연속체 역학

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1. 개요

연속체 역학은 물질을 무한히 작은 요소로 나눌 수 있는 연속체로 가정하여, 고체 및 유체의 물리적 현상을 연구하는 학문이다. 질량 보존, 운동량 보존, 에너지 보존과 같은 기본 물리 법칙을 미분 방정식을 통해 나타내며, 재료 내의 대규모 힘과 변형을 연구하기 위한 수학적 틀을 제공한다. 주요 분과로는 고체역학, 유체역학, 유변학이 있으며, 고체역학은 탄성체와 소성체를, 유체역학은 뉴턴 유체와 비뉴턴 유체를 다룬다. 연속체 역학은 물체의 변형을 허용하지 않는 강체 역학이나 물체를 점으로 간주하는 질점 역학과 구별되며, 공학의 다양한 분야에서 널리 활용된다.

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연속체역학 - 온도
온도는 물체의 뜨겁고 차가운 정도를 나타내는 물리량으로, 열역학적으로는 에너지 이동 방향으로 정의되며, 미시적으로는 분자 운동 에너지의 평균값으로 정의되고, 화학 반응 속도와 생명체에 큰 영향을 미친다.
연속체역학 - 밀도
밀도는 단위 부피당 질량을 나타내는 물리량으로 질량을 부피로 나눈 값으로 계산되며, 온도와 압력에 따라 변하고, 진밀도, 겉보기밀도, 부피밀도, 탭밀도 등 여러 종류가 있고, 고대 그리스 시대부터 발전해왔다.

연속체 역학
개요
분야	역학, 응용 물리학
연구 대상	연속체
유형	고체 역학, 유체 역학
세부 분야
고체 역학	탄성 소성 점탄성 파괴 역학 다체 역학
유체 역학	유체 정역학 유체 동역학 기체 역학 비뉴턴 유체 역학
주요 개념
기본 원리	질량 보존 운동량 보존 에너지 보존
구성 방정식	탄성 소성 점성
응력	응력
변형률	변형률
관련 항목
수학적 도구	텐서 미분 기하학 편미분 방정식
관련 분야	재료 과학 구조 공학 지구 물리학 생체 역학

2. 연속체의 개념

연속체 역학은 물질을 무한히 작은 요소로 나눌 수 있는 연속체로 가정한다. 실제로는 물질이 원자로 구성되어 미시적인 불균일성을 가지지만, 연속체 개념에서는 이러한 점을 무시한다. 연속체 내에서는 에너지, 운동량 등의 물리량이 극소 극한에서도 유지된다고 가정한다. 따라서 미분 방정식을 사용하여 문제를 해결할 수 있다.

유체에서는 크누센 수를 사용하여 연속체 가정이 얼마나 성립하는지 평가한다. 연속체 개념은 재료 내의 큰 힘과 변형을 연구하기 위한 수학적 틀의 기초가 된다. 물리적 현상은 종종 물질이 공간 영역 전체에 분포되어 있다고 가정하여 모델링할 수 있다. 연속체는 임의의 특정 지점에서 정의된 국부적인 재료 특성을 가진 무한소 요소를 지속적으로 세분할 수 있는 물체이다. 따라서 벌크 재료의 특성은 연속 함수로 설명할 수 있으며, 그 변화는 미적분학의 수학을 사용하여 연구할 수 있다.

연속체 가정 외에도, 균질성(모든 위치에서 동일한 특성 가정) 및 등방성(방향에 무관한 벡터 특성 가정)이라는 두 가지 가정이 사용되기도 한다.

3. 주요 분과

연속체 역학은 크게 고체역학과 유체역학으로 나뉜다. 유변학은 점탄성과 같이 고체와 유체의 특성을 모두 가진 물질을 연구하는 분야로, 고체역학과 유체역학의 구분을 모호하게 만들기도 한다.^[6]

고체역학은 고정된 형상을 가진 고체의 물리적 현상을, 유체역학은 유체의 물리적 성질을 다룬다. 고체역학은 탄성(변형력이 사라졌을 때 원래 모양으로 복구되는 성질)과 소성(물체에 충분히 큰 힘이 가해졌을 때 물체의 모양이 영구적으로 바뀌는 성질)을 다룬다. 유체역학에서 중요한 유체의 성질은 점성인데, 이는 유체 내에서 속도 기울기가 있을 때 발생하는 힘이다. 뉴턴 유체는 적용된 전단 응력에 비례하는 변형률을 겪는 반면, 비뉴턴 유체는 그렇지 않다.

3. 1. 고체역학

고체역학은 고정된 형상을 가진 고체의 물리적 현상을 연구하는 학문이다. 고체역학에서는 다음과 같은 성질을 다룬다.

'''탄성''': 변형력이 사라졌을 때 물체가 원래의 모양으로 복구되는 성질.^[6]
'''소성''': 물체에 충분히 큰 힘이 가해졌을 때 물체의 모양이 영구적으로 바뀌는 성질.^[6]

탄성체는 응력과 변형에 일의적인 관계가 있는 연속체이다. 반면 소성체는 응력이 일정 한계를 넘으면 변형이 비가역적이 되고, 응력을 제거한 후에도 변형(영구 변형)이 남는 연속체이다.

선형 탄성체는 탄성체 중에서 특히 응력 텐서와 변형률 텐서가 선형적인 관계식을 만족하는 것이며, 이 관계식을 선형 탄성체 상의 훅의 법칙이라고 한다.

등방 탄성체는 탄성체 중에서 그 물리적 특성이 방향성에 의존하지 않는 것이다. 등방적이고 선형적인 탄성체의 탄성 계수 텐서는 특정 형태로 나타낼 수 있으며, 이때 사용되는 상수 λ와 μ를 라메의 탄성 상수라고 한다.

한편, 소성체는 탄성체와 달리, 응력을 가할 때와 제거할 때 변형의 관계식이 다른 히스테리시스(탄성 이력) 현상이 관찰된다.

또한 복잡한 분자 구조의 고분자 물질에서는 응력과 변형에 시간적인 어긋남이 발생하고, 지연 탄성이나 응력 완화와 같은 현상이 일어나는 경우가 있다.

3. 2. 유변학

점성과 탄성이 복합된 성질인 점탄성을 가진 물질도 있다. 이러한 경우에는 고체역학과 유체역학 사이의 구분이 모호해진다.^[6]

3. 3. 유체역학

유체역학은 유체의 물리적 성질을 다루는 학문이다. 유체의 중요한 성질 중 하나는 점성인데, 이는 유체 내에서 속도 기울기(속도벡터의 gradient)가 있을 때 발생하는 힘을 의미한다.^[6]

뉴턴 유체는 가해진 전단 응력에 비례하는 변형률을 갖는 유체이다. 반면, 비뉴턴 유체는 가해진 전단 응력에 비례하지 않는 변형률을 보인다.

정지 상태에서 유체는 모든 단면에서 접선 응력이 0이 된다. 이때 임의의 점에서의 법선 방향의 법선 응력은 -p'''n''' 형태로 표현되며, p는 해당 점에만 의존하고 법선 '''n'''에는 의존하지 않는다. 이 응력 -p'''n'''을 정수압이라고 한다.

p가 양수이면 정수압은 압력, 음수이면 장력이다. 기체나 열평형 상태의 액체에서는 p가 항상 양수이지만, 준 열평형 상태의 액체에서는 음수가 될 수도 있다. 이를 부압이라고 하며, 수목의 수액 흡수나 땅의 동상 현상에서 관찰된다.

운동 상태에서도 접선 응력이 발생하지 않는 유체를 완전 유체라고 한다. 과거에는 모든 유체가 완전 유체로 모델화되었지만, 이는 막대기를 꽂아도 저항이 없다는 점에서 직관에 반하는 결과를 낳았다('달랑베르의 역설').

이러한 이유로 유체가 운동할 때는 저항을 받는 것으로 모델화하게 되었다. 운동하는 유체의 응력이 변형 속도 텐서의 일차식으로 표현될 수 있는 유체를 뉴턴 유체, 그렇지 않은 유체를 비뉴턴 유체라고 한다.

뉴턴 유체의 경우, 응력은 다음과 같이 표현된다.

:

\sigma_{ij}= (-p+\zeta\sum_{k} \dot{E}_{kk})\delta_{ij}+2\eta \dot{E}_{ij}

여기서 η는 전단 점성률(단순히 점성률이라고도 함), ζ는 제2 점성률이다. 체적 변형 속도는 다음과 같다.

:

\begin{array}{ll} \sum_i\sigma_{ii} &=3(-p+\chi\sum_i \dot{E}_{ii})\\\chi&:=\zeta+{2\over 3}\eta\end{array}

χ는 체적 점성률이다. η = ζ = 0 이면 완전 유체를 의미하며, 이를 비점성 유체라고도 한다.

등방성 뉴턴 유체의 운동 방정식은 나비에-스토크스 방정식으로 주어진다.

4. 모델의 공식화

연속체 역학 모델은 모델링하려는 물체 $\mathcal B$ 에 3차원 유클리드 공간의 영역을 할당하는 것으로 시작한다. 이 영역 내의 점을 입자 또는 재료 점이라고 한다. 물체의 서로 다른 "형상" 또는 상태는 유클리드 공간의 서로 다른 영역에 해당한다. 시간 $t$ 에서의 물체의 형상에 해당하는 영역은 $\kappa_t(\mathcal B)$ 로 표시된다.

특정 형상 내의 물체 내의 특정 입자는 위치 벡터로 특징지어진다.

: $\mathbf x = \sum_{i=1}^3 x_i \mathbf e_i,$

여기서 $\mathbf e_i$ 는 문제에 대해 선택된 특정 좌표 벡터의 기준틀에서의 좌표 벡터이다(그림 1 참조). 이 벡터는 특정 "기준 형상"(예: 초기 시간의 형상)에서 입자 위치 $\mathbf X$ 의 함수로 표현될 수 있다.

: $\mathbf{x}=\kappa_t(\mathbf X).$

이 함수는 모델이 물리적으로 의미가 있도록 다양한 속성을 가져야 한다. $\kappa_t(\cdot)$ 는 다음과 같아야 한다.

물체가 현실적인 방식으로 변화하도록 시간에 대해 연속적이어야 한다.
물체가 자기 교차할 수 없도록 모든 시간에 대해 전역적으로 가역적이어야 한다.
자연에서는 거울 반사를 생성하는 변환이 불가능하므로 방향 보존적이어야 한다.

모델의 수학적 공식화를 위해,

\kappa_t(\cdot)

는 또한 두 번 연속 미분 가능하다고 가정하며, 이를 통해 운동을 설명하는 미분 방정식을 공식화할 수 있다.

5. 연속체에서의 힘

뉴턴과 오일러의 고전 역학에 따르면, 물체의 운동은 외부에서 가해지는 힘의 작용에 의해 발생하는데, 이러한 힘은 표면력( $\mathbf F_C$ )과 체적력( $\mathbf F_B$ ) 두 가지로 나뉜다. 따라서 물체에 가해지는 총 힘 $\mathcal F$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\mathcal F = \mathbf F_C + \mathbf F_B$

연속체 역학에서 물체는 중력의 영향을 포함한 모든 외부 영향이 없는 상태에서, 물체를 함께 유지하고 모양을 유지하는 데 필요한 원자 간의 힘(이온 결합, 금속 결합, 반 데르 발스 힘)만이 존재하는 경우 응력이 없는 것으로 간주된다. 따라서 연속체 역학에서 고려되는 응력은 물체의 변형에 의해 생성되는 응력뿐이며, 응력의 절대값이 아닌 상대적인 변화만 고려된다.

5. 1. 표면력 (접촉력)

표면력은 접촉력이라고도 하며, 단위 면적당 힘으로 표현된다. 표면력은 다른 물체와의 기계적 접촉으로 인해 물체의 경계 표면에 작용하거나, 물체 내부의 가상 표면 양쪽에 있는 부분들 간의 상호작용으로 인해 발생한다. (오일러-코시 응력 원리)

물체가 외부 접촉력의 영향을 받으면, 뉴턴의 운동 제3법칙에 따라 내부 접촉력이 물체 내부의 각 지점에서 다른 지점으로 전달되어 그 작용을 균형을 이룬다. 연속체의 경우, 이러한 법칙을 오일러의 운동 방정식이라고 한다. 내부 접촉력은 변형을 통해 물체의 구성 방정식과 관련되며, 물체의 재료 구성과 관계없이 물체의 운동과 어떻게 관련되는지에 따라 수학적으로 설명될 수 있다.

물체의 부피 전체에 걸친 내부 접촉력의 분포는 연속적이라고 가정한다. 따라서, 이 분포를 특정 시점

t\,\!

에서 물체의 특정 형상으로 나타내는 *접촉력 밀도* 또는 *코시 트랙션 필드*

\mathbf T(\mathbf n, \mathbf x, t)

가 존재한다. 이는 벡터 필드가 아닌데, 특정 물질 점의 위치

\mathbf x

뿐만 아니라 법선 벡터

\mathbf n

으로 정의되는 표면 요소의 국부적인 방향에도 의존하기 때문이다.

물체의 일부를 경계로 하는 주어진 내부 표면적

S\,\!

의 법선 벡터

\mathbf n

을 갖는 임의의 미분 면적

dS\,\!

는

S\,\!

의 각 측면에 있는 물체의 두 부분 사이의 접촉으로 인해 발생하는 접촉력

d\mathbf F_C\,\!

을 경험하며, 다음과 같이 주어진다.

:

d\mathbf F_C= \mathbf T^{(\mathbf n)}\,dS

여기서

\mathbf T^{(\mathbf n)}

는 *표면 트랙션*이며, *응력 벡터*, *트랙션*, 또는 *트랙션 벡터*라고도 한다. 응력 벡터는 프레임에 무관한 벡터이다. (오일러-코시 응력 원리 참조).

특정 내부 표면

S\,\!

에 대한 총 접촉력은 모든 미분 표면

dS\,\!

에 대한 접촉력의 합 (면적분)으로 표현된다.

:

\mathbf F_C=\int_S \mathbf T^{(\mathbf n)}\,dS

5. 2. 체적력

'''체적력'''은 물체의 부피(또는 질량)에 작용하는, 물체 외부에서 기인하는 힘이다.^[1] 체적력은 물체의 서로 다른 부분 간의 상호 작용(내력)이 접촉력만을 통해 나타난다는 것을 의미한다.^[2] 이러한 힘은 물체가 중력(중력장) 또는 전자기력(전자기장)과 같은 힘의 장에 존재하거나, 물체가 운동할 때 관성력과 같은 가상력에서 발생한다. 연속체의 질량은 연속적으로 분포되어 있다고 가정하므로, 질량에서 기인하는 모든 힘도 연속적으로 분포된다. 따라서 체적력은 물체의 전체 부피에 걸쳐 연속적인 것으로 가정되는 벡터장으로 지정되며,^[3] 즉, 부피 내의 모든 지점에 작용한다. 체적력은 프레임에 무관한 벡터장인 체적력 밀도

\mathbf b(\mathbf x, t)

(단위 질량당)로 표현된다.

중력의 경우, 힘의 크기는 물질의 질량 밀도

\mathbf \rho (\mathbf x, t)\,\!

에 의존하거나 비례하며, 단위 질량당 힘(

b_i\,\!

) 또는 단위 부피당 힘(

p_i\,\!

)으로 지정된다. 이 두 가지 지정은 방정식

\rho b_i = p_i\,\!

을 통해 물질 밀도와 관련된다. 마찬가지로, 전자기력의 크기는 전하의 세기에 따라 달라진다.

연속체에 작용하는 총 체적력은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbf F_B=\int_V\mathbf b\,dm=\int_V \rho\mathbf b\,dV

물체에 작용하는 체적력과 접촉력은 주어진 점을 기준으로 하는 힘의 모멘트(토크)에 해당한다. 따라서 원점에 대한 총 작용 토크

\mathcal M

은 다음과 같이 주어진다.

:

\mathcal M= \mathbf M_C + \mathbf M_B

특정 상황에서, 재료의 역학적 거동 분석에서 일반적으로 고려되지 않지만, 두 가지 다른 유형의 힘을 포함할 필요가 있다. 이것들은 ''커플 응력'' (표면 커플,^[4] 접촉 토크)^[5] 및 ''체적 모멘트''이다. 커플 응력은 표면에 작용하는 단위 면적당 모멘트이다. 체적 모멘트 또는 체적 커플은 물체의 부피에 작용하는 단위 부피당 또는 단위 질량당 모멘트이다. 이 둘은 전기장의 작용을 받는 편광 유전체 고체, 분자 구조가 고려되는 재료(''예:'' 뼈), 외부 자기장의 작용을 받는 고체, 금속의 전위 이론과 같은 응력 분석에서 중요하다.^[6]^[7]

힘만으로 생성되는 모멘트 외에 체적 커플과 커플 응력을 나타내는 재료를 ''극성 재료''라고 한다. ''비극성 재료''는 힘의 모멘트만 있는 재료이다. 연속체 역학의 고전적인 분야에서 응력 이론의 개발은 비극성 재료를 기반으로 한다.

따라서 물체 내의 모든 작용력과 토크(좌표계의 원점을 기준으로)의 합은 다음과 같이 주어질 수 있다.

:

\mathcal F = \int_V \mathbf a\,dm = \int_S \mathbf T\,dS + \int_V \rho\mathbf b\,dV

:

\mathcal M = \int_S \mathbf r \times \mathbf T\,dS + \int_V \mathbf r \times \rho\mathbf b\,dV

6. 운동학: 운동과 변형

연속체 물체의 형상 변화는 변위를 발생시킨다. 물체의 변위는 강체 변위와 변형의 두 가지 구성 요소로 나뉜다. 강체 변위는 물체의 모양이나 크기를 변경하지 않고 동시에 일어나는 병진 운동과 회전 운동으로 구성된다. 변형은 초기 형상에서 현재 형상으로 물체의 모양 및/또는 크기가 변경됨을 의미한다.

연속체 물체의 운동은 변위의 연속적인 시간 시퀀스이다. 따라서 재료 물체는 시간에 따라 서로 다른 형상을 차지하게 되며, 입자는 공간에서 일련의 점을 차지하여 경로선을 그린다.

연속체 물체의 운동 또는 변형 동안에는 다음과 같은 연속성이 유지된다.

임의의 순간에 닫힌 곡선을 형성하는 재료 점들은 항상 이후의 임의의 시점에서도 닫힌 곡선을 형성한다.
임의의 순간에 닫힌 표면을 형성하는 재료 점들은 항상 이후의 임의의 시점에서도 닫힌 표면을 형성하며, 닫힌 표면 내의 물질은 항상 내부에 남아 있다.

연속체가 변형되어, 처음에 점 '''x'''에 있던 입자가

t

초 후에

\phi_t(\boldsymbol{x})

로 이동했다고 할 때, 이 변형의 변위 벡터는 다음과 같다.

:

\boldsymbol{r}= \boldsymbol{r}(\boldsymbol{x},t):=\phi_t(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{x}

이 변형의 변형 텐서(deformation tensor)는 다음과 같이 야코비 행렬로 주어진다.

:

D=\left({\partial r_i\over\partial x_j}\right)_{i,j}

변형 텐서를 대칭 부분과 비대칭 부분으로 나누고, 대칭 부분에 해당하는

(E_{ij})_{i,j}

를 변형률 텐서(strain tensor)라고 한다.

:

\begin{array}{ll}E_{ij}&={1\over 2}(D_{ij}+D_{ji})\\F_{ij}&={1\over 2}(D_{ij}-D_{ji})\end{array}

변형률 텐서의 대각 성분

E_{ii}

를 '''신축 변형'''(elongation-contraction), 반대각 성분을 '''전단 변형'''(shear strain)이라고 하며, 신축 변형의 총합

:

\sum_iE_{ii}=\nabla\cdot \boldsymbol{r}

를 '''체적 변형'''(volume dilatation)이라고 한다.

한편, 반대칭 부분인

(F_{ij})_{i,j}

는 정의에 의해

:

F_{ij}=-F_{ji}

、

F_{ii}=0

이다.

:

\Omega=(\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})

라고 정의하면,

:

\Omega=\nabla\times\boldsymbol{r}

이다.

\Omega

를 이 변형의 '''회전''' 또는 '''회전 벡터'''라고 한다.

이러한 텐서는, 변형을 시작한 시각

t_0

에서의 위치

\boldsymbol{x}

와 현재 시각

t

의 함수이므로 시간 미분한 양을 계산할 수 있다.

:

\begin{array}{ll}\left.{ \partial D_{ij}\over \partial t}\right|_{t=t_0}= \left.{\partial\over\partial t}{\partial r_i\over\partial x_j}\right|_{t=t_0}= {\partial v_i\over\partial x_j} \\\left.{ \partial E_{ij}\over \partial t}\right|_{t=t_0}={1\over 2} \left({\partial v_i\over\partial x_j}+ {\partial v_j\over\partial x_i}\right)\\\left.{ \partial \Omega\over \partial t}\right|_{t=t_0}=\nabla\times \boldsymbol{v}\end{array}

가 성립한다. 여기서

\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)

는 속도 벡터이다.

{\partial v_i\over\partial x_j}

를 '''변형 속도 텐서'''(deformation rate tensor),

{1\over 2} \left({\partial v_i\over\partial x_j}+ {\partial v_j\over\partial x_i}\right)

를 '''변형률 속도 텐서'''(stain rate tensor),

\nabla\times \boldsymbol{v}

를 '''와도'''(vorticity)라고 한다.

더욱이 변형률 속도 텐서의 대각 성분을 '''신축 변형 속도'''(elongation-contraction rate), 비대각 성분을 '''전단 변형 속도'''(shear stain rate)라고 한다.

6. 1. 라그랑주 묘사 (물질 묘사)

연속체 물체의 운동에 대한 설명은 재료 좌표 또는 기준 좌표를 사용하여 이루어지며, 이를 재료적 기술 또는 라그랑주적 기술이라고 한다. 라그랑주 묘사에서는 입자의 위치와 물리적 특성을 물질 좌표(기준 좌표)와 시간으로 설명한다. 기준 구성은 t=0일 때의 구성이다.^[4]

일반적으로 고체 역학에서 사용된다. 매핑 함수를 통해 초기 구성과 현재 구성을 연결한다.

고체의 운동 또는 변형, 또는 유체의 흐름을 분석할 때 시간 경과에 따른 형상의 시퀀스 또는 진화를 설명해야 한다. 이때, 모든 후속 형상이 참조되는 기준 형상 또는 초기 조건을 식별하는 것이 편리하다. 기준 형상은 물체가 실제로 차지할 필요는 없다. 종종

t=0

에서의 형상이 기준 형상으로 간주된다. 기준 형상을 기준으로 한 입자의 위치 벡터

\mathbf X

의 성분

X_i

를 재료 좌표 또는 기준 좌표라고 한다.

연속체를 수학적으로 기술하는 방법으로 두 가지 표현법이 알려져 있는데, 그중 하나가 라그랑주 표현법이다.

물질 표현법 또는 라그랑주 표현법은 연속체상의 각 부분을 시간적으로 추적하는 방법으로, 시각

t=0

에 초기 위치

\boldsymbol{X}_0

에 있던 연속체의 부분이 시각

t

에 이동한 위치를

\boldsymbol{X}(t)

로 하여, 이 부분에 부수하는 물리량

Q

를

:

Q =F_\text{m}(t; \boldsymbol{X}_0) =F(\boldsymbol{X}(t),t)

로 기술하는 방법이다. 물질 표현법에서는 연속체의 각 부분에 부수하는 물리량은 시각

t

의 함수로 기술된다. 각 부분의 초기 위치

\boldsymbol{X}_0

는 매개변수이다. 특히 물질 표현법에서 속도는

:

\boldsymbol{v} =\boldsymbol{v}_\text{m}(t; \boldsymbol{X}_0) =\boldsymbol{v}(\boldsymbol{X}(t), t) =\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}

를 만족한다.

물질 표현법에 대응하는 시간 미분은

:

\frac{\mathrm{D}Q}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{d}F_\mathrm{m}}{\mathrm{d}t}

로 정의된다. 물질 표현법에서는 물리량이 시간의 함수로 기술되므로, 대응하는 시간 미분은 상미분이다. 이 미분은 '''물질 미분''', '''물질 시간 미분'''^[1], 흐름을 따라 이동할 때의 미분^[2], '''실질 미분'''^[3], '''라그랑주 미분'''^[4] 등으로 불린다.

6. 2. 오일러 묘사 (공간 묘사)

연속체를 수학적으로 기술하는 방법 중 하나로, 시점을 공간상의 각 지점에 고정하여 연속체를 기술하는 방법이다. 시각

t

에 공간상의 점

\boldsymbol{x}

에서의 물리량

Q

를 다음과 같이 기술한다.

:

Q =F(\boldsymbol{x},t)

이 표현법은 연속체의 '''공간 표현법'''(spatial description^영어), 또는 '''오일러 표현법'''('''오일러 기술''', Eulerian description^영어)이라고 불린다. 공간 표현법에서는 연속체의 각 부분에 부수하는 물리량이 장으로 기술된다.^[1]

오일러 표현법에 대응하는 시간 미분은 다음과 같이 정의된다.

:

\frac{\partial Q}{\partial t} =\frac{\partial F}{\partial t}

공간 표현법에서는 물리량이 장으로 기술되므로, 대응하는 시간 미분은 편미분이다. 이 미분은 '''오일러 미분'''(Eularian derivative^영어)이라고 불린다.^[1]

오일러 표현법에서의 라그랑주 미분은 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{\mathrm{D}Q}{\mathrm{D}t} = \boldsymbol{v}\cdot\operatorname{grad} Q + \frac{\partial Q}{\partial t}

6. 3. 변위장

연속체 물체의 형상 변화는 변위를 발생시킨다. 변위는 물체의 모양이나 크기를 변경하지 않는 강체 변위와 모양 및 크기를 변경하는 변형의 두 가지 요소로 구성된다.

연속체가 변형되어, 처음에 점 '''x'''에 있던 입자가

t

초 후에

\phi_t(\boldsymbol{x})

로 이동했다고 할 때, 이 변형의 변위 벡터는 다음과 같다.

:

\boldsymbol{r}= \boldsymbol{r}(\boldsymbol{x},t):=\phi_t(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{x}

이 변형의 변형 텐서(deformation tensor)는 다음과 같이 야코비 행렬로 주어진다.

:

D=\left({\partial r_i\over\partial x_j}\right)_{i,j}

변형 텐서를 대칭 부분과 비대칭 부분으로 나누고, 대칭 부분에 해당하는

(E_{ij})_{i,j}

를 변형률 텐서(strain tensor)라고 한다.

:

\begin{array}{ll}E_{ij}&={1\over 2}(D_{ij}+D_{ji})\\F_{ij}&={1\over 2}(D_{ij}-D_{ji})\end{array}

7. 지배 방정식

연속체 역학은 특정 길이 및 시간 규모에서 연속체로 근사될 수 있는 재료의 거동을 다룬다. 이러한 재료의 역학을 지배하는 방정식에는 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙이 포함된다. 지배 방정식을 완성하기 위해서는 운동학적 관계와 구성 방정식이 필요하다.

열역학 제2법칙이 모든 조건에서 충족되어야 한다는 요구에 따라, 구성 관계의 형태에 물리적 제약 조건이 적용될 수 있다. 고체 연속체 역학에서 열역학 제2법칙은 클라우지우스-듀엠 부등식 형태의 엔트로피 부등식이 충족되면 만족된다.

연속체의 거동은 '''기본 방정식'''이라고 불리는 미분 방정식으로 기술된다. 기본 방정식은 모든 연속체가 만족하는 보존 법칙과 연구 대상인 물질 고유의 구성 방정식으로 구성된다.

7. 1. 균형 법칙

질량, 운동량, 에너지에 대한 보존 법칙은 부피 내에서 해당 물리량(질량, 운동량, 에너지)의 변화율이 다음 세 가지 원인에서 발생한다는 개념을 나타낸다.

# 물리량이 부피를 둘러싼 표면을 통해 흐른다.

# 부피의 표면에 물리량의 원천이 존재한다.

# 부피 내부에 물리량의 원천이 존재한다.

\Omega

를 물체(유클리드 공간의 열린 부분 집합)라고 하고,

\partial \Omega

를 그 표면(

\Omega

의 경계)이라고 하자.

물체 내 물질 점의 움직임은 다음과 같은 맵으로 설명된다.

:

\mathbf{x} = \boldsymbol{\chi}(\mathbf{X}) = \mathbf{x}(\mathbf{X})

여기서

\mathbf{X}

는 초기 구성에서의 점의 위치이고,

\mathbf{x}

는 변형된 구성에서 동일한 점의 위치이다.

f(\mathbf{x},t)

를 물체 내를 흐르는 물리량,

g(\mathbf{x},t)

를 물체 표면의 소스,

h(\mathbf{x},t)

를 물체 내부의 소스라고 하자.

\mathbf{n}(\mathbf{x},t)

를 표면

\partial \Omega

의 외부 단위 법선,

\mathbf{v}(\mathbf{x},t)

를 흐르는 물리량을 운반하는 물리적 입자의 흐름 속도라고 하자. 또한, 경계면

\partial \Omega

이 움직이는 속도를

u_n

(방향

\mathbf{n}

으로)라고 하자.

그러면, 균형 방정식은 다음과 같은 일반적인 형태로 표현될 수 있다.

:

\cfrac{d}{dt}\left[\int_{\Omega} f(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right] =\int_{\partial \Omega } f(\mathbf{x},t)[u_n(\mathbf{x},t) - \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\cdot\mathbf{n}(\mathbf{x},t)]~\text{dA} +\int_{\partial \Omega } g(\mathbf{x},t)~\text{dA} + \int_{\Omega} h(\mathbf{x},t)~\text{dV} ~.

함수

f(\mathbf{x},t)

,

g(\mathbf{x},t)

,

h(\mathbf{x},t)

는 균형 방정식이 다루는 물리량에 따라 스칼라 값, 벡터 값 또는 텐서 값일 수 있다. 물체에 내부 경계가 있는 경우 균형 방정식에서 불연속점도 지정해야 한다.

오일러 관점을 취하면, 고체의 질량, 운동량, 에너지에 대한 균형 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다(질량 및 각운동량 방정식에 대한 소스 항은 0이라고 가정).

:

{\begin{align}\dot{\rho} + \rho (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}) & = 0& & \qquad\text{질량 보존} \\\rho~\dot{\mathbf{v}} - \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} - \rho~\mathbf{b} & = 0& & \qquad\text{선형 운동량 보존 (코시의 첫 번째 운동 법칙)} \\\boldsymbol{\sigma} & = \boldsymbol{\sigma}^T& & \qquad\text{각운동량 보존 (코시의 두 번째 운동 법칙)} \\\rho~\dot{e} - \boldsymbol{\sigma}:(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}) + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q} - \rho~s & = 0& & \qquad\text{에너지 보존}\end{align}}

위의 방정식에서

\rho(\mathbf{x},t)

는 질량 밀도(현재),

\dot{\rho}

는

\rho

의 물질 시간 미분,

\mathbf{v}(\mathbf{x},t)

는 입자 속도,

\dot{\mathbf{v}}

는

\mathbf{v}

의 물질 시간 미분,

\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t)

는 코시 응력 텐서,

\mathbf{b}(\mathbf{x},t)

는 체적력 밀도,

e(\mathbf{x},t)

는 단위 질량당 내부 에너지,

\dot{e}

는

e

의 물질 시간 미분,

\mathbf{q}(\mathbf{x},t)

는 열 플럭스 벡터,

s(\mathbf{x},t)

는 단위 질량당 에너지 소스이다.

기준 구성(라그랑주 관점)과 관련하여 균형 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

{\begin{align}\rho~\det(\boldsymbol{F}) - \rho_0 &= 0 & &  \qquad \text{질량 보존} \\\rho_0~\ddot{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\boldsymbol{P} -\rho_0~\mathbf{b} & = 0  & &\qquad \text{선형 운동량 보존} \\\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{P}^T & = \boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{F}^T  & &\qquad \text{각운동량 보존} \\\rho_0~\dot{e} - \boldsymbol{P}^T:\dot{\boldsymbol{F}} + \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\mathbf{q} - \rho_0~s & = 0& & \qquad\text{에너지 보존}\end{align}}

여기서,

\boldsymbol{P}

는 첫 번째 피올라-키르히호프 응력 텐서이고

\rho_0

는 기준 구성에서의 질량 밀도이다.

연속체를 공간 표기했을 때, 시점에서의 공간상의 점에서의 연속체의 밀도를 라고 한다.

공간 내의 영역를 생각하고, 의 경계 상의 미소 면와 그 법선 벡터에 대해, 미소 시간에 에서 의 밖으로 유출되는 입자의 총 질량은

\rho\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta t\mathrm{d}S

이므로, 공간 내의 영역의 질량의 초 동안의 증가량은 질량 보존의 법칙에 의해 다음과 같다.

:

\int_V {\partial \rho \over {\partial t}}\Delta t \mathrm{d}V=-\int_{\partial V} \rho\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta t\mathrm{d}S= -\int_V \nabla \cdot( \rho\boldsymbol{v}) \Delta t \mathrm{d}V

여기서 두 번째 등호는 가우스 발산 정리에 의해 따른다. 의 임의성에 의해, 연속체는 다음의 '''연속 방정식'''을 만족해야 함이 결론지어진다.

:

{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0

를 연속체 상의 (시간 변화하지 않는) 임의의 영역이라고 할 때, 운동량 보존의 법칙으로부터 다음이 성립한다.

(단위 시간에 에 작용하는 충격량의 총합) = (단위 시간에 에서 유출되는 운동량의 총합) + (단위 시간에 에 작용하는 체적력에 의한 충격량) + (단위 시간에 의 경계에 작용하는 면적력에 의한 충격량)

위의 식을 구체적으로 전개함으로써 연속체의 운동 방정식을 유도할 수 있다.

연속체의 점 에서의 시각 에서의 밀도를 로 하고, 속도 벡터를 라고 할 때,

(단위 시간에 에 작용하는 충격량의 총합) $={\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}\int_V \rho \boldsymbol{v}\mathrm{d}V= \int_V {\partial(\rho \boldsymbol{v})\over\partial t}\mathrm{d}V,$
(단위 시간에 에서 유출되는 운동량의 총합) = (미소 면적 를 통과하여 유입된 입자의 총 질량)・( 의 법선 방향의 입자의 속도) $=\int_{\partial V}(\rho\boldsymbol{v})\cdot (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n})\mathrm{d}S$ $= \int_{\partial V} {}^t(\rho v_1 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}, \rho v_2 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n},$

\rho v_3 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}) \mathrm{d}S

= \int_{V} {}^t(\nabla\cdot(\rho v_1 \boldsymbol{v}), \nabla\cdot(\rho v_2 \boldsymbol{v}), \nabla\cdot(\rho v_3 \boldsymbol{v})) \mathrm{d}V

마지막 등식은 가우스의 발산 정리에 따른다. 여기서 이다.
체적력을 라고 하면,
(단위 시간에 에 작용하는 체적력에 의한 충격량) = $\int_V \rho \boldsymbol{K} \mathrm{d}V$
$\boldsymbol{\sigma}_i=(\sigma_{i,1}, \sigma_{i,2}, \sigma_{i,3})$ 라고 하면,
(단위 시간에 의 경계에 작용하는 면적력에 의한 충격량) = $\int_{\partial V}\sum_{i,j}\sigma_{i,j}n_j\boldsymbol{e}_j\mathrm{d} S$ $=\int_{\partial V}{}^t(\boldsymbol{\sigma}_1\cdot\boldsymbol{n},\boldsymbol{\sigma}_2\cdot\boldsymbol{n},\boldsymbol{\sigma}_3\cdot\boldsymbol{n})\mathrm{d} S$ $= \int_{V}{}^t(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_1,\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_2,\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_3)\mathrm{d} V$
마지막 등식은 다시 가우스의 발산 정리에 따른다.

의 임의성으로부터, 최종적으로 '''연속체의 운동 방정식'''은 다음과 같다.

: 에 대해,

{\partial(\rho v_i)\over\partial t} = \nabla\cdot(\rho v_i \boldsymbol{v}) +  \rho K_i + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_i

7. 2. 클라우지우스-듀엠 부등식

클라우지우스-듀엠 부등식은 탄소성 재료에 대한 열역학 제2법칙을 표현하는 데 사용될 수 있다. 이 부등식은 자연 과정, 특히 에너지 소산이 관련될 때 비가역성에 대한 진술이다.

어떤 양의 플럭스, 그 양의 원천, 그리고 단위 질량당 그 양의 내부 밀도가 있다고 가정할 때, 이 경우 관심 있는 양은 엔트로피이다. 따라서, 관심 영역에 엔트로피 플럭스, 엔트로피 원천, 내부 질량 밀도

\rho

및 내부 비 엔트로피(즉, 단위 질량당 엔트로피)

\eta

가 있다고 가정한다.

\Omega

를 그러한 영역이라고 하고

\partial \Omega

를 경계라고 하자. 그러면 열역학 제2법칙은 이 영역에서

\eta

의 증가율이

\Omega

에 공급되는 양(플럭스로서 또는 내부 원천으로부터)과 물질이 영역 안팎으로 흐름으로 인한 내부 엔트로피 밀도

\rho\eta

의 변화의 합보다 크거나 같다고 말한다.

\partial \Omega

를 흐름 속도

u_n

로 움직이고

\Omega

내부의 입자가 속도

\mathbf{v}

를 갖도록 하자.

\mathbf{n}

을 표면

\partial \Omega

에 대한 단위 외부 법선이라고 하자.

\rho

를 영역 내 물질의 밀도,

\bar{q}

를 표면에서의 엔트로피 플럭스,

r

를 단위 질량당 엔트로피 원천이라고 하면, 엔트로피 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\cfrac{d}{dt}\left(\int_{\Omega} \rho~\eta~\text{dV}\right) \ge\int_{\partial \Omega} \rho~\eta~(u_n - \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) ~\text{dA} +\int_{\partial \Omega} \bar{q}~\text{dA} + \int_{\Omega} \rho~r~\text{dV}.

스칼라 엔트로피 플럭스는

\bar{q} = -\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x})\cdot\mathbf{n}

에 의해 표면에서의 벡터 플럭스와 관련될 수 있다. 점진적으로 등온 조건의 가정 하에서,

:

\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}) = \cfrac{\mathbf{q}(\mathbf{x})}{T} ~;~~ r = \cfrac{s}{T}

여기서

\mathbf{q}

는 열 플럭스 벡터,

s

는 단위 질량당 에너지 원천,

T

는 시간

t

에서

\mathbf{x}

의 재료 점의 절대 온도이다.

그러면, 적분 형태의 클라우지우스-듀엠 부등식은 다음과 같다.

:

{\cfrac{d}{dt}\left(\int_{\Omega} \rho~\eta~\text{dV}\right) \ge\int_{\partial \Omega} \rho~\eta~(u_n - \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) ~\text{dA} -\int_{\partial \Omega} \cfrac{\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}}{T}~\text{dA} + \int_\Omega \cfrac{\rho~s}{T}~\text{dV}.}

엔트로피 부등식은 미분 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

{\rho~\dot{\eta} \ge - \boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\cfrac{\mathbf{q}}{T}\right)+ \cfrac{\rho~s}{T}.}

코시 응력과 내부 에너지 측면에서 클라우지우스-듀엠 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

{\rho~(\dot{e} - T~\dot{\eta}) - \boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \le

\cfrac{\mathbf{q}\cdot\boldsymbol{\nabla} T}{T}.

}

8. 타당성

연속체 가설의 타당성은 명확한 주기성을 식별하거나 균질성과 에르고딕성의 통계적 미세 구조가 존재하는 이론적 분석을 통해 확인할 수 있다. 보다 구체적으로, 연속체 가설은 힐-만델 조건을 기반으로 하는 대표적 기본 체적 및 스케일 분리의 개념에 달려 있다. 이 조건은 구성 방정식 (선형 및 비선형 탄성/비탄성 또는 결합된 분야)에 대한 실험자와 이론가의 관점, 그리고 미세 구조의 공간적 및 통계적 평균화 사이의 연결 고리를 제공한다.

스케일 분리가 적용되지 않거나, 대표적 기본 체적(RVE)의 크기보다 더 미세한 해상도의 연속체를 설정하려는 경우, 통계적 체적 요소(SVE)가 사용되며, 이로 인해 무작위 연속체 필드가 생성된다. 후자는 확률적 유한 요소(SFE)에 대한 미세 역학적 기초를 제공한다. SVE 및 RVE의 수준은 연속체 역학을 통계 역학과 연결한다. 실험적으로 RVE는 구성 응답이 공간적으로 균일할 때만 평가할 수 있다.

9. 응용

연속체 역학은 고체역학과 유체역학을 포함하며, 토목공학, 기계공학, 항공우주공학, 생체공학, 화학공학 등 여러 공학 분야에 응용된다.

10. 기초 개념 (일본어 문서)

연속체 역학에서는 물질을 무한히 작은 요소로 나누어도 각 요소가 원래 물질의 성질을 그대로 유지한다고 가정한다. 이를 연속체라고 부른다. 실제로는 물질이 원자로 구성되어 불균일하지만, 연속체 개념에서는 물질이 균일하게 분포하고 공간을 꽉 채우고 있다고 가정한다. 따라서 에너지나 운동량 등의 물리량이 극소 극한에서도 유지되어 미분 방정식을 사용할 수 있다.

질량 보존, 운동량 보존, 에너지 보존 방정식은 기본적인 물리 법칙을 나타내는 미분 방정식의 예시이다. 유체에서는 크누센 수를 통해 연속체 가정이 얼마나 성립하는지 평가한다. 주요 연속체로는 탄성체와 유체가 있다. 탄성체는 압력을 제거하면 원래 상태로 돌아가는 고체이고, 유체는 기체, 액체, 플라스마를 포함한다.

연속체 역학은 물체를 한 점으로 근사하는 질점 역학이나 변형을 허용하지 않는 강체 역학과 구별된다. 강체는 탄성 계수가 무한대인 연속체로 생각할 수 있다. 연속체 역학은 재료역학, 수리학, 토질역학 등 응용역학과 재료공학, 화학공학, 기계공학, 항공우주공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

연속체를 기술하는 방법에는 두 가지 표현법이 있다.

'''오일러 표현법''' (공간 표현법, spatial description^영어): 시점을 공간상의 각 지점에 고정하여, 시각 $t$에 공간상의 점 $\boldsymbol{x}$에서의 물리량 $Q$를

::

Q =F(\boldsymbol{x},t)

:로 기술한다. 물리량은 장으로 표현된다.

'''라그랑주 표현법''' (물질 표현법, material description^영어): 연속체상의 각 부분을 시간적으로 추적하여, 시각 $t=0$에 초기 위치 $\boldsymbol{X}_0$에 있던 부분이 시각 $t$에 이동한 위치를 $\boldsymbol{X}(t)$로 하고, 물리량 $Q$를

::

Q =F_\text{m}(t; \boldsymbol{X}_0) =F(\boldsymbol{X}(t),t)

:로 기술한다. 물리량은 시각 $t$의 함수로 표현되며, 초기 위치 $\boldsymbol{X}_0$는 매개변수이다. 물질 표현법에서 속도는

::

\boldsymbol{v} =\boldsymbol{v}_\text{m}(t; \boldsymbol{X}_0) =\boldsymbol{v}(\boldsymbol{X}(t), t) =\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}

:를 만족한다.

두 표현법에 대응하여 두 종류의 시간 미분이 정의된다.

'''오일러 미분''' (공간 미분, spatial derivative^영어): 공간 표현법에 대응하는 시간 미분으로,

::

\frac{\partial Q}{\partial t} =\frac{\partial F}{\partial t}

:로 정의된다. 물리량이 장으로 기술되므로 편미분을 사용한다.

'''물질 미분''' (material derivative^영어), 실질 미분, 라그랑주 미분): 물질 표현법에 대응하는 시간 미분으로,

::

\frac{\mathrm{D}Q}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{d}F_\mathrm{m}}{\mathrm{d}t}

:로 정의된다. 물리량이 시간의 함수로 기술되므로 상미분을 사용한다.

두 시간 미분은 연쇄 법칙에 의해 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\frac{\mathrm{d}F_\text{m}}{\mathrm{d}t}=\left[ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}\cdot \operatorname{grad} F+\frac{\partial F}{\partial t} \right]_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}(t)}=\left[ \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)\cdot \operatorname{grad} F+\frac{\partial F}{\partial t} \right]_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}(t)}

라그랑주 미분은 갈릴레이 변환에 대해 불변이라는 장점이 있다.

연속체에 작용하는 힘은 체적력과 면적력으로 나뉜다.

'''체적력''': 부력과 같이 체적 요소를 사용하여

::

\int_V\rho \mathrm{d}V

:와 같이 표현되는 힘이다.

'''면적력''': 연속체의 단면의 면적 요소를 사용하여 표현되는 힘이다. 위치 $\boldsymbol{x}$와 면의 법선 $\boldsymbol{n}$을 사용하여 면적력을

::

\int_S\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{n})\mathrm{d}S

:로 표기할 때, 적분 내의 $\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{n})$을 응력이라고 한다.

응력은 면의 법선에 평행하지 않을 수 있다. 예를 들어 고무 기둥이 중력에 의해 옆으로 휘어지는 것은 중력에 수직인 방향으로 응력이 발생하기 때문이다.

응력은 법선 방향 성분과 수직 성분으로 나눌 수 있다.

'''법선 응력''': 응력 중 법선 방향의 성분이다. 법선과 같은 방향이면 인장 응력, 반대 방향이면 압력이라고 한다.
'''전단 응력''': 응력 중 법선과 수직인 성분이다.

연속체 내 한 점 $\boldsymbol{x}$ 주위의 미소한 사면체를 고려하면, 응력 텐서를 통해 응력을 구체적으로 나타낼 수 있다. 힘의 평형 조건과 사면체의 크기를 작게 하는 극한을 통해

:

\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{n})=\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{e}_1) \cdot \boldsymbol{e}_1 +\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{e}_2) \cdot \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{e}_3) \cdot \boldsymbol{e}_3

:이 성립한다. 여기서 $\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{e}_j)$의 $\boldsymbol{e}_i$ 방향 성분을 $\sigma_{\boldsymbol{x}ij}$라고 하면,

:

\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{n})=\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{11}& \sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{21} & \sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{31} \\\sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{21}& \sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{22} & \sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{23}\\\sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{13}& \sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{23} & \sigma_{\boldsymbol{x}}{}_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}

:이 성립한다. 여기서 $n_i$는 $\boldsymbol{n}$의 $\boldsymbol{e}_i$ 방향 성분이다. 행렬 $(\sigma_{\boldsymbol{x}ij})_{i,j}$를 연속체의 응력 텐서라고 한다.

연속체가 변형될 때, 처음에 점 $\boldsymbol{x}$에 있던 입자가 $t$초 후에 $\phi_t(\boldsymbol{x})$로 이동했다고 하면,

:

\boldsymbol{r}= \boldsymbol{r}(\boldsymbol{x},t):=\phi_t(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{x}

:를 변위 벡터라고 한다. 야코비 행렬

:

D=\left({\partial r_i\over\partial x_j}\right)_{i,j}

:를 변형 텐서라고 한다.

변형 텐서를 대칭 부분과 비대칭 부분으로 나누어

:

\begin{array}{ll}E_{ij}&={1\over 2}(D_{ij}+D_{ji})\\F_{ij}&={1\over 2}(D_{ij}-D_{ji})\end{array}

:대칭 부분 $E_{ij}$를 변형률 텐서라고 한다.

변형률 텐서의 대각 성분 $E_{ii}$를 신축 변형, 반대각 성분을 전단 변형이라고 하며, 신축 변형의 총합

:

\sum_iE_{ii}=\nabla\cdot \boldsymbol{r}

:를 체적 변형이라고 한다.

반대칭 부분 $F_{ij}$는

:

F_{ij}=-F_{ji}

、

F_{ii}=0

:이다.

:

\Omega=(\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})

:라고 정의하면,

:

\Omega=\nabla\times\boldsymbol{r}

:이다. $\Omega$를 회전 또는 회전 벡터라고 한다.

이 텐서들은 변형 시작 시각 $t_0$에서의 위치 $\boldsymbol{x}$와 현재 시각 $t$의 함수이므로, 시간 미분한 양을 계산할 수 있다.

:

\begin{array}{ll}\left.{ \partial D_{ij}\over \partial t}\right|_{t=t_0}= \left.{\partial\over\partial t}{\partial r_i\over\partial x_j}\right|_{t=t_0}= {\partial v_i\over\partial x_j} \\\left.{ \partial E_{ij}\over \partial t}\right|_{t=t_0}={1\over 2} \left({\partial v_i\over\partial x_j}+ {\partial v_j\over\partial x_i}\right)\\\left.{ \partial \Omega\over \partial t}\right|_{t=t_0}=\nabla\times \boldsymbol{v}\end{array}

:가 성립한다. 여기서 $\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)$는 속도 벡터이다.

${\partial v_i\over\partial x_j} $를 변형 속도 텐서, ${1\over 2} \left({\partial v_i\over\partial x_j}+ {\partial v_j\over\partial x_i}\right) $를 변형률 속도 텐서, $\nabla\times \boldsymbol{v}$를 와도(vorticity)라고 한다.

변형률 속도 텐서의 대각 성분을 신축 변형 속도, 비대각 성분을 전단 변형 속도라고 한다.

11. 연속체가 만족하는 방정식 (일본어 문서)

연속체의 거동은 기본 방정식이라고 불리는 미분 방정식으로 기술된다. 기본 방정식은 모든 연속체가 만족하는 보존 법칙과 연구 대상인 물질 고유의 구성 방정식으로 구성된다.

유체에서는 크누센 수를 통해 연속체 가정이 얼마나 성립하는지 평가할 수 있다.

질량 보존, 운동량 보존 및 에너지 보존 방정식은 기본적인 물리 법칙을 나타내는 미분 방정식의 예시이다.

11. 1. 연속 방정식

연속체를 공간 표기했을 때, 시점

t

에서의 공간상의 점

\boldsymbol{x}

에서의 연속체의 밀도를

\rho = \rho(\boldsymbol{x},t)

라고 한다.

공간 내의 영역

V

를 생각하고,

V

의 경계

\partial V

상의 미소 면

\mathrm{d}S

와 그 법선 벡터

\boldsymbol{n}

에 대해, 미소 시간

\Delta t

에

\mathrm{d}S

에서

V

의 밖으로 유출되는 입자의 총 질량은

\rho\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta t\mathrm{d}S

이므로, 공간 내의 영역

V

의 질량의

\Delta t

초 동안의 증가량은 질량 보존의 법칙에 의해,

:

\int_V {\partial \rho \over {\partial t}}\Delta t \mathrm{d}V=-\int_{\partial V} \rho\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\Delta t\mathrm{d}S= -\int_V \nabla \cdot( \rho\boldsymbol{v}) \Delta t \mathrm{d}V

이다. 여기서 두 번째 등호는 가우스 발산 정리에 의해 따른다.

V

의 임의성에 의해, 연속체는 다음의 '''연속 방정식'''을 만족해야 함이 결론지어진다.

:

{\partial \rho \over {\partial t}} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0

물질 미분을 사용하면 연속 방정식은

:

{\mathrm{D} \rho \over {\mathrm{D} t}} + \rho\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0

라고도 쓸 수 있다.

11. 2. 운동 방정식

운동량 보존의 법칙에 따르면 다음이 성립한다.

:(단위 시간당 임의의 영역에 작용하는 충격량의 총합)

:= (단위 시간당 영역에서 유출되는 운동량의 총합)

:+(단위 시간당 영역에 작용하는 체적력에 의한 충격량)

:+(단위 시간당 영역의 경계에 작용하는 면적력에 의한 충격량)

위 식을 전개하면 연속체의 운동 방정식을 유도할 수 있다.

연속체의 점

\boldsymbol{x}

에서 시각

t

에서의 밀도를

\rho(\boldsymbol{x}, t)

, 속도 벡터를

\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}, t)

라고 하면,

:(단위 시간당 영역

V

에 작용하는 충격량의 총합)

= \int_V \frac{\partial(\rho \boldsymbol{v})}{\partial t}\mathrm{d}V

:(단위 시간당 영역

V

에서 유출되는 운동량의 총합)

= \int_V {}^t(\nabla\cdot(\rho v_1 \boldsymbol{v}), \nabla\cdot(\rho v_2 \boldsymbol{v}), \nabla\cdot(\rho v_3 \boldsymbol{v})) \mathrm{d}V

(가우스 발산 정리에 의함,

\boldsymbol{v} = (v_1, v_2, v_3)

)

:(단위 시간당 영역

V

에 작용하는 체적력에 의한 충격량)

= \int_V \rho \boldsymbol{K} \mathrm{d}V

(

\boldsymbol{K} = (K_1, K_2, K_3)

는 체적력)

:(단위 시간당 영역

V

의 경계에 작용하는 면적력에 의한 충격량)

= \int_V {}^t(\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_1,\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_2,\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_3)\mathrm{d} V

(

\boldsymbol{\sigma}_i=(\sigma_{i,1}, \sigma_{i,2}, \sigma_{i,3})

, 가우스 발산 정리에 의함)

영역

V

의 임의성으로부터, 연속체의 운동 방정식은 다음과 같다:

:

i = 1, 2, 3

에 대해,

\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial t} = \nabla\cdot(\rho v_i \boldsymbol{v}) +  \rho K_i + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}_i

텐서

\varepsilon = (\varepsilon_{ij})_{ij}

에 대해

\overrightarrow{\operatorname{div}}\varepsilon=(\sum_j{\partial \varepsilon_{ij}\over \partial x_j})_i

로 정의하면, 위 방정식은 다음과 같이 표현 가능하다.

:

\frac{\partial(\rho \boldsymbol{v})}{\partial t} = \overrightarrow{\operatorname{div}}(\rho \boldsymbol{v}\otimes \boldsymbol{v}) +  \rho \boldsymbol{K} + \overrightarrow{\operatorname{div}} \sigma

위 운동 방정식과 연속 방정식을 사용하면, 운동 방정식의 물질 미분에 의한 표현을 얻을 수 있다:

:

\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} =   \boldsymbol{K} + \frac{1}{\rho} \overrightarrow{\operatorname{div}} \sigma

각운동량이 보존되는 경우, 탄성체의 각 점

\boldsymbol{x}

에서 응력 텐서는 대칭성을 만족한다.

:임의의

i, j \in \{1, 2, 3\}

에 대해

\sigma_{\boldsymbol{x},ij}= \sigma_{\boldsymbol{x},ji}

12. 연속체의 분류 (일본어 문서)

연속체 역학에서 다루는 대상은 크게 탄성체, 소성체, 그리고 유체로 나눌 수 있다.

'''탄성체'''는 힘이 가해졌을 때 변형되었다가 힘이 사라지면 원래 모양으로 돌아오는 성질을 가진 물체를 말한다. 특히, 응력과 변형 사이에 선형적인 관계가 성립하는 경우를 '''선형 탄성체'''라고 하며, 이 관계를 '''훅의 법칙'''이라고 부른다.^[6]

'''소성체'''는 힘이 일정 수준을 넘어서면 영구적인 변형이 일어나 원래 모양으로 돌아오지 않는 물체를 말한다. 탄성체와 달리, 소성체는 힘을 가할 때와 제거할 때 변형 관계가 다른 '''히스테리시스'''(탄성 이력) 현상을 보인다.^[6]

'''유체'''는 정지 상태에서 어떤 점에서도 접선 응력이 0인 연속체를 말한다. 즉, 모양이 고정되어 있지 않고 흐를 수 있는 물질을 의미한다. 정지 상태의 유체에서는 법선 방향으로 작용하는 응력인 '''정수압'''만이 존재하며, 이 정수압은 위치에만 의존하고 방향에는 의존하지 않는다.^[6]

정수압이 양수이면 압력, 음수이면 장력이 된다.
기체나 열평형 상태의 액체에서는 정수압이 항상 양수이지만, 준 열평형 상태의 액체에서는 음수(부압)가 될 수도 있다. 부압은 수목의 수액 흡수나 땅의 동상 현상에서 관찰된다.^[6]

유체는 운동 상태에서 접선 응력의 발생 여부에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

'''완전 유체''' (비점성 유체): 운동 상태에서도 접선 응력이 발생하지 않는 유체이다. 오일러 시대에는 모든 유체가 완전 유체로 간주되었으나, 이는 막대기를 꽂아도 저항이 없다는 달랑베르의 역설을 낳았다.^[6]
'''뉴턴 유체''': 운동 상태에서 응력이 변형 속도에 비례하는 유체이다.
'''비뉴턴 유체''': 뉴턴 유체가 아닌 유체를 말한다. 즉, 운동 상태에서 응력과 변형 속도의 관계가 선형적이지 않은 유체이다.^[6]

뉴턴 유체의 경우, 응력은 다음과 같이 표현된다.^[6]

:

\sigma_{ij}= (-p+\zeta\sum_{k} \dot{E}_{kk})\delta_{ij}+2\eta \dot{E}_{ij}

여기서,

는 '''전단 점성률'''(또는 점성률)
는 '''제2 점성률'''
(+ (2/3))는 '''체적 점성률'''

이다.

이면 완전 유체(비점성 유체)가 된다.^[6]

복잡한 분자 구조를 가진 고분자 물질의 경우, 응력과 변형에 시간적인 차이가 발생하여 '''지연 탄성'''이나 '''응력 완화'''와 같은 현상이 나타나기도 한다.^[6]

연속체 역학의 분류
종류	설명
탄성체	힘이 사라지면 원래 모양으로 복귀
선형 탄성체	응력과 변형이 선형 관계 (훅의 법칙)
소성체	힘이 일정 수준을 넘으면 영구 변형 (탄성 이력 현상)
유체	정지 상태에서 접선 응력이 0 (흐를 수 있는 물질)
완전 유체 (비점성 유체)	운동 상태에서도 접선 응력이 없음 (달랑베르의 역설)
뉴턴 유체	응력이 변형 속도에 비례
비뉴턴 유체	응력과 변형 속도 관계가 비선형

참조

_[1] 서적 連続体力学入門朝倉書店 2000-02-20
_[2] 서적 流体力学朝倉書店 1992-12-10
_[3] 서적 流体解析ハンドブック共立出版 1998-03-20
_[4] 서적 新物理学シリーズ21 流体力学培風館 1982-04-15
_[5] 서적 流体力学東京大学出版 2001-09-06
_[6] 서적 流体力学（前編）裳華房 1973-11-25
_[7] 웹사이트 한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.k[...]

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