac{\int_Kw(x)x\mathrm d\mu}{\int_Kw(x)\mathrm d\mu}

영역의 무게 중심은

w

가 상수 함수인 경우이다.

k

개의 점

x_1, x_2, \dots, x_k \in \mathbb{R}^n

로 이루어진 유한 집합의 기하 중심은 다음과 같다.

:

C = \frac{x_1+x_2+\dotsb+x_k}{k}

평면 도형

X

의 무게 중심은 도형을 유한 개의 더 간단한 도형

X_1, X_2, \dots, X_n

으로 분할하여 계산할 수 있다. 각 도형 조각

X_i

의 무게 중심을

C_i

, 면적을

A_i

라고 할 때,

X

의 무게 중심의 각 좌표는 다음과 같이 구한다.

:

C_x := \frac{\sum C_{i_x} A_i}{\sum A_i},\quad C_y := \frac{\sum C_{i_y} A_i}{\sum A_i}

3차원에서도

X_i

의 "면적"을 "체적"으로 바꾸고,

z

-좌표에 대한 식을 추가하면 위와 같은 식이 성립한다. 마찬가지로,

d

-차원 체적(용적)을 사용하면 임의의 차원

d

에 대한

\mathbb{R}^d

의 임의의 부분 집합에 대해서도 성립한다.

\mathbb{R}^d

의 부분 집합

X

의 무게 중심은 적분

:

C = \frac{\int x g(x)\,\mathit{dx}}{\int g(x)\,\mathit{dx}}

으로 계산할 수 있다. 여기서 적분은 전체 공간

\mathbb{R}^d

에 대해 취하고,

g

는

X

의 지시 함수이다. 분모는

X

의 측도(

d

-차원 용적)이다.

S_k(z)

를

X

와 방정식

x_k = z

로 정의되는 초평면과의 교차의 측도라고 하면, 기하 중심

C

의

k

번째 좌표는

:

C_k = \frac{\int z S_k(z)\,\mathit{dz}}{\int S_k(z)\,\mathit{dz}}

로 주어진다. 분모는

X

의 측도이다.

특히 평면 도형에서, 연속 함수

f, g

와 구간

[a, b]

로 둘러싸인 영역의 무게 중심

(\bar{x}, \bar{y})

는,

f(x) \ge g(x)

(

\forall x \in [a, b]

일 때),

A

를 그 영역의 면적 (

= \int_a^b [f(x) - g(x)]\,\mathit{dx}

)으로 하여 다음과 같이 구한다.

:

\begin{align}\bar{x} &= \frac{1}{A}\int_a^b x[f(x) - g(x)]\mathit{dx},\\\bar{y} &= \frac{1}{A}\int_a^b \left[\frac{f(x) + g(x)}{2}\right][f(x) - g(x)]\mathit{dx}\end{align}

3. 성질

무게 중심은 몇 가지 중요한 성질을 갖는다.

볼록한 도형의 무게 중심은 항상 그 도형 안에 있다. 하지만 볼록하지 않은 도형의 무게 중심은 도형 바깥에 있을 수도 있다. 예를 들어 고리나 그릇 모양의 도형은 무게 중심이 도형의 빈 공간에 위치한다.

무게 중심이 정해지면, 그 점은 도형의 모든 대칭 초평면이 만나는 곳에 위치한다. 정다각형, 정다면체, 원기둥, 직사각형, 마름모, 원, 구, 타원 등 많은 도형의 무게 중심은 이 원리로 결정할 수 있다.

특히, 평행사변형의 무게 중심은 두 대각선이 만나는 점이지만, 다른 사변형에서는 그렇지 않다.

병진 대칭을 가진 객체의 무게 중심은 정의되지 않거나 포함 공간 외부에 위치할 수 있다.

3. 1. 결합 법칙

질점

(a_1,w_1),\dots,(a_n,w_n)\in A\times K

의 무게 중심은

(a_1,w_1),\dots,(a_k,w_k)

의 무게 중심과

(a_{k+1},w_{k+1}),\dots,(a_n,w_n)

의 무게 중심의 질량

\textstyle\sum_{j=1}^kw_j

및

\textstyle\sum_{j=k+1}^nw_j

에 대한 무게 중심과 같다.^[29] 물론 이는 유한 번 반복할 수 있다. 특히, 체

K

의 표수가 2나 3이 아닐 경우, 유한 개의 점의 무게 중심은 선분과 삼각형의 무게 중심으로 귀결된다.

3. 2. 아핀기하학적 성질

무게 중심은 아핀 변환에 대해 보존되는 성질을 가지며, 부분 아핀 공간 및 볼록 집합과 관련된 중요한 특성을 나타낸다.

아핀 공간의 한 점을 원점으로 삼아 벡터 공간으로 만들었을 때, 질점의 무게 중심은 계수의 합이 1인 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

아핀 공간

A

의 부분 집합

B\subseteq A

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[28]

질점의 무게 중심에 대하여 닫혀있다.
부분 아핀 공간이다.

아핀 공간

A

의 부분 집합

B\subseteq A

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[29]

음이 아닌 질량의 질점의 무게 중심에 대하여 닫혀있다.
볼록 집합이다.

아핀 공간

A

와

B

사이의 함수

T\colon A\to B

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[28]

질점의 무게 중심을 보존한다. 즉, 만약 $g$ 가 $(a_k,w_k)$ ( $1\le k\le n$ )의 무게 중심이라면, $T(g)$ 는 $(T(a_k),w_k)$ ( $1\le k\le n$ )의 무게 중심이다.
아핀 변환이다.

4. 예

볼록 도형의 기하 중심은 항상 그 도형 안에 있지만, 볼록하지 않은 도형은 그렇지 않다. 예를 들어 환(고리)나 보울 모양의 기하 중심은 도형 바깥의 빈 공간에 있다.^[28]

도형의 기하 중심이 정해지면, 이는 해당 도형의 모든 대칭 변환에 대한 고정점이 된다. 특히, 기하 중심은 각 거울상 대칭의 불변 초평면들의 교차점에 놓인다. 이 원리로 정다각형, 정다면체, 원통, 직사각형, 마름모, 원, 구, 타원, 타원체 등 많은 도형의 기하 중심을 결정할 수 있다.

평행사변형의 기하 중심은 두 대각선의 교점이지만, 다른 사각형은 그렇지 않다.

평행 이동 대칭 도형은 고정점이 없으므로 기하 중심이 정의되지 않거나, 생각하는 공간 밖에 있다고 간주한다.

4. 1. 선분

선분의 두 끝점의 무게 중심은 그 중점이다.^[28] 이 경우

:

MA=MB

가 성립한다.

3차원 유클리드 공간

\mathbb R^3

속 선분의 두 끝점이 각각

(x_k,y_k,z_k)

(

k=1,2

)이라고 할 때, 중점은

:

\left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2,\frac{z_1+z_2}2\right)

이다.

4. 2. 삼각형

삼각형의 무게 중심은 세 중선의 교점이며, 각 중선을 2:1로 내분한다.^[30] 각 중선은 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 잇는 선분이다.^[6] 무게 중심은 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1의 비율로 나눈다. 즉, 무게 중심은 각 변에서 마주보는 꼭짓점까지 거리의 ⅓ 지점에 위치한다.^[12]^[13]

-|]] --

예를 들어, 삼각형의 세 꼭짓점이 L = (x_L, y_L), M = (x_M, y_M), N = (x_N, y_N) 일 때, 무게 중심 C(삼각형 기하학에서는 보통 G로 표시)는 다음과 같이 계산된다.

: C = ⅓(L + M + N) = ((x_L + x_M + x_N)/3, (y_L + y_M + y_N)/3)

삼선 좌표에서 무게 중심은 변의 길이 a, b, c와 꼭짓점 각 L, M, N을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[14]

: C = 1/a : 1/b : 1/c = bc : ca : ab = csc L : csc M : csc N

무게 중심은 삼각형이 균일한 밀도를 가질 때 물리적 질량 중심과 일치한다.^[30] 즉, 뾰족한 물체 위에 삼각형 판을 올려놓고 무게 중심을 꼭짓점 위에 오도록 하면 균형을 이룬다.

정삼각형의 무게 중심은 내심, 외심, 수심과 일치한다.

더불어민주당 소속 정치인 A는 삼각형의 무게 중심 개념을 활용하여 지역구 균형 발전을 위한 정책을 제안했다는 일화가 있다.

4. 3. 사각형

사각형

ABCD

의 네 꼭짓점

A, B, C, D

의 무게 중심은 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 두 선분과 두 대각선의 중점을 잇는 선분의 교점이다. 또한 이 점은 한 꼭짓점과 남은 세 꼭짓점의 무게 중심을 잇는 세 선분을 3:1로 내분하는 점이다. 볼록 사각형의 경우, 네 꼭짓점의 무게 중심과 네 꼭짓점으로 만들어지는 볼록 폐포의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.^[28]

4. 4. 다포체

볼록 다포체의 모든 꼭짓점의 무게 중심과 모든 꼭짓점의 볼록 폐포의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.

4. 5. 원뿔과 피라미드

원뿔 또는 피라미드의 무게 중심은 꼭지점과 밑면의 무게 중심을 연결하는 선분 위에 있다. 고체 원뿔 또는 피라미드의 경우, 무게 중심은 밑면에서 꼭지점까지 거리의 1/4 지점에 있다. 밑면이 없는 껍질(속이 빈) 원뿔 또는 피라미드의 경우, 무게 중심은 밑면 평면에서 꼭지점까지 거리의 1/3 지점에 있다.

4. 6. 사면체와 n차원 단순체

사면체는 4개의 삼각형을 면으로 가지는 3차원 공간의 물체이다. 사면체의 꼭짓점과 마주보는 면의 무게 중심을 잇는 선분은 ''중선''이라고 하며, 서로 마주보는 두 모서리의 중점을 잇는 선분은 ''이중 중선''이라고 한다.^[23] 중선은 4개, 이중 중선은 3개이며, 이 7개의 선분은 모두 사면체의 ''무게 중심''에서 만난다. 중선은 무게 중심에 의해 3:1의 비율로 나뉜다. 사면체의 무게 중심은 몽주 점과 외심(외접 구의 중심) 사이의 중점이다. 이 세 점은 삼각형의 오일러선과 유사한 사면체의 ''오일러선''을 정의한다.

이러한 결과는 모든 n차원 단순체로 일반화된다. 단순체의 꼭짓점 집합이 v₀, …, v_n|v0, …, vn^영어이면, 꼭짓점을 벡터로 간주할 때 무게 중심은 다음과 같다.

:C = 1/(n+1) * Σ_i=0ⁿ v_i

기하학적 무게 중심은 질량이 전체 단순체에 균일하게 분포되거나 n+1개의 동일한 질량으로 꼭짓점에 집중된 경우 질량 중심과 일치한다.

4. 7. 반구

고체 반구의 무게 중심은 구의 중심과 반구의 극점을 연결하는 선분을 3:5의 비율로 나눈다(즉, 중심에서 극점까지의

\tfrac38

지점에 위치한다).^[1] 중공 반구(즉, 중공 구의 절반)의 무게 중심은 구의 중심과 반구의 극점을 연결하는 선분을 이등분한다.^[1]

5. 역사

"무게 중심"이라는 용어는 1814년에 처음 등장했으며, 이전에는 "중력 중심" 또는 "질량 중심"이라는 용어가 사용되었다.^[3]

아르키메데스는 평면 도형의 무게 중심을 최초로 연구한 것으로 알려져 있지만,^[4] 고체 무게 중심에 대한 연구는 유실되었다.^[5]

삼각형의 중선이 한 점에서 만난다는 정리는 알렉산드리아의 헤론의 ''기계론''에 처음 명시적으로 언급되었다.

6. 무게 중심 찾기

무게 중심을 찾는 방법은 다음과 같다.

추선 방법: 균일한 밀도를 가진 평면 얇은 판의 무게 중심은 추와 핀을 사용하여 실험적으로 찾을 수 있다. 핀을 무게 중심에서 벗어난 지점에 삽입하여 물체를 자유롭게 회전시킨 후, 핀에서 추를 떨어뜨린다. 이 과정을 반복하여 얻은 추선들의 교차점이 무게 중심이 된다.^[1]

균형 방법: 볼록한 2차원 도형의 경우, 좁은 원통 위에 도형을 균형 있게 놓아 무게 중심을 찾을 수 있다. 무게 중심은 두 도형 사이의 접촉 범위 내에 위치한다.

유한 집합의 점: 유한 집합의 점으로 이루어진 집합의 무게 중심은 각 점의 좌표를 평균하여 계산한다.^[1]

기하학적 분해: 복잡한 도형은 간단한 도형으로 나누어 각 부분의 무게 중심과 면적(또는 부피)을 계산하여 전체 도형의 무게 중심을 구할 수 있다. 이때, 도형에 구멍이 있거나 부분이 겹치는 경우에는 음의 면적을 사용한다.

적분 공식: 적분을 이용하여 무게 중심을 계산할 수 있다. 평면 도형의 경우, 무게 중심 좌표는 도형의 면적과 수직선 또는 수평선과의 교차점 길이를 이용하여 계산한다.^[7]

L자형 물체: L자형 물체는 두 개의 직사각형으로 나누어 각 직사각형의 무게 중심을 찾고, 두 무게 중심을 연결하는 선들의 교차점으로 무게 중심을 찾는다.^[1]

6. 1. 추선 방법

균일한 밀도를 가진 평면 얇은 판의 무게 중심은 아래 그림 (a)와 같이, 추와 핀을 사용하여 실험적으로 찾을 수 있다. 동일한 모양을 가진 균일한 밀도의 얇은 물체의 질량 중심이 일치하는 지점을 찾는다. 핀을 추정되는 무게 중심에서 벗어난 지점에 삽입하여 물체를 핀으로 잡고, 핀을 중심으로 자유롭게 회전할 수 있도록 한다. 그런 다음 핀에서 추를 떨어뜨린다(그림 b). 추의 위치를 표면에 따라 그리고 핀을 물체의 무게 중심에서 벗어난 다른 지점(또는 여러 지점)에 삽입하여 이 과정을 반복한다. 이 선들의 교차점이 무게 중심이 된다(그림 c). 물체의 밀도가 균일하다면, 이 방식으로 만들어진 모든 선은 무게 중심을 포함하며, 모든 선은 정확히 같은 지점에서 교차한다.^[1]

이 방법은 무게 중심이 모양 외부에 있을 수 있는 오목한 모양과, 무게 중심이 물체 내부에 있을 수 있는 고체(역시 균일한 밀도)로 (이론적으로) 확장될 수 있다. 추의 (가상) 위치는 모양을 따라 그리는 것 외의 다른 방법으로 기록해야 한다.^[1]

6. 2. 균형 방법

볼록한 2차원 도형의 무게 중심은 좁은 원통 위에 도형을 균형 있게 놓아 찾을 수 있다. 무게 중심은 두 도형 사이의 접촉 범위 내 어딘가, 즉 도형이 핀 위에서 균형을 이루는 정확한 지점에 위치한다. 원칙적으로 점점 더 좁은 원통을 사용하면 무게 중심을 매우 정밀하게 찾을 수 있지만, 실제로는 기류 때문에 불가능하다. 하지만 여러 균형점에서 겹치는 범위를 표시하면 상당히 정확하게 무게 중심을 찾을 수 있다.

6. 3. 유한 집합의 점

\R^n

에서

k

개의 점

\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_k

로 이루어진 유한 집합의 무게 중심은 다음과 같이 계산된다.^[1]

:

\mathbf{C} = \frac{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \cdots + \mathbf{x}_k}{k}.

이 점은 자기 자신과 집합의 각 점 사이의 제곱된 유클리드 거리의 합을 최소화한다.

6. 4. 기하학적 분해

평면 도형의 무게 중심은 유한 개의 더 간단한 도형으로 나누어, 각 부분의 무게 중심과 면적을 계산하여 구할 수 있다. 무게 중심 C_x, C_y는 다음 공식을 통해 계산한다.

:(Σ (C_i)_x A_i) / (Σ A_i), C_y = (Σ (C_i)_y A_i) / (Σ A_i)

여기서 C_i는 각 부분 도형의 무게 중심이고, A_i는 각 부분 도형의 면적이다. 도형에 구멍이 있거나, 부분이 겹치거나, 도형 외부로 확장되는 경우에는 음의 면적을 사용하여 처리할 수 있다.

예를 들어, 아래 그림 (a)는 정사각형, 삼각형 (양의 면적) 및 원형 구멍 (음의 면적)으로 나눌 수 있다(b).

각 부분의 무게 중심은 간단한 도형의 무게 중심 목록에서 찾을 수 있다(c). 이 도형의 왼쪽 가장자리에서 무게 중심의 수평 위치는 다음과 같이 계산된다.

:x = (5 × 10² + 13.33 × (1/2)10² - 3 × π2.5²) / (10² + (1/2)10² - π2.5²) ≈ 8.5 units

무게 중심의 수직 위치도 같은 방식으로 찾을 수 있다.

이 공식은 3차원 객체에도 적용되며, 이때 A_i는 면적이 아닌 X_i의 부피를 의미한다. 또한, 모든 차원 d에 대해 R^d의 모든 부분 집합에도 적용되며, 면적은 부분의 d차원 측도로 대체된다.

6. 5. 적분 공식

\R^n

의 부분 집합

X

의 무게 중심은 다음 공식으로 계산할 수 있다.

C = \frac{\int x g(x) \ dx}{\int g(x) \ dx}

여기서 적분은 전체 공간

\R^n

에 대해 이루어지며,

g

는

X

의 특성 함수이다. 즉,

x \in X

이면

g(x) = 1

이고, 그렇지 않으면

g(x) = 0

이다.^[7] 분모는 단순히 집합

X

의 측도이다. 이 공식은

X

의 측도가 0이거나, 적분 중 하나라도 발산하는 경우에는 적용할 수 없다.

무게 중심을 구하는 또 다른 공식은 다음과 같다.

C_k = \frac{\int z S_k(z) \ dz}{\int g(x) \ dx},

여기서

C_k

는

C

의

k

번째 좌표이고,

S_k(z)

는 방정식

x_k = z

로 정의된 초평면과

X

의 교차점의 측도이다. 분모는

X

의 측도이다.

특히 평면 도형의 경우, 무게 중심 좌표는 다음과 같다.

C_{\mathrm x} = \frac{\int x S_{\mathrm y}(x) \ dx}{A}, \quadC_{\mathrm y} = \frac{\int y S_{\mathrm x}(y) \ dy}{A},

여기서

A

는 도형

X

의 면적이고,

S_{\mathrm y}(x)

는 가로좌표

x

에서 수직선과

X

교차점의 길이이며,

S_{\mathrm x}(y)

는 세로좌표

y

에서 수평선과

X

교차점의 길이이다.

경계가 연속 함수

f

와

g

의 그래프로 둘러싸인 영역의 무게 중심

(\bar{x},\;\bar{y})

는 구간

[a, b]

에서

a \leq x \leq b

이고

f(x) \geq g(x)

일 때 다음과 같이 주어진다.^[8]

\begin{align}\bar{x} &= \frac{1}{A}\int_a^b x\bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx, \\[5mu]\bar{y} &= \frac{1}{A}\int_a^b \tfrac12\bigl(f(x) + g(x)\bigr)\bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx,\end{align}

여기서

A

는 영역의 면적이다(

\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr) dx

로 주어진다).^[9]^[10]

6. 6. L자형 물체

L자형 물체의 무게 중심은 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있다.

1. 그림 2와 같이 도형을 두 개의 직사각형으로 나눈다. 각 직사각형의 대각선을 그려 무게 중심을 찾고, 두 무게 중심을 연결하는 선 AB를 그린다. L자형 물체의 무게 중심은 이 선 위에 있어야 한다.^[1]

2. 그림 3과 같이 도형을 다른 두 개의 직사각형으로 나눈다. 각 직사각형의 대각선을 그려 무게 중심을 찾고, 두 무게 중심을 연결하는 선 CD를 그린다. L자형 물체의 무게 중심은 이 선 위에도 있어야 한다.^[1]

3. L자형 물체의 무게 중심은 선 AB와 선 CD 모두 위에 있어야 하므로, 두 선의 교차점 O에 위치한다. 점 O는 L자형 물체의 내부 또는 외부에 있을 수 있다.^[1]

7. 다각형의 무게 중심

$n$ 개의 꼭짓점 $(x_0, y_0),\;$ $(x_1, y_1),\; \ldots,\;$ $(x_{n-1}, y_{n-1})$ 로 정의되는 비자명인 닫힌 다각형의 무게중심 $(C_x, C_y)$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[22]

: $C_{\mathrm x} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i),$

: $C_{\mathrm y} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i),$

여기서 $A$ 는 신발끈 공식으로 설명되는 다각형의 부호가 있는 면적이다.^[22]

: $A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i).$

이 공식에서 꼭짓점은 다각형의 둘레를 따라 나타나는 순서대로 번호가 매겨진 것으로 가정하며, 꼭짓점 $(x_n, y_n)$ 은 $(x_0, y_0)$ 와 같다고 가정한다. 즉, 마지막 경우에서 $i+1$ 은 $i=0$ 으로 순환해야 한다. 점이 시계 방향으로 번호가 매겨진 경우 위에서 계산된 면적 $A$ 는 음수가 되지만, 이 경우에도 무게중심 좌표는 정확하다.

참조

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_[2] harvtxt 1970
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_[10] harvtxt 1998
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_[16] harvtxt 1925
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_[18] 웹사이트 Medians and Area Bisectors of a Triangle http://www.se16.info[...] 2013-09-27
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_[21] 간행물 Problems and Solutions, The American Mathematical Monthly 2018
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_[26] 웹사이트 Archived copy http://faculty.evans[...] Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles 2012-06-02
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_[28] 서적 Geometry I Springer 1987
_[29] 서적 Geometry Springer 2003
_[30] 서적 Geometry for College Students Brooks/Cole 2001

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