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수직선 (수학)

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목차

1. 개요

수직선은 수학에서 실수를 시각적으로 나타내기 위해 사용되는 개념으로, 1685년 존 월리스에 의해 처음 언급되었다. 일반적으로 수평으로 그려지며, 양수는 오른쪽에, 음수는 왼쪽에 위치한다. 수직선은 수 비교, 연산, 구간, 로그 척도 등 다양한 수학적 개념을 설명하는 데 활용되며, 거리 공간, 위상 공간, 벡터 공간, 측도 공간 등 고급 수학 분야에서도 중요한 역할을 한다. 또한, 복소수, 데카르트 좌표계, 허수선과 같은 개념의 확장에도 기여한다.

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  • 초등 수학 - 거리
    거리는 수학에서 두 점 사이를 측정하는 함수, 물리학에서 물체의 위치 변화량, 일상생활에서 두 지점 사이의 길이를 의미하며, 국제단위계에서는 길이로 표현된다.
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수직선 (수학)
수직선 정보
정의실수를 점으로 나타낸 직선
용도실수의 크기 비교, 사칙연산 시각화, 함수 그래프 표현
특징각 점은 하나의 실수에 대응, 실수의 조밀성 표현
역사기원: 1637년 르네 데카르트의 좌표계 발명
관련 개념좌표계, 실수, 함수, 그래프

2. 역사

존 월리스는 1685년 저서 《대수론》에서 수직선을 연산 목적으로 처음 언급했다.[2] 그는 수직선 위에서 덧셈과 뺄셈을 사람이 걷는 것에 비유하여 앞뒤로 가는 것으로 설명했다.

존 네이피어는 1616년 저서 《경이로운 로그 표의 설명》에서 연산에 대한 언급 없이 1부터 12까지의 값을 왼쪽에서 오른쪽으로 나열하여 수직선을 묘사했다.[3]

르네 데카르트의 저서 《라 지오메트리|La Géométrie프랑스어》에는 오늘날 사용되는 수직선은 없지만, 좌표계가 사용되었다.[4]

2. 1. 한국에서의 수직선

한국에서는 조선시대 산학서에서 수를 표현하고 계산하는 방법을 다루었지만, 현대적인 의미의 수직선 개념은 서구 수학의 도입과 함께 들어왔다. 일제강점기 이후, 수직선은 학교 수학 교육 과정에 포함되어 현재까지 이어지고 있다.

3. 수직선 그리기

수직선은 일반적으로 수평으로 표현되지만, 데카르트 좌표계에서는 수직축(y축)도 수직선이다.[5] 선의 화살표는 숫자가 증가하는 양의 방향을 나타낸다.[5] 일부 교과서에서는 양쪽에 화살표를 붙여 화살표가 연속성을 나타낸다는 것을 암시하기도 한다. 그러나 기하학 규칙에 따르면 끝점이 없는 선은 양의 방향과 음의 방향으로 무한히 계속되므로 이는 불필요하다. 한쪽 끝점을 가진 선을 '반직선'이라 하고, 두 개의 끝점을 가진 선을 '선분'이라고 한다.

4. 수 비교

수직선에서 어떤 숫자가 다른 숫자보다 오른쪽에 있으면 그 숫자가 더 크다. 반대로 왼쪽에 있는 숫자는 더 작다. 두 숫자 사이의 거리는 두 수의 차이에 절댓값을 씌운 것이다. 이 거리를 구하는 과정을 뺄셈이라고 한다.[1]

예를 들어, 0과 어떤 숫자 사이의 선분 길이는 그 숫자의 크기를 나타낸다.[1]

5. 수직선에서의 연산

수직선에서 두 숫자를 덧셈하는 방법은 0에서 한 숫자까지의 길이를 "집어 올려" 다른 숫자의 위에 0이었던 끝을 놓고 다시 놓는 것이다.

두 숫자의 곱셈은 다음과 같이 할 수 있다. 5 × 3을 곱하려면, 5 + 5 + 5 = 15임을 이용하여, 0에서 5까지의 길이를 5의 오른쪽에 놓고, 그 길이를 다시 이전 결과의 오른쪽에 놓는다. 이렇게 5의 길이 3개를 결합하면 15가 되므로, 5 × 3 = 15이다.

나눗셈은 다음과 같이 할 수 있다. 6을 2로 나누려면, 즉 2가 6 안에 몇 번 들어가는지 알아보려면, 0에서 2까지의 길이를 0에서 6까지의 길이의 시작 부분에 놓고, 이전 길이를 원래 위치의 오른쪽에 다시 놓아 0에 있던 끝이 2에 오게 한다. তারপর, 가장 최근 위치의 오른쪽에 다시 길이를 이동시킨다. 이렇게 하면 길이 2의 오른쪽 끝이 0에서 6까지의 길이의 오른쪽 끝에 놓인다. 2의 길이 세 개가 6의 길이를 채웠으므로, 2는 6 안에 세 번 들어간다 (6 ÷ 2 = 3).

6. 수직선의 부분

닫힌 구간 [a, b].


수직선에서 두 숫자 사이의 부분은 구간이라고 한다. 이 부분이 두 숫자를 모두 포함하는 경우 닫힌 구간이라고 하고, 두 숫자를 모두 포함하지 않는 경우에는 열린 구간이라고 한다. 두 숫자 중 하나만 포함하는 경우에는 반열린 구간이라고 한다.

특정 지점에서 한 방향으로 영원히 뻗어나가는 모든 점들의 집합은 반직선이라고 한다. 반직선이 특정 점을 포함하는 경우 닫힌 반직선이며, 그렇지 않은 경우에는 열린 반직선이다.

7. 개념 확장

수직선에서 두 점 사이의 거리는 숫자들의 차이가 1일 때 단위 길이가 된다. 그러나 다른 방식으로 단위를 정할 수도 있다.

허수를 나타내는 데는 원점에 수직으로 그려진 선을 사용할 수 있다. 이 선은 허수선이라고 불리며, 복소 평면으로 수직선을 확장하여 복소수를 나타내는 점을 포함한다.[1]

하나의 실수선을 가로로 그려 하나의 실수 값(''x'')을 나타낼 수 있고, 다른 실수선은 세로로 그려 또 다른 실수 값(''y'')을 나타낼 수 있다. 이 선들은 함께 데카르트 좌표계를 형성하며, 평면의 모든 점은 한 쌍의 실수 값을 나타낸다.[1] 또한, 데카르트 좌표계는 세 번째 수직선, 즉 "화면(또는 페이지)에서 나오는" 것을 시각화하여 세 번째 변수 ''z''를 측정함으로써 확장할 수 있다. 양수는 화면보다 시청자의 눈에 더 가깝고, 음수는 "화면 뒤"에 있으며, 큰 숫자는 화면에서 더 멀리 떨어져 있다. 그러면 우리가 살고 있는 3차원 공간의 모든 점은 세 개의 실수 값의 조합으로 나타낼 수 있다.[1]

7. 1. 로그 척도

수직선에서 두 점 사이의 거리는 그 숫자들의 차이가 1과 같을 때 단위 길이이다. 다른 선택도 가능하다.

가장 일반적인 선택 중 하나는 로그 척도로, 두 점 사이의 거리가 표현된 숫자들의 비율이 고정된 값(일반적으로 10)일 때 단위 길이인 선에 있는 양수의 표현이다. 이러한 로그 척도에서 원점은 1을 나타내고, 오른쪽으로 1인치 가면 10, 10에서 오른쪽으로 1인치 가면 10×10 = 100, 그다음은 10×100 = 1000 = 103, 그다음은 10×1000 = 10,000 = 104 등이 된다. 마찬가지로, 1에서 왼쪽으로 1인치 가면 1/10 = 10-1, 그다음은 1/100 = 10-2 등이 된다.

이 접근 방식은 서로 매우 다른 크기 순서의 값을 같은 그림으로 나타내고 싶을 때 유용하다. 예를 들어, 우주에 존재하는 서로 다른 물체의 크기, 전형적으로 광자, 전자, 원자, 분자, 인간, 지구, 태양계, 은하, 그리고 가시적인 우주를 동시에 표현하려면 로그 척도가 필요하다.

로그 척도는 로그 척도에서 길이를 더하거나 빼서 숫자를 곱하거나 나누는 데 계산자에서 사용된다.

계산자의 두 로그 척도

7. 2. 수직선의 결합

원점에 수직으로 그려진 선은 허수를 나타내는 데 사용될 수 있다. 이 선은 허수선이라고 불리며, 복소 평면으로 수직선을 확장하여 복소수를 나타내는 점을 포함한다.[1]

하나의 실수선을 가로로 그려 하나의 실수 값(일반적으로 ''x'')을 나타낼 수 있으며, 다른 실수선은 세로로 그려 또 다른 실수 값(일반적으로 ''y'')을 나타낼 수 있다. 이 선들은 함께 데카르트 좌표계를 형성하며, 평면의 모든 점은 한 쌍의 실수 값을 나타낸다.[1] 또한, 데카르트 좌표계는 세 번째 수직선, 즉 "화면(또는 페이지)에서 나오는" 것을 시각화하여 세 번째 변수 ''z''를 측정함으로써 확장할 수 있다. 양수는 화면보다 시청자의 눈에 더 가깝고, 음수는 "화면 뒤"에 있으며, 큰 숫자는 화면에서 더 멀리 떨어져 있다. 그러면 우리가 살고 있는 3차원 공간의 모든 점은 세 개의 실수 값의 조합을 나타낸다.[1]

8. 고급 개념

실수선은 여러 가지 고급 수학적 구조를 가진다.


:d(x, y) = |x - y|.

이 거리 공간에서,

  • 모든 코시 수열이 수렴하는 완비 거리 공간이다.
  • 경로 연결 공간이며, 측지 거리 공간의 간단한 예시이다.
  • 하우스도르프 차원은 1이다.
  • 위상 공간: 실수는 전순서에 의한 순서 위상과 거리 함수에 의한 거리 위상을 가진다. 이 두 위상은 동일하며, 열린 구간 (0, 1)과 위상 동형이다.
  • 차원이 1인 위상 다양체이자 미분 가능 다양체이다.
  • 국소 콤팩트 공간, 파라콤팩트 공간, 제2 가산 공간, 정규 공간이다.
  • 경로 연결 공간이자 연결 공간이지만, 한 점을 제거하면 연결성이 끊어진다.
  • 가역적 공간으로, 모든 호모토피 군과 축소된 호몰로지 군은 0이다.
  • 콤팩트화를 통해 실사영선이나 확장된 실수선 등으로 나타낼 수 있다.
  • 벡터 공간: 실수선은 실수 체에 대한 1차원 벡터 공간이며, 곱셈을 내적으로 하는 유클리드 벡터 공간이다. 이때 노름은 절댓값과 같다.
  • 측도 공간: 실수선은 르베그 측도를 가지는 측도 공간이다. 르베그 측도는 보렐 측도의 완비로 정의되며, 구간의 측도는 그 길이에 해당한다.[1] 이는 국소 콤팩트 군 위 하르 측도의 예시 중 하나이다.[1]
  • 실수 대수: 실수선은 실수 대수에서 1과 실수의 곱으로 나타나는 부분 공간이다. 예를 들어 복소 평면, 사원수 등에서 실수 부분으로 표현된다.

8. 1. 선형 연속체

실수선은 표준 순서에 따라 선형 연속체이다.[1] 구체적으로, 실수선은 순서에 의해 선형 순서가 정해지며, 이 순서는 조밀 순서이며 최소 상한 성질을 갖는다.

위의 성질 외에도 실수선은 최댓값 또는 최솟값이 없다. 또한 가산 조밀 집합인 부분 집합을 가지는데, 이는 유리수의 집합이다. 가산 조밀 부분 집합과 최댓값 또는 최솟값이 없는 임의의 선형 연속체는 실수선과 순서 동형이라는 정리가 있다.

실수선은 또한 가산 사슬 조건을 만족한다. 즉, '''R'''|R영어 내의 상호 소(素) 집합)인 공집합이 아닌 열린 구간의 모든 모임은 가산이다. 순서론에서 유명한 수슬린 문제는 가산 사슬 조건을 만족하고 최댓값 또는 최솟값이 없는 모든 선형 연속체가 필연적으로 '''R'''|R영어과 순서 동형인지 묻고 있다. 이 명제는 ZFC로 알려진 집합론의 표준 공리계와 독립적임이 밝혀졌다.[1]

실수선 위의 각 집합은 상한을 갖는다.

8. 2. 거리 공간

실수선 상의 거리는 절댓값 차이이다.


수 주변의 -구


실수선은 거리 함수가 절댓값 차이로 주어지는 거리 공간을 형성한다.

:d(x, y) = |x - y|.

계량 텐서는 분명히 1차원 유클리드 거리이다. n|n영어차원 유클리드 거리는 n|n영어×n|n영어 항등 행렬로 행렬 형태로 나타낼 수 있으므로, 실수선 상의 거리는 단순히 1×1 항등 행렬, 즉 1이다.

만약 p|p영어가 '''R'''|'''R'''영어에 속하고 ε|ε영어 > 0 이면, p|p영어를 중심으로 하는 '''R'''|'''R'''영어에서의 ε|ε영어-구는 단순히 열린 구간 이다.

이 실수선은 거리 공간으로서 몇 가지 중요한 속성을 가지고 있다.

  • 실수선은 모든 코시 수열의 점들이 수렴한다는 의미에서 완비 거리 공간이다.
  • 실수선은 경로 연결 공간이며, 측지 거리 공간의 가장 간단한 예 중 하나이다.
  • 실수선의 하우스도르프 차원은 1과 같다.

8. 3. 위상 공간

실수는 표준적인 위상 공간을 가지며, 이는 두 가지 방법으로 정의할 수 있다. 첫째, 실수는 전순서이므로 순서 위상을 갖는다. 둘째, 실수는 거리로부터 거리 위상을 상속받는다. '''R'''|R영어 위의 순서 위상과 거리 위상은 같다. 위상 공간으로서 실수는 열린 구간 (0, 1)과 위상 동형이다.

실수는 차원이 1인 위상 다양체이다. 위상 동형까지 고려하면, 경계가 있는 다양체가 없는 서로 다른 두 개의 연결된 1-다양체 중 하나이며, 다른 하나는 원이다. 또한 표준적인 미분 가능 구조를 가지고 있어 미분 가능 다양체가 된다. (미분 동형까지 고려하면, 위상 공간이 지원하는 미분 가능 구조는 단 하나이다.)

실수는 국소 콤팩트 공간이자 파라콤팩트 공간이며, 제2 가산 공간이자 정규 공간이다. 또한 경로 연결 공간이므로 연결 공간이기도 하지만, 임의의 한 점을 제거하면 연결이 끊어진다. 실수는 또한 가역적 공간이므로 모든 호모토피 군과 축소된 호몰로지 군은 0이다.

국소 콤팩트 공간으로서 실수는 여러 가지 방법으로 콤팩트화될 수 있다. '''R'''|R영어의 일점 콤팩트화는 원(즉, 실사영선)이며, 추가된 점은 부호 없는 무한대로 생각할 수 있다. 또는, 실수는 두 개의 끝점을 가지고, 결과적인 끝점 콤팩트화는 확장된 실수선 [−∞, +∞]이다. 또한 실수의 스톤-체흐 콤팩트화가 있으며, 이는 무한히 많은 추가 점을 추가하는 것을 포함한다.

일부 상황에서는 하한 극한 위상 또는 자리스키 위상과 같이 실수 집합에 다른 위상을 적용하는 것이 유용하다. 실수에 대해 후자는 유한 여집합 위상과 동일하다.

8. 4. 벡터 공간

실수선은 실수의 체(즉, 자기 자신)에 대한 벡터 공간이며, 차원은 1이다. 이는 일반적인 곱셈을 내적으로 가지며, 이로 인해 유클리드 벡터 공간이 된다. 이 내적으로 정의된 노름은 단순히 절댓값이다.

실수선 위의 점과 벡터 사이의 전단사

8. 5. 측도 공간

실수선은 르베그 측도를 갖는 측도 공간이다. 르베그 측도는 보렐 측도의 완비로 정의될 수 있으며, 임의의 구간의 측도는 그 구간의 길이이다.[1]

실수선 위의 르베그 측도는 국소 콤팩트 군 위의 하르 측도의 가장 간단한 예 중 하나이다.[1]

8. 6. 실수 대수에서의 수직선

''A''가 단위 실수 대수일 때, 실수와 1의 곱은 대수 내의 실선이다. 예를 들어, 복소 평면에서 ''z'' = ''x'' + i''y''일 때 부분 공간 {''z'' : ''y'' = 0}는 실선이다. 마찬가지로, 사원수의 대수

:''q'' = ''w'' + ''x'' i + ''y'' j + ''z'' k

에서 부분 공간 {''q'' : ''x'' = ''y'' = ''z'' = 0}는 실선을 갖는다.

실수 대수가 직합 A = R \oplus V일 때, ''A''에 대한 '''켤레'''는 부분 공간 ''V''의 매핑 v \to -v에 의해 도입된다. 이런 방식으로 실선은 켤레의 고정점으로 구성된다.

차원 ''n''에 대해, 정사각 행렬은 링 내의 항등 행렬과 실수 곱의 형태로 실선을 갖는 환을 형성한다.

참조

[1] 서적 College Algebra Brooks Cole
[2] 문서 Treatise of Algebra https://archive.org/[...]
[3] 문서 A Description of the Admirable Table of Logarithmes https://www.math.ru.[...]
[4] 간행물 How Much Mathematics Is 'Hardwired', If Any at All: Biological Evolution, Development, and the Essential Role of Culture https://web.archive.[...] John Wiley & Sons
[5] 웹사이트 Introduction to the x,y-plane http://www.purplemat[...] 2015-11-09


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