장 (물리학)

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1. 개요

장(물리학)은 물리학에서 힘을 설명하는 데 사용되는 개념으로, 18세기 중력장 개념 도입 이후 전자기학 발전을 통해 독립적인 물리적 실체로 자리 잡았다. 1920년대 양자역학의 발전과 함께 양자장론이 등장하여 모든 입자를 양자장의 양자로 이해하게 되었으며, 이는 표준 모형 형성에 기여했다. 장은 스칼라, 벡터, 텐서, 스피너 등으로 표현되며, 시공간 대칭성과 내부 대칭성을 가진다. 장이론은 고전장론과 양자장론으로 나뉘며, 고전장은 재료의 탄성, 유체역학, 맥스웰 방정식 등에, 양자장은 입자물리학, 핵력, 전자기력, 중력 등을 설명하는 데 사용된다.

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장 (물리학)
개요
유형	고전적 및 상대론적 장론
설명	공간과 시간의 각 지점에서 값을 갖는 물리량
상세 정보
관련 개념	힘, 입자, 파동
관련 분야	물리학

2. 역사

아이작 뉴턴의 만유인력의 법칙은 모든 질량 물체 쌍 사이에 작용하는 중력 힘을 표현했다. 그러나 태양계 행성처럼 상호작용하는 물체가 많을 경우, 각 쌍 사이의 힘을 개별적으로 계산하는 것은 불편했다. 18세기에 이 모든 중력을 정리하기 위해 중력장이라는 새로운 양이 고안되었는데, 이는 공간 각 지점에서 작은 물체가 느낄 총 중력 가속도를 제공했다. 이는 물리학을 바꾸지 않았지만, 계산을 더 편리하게 만들었다.^[11]

19세기에는 전자기학 이론이 발전하면서 장의 독립적인 개념이 시작되었다. 초기에는 앙드레-마리 앙페르와 샤를-오귀스탱 드 쿨롱이 전하 또는 전류 쌍 사이의 힘을 표현하는 뉴턴 방식의 법칙을 사용했다. 그러나 전기장과 자기장으로 표현하는 장 접근 방식이 더 자연스러워졌다. 1845년 마이클 패러데이는 "자기장"이라는 용어를 처음 만들었고,^[12] 1851년 로드 켈빈은 장에 대한 공식적인 정의를 제공했다.^[13]

제임스 클러크 맥스웰은 전자기파(전자기장의 파동)가 유한한 속도로 전파된다는 것을 발견하여 장의 독립적인 성격을 더 분명하게 했다. 이에 따라 전하와 전류에 대한 힘은 다른 전하와 전류의 현재 위치와 속도뿐만 아니라 과거의 위치와 속도에도 의존하게 되었다.^[11]

맥스웰은 처음에는 장을 독립적인 존재로 받아들이지 않고, 광원 에테르와 같은 근본적인 매질의 변형으로 생각했다. 그러나 에테르에 대한 실험적 증거는 발견되지 않았다. 1905년 알베르트 아인슈타인의 특수 상대성 이론은 움직이는 관찰자의 관점을 연결하는 방식을 바꿔, 맥스웰 이론에서 전자기파 속도가 모든 관찰자에게 동일하도록 만들었다. 배경 매질의 필요성이 없어지면서 물리학자들은 장을 독립적인 실체로 생각하기 시작했다.^[11]

1920년대 후반, 양자역학의 새로운 규칙이 전자기장에 적용되었다. 1927년 폴 디랙은 양자장을 사용하여 원자가 낮은 양자 상태로 붕괴될 때 광자(전자기장의 양자)를 자발적 방출하는 방식을 설명했다. 이후 여러 물리학자들의 연구를 통해 모든 입자를 양자장의 양자로 이해할 수 있게 되었고, 장은 자연에서 가장 근본적인 대상이 되었다.^[11] 존 아치볼드 휠러와 리처드 파인만은 뉴턴의 장 이전 개념인 원거리 작용 (물리학)을 고려하기도 했으나, 일반 상대성 이론과 양자 전기역학 연구에 장 개념이 유용하여 이 논의는 보류되었다.

2. 1. 초기 장 이론

힘과 물질에 대한 고찰에서부터 장의 개념이 시작되었다.^[31] 보스코비치는 힘과 물질의 개념을 분리할 필요가 없으며, 원자는 힘의 중심으로써 작용하는 위치를 나타내는 한 점에 불과하다고 주장하였다.^[32] 그는 한 물체와 그 물체에 힘을 작용하는 다른 물체 사이의 공간은 힘을 전달하는 어떠한 것으로 채워져 있다고 보았고, 이것을 장(場, field)이라고 불렀다.^[32]

패러데이는 전기와 자기를 연구하면서 역선(力線)을 도입하여 장 개념을 시각적으로 이해하기 쉽게 만들었다.^[33] 역선은 공간상 각 지점에서의 힘의 방향을 나타내고, 역선의 상대적인 수는 힘의 세기를 나타내었다.^[34] 패러데이의 역선은 공간의 물리학적 특성을 명쾌하게 보여주었으며, 하나의 입자에서보다 복잡한 입자의 배열, 혹은 전자기의 각종 현상에 대한 직관적인 이해를 가능하게 했다. 장의 개념은 물질의 인력과 척력을 뛰어 넘어 훨씬 복잡한 힘의 개념인 전기력과 자기력에서 보다 분명해졌다.^[31]

패러데이는 전자기력선으로부터 공간의 한 점에서 인접하는 다른 점으로 영향을 전파하는 장의 개념을 발전시켰다. 그는 물리적 역선을 공간을 통해 효과를 전달하기 위한 메커니즘이라 생각하고, 서로 영향을 미친다고 했다. 이를 설명하기 위해 빛의 에테르설을 제안하였고, 빛의 전자기파 이론의 모습이 드러났다.^[33] 이러한 장이론 관점에서의 기본적인 메커니즘은 원거리에서의 즉각적인 작용과 반대되는 것이었다.

윌리엄 톰슨은 패러데이의 전기적 매질 개념에 처음으로 수학적 신뢰를 부여한 사람이다.^[35] 톰슨은 정전기 문제에서의 역선을 무한 고체에서의 열 흐름선과 수학적으로 동등하게 설명하였고, 이는 후에 맥스웰의 이론 발전 토대가 되었다.^[35]

2. 2. 맥스웰의 전자기장 이론

패러데이가 도입한 전자기력선 개념은 맥스웰에 의해 수학적으로 확장되었다. 맥스웰은 패러데이가 발견한 전기장과 자기장의 상호작용을 수학적 토대 위에서 연구하여, 장에서의 변화가 매우 빠르지만 유한한 광속으로 전달된다는 결론을 도출했다.^[35] 이는 전하가 움직이거나 사라질 때, 그 변화의 효과가 멀리 떨어진 전하에 즉각적으로 전달될 수 없음을 의미한다. 즉, 두 물체의 상호작용에서 한 물체의 변화에 의한 힘의 효과는 일시적으로 다른 물체가 느끼지 못하며, 이는 일시적으로나마 전기력이 뉴턴의 제3법칙에 위배됨을 뜻한다. 또한, 두 입자가 동시에 움직이면 운동량도 보존되지 않는다. 아인슈타인의 상대성 이론은 이러한 현상을 설명하는 이론이다.^[35]

맥스웰은 패러데이의 장 개념이 중요한 물리적 의미를 지닌다고 보고, 전자기장에 대해 "에테르의 소용돌이와 의역학적인 모델"^[35]을 제시했다. 하지만 그는 이 모델을 실제 물리적 존재가 아닌 일시적인 해설 도구로 생각했다.^[36] 그는 모델을 통해 전류와 전기변위에 대한 이론을 유도하고 개념을 구체화했다. 1864년, 맥스웰은 맥스웰 방정식에 도달했다.^[37] 맥스웰 방정식을 풀면, 장과의 상호작용에 의해 전기장과 자기장의 변화는 전자기파가 되어 공간을 진행하며, 그 속도가 이론적으로 빛의 속도와 일치함을 보였다. 이를 통해 빛도 전자기파의 일종이라는 빛의 전자파설이 제시되었다.^[38] 이러한 가설이 점차 증명되면서, 장의 개념은 설명을 위한 수학적 개념에서 물리학적으로 '존재하는' 개념으로 바뀌게 되었다.^[31]

2. 3. 에테르 논쟁과 아인슈타인의 상대성 이론

마이컬슨-몰리 실험은 앨버트 에이브러햄 마이컬슨과 에드워드 몰리가 에테르의 존재를 확인하기 위해 수행한 실험이다.^[40] 이들은 지구의 운동 방향과 그에 수직한 방향에서의 광속을 측정하여 지구의 절대 운동을 증명하려 했다. 그러나 실험 결과, 광속은 어느 방향에서나 동일하게 측정되었으며, 이는 에테르 가설과 모순되는 결과였다.^[40] 이 실험은 아인슈타인의 상대성 이론의 중요한 기초가 되었다.

헨드릭 로런츠는 제임스 클러크 맥스웰의 전자기장 이론을 발전시켜 전자론을 제시했다.^[35] 그는 전자기 현상이 전하를 띤 입자, 즉 전자의 운동으로 발생한다고 보았으며, 전자기장은 물질이 아닌 공간 자체의 속성으로 간주했다.^[35]

아인슈타인은 상대성 이론을 통해 시간과 공간에 대한 새로운 이해를 제시했다.^[35] 그는 서로 다른 관성계에서 전기장과 자기장 사이의 관계를 분석하여, 이 둘을 통합된 전자기장으로 묘사했다.^[35] 또한, 마이컬슨-몰리 실험의 결과를 바탕으로 빛의 속도는 관찰자의 운동 상태와 무관하게 일정하다는 것을 밝혔다.

2. 4. 양자장론의 등장과 발전

전자기학에서 놀라운 성과를 거둔 장이론은 이후 중력, 핵력과 같은 힘들에도 적용되기 시작했다. 장이론은 원격 작용 힘에 대한 난해한 부분을 장이라는 개념을 통해 그 필연성을 부여하였고, 더 섬세한 수학적 접근을 가능하게 해 주었다. 아인슈타인의 일반상대성이론은 중력을 설명하는데, 이는 장이론의 한 예이다. 중력에서의 대표적인 장은 시공간에서의 계량 텐서이다.^[11] 또한 장을 표현하는데 전통적인 관다발과는 다른 개념이 등장하기도 하였다. 양자역학의 발전으로 장을 기술하는 양자 이론인 양자장론이 탄생하였으며, 이는 주로 특수상대성이론과 양자역학을 결합한 이론이었다. 장은 BCS 이론, BRST 이론 등 다양한 물리 이론에서 사용되었으며, 정교한 수학적 토대 위에 발전하였다. 장이론은 후에 표준모형의 형성에도 중요한 개념이 된다.^[11]

양자장론은 현재 양자역학이 모든 물리 현상의 기초가 되어야 한다는 믿음에 따라 고전장론을 양자역학적 용어로 재구성하여 만들어졌다. 예를 들어, 양자화된 고전 전자기학은 양자 전기역학을 생성한다. 양자 전기역학은 가장 성공적인 과학 이론으로 여겨지며, 실험 데이터는 다른 어떤 이론보다 높은 정밀도로 그 예측을 확인한다.^[21] 다른 두 가지 기본적인 양자장론은 양자 색역학과 전약력 이론이다.

양자 색역학에서, 색장 선은 짧은 거리에서 글루온에 의해 결합되며, 이 글루온은 장에 의해 편광되어 장과 정렬된다. 이 효과는 짧은 거리 내에서 증가하여 (쿼크 근처에서 약 1 fm 내에서) 짧은 거리 내에서 색력이 증가하여 쿼크를 하드론 내에 가둔다. 장 선이 글루온에 의해 단단히 당겨지기 때문에, 전하 간의 전기장만큼 밖으로 "활"처럼 굽어지지 않는다.^[22]

이 세 가지 양자장론은 모두 입자물리학의 소위 표준 모형의 특수한 경우로 유도될 수 있다. 아인슈타인의 중력장 이론인 일반 상대성 이론은 아직 성공적으로 양자화되지 않았다. 그러나 확장된 열적 장론은 양자장론에서 거의 고려되지 않는 ''유한 온도''에서의 양자장론을 다룬다.

BRST 이론에서 홀수 장, 예를 들어 파데예프-포포프 유령을 다룬다. 등급 다양체와 초다양체 모두에서 홀수 고전장의 다양한 설명이 있다.

양자장을 지배하는 방정식은 실제로 편미분 방정식 (PDE) (구체적으로, 상대론적 파동 방정식 (RWEs))이다. 따라서 양-밀스장, 디랙장, 클라인-고든장 및 슈뢰딩거장을 각 방정식의 해라고 할 수 있다.

장의 역학을 기술하는 이론을 場の理論(장의 이론)이라고 통칭한다. 일반적으로 이는 장의 라그랑지안 또는 해밀토니안을 기술하고, 그것을 무한 자유도의 계의 고전역학 또는 양자역학으로 다루는 것으로 이루어진다. 수학적인 도구 또는 물리적인 배경에서, 양자역학에 기반한 場の理論(장의 이론)을 양자장론이라고 부르고, 그 외의 고전역학에 기반한 이론을 고전장론이라고 구분하기도 한다.

양자장론은 고전장론을 포함하는 이론이지만, 고전장론은 양자역학 효과가 나타나지 않는 영역에서는 여전히 매우 유용하며, 현재도 연구가 활발한 영역이다. 물질의 탄성, 유체역학 및 맥스웰 방정식의 영역이 그렇다.

3. 장의 표현

수학적 관점에서 장은 다음과 같이 분류할 수 있다.

스칼라장: 물리적 장의 가장 간단한 형태이다. 각 지점마다 하나의 숫자(스칼라)를 갖는 장을 의미한다. 예를 들어 공간상의 온도 분포는 스칼라장이다.
벡터장: 각 지점마다 숫자 대신 하나의 벡터가 부여된 장을 의미한다. 주로 속도, 흐름, 힘과 같은 물리적 개념을 표현하는데 사용되며, 스칼라장의 변화를 나타내기도 한다.^[42] 예를 들어 지상에서 바람이 부는 방향 및 세기는 벡터장으로 나타낼 수 있다.^[41]
텐서장: 각 위치에 텐서가 부여된 장을 말한다. 예를 들어 크리스탈의 스트레스 텐서가 있다.
스피너장: 각 위치에 스피너가 부여된 장을 말한다. 양자 이론에 많이 쓰인다.

이러한 분류는 좌표계의 변화에 대해 각각의 위치에 부여되어 있는 속성이 대칭을 어떻게 이루는지를 나타낸다. 스칼라장은 시공간 변화에도 값이 각 지점마다 고유하게 정해져 있으며, 다른 장들의 각 요소는 서로 변환된다.

3. 1. 스칼라장

Scalar field^영어은 각 지점마다 하나의 스칼라 값을 갖는 장으로, 온도 분포 등이 그 예시이다. 좌표계 변환에 불변하는 특징을 지닌다.

3. 2. 벡터장

에테르 개념은 패러데이의 장 개념 구축에 중요한 원리였다. 그러나 마이컬슨-몰리 실험 등에서 에테르의 존재가 부정되면서, 장을 설명하는 이론은 계속 발전하였다. 제임스 클러크 맥스웰과 헨드릭 로런츠는 원거리 작용 대신 공간에 존재하는 장과 하전입자에 기초한 이론을 제시했다. 아인슈타인은 시간과 공간에 대한 고찰, 서로 다른 관성계에서 전기장과 자기장의 관계를 파악하여 전자기장을 통합적으로 묘사했다.^[35]

전자기학에서 성과를 거둔 장이론은 중력, 핵력 등 다른 힘에도 적용되기 시작했다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력을 계량 텐서라는 장으로 설명한다. 양자역학의 발전으로 양자장론이 탄생하여 특수 상대성 이론과 양자역학을 결합했다. 장은 BCS 이론, BRST 이론 등 다양한 물리 이론에서 사용되었고, 표준 모형 형성에도 중요한 개념이 되었다.

4. 장이론

에테르 개념은 패러데이가 장의 개념을 구축하는 데 중요한 역할을 했다. 그러나 에테르는 광학 현상에서는 물체와 상호작용하지만, 역학 현상에서는 상호작용하지 않는다는 문제가 있었다.^[39] 마이컬슨-몰리 실험을 통해 에테르의 존재가 부정되었고, 이는 아인슈타인의 상대성 이론의 기초가 되었다.^[40]

제임스 클러크 맥스웰과 헨드릭 로런츠는 아인슈타인의 이론 발전에 큰 영향을 준 과학자들이다.^[35] 로런츠는 전자기장을 물질이 아닌 공간 자체의 속성으로 보았다.^[35] 아인슈타인은 시간과 공간에 대한 고찰과 서로 다른 관성계에서의 전기장과 자기장 사이의 관계를 통해 전자기장에 대한 통합된 설명을 제시했다.^[35]

이후 장 이론은 중력, 핵력과 같은 힘에도 적용되기 시작했다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력을 계량 텐서를 이용한 장 이론으로 설명한다. 양자역학의 발전으로 양자장론이 탄생했으며, 이는 특수 상대성 이론과 양자역학을 결합한 이론이다. 장 이론은 표준 모형 형성에도 중요한 개념이 되었다.

수학적으로 장은 다음과 같이 분류할 수 있다.

스칼라장: 각 지점에 하나의 숫자(스칼라)를 갖는 장이다. 예를 들어 공간상의 온도 분포가 있다.
벡터장: 각 지점에 벡터가 부여된 장이다. 속도, 흐름, 힘 등을 표현하는 데 사용된다.

텐서장: 각 위치에 텐서가 부여된 장이다.
스피너장: 각 위치에 스피너가 부여된 장으로, 양자 이론에 많이 쓰인다.

장의 이러한 분류는 좌표계 변화에 대한 대칭성을 나타낸다. 스칼라장은 시공간 변화에도 값이 고유하며, 다른 장들은 각 요소가 서로 변환된다.

장 이론은 일반적으로 장의 역학, 즉 시간 또는 다른 독립 변수에 따른 장의 변화를 설명한다. 이는 장의 라그랑지안 또는 해밀턴을 작성하고, 이를 무한 자유도를 가진 고전적 또는 양자역학적 시스템으로 취급함으로써 수행된다.

4. 1. 고전장

고전장론은 양자역학적 특성이 나타나지 않는 영역에서 유용하며, 재료의 탄성, 유체역학, 맥스웰 방정식 등이 그 예시이다.

마이클 패러데이는 자기학 연구를 통해 장(field)의 중요성을 처음으로 인식했다. 그는 전기장과 자기장이 입자의 운동을 지배하는 힘의 장일 뿐만 아니라 에너지를 전달하기 때문에 독립적인 물리적 실체임을 깨달았다. 이러한 생각은 제임스 클러크 맥스웰에 의해 전자기장 방정식을 도입하여 물리학에서 최초의 통일장 이론을 만들도록 이끌었다. 이 방정식의 현대적 버전은 맥스웰 방정식이라고 불린다.

장의 구체적인 예로, 전자기장 (전장과 자장)이나 중력장 등이 있다. 장은 공간 전체에 걸쳐 퍼져 있다고 생각하지만, 실제로는 원거리에서 모든 알려진 장의 강도는 감지할 수 없을 정도로 약해진다. 예를 들어, 뉴턴의 중력 이론에서는 중력장의 강도가 중력에 의해 끌어당기는 물체로부터 거리의 제곱에 반비례한다. 따라서 지구의 중력장은 우주 규모에서 곧 감지할 수 없게 된다.

장을 "공간 속의 수"로 정의할 때, 장은 물리적 실체를 가진 것으로 간주된다. “장은 공간을 점유하고, 에너지를 포함하며, 그 존재는 진공을 배제한다.^[26] 진공은 물질이 없는 상태이지만, 장은 존재한다. 장은 “공간 내의 상태"를 만듦으로써, 그 안에 입자가 놓였을 때, 입자는 힘을 느낄 수 있다.”

존 휠러와 리처드 파인만은 뉴턴의 원격 작용 개념을 검토했지만, 일반 상대성 이론과 양자 전기역학 연구를 위해 장의 개념이 당분간 유효하여 원격 작용 검토는 뒤로 미루었다.

전자기장은 운동량과 에너지를 가질 수 있다는 사실은 장을 매우 현실적인 것으로 만들며, 입자는 장을 만들고 그 장은 다른 입자에 작용한다. 그리고 장은 입자가 가지는 성질과 마찬가지로 에너지나 운동량이라는 친숙한 성질을 가진다.

장의 역학을 기술하는 이론을 장의 이론이라고 통칭한다. 일반적으로 이는 장의 라그랑지안 또는 해밀토니안을 기술하고, 그것을 무한 자유도의 계의 고전역학 또는 양자역학으로 다루는 것으로 이루어진다. 수학적인 도구 또는 물리적인 배경에서, 양자역학에 기반한 장의 이론을 양자장론이라고 부르고, 그 외의 고전역학에 기반한 이론을 고전장론이라고 구분하기도 한다.

물리학에서, 중력 상호작용이나 전자기 상호작용 등, 기본 상호작용으로 여겨지는 상호작용이 몇 가지 존재하며, 이에 대응하는 장의 이론이 연구되고 있다. 통일장 이론은 중력을 제외한 여러 장을 통일적으로 설명하는 이론을 가리킨다. 물리학의 기초 연구에서 하나의 목표는 그러한 통일장 이론을 얻는 것이다.

4. 1. 1. 비 상대론적 고전장

에테르 개념은 패러데이가 장의 개념을 구축하는 데 중요한 역할을 했다. 그러나 에테르는 광학 현상에서는 물체와 상호작용하지만, 역학 현상에서는 상호작용하지 않는다는 문제가 있었다.^[39] 마이컬슨-몰리 실험을 통해 에테르의 존재가 부정되었고, 이는 아인슈타인의 상대성 이론의 기초가 되었다.^[40]

제임스 클러크 맥스웰과 헨드릭 로런츠는 아인슈타인의 이론 발전에 큰 영향을 준 과학자들이다.^[35] 로런츠는 전자기장을 물질이 아닌 공간 자체의 속성으로 보았다.^[35] 아인슈타인은 시간과 공간에 대한 고찰과 서로 다른 관성계에서의 전기장과 자기장 사이의 관계를 통해 전자기장에 대한 통합된 설명을 제시했다.^[35]

이후 장 이론은 중력, 핵력과 같은 힘에도 적용되기 시작했다. 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력을 계량 텐서를 이용한 장 이론으로 설명한다. 양자역학의 발전으로 양자장론이 탄생했으며, 이는 특수 상대성 이론과 양자역학을 결합한 이론이다. 장 이론은 표준 모형 형성에도 중요한 개념이 되었다.

수학적으로 장은 다음과 같이 분류할 수 있다.

-|]]|섬네일|스칼라장은 주로 색깔로 나타내어진다]]
스칼라장: 각 지점에 하나의 숫자(스칼라)를 갖는 장이다. 예를 들어 공간상의 온도 분포가 있다.
벡터장: 각 지점에 벡터가 부여된 장이다. 속도, 흐름, 힘 등을 표현하는 데 사용된다.
-|]]|섬네일|벡터장]]
텐서장: 각 위치에 텐서가 부여된 장이다.
스피너장: 각 위치에 스피너가 부여된 장으로, 양자 이론에 많이 쓰인다.

고전장론은 재료의 탄성, 유체역학, 맥스웰 방정식 등에서 여전히 유용하게 사용된다.

뉴턴 중력은 두 질량 사이의 상호 작용으로 중력을 설명하는 고전적인 장 이론이다. 질량 ''M''을 가진 물체의 중력장 '''g'''는 공간의 점 '''r'''에서 시험 질량 ''m''에 작용하는 힘 '''F'''와 시험 질량의 비율로 정의된다.^[14]

:

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m}.

뉴턴의 만유인력의 법칙에 따라,

:

\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^2}\hat{\mathbf{r}},

여기서

\hat{\mathbf{r}}

은 ''M''에서 ''m''을 가리키는 단위 벡터이다. 따라서 ''M''의 중력장은 다음과 같다.^[14]

:

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.

등가 원리는 중력장 세기가 입자가 경험하는 가속도와 동일하다는 것을 보여주며, 이는 일반 상대성 이론의 시작점이 되었다.

중력 '''F'''가 보존력이므로, 중력장 '''g'''는 스칼라 함수인 중력 퍼텐셜 Φ('''r''')의 구배로 표현할 수 있다.

:

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\nabla \Phi(\mathbf{r}).

4. 1. 2. 상대론적 고전장

상대성 이론을 기반으로 하는 고전장 이론은 로런츠 변환을 거쳐 수학적으로 엄밀하게 정립되었다. 이 이론은 라그랑지안을 이용하여 장 방정식을 유도하는 과정을 포함한다.

마이클 패러데이는 자성 연구를 통해 장의 물리적 중요성을 처음으로 인식했다. 그는 전기장과 자기장이 입자 운동을 결정하는 힘의 장일 뿐만 아니라, 에너지도 축적하는 독립적인 물리적 실체라고 생각했다.

이러한 생각은 제임스 클러크 맥스웰의 전자기장 방정식 유도로 이어져, 물리학 최초의 통일장 이론으로 결실을 맺었다. 이 방정식의 현대적 형태는 맥스웰 방정식으로 불린다. 19세기 말에는 전자기장이 공간상의 두 벡터장 집합으로 이해되었지만, 현재는 시공간 내 하나의 2계 반대칭 텐서장으로 이해된다.

아인슈타인의 중력 이론인 일반 상대성 이론은 또 다른 고전장 이론이다. 여기서의 기본 장은 시공간 내의 2계 대칭 텐서장인 계량 텐서이다.

일반적으로 고전장은 파이버 다발의 절단으로 기술되며, 그 역학은 제트 다발 (공변 고전장 이론)의 관점에서 형식화된다.^[27]

BRST 형식화에서는 고스트장과 같은 기수의 장이 다루어진다. graded manifold와 supermanifold의 다양체 상에서 기수장의 다양한 기술이 존재한다.

열적으로 요동하는 고전장은 어느 점에서도 미분 불가능하므로, 유한 온도의 고전장을 정확하게 다루기 위해서는 연속적인 Random field 방법을 사용할 필요가 있다.

4. 2. 양자장

양자역학의 발전으로 특수상대성이론과 양자역학을 결합한 양자장론이 탄생했다. 양자장론은 장을 기술하는 양자 이론이며, 입자를 장의 들뜸으로 해석한다.

양자화된 고전 전자기학인 양자 전기역학은 가장 성공적인 과학 이론 중 하나로 평가받는다. 실험 데이터는 양자 전기역학의 예측이 다른 어떤 이론보다 높은 정밀도를 갖는다는 것을 보여준다.^[21] 양자 색역학과 전약력 이론 또한 중요한 양자장론이다. 이 세 가지 양자장론은 모두 입자물리학의 표준 모형의 특수한 경우로 유도될 수 있다.

4. 2. 1. 양자장론에서의 중력장

아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력을 설명하는 장 이론의 한 예시이다. 여기서 주된 장은 계량 텐서로, 시공간에서 대칭적인 2차 텐서장이다. 이는 뉴턴의 만유인력의 법칙을 대체한다.

4. 2. 2. 양자장이론에서의 전자기장

전자기학에서 괄목할 만한 성과를 이룬 장이론은 양자역학의 발전과 함께 양자장론으로 발전하였다. 양자장론은 주로 특수상대성이론과 양자역학을 결합한 이론으로, 전자기장의 기본적인 구성 요소인 광자를 설명한다. 광자는 전자기력의 전령 입자로서 역할을 하며, 상대성이론적 관점에서 전기장과 자기장은 통합적으로 묘사된다.

4. 2. 3. 핵력장

양자 색역학에서 색장 선은 짧은 거리에서 글루온에 의해 결합되며, 이 글루온은 장에 의해 편광되어 장과 정렬된다. 이 효과는 짧은 거리 내에서 증가하여 (쿼크 근처에서 약 1 fm 내에서) 짧은 거리 내에서 색력이 증가하여 쿼크를 하드론 내에 가둔다. 장 선이 글루온에 의해 단단히 당겨지기 때문에, 전하 간의 전기장만큼 밖으로 "활"처럼 굽어지지 않는다.^[22]

양-밀스장, 디랙장, 클라인-고든장 및 슈뢰딩거장은 각 방정식의 해라고 할 수 있다.

4. 3. 장이론과 입자물리학

양자역학의 발전으로 양자장론이 탄생하였으며, 이는 주로 특수상대성이론과 양자역학을 결합한 이론이었다. 양자장론은 입자물리학의 표준 모형 형성에 중요한 개념이 되었다.

Quantum electrodynamics, QED|양자 전기역학^영어은 가장 성공적인 과학 이론으로 여겨진다. 실험 데이터는 다른 어떤 이론보다 높은 정밀도로 그 예측을 확인한다.^[21] 다른 두 가지 기본적인 양자장론은 양자 색역학과 전약력 이론이다.

양자 색역학에서, 색장 선은 짧은 거리에서 글루온에 의해 결합되며, 이 글루온은 장에 의해 편광되어 장과 정렬된다. 이 효과는 짧은 거리 내에서 증가하여 (쿼크 근처에서 약 1 fm 내에서) 짧은 거리 내에서 색력이 증가하여 쿼크를 하드론 내에 가둔다. 장 선이 글루온에 의해 단단히 당겨지기 때문에, 전하 간의 전기장만큼 밖으로 "활"처럼 굽어지지 않는다.^[22]

이 세 가지 양자장론은 모두 입자물리학의 이른바 표준 모형의 특수한 경우로 유도될 수 있다. 아인슈타인의 중력장 이론인 일반 상대성 이론은 아직 성공적으로 양자화되지 않았다.

5. 장의 대칭성

물리학에서 장(場, field)을 분류하는 편리한 방법은 장이 갖는 대칭성에 따르는 것이다. 물리적 대칭성은 대개 전역 대칭과 시공간 대칭 두 가지 유형으로 나뉜다.

장은 종종 시공간의 변환에 따른 행동에 따라 스칼라장, 벡터장, 텐서장, 스피너장 등으로 분류된다. 또한, 장은 시공간 대칭 외에도 내부 대칭을 가질 수 있다. 입자물리학에서 쿼크의 상호작용에 대한 색전하 대칭은 강력 상호작용의 대칭으로 내부 대칭의 한 예이다. 아이소스핀, 약 아이소스핀, 기묘도 및 기타 모든 맛깔 대칭 또한 내부 대칭의 예시이다. 문제 대상의 성분이 시공간과 관련 없는 변환에 대해 대칭성을 갖는 경우, 이러한 대칭성의 집합을 ''내부 대칭''이라고 부른다.

5. 1. 시공간 대칭성

장은 시공간 변환에 따른 행동에 따라 분류되는 경우가 많다. 이 분류에 사용되는 용어는 다음과 같다.

스칼라장 (예: 온도)은 공간의 각 점에서 단일 변수로 그 값을 나타낸다. 이 값은 공간의 변환에 따라 변하지 않는다.
벡터장 (예: 자기장의 각 지점에서 힘의 크기와 방향)은 공간의 각 지점에 벡터를 첨부하여 지정된다. 이 벡터의 성분은 공간에서 회전 시 서로 반변적으로 변환된다. 마찬가지로 쌍대 (또는 공-) 벡터장은 공간의 각 지점에 쌍대 벡터를 첨부하며, 각 쌍대 벡터의 성분은 공변적으로 변환된다.
텐서장 (예: 결정의 응력 텐서)은 공간의 각 지점에서 텐서로 지정된다. 공간에서 회전 시 텐서의 성분은 공변 지수와 반변 지수의 수에 따라 더 일반적인 방식으로 변환된다.
스피너장 (예: 디랙 스피너)은 양자장론에서 스핀을 가진 입자를 설명하기 위해 나타나며, 스피너장의 성분 중 하나를 제외하고는 벡터와 유사하게 변환된다. 즉, 벡터장을 특정 축을 중심으로 360도 회전시키면 벡터장은 자기 자신으로 돌아가지만, 스피너는 같은 경우에 음수로 바뀐다.

5. 2. 내부 대칭성

장은 시공간 대칭 외에도 내부 대칭을 가질 수 있다. 많은 상황에서 (φ₁, φ₂, ... φ_''N'')와 같이 시공간 스칼라 목록 형태의 장이 필요하다. 예를 들어, 기상 예측에서는 온도, 기압, 습도 등이 이에 해당한다. 입자물리학에서 쿼크 상호작용에 대한 색전하 대칭은 강력 상호작용의 대칭으로, 내부 대칭의 한 예이다. 아이소스핀, 약 아이소스핀, 기묘도 및 기타 모든 맛깔 대칭 또한 내부 대칭의 예시이다.

문제 대상의 성분이 시공간과 관련 없는 변환에 대해 대칭성을 갖는 경우, 이러한 대칭성의 집합을 '''내부 대칭성'''이라고 부른다.^[2] 내부 대칭성에 따른 장의 변화를 분류하는 것도 가능하다.^[2]

6. 통계장론

통계장론은 장론의 패러다임을 다체계와 통계역학으로 확장하려는 시도이다.^[25] 통계장론은 보통 무한한 자유도 인수를 통해 접근할 수 있다.

통계역학이 양자역학과 고전역학 사이에 어느 정도 중첩되는 것처럼, 통계장론은 양자장론과 고전장론 모두와 관련이 있으며, 특히 많은 방법을 공유하는 전자와 관련이 깊다. 중요한 예시 중 하나는 평균장 이론이다.^[25]

7. 연속 확률장

열적 요동하는 고전적 장은 어디에서도 미분 불가능하기 때문에, 유한 온도에서 고전적인 장을 다룰 때에는 연속 확률장이라는 수학적 방법을 사용한다.^[25] 확률장은 확률 변수의 인덱스 집합이며, 연속 확률장은 함수 집합을 인덱스 집합으로 갖는 확률장이다. 특히, 연속 확률장이 함수의 슈바르츠 공간을 인덱스 집합으로 갖도록 하는 것이 수학적으로 편리한 경우가 많으며, 이 경우 연속 확률장은 완전 분포이다.

연속 확률장은 거의 모든 곳에서 $\pm\infty$ 인 일반적인 함수로 생각할 수 있다. 하지만 어떤 유한 영역에 걸쳐 모든 무한대의 가중 평균을 취하면 유한한 결과를 얻게 된다. 무한대는 잘 정의되어 있지 않지만, 유한 값은 유한 값을 얻기 위해 가중 함수로 사용되는 함수와 연결될 수 있으며, 이는 잘 정의될 수 있다. 따라서 연속 확률장을 함수 공간에서 실수로의 선형 맵으로 정의할 수 있다.

참조

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