수열

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1. 개요

수열은 수학에서 자연수 집합을 정의역으로 하는 함수로 정의되며, 숫자나 문자를 순서대로 나열한 것이다. 수열을 이루는 각 구성원은 항 또는 원소라고 불리며, 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열 등으로 나뉜다. 수열은 유한하거나 무한할 수 있으며, 일반항, 귀납적 정의, 부분수열, 계차수열, 급수 등 다양한 표현과 성질을 갖는다. 수열은 위상수학, 해석학, 선형대수학, 추상대수학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 위상 공간 연구, 함수의 연속성, 벡터 공간, 형식 언어 등을 이해하는 데 중요한 개념으로 사용된다.

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수열

2. 정의

수열은 엄밀하게는 자연수 전체 또는 앞의 n개의 집합을 정의역으로 하는 함수로 정의된다.^[1]^[2]

수학에서, 집합 ''S''에 값을 취하는 항수 ''n''의 '''유한 수열'''은 {1, 2, ..., ''n''}에서 ''S''로의 사상이다.

: ''a'' : {1, 2, ..., ''n''} → ''S''

마찬가지로, ''S''에 값을 취하는 '''무한 수열'''은 자연수 전체의 집합 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ 에서 ''S''로의 사상이다.

: $a\colon \mathbb{N}\to S$

(유한 또는 무한) 수열 ''a''에 대해, 자연수 ''i''의 사상 ''a''에 의한 상 ''a''(''i'')는 첨자 표기법에 따라 ''a''_''i'' 등으로 표기하는 것이 일반적이다. 수열 ''a''는 그 항을 명시하여 (''a''₁, ''a''₂, ...)와 같이 표기되는 경우도 있으며, 간단히 (''a''_''n''), (''a''_''n'')_''n''으로 표기하기도 한다. 첨자 ''i''가 움직이는 범위를 명시하기 위해 (''a''_''i'')_{''i''=1,2,...,''n''}, (''a''_''n'')_{''n''∈'''N'''}, (''a''_''n'' | ''n'' ∈ '''N''') 등과 같이 표기하기도 한다.

진동하는 실 수열을 다루지 않는 경우에는 ''a''_''n''으로 구성된 집합 {''x'' | ∃''n''(''x'' = ''a''_''n'')}로 정의할 수도 있다.

유한 수열 (''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'')을 그 항수 ''n''에 대해 ''n''-'''조'''라고 부르기도 한다. 유한 수열 중에는, 어떤 항도 포함하지 않는 '''빈 수열''' ( )도 포함한다. 정수 전체의 집합에서 어떤 집합으로의 사상을

: (..., ''a''₋₂, ''a''₋₁, ''a''₀, ''a''₁, ''a''₂, ...)

와 같이 쓰고, '''양측 무한 수열'''이라고 부른다.

어떤 주어진 수열 (''a''_''n'')_''n''의 '''부분 수열'''은 주어진 수열에서 몇몇 요소를 제거함으로써 얻어지는 수열이다.

2. 1. 수열의 항

수열을 이루는 구성원은 '''항'''(term^영어) 또는 '''원소'''(element^영어)라고 한다. 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 점렬, 함수열, 집합열 등으로 나뉜다. 처음으로 오는 항을 '''첫째항'''(first term^영어) 또는 '''첫항''', '''초항'''이라고 부르며, 둘째, 셋째, 넷째, ...로 오는 항을 '''둘째항''', '''셋째항''', '''넷째항''', ..., 다르게는 '''제2항''', '''제3항''', '''제4항''', ...이라고 부른다.

특정되지 않은 일반적인 '''제''n''항'''(nth term^영어)을 수열의 '''일반항'''이라고 한다. 많은 경우에 ''n''과 제''n''항 사이의 관계 규칙은 수식으로 표현 가능하다. 예를 들어 1, 3, 5, ...처럼 홀수를 오름차순으로 나열한 수열의 일반항은

2n - 1

이다. 이 식의 ''n''에 임의의 자연수를 대입하면, 수열의 아무 번째 항의 값을 알아낼 수 있다.

수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 '''길이'''(length^영어)라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, 무한할 수도 있으며, 길이가 유한하면 '''유한수열'''(finite sequence^영어), 무한하면 '''무한수열'''(infinite sequence^영어)이라고 부른다. 유한수열에는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 '''끝항'''(final term^영어) 또는 '''마지막항''', '''말항'''이라고 부른다.

2. 2. 수열의 표현

수열은 원소를 순서대로 나열하여 표현한다. 예를 들어 홀수를 순서대로 나열한 1, 3, 5, ... 와 같이 표현할 수 있다. 괄호를 사용하여 {1, 3, 5, ...} 또는 (1, 3, 5, ...)와 같이 표현할 수도 있다.^[1]^[2]

구체적으로 지정되지 않은 수열은 일반항을 첨자가 달린 변수로 나타내어 (무한수열의 예를 들면)

a_1, a_2, a_3, \dots

, 또는

\{a_1, a_2, a_3, \dots\}

,

(a_1, a_2, a_3, \dots)

와 같이 표현할 수 있다. 이때 수열의 일반항은

a_n

이며, 이를 이용해 수열을 (집합의 조건제시법과 유사하게)

\{a_n\}

또는

(a_n)

으로 표현할 수 있다. 첨자의 범위를 명시하기 위해

\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}

또는

\{a_n\}_{n=1}^{\infty}

등으로 표현하기도 한다.

일반항을 구체적인 수식으로 표현할 수 있는 수열, 이를테면 홀수열은, 일반항을 괄호 안에 집어넣어

\{2n - 1\}

과 같이 표현한다. 일반항에 관한 공식

a_n = 2n - 1

이 수열을 확정짓기 충분하기에, 공식 자체를 수열의 표기로 삼기도 한다.

2. 3. 함수로서의 정의

수열은 자연수 집합을 정의역으로 하는 함수로 볼 수 있다.^[1]^[2] 예를 들어, 실수열 1, 1/2, 1/3, ...은 함수

a : \mathbb{N} \to \mathbb{R},\ n \mapsto 1/n

과 같다.

수열은 함수와 표기법으로 구별되는데, 입력이 괄호 안에 있는 대신 아래 첨자로 작성된다는 점이 다르다. 즉,

a(n)

대신

a_n

으로 표기한다. 또한, 가장 낮은 입력(대개 1)에서의 수열 값은 "첫 번째 요소", 두 번째로 작은 입력(대개 2)에서의 값은 "두 번째 요소"라고 불린다.

수열과 그 극한은 위상 공간을 연구하는 데 중요한 개념이며, 수열의 일반화는 그물의 개념이다. 그물은 유향 집합에서 위상 공간으로의 함수이다.

2. 4. 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법 중 하나는 귀납적 정의이다. 귀납적 정의는 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식(점화식)을 통해 정의하는 방법이다. 일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 ''a_n''과 ''n'' 사이의 관계를 사용한다면, 귀납적 정의는 각 ''a_n''을 ''a''₁부터 ''a''_{''n'' - 1}까지의 항들로 나타낸 식을 사용한다. 일부 수열의 경우, 일반항은 귀납적 관계보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어렵다.

피보나치 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)은 귀납적으로 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예이다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항 뒤부터는 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음 항으로 정의한다. 즉,

:

a_1 = a_2 = 1,

:

a_{n+2} = a_{n+1} + a_n.

피보나치 수열의 일반항 공식

:

a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\,\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right)

은 귀납적 정의보다 훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵다.^[4]

수열의 귀납적 정의의 유효성은 자연수 위의 귀납 정리가 보장한다.

원소가 이전 원소와 직접적인 관련이 있는 수열은 종종 귀납법을 사용하여 정의된다. 이것은 원소의 수열을 위치의 함수로 정의하는 것과는 대조적이다.

귀납법으로 수열을 정의하려면, 이전 원소를 기준으로 각 원소를 구성하는 ''점화 관계''라는 규칙이 필요하다. 또한 수열의 모든 후속 원소를 점화 관계를 연속적으로 적용하여 계산할 수 있도록 충분한 초기 원소가 제공되어야 한다.

레카만 수열은 점화 관계에 의해 정의된 수열의 복잡한 예시이다.

:

\begin{cases}a_n = a_{n-1} - n,\quad \text{만약 결과가 양수이고 이전 항에 존재하지 않으면,}\\a_n = a_{n-1} + n, \quad\text{그렇지 않으면},\end{cases}

초기 항

a_0 = 0

으로 정의된다.

모든 수열을 점화 관계로 지정할 수 있는 것은 아니다. 예시는 자연 순서로 된 소수 수열(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...)이다.

3. 예

다음은 몇 가지 정수열의 예이다.

수열	설명
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...	양의 짝수열. 각 항 간의 차가 일정하다. (등차수열)
3, 9, 27, 81, 243, ...	3의 거듭제곱들의 수열. 각 항 간의 비가 일정하다. (등비수열)
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...	소수열.
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...	"a_n = (7ⁿ의 일의 자리의 숫자)"로 정의되는 수열.
3, 7, 5, 4, -1, ...	규칙이 뚜렷하지 않은 수열.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...	사각수열, 즉 a_n = n²
0, 0, 0, 24, 120, 360, 840, ...	a_n = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)로 정의되는 수열.

피보나치 수는 이전 두 항의 합으로 이루어진 정수 수열이다. 처음 두 항은 0과 1 또는 1과 1이므로 수열은 (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)이다.^[1]

정수 수열 온라인 백과사전에는 정수 수열의 예가 많이 있다.^[3]

4. 수열의 성질

수열의 성질은 해당 수열의 항이 속하는 집합의 구조에 따라 크게 달라진다. 예를 들어 해석학에서는 수열을 벡터로 간주하여 연산을 하거나, 실수나 복소수가 이루는 집합의 위상을 사용하여 추상적이거나 구체적인 위상 공간의 점에 관한 점렬로 조사할 수 있다.

단조성: 실수열 $\{a_n\}$ 이 모든 $m > n$ 인 두 자연수 $m,n$ 에 대해 $a_m \ge a_n$ 을 만족시키면 단조증가수열, $a_m \le a_n$ 을 만족시키면 단조감소수열이라고 한다. 홀수열 $a_n = 2n - 1$ 은 단조증가수열의 예이다. 순증가 또는 순감소수열은 단조증가 또는 감소하면서 같은 값에 두 번 이상 머무르지 않는 수열이다.
유계성: 실수열 $\{a_n\}$ 의 모든 항이 어떤 값(상계)보다 작으면 위로 유계, 어떤 값(하계)보다 크면 아래로 유계라고 한다. 위와 아래 모두 유계인 수열을 유계수열이라고 한다. 수열 $a_n = \frac{1}{n}$ 은 유계수열의 예이다.
수렴성: 실수열 $\{a_n\}$ 이 단조 수렴 정리에 의해 수렴하는 경우는 단조수열이면서 유계일 때이다. $n$ 이 한없이 커질 때 일반항 $a_n$ 이 어떤 상수 $L$ 에 한없이 가까워지면 수열 $\{a_n\}$ 이 극한 $L$ 로 수렴한다고 한다. 수렴하지 않으면 발산한다고 하며, 양의 무한대/음의 무한대로 발산하거나 진동 발산하는 경우가 있다. 수열 $a_n = \frac{1}{n}$ 은 수렴수열의 예시이다.

수렴하는 수열 (''a_n'')의 그래프 (파란색). ''n''이 증가함에 따라 수열이 극한 0으로 수렴.

4. 1. 단조성

실수열

\{a_n\}

이 모든

m > n

인 두 자연수

m,n

에 대해

a_m \ge a_n

을 만족시킬 때,

\{a_n\}

을 단조증가수열이라고 한다. 반대로 모든

m > n

인 두 자연수

m,n

에 대해

a_m \le a_n

을 만족시킬 때 단조감소수열이라고 한다. 이 둘과 동등한 조건은 각각

a_{n+1} \ge a_n

또는

a_{n+1} \le a_n

이 모든 자연수

n

에 대해 성립한다는 것이다.

홀수열

a_n = 2n - 1

은 단조증가수열의 예이다:

1 < 3 < 5 < 7 < \dots

순증가 또는 순감소수열은, 단조증가 또는 감소하면서 같은 값에 두 번 이상 머무르지 않는 수열이다.

수열의 단조성은, 실수 이외에도 순서구조가 정립된 곳에서 값을 취하는 수열에 대해 정의 가능하다. 수열은 각 항이 이전 항보다 크거나 같으면 ''단조 증가''한다고 한다. 예를 들어, 수열

{(a_n)}_{n=1}^{\infty}

은 모든

n \in \mathbf N

에 대해

a_{n+1} \geq a_n

일 때, 단조 증가한다. 만약 각 연속된 항이 이전 항보다 엄격하게 크면(>), 수열은 '''엄격히 단조 증가'''한다고 한다. 수열은 각 연속된 항이 이전 항보다 작거나 같으면 '''단조 감소'''하며, 각 항이 이전 항보다 엄격하게 작으면 '''엄격히 단조 감소'''한다. 수열이 증가하거나 감소하면, '''단조 수열'''이라고 한다. 이는 더 일반적인 개념인 단조 함수의 특별한 경우이다.^[1]

'''비감소''' 및 '''비증가'''라는 용어는 각각 ''엄격히 증가'' 및 ''엄격히 감소''와의 혼동을 피하기 위해 ''증가'' 및 ''감소'' 대신 자주 사용된다.^[1]

수열의 항 전체가 어떤 순서 집합의 부분 집합을 이룰 때, 단조 수열의 개념을 생각할 수 있다. 수열 (''a''_''n'')이 (광의의) '''단조 증가 수열''' 또는 '''단조 증대 수열''' (''monotonically increasing'' sequence)^영어 이란, ''i'' < ''j'' ⇒ ''a_i'' ≤ ''a_j''을 만족하는 것을 말한다 (이 경우 이것은 "어떤 항도 바로 앞의 항 이상이 된다"고 해도 같다). 또한, ''i'' < ''j'' ⇒ ''a_i'' < ''a_j'' 즉, 어떤 항도 바로 앞의 항보다 진정으로 클 때, 그 수열은 '''진''' (또는 '''협의의''') '''증대 수열''' (''strictly monotonically increasing'')^영어 이라고 한다. 마찬가지로 ''i'' < ''j'' ⇒ ''a_i'' ≥ ''a_j''　　[resp. ''a_i'' > ''a_j''] 이 되는 '''단조 감소 수열''' (''monotonically decreasing sequence'')^영어 도 정의된다. 이러한 단조성을 갖는 수열은, 통틀어 '''단조''' 또는 '''단조 수열'''(monotone sequence)이라고 불린다. 이것은 보다 일반적인 단조 사상의 개념에서의 특별한 경우이다.^[2]

또한, 혼란을 피하기 위해, 진 증대·진 감소에 대하여, 광의의 단조 증가 및 단조 감소 대신, 각각 '''비감소''' (''non-decreasing'')^영어 및 '''비증가''' (''non-increasing'')^영어 라는 용어를 사용하여 구별하는 경우가 있다.^[2]

4. 2. 유계성

실수 또는 다른 순서가 정의된 대상의 열

\{a_n\}

의 모든 항이 어떤 일정한 값(상계)보다 작을 때 (즉,

\exists M

이어서

\forall n\in\N

에 대해

a_n \le M

일 때),

\{a_n\}

이 위로 유계라고 한다. 모든 항이 하계라 불리는 어떤 값

M

보다 클 때 아래로 유계라고 한다. 위로도 아래로도 유계인 수열, 또는 이와 동등한 조건인

|a_n| \le M,\ n\in\N

을 만족하는 수열을 유계수열이라고 한다.

수열

a_n = \frac{1}{n}

은 유계수열의 예이다.

0 < a_n \le 1

이 모든 자연수

n

에 대해 성립하기 때문이다. 실수 수열 (''a_n'')의 모든 항이 어떤 실수 ''M''보다 작으면, 이 수열은 '''위로 유계'''라고 한다. 다시 말해, 모든 ''n''에 대해 ''a_n'' ≤ ''M''을 만족하는 ''M''이 존재한다는 의미이다. 이러한 ''M''을 ''상계''라고 부른다. 마찬가지로, 어떤 실수 ''m''에 대해, ''N''보다 큰 모든 ''n''에 대해 ''a_n'' ≥ ''m''이면, 이 수열은 '''아래로 유계'''라고 하며, 이러한 ''m''을 ''하계''라고 부른다. 수열이 위로 유계이고 아래로 유계이면, 이 수열을 '''유계'''라고 한다.

4. 3. 수렴성

실수열

\{a_n\}

이 단조 수렴 정리에 의해 수렴하는 경우는 단조수열이면서 유계일 때이다. 실수열

\{a_n\}

에 대해

n

이 한없이 커질 때, 일반항

a_n

이 어떤 상수

L

에 한없이 가까워지면, '''수열

\{a_n\}

이 극한

L

로 수렴한다'''고 한다. 이는 기호로

:

\lim_{n \to \infty}a_n = L

과 같이 나타낸다. 수열

\{a_n\}

이 수렴하지 않을 때는 '''수열

\{a_n\}

이 발산한다'''고 하며, 다음과 같은 경우로 나뉜다.

양의 무한대로 발산: $n$ 이 커짐에 따라 $a_n$ 이 한없이 커짐. $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ 로 표기.
음의 무한대로 발산: $n$ 이 커짐에 따라 $a_n$ 이 한없이 작아짐. $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ 로 표기.
진동 발산: 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음.

수열

a_n = \frac{1}{n}

은 수렴수열의 예시이다.

:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0

수열의 중요한 속성은 ''수렴성''이다. 수렴하는 수열은 ''극한''이라는 특정 값으로 수렴한다. 수렴하지 않는 수열은 '''발산한다'''고 한다.

수열이 극한을 가지는 경우는 수열의 원소가 어떤 값

L

(수열의 극한)에 점점 더 가까워지고,

L

에 임의로 가까워지며 유지될 때이다. 0보다 큰 실수

d

가 주어졌을 때, 유한 개를 제외한 수열의 모든 원소는

L

과의 거리가

d

보다 작다.

예를 들어, 위 그림의 수열

a_n = \frac{n+1}{2n^2}

는 0으로 수렴한다. 반면 수열

b_n = n^3

(1, 8, 27, ...)과

c_n = (-1)^n

(−1, 1, −1, 1, ...)는 모두 발산한다.

수렴하는 수열의 수렴값은 유일하며, 이 값을 수열의 '''극한'''이라고 한다. 수렴하는 수열

(a_n)

의 극한은

\lim_{n\to\infty}a_n

로 표시된다. 발산하는 수열

(a_n)

의 경우,

\lim_{n\to\infty}a_n

는 의미가 없다.

실수 수열

(a_n)

이 실수

L

로 '''수렴한다'''는 것은, 모든

\varepsilon > 0

에 대해, 모든

n \geq N

에 대하여 다음을 만족하는 자연수

N

이 존재한다는 것을 의미한다.^[9]

:

|a_n - L| < \varepsilon.

(a_n)

이 복소수 수열일 경우,

|\cdot|

는 복소수 모듈러스(

|z| = \sqrt{z^*z}

)를 나타낸다.

(a_n)

이 거리 공간의 점들의 수열일 경우,

|a_n-L|

을

a_n

과

L

사이의 거리를 나타내는

\operatorname{dist}(a_n, L)

로 대체하여 수렴을 정의할 수 있다.

(a_n)

과

(b_n)

이 수렴하는 수열이라면, 다음 극한이 존재하며 다음과 같이 계산할 수 있다.^[9]^[10]

$\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n$
모든 실수 $c$ 에 대하여 $\lim_{n\to\infty} c a_n = c \lim_{n\to\infty} a_n$
$\lim_{n\to\infty} (a_n b_n) = \bigl( \lim_{n\to\infty} a_n \bigr) \bigl( \lim_{n\to\infty} b_n \bigr)$
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n} {b_n} = \bigl( \lim \limits_{n\to\infty} a_n \bigr) \big/ \bigl( \lim \limits_{n\to\infty} b_n \bigr)$ , 단 $\lim_{n\to\infty} b_n \ne 0$
모든 $p > 0$ 및 $a_n > 0$ 에 대하여 $\lim_{n\to\infty} a_n^p = \bigl( \lim_{n\to\infty} a_n \bigr)^p$

추가적으로,

모든 $n$ 에 대하여 $a_n \leq b_n$ 이 $N$ 보다 크면, $\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n$ .
(조임 정리)
만약 $(c_n)$ 이 모든 $n > N$ 에 대하여 $a_n \leq c_n \leq b_n$ 을 만족하는 수열이고 $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L$ 이라면,
$(c_n)$ 은 수렴하고, $\lim_{n\to\infty} c_n = L$ 이다.
수열이 유계이고 단조라면, 수렴한다.
수열이 수렴하기 위한 필요충분 조건은 모든 부분 수열이 수렴하는 것이다.

코시 수열(''X_n'')의 도표 (파란색, ''X_n'' 대 ''n''). 수열의 연속적인 항 사이의 거리가 ''n''이 증가함에 따라 작아지면서 어떤 극한값으로 수렴. 실수에서 모든 코시 수열은 어떤 극한값으로 수렴.

코시 수열은 n이 매우 커짐에 따라 항들이 임의로 서로 가까워지는 수열이다. 코시 수열의 개념은 거리 공간에서의 수열 연구, 특히 실해석학에서 중요하다. 실해석학에서 중요한 결과 중 하나는 '수열의 수렴에 대한 코시 특징'이다.

:실수의 수열은 코시 수열일 경우에만 실수에서 수렴한다.

유리수의 코시 수열은 유리 극한값을 갖지 않을 수 있다. 예를 들어

x_1 = 1

및

x_{n+1} = \tfrac12\bigl(x_n + \tfrac{2}{x_n}\bigr)

로 정의된 수열은 코시 수열이지만 유리 극한값을 갖지 않는다. 더 일반적으로, 무리수로 수렴하는 모든 유리수의 수열은 코시 수열이지만, 유리수의 집합에서 수열로 해석될 때는 수렴하지 않는다.

수열의 수렴에 대한 코시 특징을 만족하는 거리 공간은 완비 거리 공간이라고 불리며, 분석에 유용하다.

미적분학에서, 수렴하지 않지만 임의로 커지거나 음수가 되는 수열에 대한 표기법은 다음과 같다.

a_n

이

n \to \infty

일 때 임의로 커진다면,

:

\lim_{n\to\infty}a_n = \infty.

이 경우, 수열이 '''발산'''한다고 말하거나, '''무한대로 수렴'''한다고 한다. 예시는

a_n = n

이다.

a_n

이

n \to \infty

일 때 임의로 음수가 된다면,

:

\lim_{n\to\infty}a_n = -\infty

수열이 '''발산'''하거나 '''음의 무한대로 수렴'''한다고 한다.

해석학에서 수열은 보통 무한 수열

: (''x''₁, ''x''₂, ''x''₃, ...) 또는 (''x''₀, ''x''₁, ''x''₂, ...)

을 가리킨다. 항이 값을 취하는 집합 ''S''에 위상이 정해져 있다면, 위상 공간 ''S''에서의 무한 수열의 '''극한'''이나 '''수렴'''에 대해 언급할 수 있다. 충분히 큰 번호에 대한 항의 거동을 파악하는 것이므로, 처음의 유한 개의 항은 예외로 취급하거나 제거해도 된다.

예를 들어 ''n'' ≥ 2에 대해서만 정의되는 수열 ''x''_''n'' = 1/log(''n'')과, ''n'' ≥ 1에 대해 정의되는 수열 ''y''_''n'' = 1/log(''n'' + 1)은 ''n'' → ∞일 때 극한이 모두 0으로 같다.

5. 수열로부터 새 수열 만들기

주어진 수열로부터 새로운 수열을 만드는 방법은 여러 가지가 있다.

부분수열: 원래 수열에서 일부 항을 제거하여 순서가 변하지 않게 만든 수열이다. 예를 들어 소수열 (2, 3, 5, 7, ...)은 자연수열 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)의 부분수열이다.
계차수열: 어떤 수열의 각 항에서 바로 다음 항을 뺀 차를 나열하여 만든 수열이다. 예를 들어 수열 $a_n = n^2$ 의 계차수열은 $\Delta a_n = 2n + 1$ 이다.
부분합 수열: 어떤 수열의 첫 항부터 n번째 항까지의 합을 나열하여 만든 수열이다. 예를 들어, 1부터 ''n''까지 자연수의 합 공식은 $\frac{n(n + 1)}{2}$ 이다. 부분합 수열이 특정 값으로 수렴할 때, 해당 수열의 무한급수가 수렴한다고 한다.

5. 1. 부분수열

수열

\{a_n\}

의 부분수열은 나열 순서가 변하지 않은 채로 일부 항을 제거해 얻는 새로운 수열이다. 더 정확히는

\{a_{n_k}\}

(

n_k

는 순증가 자연수열) 꼴로 표현되는 수열을 뜻한다. 예를 들어 소수열 (2, 3, 5, 7, ...)은 자연수열 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)의 부분수열이다.

주어진 수열의 '''부분 수열'''은 주어진 수열에서 일부 원소를 삭제하여 얻는 수열로서, 나머지 원소들의 상대적인 위치는 변경되지 않는다. 예를 들어, 양의 짝수 수열 (2, 4, 6, ...)은 양의 정수 수열 (1, 2, 3, ...)의 부분 수열이다.

수학적으로, 수열

(a_n)_{n\in\mathbb N}

의 부분 수열은

(n_k)_{k\in\mathbb N}

가 엄격하게 증가하는 양의 정수 수열일 때,

(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}

형태의 임의의 수열이다.

5. 2. 계차수열

수열

\{a_n\}

의 계차수열

\{\Delta a_n\}

은 제n항을 바로 다음 항에서부터 뺀 차

a_{n+1} - a_n

를 일반항으로 하는 수열이다. 계차수열의 계차수열

\{\Delta^2 a_n\}

을 2계차수열이라고 하고, 비슷하게 3, 4, ...계차수열이 정의된다.

수열

a_n = n^2

의 계차수열은

\Delta a_n = 2n + 1

이고, 2, 3계차수열은

\Delta^2 a_n = 2

,

\Delta^3 a_n = 0

이다.

5. 3. 수열의 합, 급수

수열

\{a_n\}

의 제1항부터 제''n''항까지의 합

:

\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n

은 ''n'' = 1, 2, 3, ...일 때 새로운 수열

\left\{\sum_{k=1}^n a_k\right\}

을 이룬다. 이를 '''부분합 수열'''이라고 한다.

계차수열은 쉽게 구해지지만, 수열의 합 공식은 일반적으로 쉽게 찾을 수 없으며, 여러 가지 기교와 정형화된 방법이 필요하다. 수열의 합 공식의 예로는 1부터 ''n''까지의 자연수의 합 공식이 있다.

:

\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}

부분합 수열

\left\{\sum_{k=1}^n a_k\right\}

이 수열로서 상수

L

로 수렴할 때, 무한급수

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

이

L

로 수렴한다고 하며, 이를

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = L

과 같이 나타낸다.

급수는 비공식적으로 수열의 항들의 합이다. 즉,

\sum_{n = 1}^\infty a_n

또는

a_1 + a_2 + \cdots

형태의 식이며, 여기서

(a_n)

는 실수 또는 복소수의 수열이다. 급수의 '''부분합'''은 무한대 기호를 유한한 숫자로 대체하여 얻은 표현식이다. 즉, 급수

\sum_{n = 1}^\infty a_n

의 ''N''번째 부분합은 다음과 같다.

:

S_N = \sum_{n = 1}^N a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_N.

부분합 자체는 수열

(S_N)_{N\in\mathbb N}

을 형성하며, 이를 급수

\sum_{n = 1}^\infty a_n

의 '''부분합 수열'''이라고 한다. 부분합 수열이 수렴하면 급수

\sum_{n = 1}^\infty a_n

이 '''수렴'''한다고 하며, 극한

\lim_{N\to\infty} S_N

을 급수의 '''값'''이라고 한다. 급수와 그 값을 나타내기 위해 동일한 표기법을 사용한다. 즉,

\sum_{n = 1}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N

으로 쓴다.

6. 다른 분야에서의 활용

수열은 위상수학, 해석학, 선형대수학, 추상대수학, 집합론, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

위상수학에서 수열은 거리 공간을 연구하는데 중요하게 사용된다. 예를 들어, 어떤 거리 공간이 콤팩트하다는 것은 점렬 콤팩트하다는 것과 필요충분조건이다.
해석학에서는 실수나 복소수로 이루어진 수열을 주로 다룬다. 이 수열은 벡터 공간의 원소로 생각할 수 있으며, 함수 공간으로 확장될 수도 있다.
선형대수학에서 수열은 체 위에서 벡터로 간주될 수 있다. 특히, 자연수 집합에 대한 ''F''-값(여기서 ''F''는 체)을 갖는 함수의 함수 공간으로 볼 수 있다.
추상대수학에서는 군이나 환과 같은 수학적 대상의 수열을 다룬다. 예를 들어, 군과 군 준동형 사상의 수열에서 각 준동형 사상의 치역이 다음 사상의 핵과 같으면 이 수열을 '''완전'''하다고 한다.
컴퓨터 과학에서 유한 수열은 리스트, 무한 수열은 스트림이라고 불린다. 문자나 숫자의 유한 수열은 문자열이라고 한다.^[11]

6. 1. 위상수학

수열은 거리 공간 연구에서 위상수학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들면 다음과 같다.

거리 공간은 콤팩트일 필요충분조건은 점렬 콤팩트인 것이다.
한 거리 공간에서 다른 거리 공간으로의 함수는 연속일 필요충분조건은 수렴하는 수열을 수렴하는 수열로 보내는 것이다.
거리 공간이 연결 공간일 필요충분조건은 공간이 두 집합으로 분할될 때 두 집합 중 하나가 다른 집합의 점으로 수렴하는 수열을 포함하는 것이다.
위상 공간이 분리 가능일 필요충분조건은 조밀한 점의 수열이 존재하는 것이다.

수열은 망 또는 필터로 일반화될 수 있다. 이러한 일반화를 통해 위에 언급된 정리 중 일부를 거리가 없는 공간으로 확장할 수 있다.

6. 2. 해석학

해석학에서 수열을 논할 때 일반적으로 다음과 같은 형태의 수열을 고려한다.

:

(x_1, x_2, x_3, \dots)

또는

(x_0, x_1, x_2, \dots)

다시 말해, 자연수로 인덱싱된 요소들의 무한 수열을 의미한다.

가장 기본적인 유형의 수열은 실수 또는 복소수의 수열이다. 이러한 유형은 일부 벡터 공간의 요소의 수열로 일반화될 수 있다. 해석학에서 고려되는 벡터 공간은 종종 함수 공간이다. 더 일반적으로 일부 위상 공간의 요소를 가진 수열을 연구할 수 있다.

수열의 성질은 해당 수열의 항이 속하는 집합이 어떤 구조를 가지고 있는지에 따라 크게 달라진다. 예를 들어 해석학에서는 수열을 벡터로 간주하여 연산을 부여하거나, 실수나 복소수가 이루는 집합의 위상을 사용하여 추상적이거나 구체적인 위상 공간의 점에 관한 점렬로 조사할 수 있다.

6. 3. 선형대수학

체 위의 수열은 벡터 공간의 벡터로 볼 수 있다. 구체적으로, ''F''-값을 갖는 수열의 집합(여기서 ''F''는 체)은 자연수의 집합에 대한 ''F''-값을 갖는 함수의 함수 공간(사실은 곱 공간)이다. 대수적인 구조인 연산을 갖는 가장 기본적인 열의 종류는 수열인데, 이는 실수나 복소수 등으로 이루어진 열이다. 수열의 항이 갖는 연산을 잘 이용하여 수열 간의 "합"이나 수열을 "상수배"하는 것 등을 생각할 수 있으므로, 이러한 종류의 열은 어떤 벡터 공간의 원소로 취급할 수도 있다.

더욱이 적당한 환 ''R''에 값을 갖는 무한 수열은 적당한 의미로 곱을 정의함으로써, 자연수 전체가 이루는 집합 '''N'''의 ''R''-계수 반군환 ''R'''''N''', 양쪽 무한 수열은 '''Z''' 상의 군환 ''R'''''Z'''으로 생각할 수 있다. 이러한 공간은 종종 함수 공간으로 간주된다.

6. 4. 추상대수학

추상대수학은 군 또는 환과 같은 수학적 대상의 수열을 포함하여 여러 유형의 수열을 사용한다.

군론의 맥락에서,

:

G_0 \;\overset{f_1}{\longrightarrow}\; G_1 \;\overset{f_2}{\longrightarrow}\; G_2 \;\overset{f_3}{\longrightarrow}\; \cdots \;\overset{f_n}{\longrightarrow}\; G_n

의 군과 군 준동형 사상의 수열은 각 준동형 사상의 치역이 다음 사상의 핵과 같으면 '''완전'''하다고 한다.

:

\mathrm{im}(f_k) = \mathrm{ker}(f_{k+1})

군의 수열과 준동형 사상은 유한하거나 무한할 수 있다.

비슷한 정의는 다른 특정 대수적 구조에 대해서도 만들 수 있다. 예를 들어, 벡터 공간과 선형 사상의 완전 수열, 또는 가군과 가군 준동형 사상의 완전 수열을 가질 수 있다.

호몰로지 대수와 대수적 위상수학에서 '''스펙트럼 열'''은 연속적인 근사를 통해 호몰로지 군을 계산하는 방법이다. 스펙트럼 열은 정확 수열의 일반화이며, 1946년 장 르레이에 의해 도입된 이후 특히 호모토피 이론에서 중요한 연구 도구가 되었다.

6. 5. 컴퓨터 과학

컴퓨터 과학에서 유한 수열은 리스트라고 불리고, 잠재적으로 무한한 수열은 스트림이라고 불린다. 문자 또는 숫자의 유한 수열은 문자열이라고 불린다.^[11]

참조

_[1] 웹사이트 Sequences https://www.mathsisf[...] 2020-08-17
_[2] 웹사이트 Sequence https://mathworld.wo[...] 2020-08-17
_[3] 웹사이트 Index to OEIS https://oeis.org/wik[...] 2020-12-03
_[4] OEIS Recamán's sequence 2018-01-26
_[5] 서적 Fundamentals of Complex Analysis Prentice Hall 2015-11-15
_[6] 서적 Topology Prentice Hall, Incorporated 2015-11-15
_[7] 서적 Lectures on generating functions AMS 2003-10-21
_[8] 저널 Fibonacci's multiplicative sequence
_[9] 서적 Introduction to Analysis AMS
_[10] 웹사이트 Series and Sequences http://tutorial.math[...] 2012-12-18
_[11] 웹사이트 FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY http://www.andrew.cm[...] Carnegie-Mellon University 2015-04-24
_[12] 매스월드 Sequence

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